2017年全国卷数学（理）高考试题（Word版，含答案）

2017年普通高等学校招生全国统一考试（全国III）

理科数学

（试题及答案解析）

一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分）

221．已知集合A?(x,y)x?y?1，B??(x,y)y?x?，则A?B中元素的个数为（）

??A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B

【解析】A表示圆x2?y2?1上所有点的集合，B表示直线y?x上所有点的集合，

故A?B表示两直线与圆的交点，由图可知交点的个数为2，即A?B元素的个数为2，故选B.

2．设复数z满足(1?i)z?2i，则z?（） 1A．

2【答案】C

B．2 2

C．2

D．2

【解析】由题，z?2i?1?i?2i2i?2???i?1，则z?12?12?2，故选C. 1?i?1?i??1?i?2

3．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．

2014年 2015年 2016年

根据该折线图，下列结论错误的是（） A．月接待游客量逐月增加 B．年接待游客量逐年增加

C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月

D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 【答案】A

【解析】由题图可知，2014年8月到9月的月接待游客量在减少，则A选项错误，故选A.

4．(x?y)(2x?y)5的展开式中x3y3的系数为（）

A．??? B．??? C．40 D．80 【答案】C

【解析】由二项式定理可得，原式展开中含x3y3的项为

23x?C5?2x???y??y?C5?2x???y??40x3y3，则x3y3的系数为40，故选C.

2332

x2y2x2y255．已知双曲线C：2?2?1（a?0，b?0）的一条渐近线方程为y?x，且与椭圆??1有

2ab123公共焦点．则C的方程为（）

x2y2x2y2x2y2x2y2A．?B．?C．?D．??1 ?1 ?1 ?1

810455443【答案】B

b55x，则?【解析】∵双曲线的一条渐近线方程为y?①

a22x2y2?1与双曲线有公共焦点，易知c?3，则a2?b2?c2?9② 又∵椭圆?123x2y2 ?1，故选B. 由①②解得a?2,b?5，则双曲线C的方程为?45

π6．设函数f(x)?cos(x?)，则下列结论错误的是（）

3A．f(x)的一个周期为?2π C．f(x??)的一个零点为x?【答案】D

?【解析】函数f?x??cos?x?? π 6

B．y?f(x)的图像关于直线x?

πD．f(x)在(,π)单调递减

28π对称 3π?π?的图象可由y?cosx向左平移个单位得到， 3?3?π?如图可知，f?x?在?,π?上先递减后递增，D选项错误，故选D.

?2?y ??? ?????x-O?6?7．执行右图的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N的最小值为（）

A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D

【解析】程序运行过程如下表所示：

t S M

0 100 1 初始状态

?10 100 2 第1次循环结束

90 1 3 第2次循环结束

此时S?90?91首次满足条件，程序需在t?3时跳出循环，即N?2为满足条件的最小值，故选D.

8．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）

3πππA．π B． C． D．

２44【答案】B

3?1?【解析】由题可知球心在圆柱体中心，圆柱体上下底面圆半径r?1????，

2?2?3π2则圆柱体体积V?πrh?，故选B.

422

9．等差数列?an?的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则?an?前6项的和为（）

A．?24 B．?3 C．3 D．8 【答案】A

【解析】∵?an?为等差数列，且a2,a3,a6成等比数列，设公差为d.

2?a2?a6，即?a1?2d???a1?d??a1?5d? 则a32又∵a1?1，代入上式可得d2?2d?0 又∵d?0，则d??2

6?56?5d?1?6????2???24，故选A. ∴S6?6a1?22x2y210．已知椭圆C:2?2?1（a?b?0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与

ab直线bx?ay?2ab?0相切，则C的离心率为（）

1632 B． C． D．

333３【答案】A

【解析】∵以A1A2为直径为圆与直线bx?ay?2ab?0相切，∴圆心到直线距离d等于半径，

2ab?a ∴d?22a?b又∵a?0,b?0，则上式可化简为a2?3b2

A．c22∵b?a?c，可得a?3a?c，即2?

a3c6∴e??，故选A

a32222?22?

11．已知函数f(x)?x2?2x?a(ex?1?e?x?1)有唯一零点，则a?（）

111A．? B． C．

２23【答案】C

【解析】由条件，f(x)?x2?2x?a(ex?1?e?x?1)，得：

f(2?x)?(2?x)2?2(2?x)?a(e2?x?1?e?(2?x)?1)?x2?4x?4?4?2x?a(e1?x?ex?1) D．1

?x2?2x?a(ex?1?e?x?1)∴f(2?x)?f(x)，即x?1为f(x)的对称轴， 由题意，f(x)有唯一零点，

∴f(x)的零点只能为x?1， 即f(1)?12?2?1?a(e1?1?e?1?1)?0，

1解得a?．

2

12．在矩形ABCD中，AB?1，AD?2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若

???AP??????AB??????AD?，则???的最大值为（） A．3 B．22 C．5

D．2

【答案】A

【解析】由题意，画出右图．

设BD与?C切于点E，连接CE． 以A为原点，AD为x轴正半轴， AB为y轴正半轴建立直角坐标系， 则C点坐标为(2,1)． ∵|CD|?1，|BC|?2．

∴BD?12?22?5． ∵BD切?C于点E． ∴CE⊥BD．

∴CE是Rt△BCD中斜边BD上的高．

2?1?|BC|?|CD|EC|?2S|△BCD22BD|?2|BD|?5?55 |即?C的半径为255． ∵P在?C上．

yPg∴P点的轨迹方程为

(x?2)2?(y?1)2?45． BC设P点坐标(x0,y0)，可以设出P点坐标满足

数方程如下：

E?Dx??x0?2?25cos?A(O) ?5???y0?1?255sin?而???AP??(x??? ?????0,y0)，AB?(0,1)，AD?(2,0)． ∵???AP??????AB??????AD???(0,1)??(2,0)?(2?,?) ∴??12x?1?5205cos?，??y0?1?55sin?． 两式相加得：

????1?255sin??1?55cos??2?(255)2?(55)2sin(???)?2?sin(???)≤3 参

的

(其中sin??当且仅当??

255) ，cos??55π?2kπ??，k?Z时，???取得最大值3． 2二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）

?x?y≥0,?13．若x，y满足约束条件?x?y?2≤0,则z?3x?4y的最小值为________．

?y≥0,?【答案】?1

【解析】由题，画出可行域如图：

3zx?纵截距越大，z值越小． 44由图可知：z在A?1,1?处取最小值，故zmin?3?1?4?1??1．

目标函数为z?3x?4y，则直线y? x?y?2?0yA(1,1)Bx

(2,0)x?y?014．设等比数列?an?满足a1?a2??1，a1?a3??3，则a4?________． 【答案】?8

【解析】??an?为等比数列，设公比为q．

??a1?a2??1?a1?a1q??1①，即?， ?2a?aq??3②??a1?a3??3?11显然q?1，a1?0， ②得1?q?3，即q??2，代入①式可得a1?1， ①?a4?a1q3?1???2???8．

?x?1,x≤0,115．设函数f(x)??x则满足f(x)?f(x?)?1的x的取值范围是________．

2?2,x?0,?1?【答案】??,???

?4??x?1,x≤01?1???fx?fx??1fx??fx?????【解析】，，即??x????1?f?x?

22????2 ,x?0?1??由图象变换可画出y?f?x??与y?1?f?x?的图象如下：

2??3 y1y?f(x?)211(?,)44?1?2??12

x y?1?f(x)1???1?由图可知，满足f?x???1?f?x?的解为??,???.

2???4?

16．a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与

a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论： ①当直线AB与a成60?角时，AB与b成30?角； ②当直线AB与a成60?角时，AB与b成60?角； ③直线AB与a所成角的最小值为45?； ④直线AB与a所成角的最大值为60?．

其中正确的是________（填写所有正确结论的编号） 【答案】②③

【解析】由题意知，a、b、AC三条直线两两相互垂直，画出图形如图．

不妨设图中所示正方体边长为1， 故|AC|?1，AB?2，

斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，则A点保持不变， B点的运动轨迹是以C为圆心，1为半径的圆．

????????以C为坐标原点，以CD为x轴正方向，CB为y轴正方向， ????CA为z轴正方向建立空间直角坐标系． 则D(1,0,0)，A(0,0,1)，

??直线a的方向单位向量a?(0,1,0)，|a|?1． B点起始坐标为(0,1,0)，

??直线b的方向单位向量b?(1,0,0)，|b|?1． 设B点在运动过程中的坐标B?(cos?,sin?,0)， 其中?为B?C与CD的夹角，??[0,2π)．

????那么AB'在运动过程中的向量AB??(?cos?,?sin?,1)，????|AB?|?2．

?????π设AB?与a所成夹角为??[0,]，

2(?cos?,?sin?,1)?(0,1,0)22cos???|sin?|?[0,]． ?????则22aAB?ππ故??[,]，所以③正确，④错误．

42?????π设AB?与b所成夹角为??[0,]，

2?????AB??bcos???????bAB???(?cos?,sin?,1)?(1,0,0).

?????bAB?2|cos?|2?????π当AB?与a夹角为60?时，即??，

3?12sin??2cos??2cos?2?．

322∵cos2??sin2??1，

2． 221|cos?|?． ∴cos??22π∵??[0,]．

2?????π?=∴，此时AB?与b夹角为60?．

3∴②正确，①错误．

∴|cos?|?

三、解答题：（共70分．第17-20题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考

生根据要求作答） （一）必考题：共60分． 17．（12分）

?ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA?3cosA?0，a?27，b?2． （1）求c；

（2）设D为BC边上一点，且AD?AC，求△ABD的面积．

π??【解析】（1）由sinA?3cosA?0得2sin?A???0，

3??π即A??kπ?k?Z?，又A??0,π?，

3π2π. ∴A??π，得A?331As??代入并整理得由余弦定理a2?b2?c2?又∵a?27,b?2,co2bcc?os.A22，故c?4. ?c?1??25（2）∵AC?2,BC?27,AB?4， a2?b2?c227. ?由余弦定理cosC?2ab7∵AC?AD，即△ACD为直角三角形， 则AC?CD?cosC，得CD?7. 由勾股定理AD?又A?CD?AC?3.

22S△ABD2π2πππ??， ，则?DAB?33261π?AD?AB?sin?3. 26

18．（12分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，

未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于

25?，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶，为了确定六月份的订购区间?20，计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表： 最高气温 天数 15? ?10，2 20? ?15，16 25? ?20，36 30? ?25，25 35? ?30，7 40? ?35，4 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率． （1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列； （2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元）．当六月份这种酸奶一天的进货量n（单位：瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值？ 【解析】⑴易知需求量x可取200,300,500

2?161P?X?200???

30?35362P?X?300???

30?3525?7?42P?X?500???.

30?35 则分布列为： X P

200 300 500 1 52 52 5

⑵①当n≤200时：Y?n?6?4??2n，此时Ymax?400，当n?200时取到.

41200?2??n?200????2??②当200?n≤300时：Y??2n??? 55?8800?2n6n?800?n?? 555 此时Ymax?520，当n?300时取到. ③当300?n≤500时，

122Y??200?2?n?200??2?300?2?n?300??2???? ?????????5??5?n?2 5?3200?2n?

5 此时Y?520.

④当n≥500时，易知Y一定小于③的情况.

综上所述：当n?300时，Y取到最大值为520.

19．（12分）如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形．?ABDAB=BD． D（1）证明：平面ACD^平面ABC；

（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体

EABCD分成体积相等的两部分．求二面角D-AE-C的

C余弦值．

【解析】⑴取AC中点为O，连接BO，DO；

??ABC为等边三角形 ∴BO?AC A∴AB?BC D ?AB?BC???ABD??CBD. ?BD?BDE??ABD??DBC?C∴AD?CD,即?ACD为等腰直角三角形，?ADC 为直角又O为底边AC中点 ∴DO?AC

令AB?a，则AB?AC?BC?BD?a 易得：OD?22?CBD，

BOBA23a，OB?a 222∴OD?OB?BD

由勾股定理的逆定理可得?DOB??2

即OD?OB

?OD?AC?OD?OB???AC?OB?O?OD?平面ABC ?AC?平面ABC???OB?平面ABC又∵OD?平面ADC

由面面垂直的判定定理可得平面ADC?平面ABC ⑵由题意可知VD?ACE?VB?ACE 即B,D到平面ACE的距离相等 即E为BD中点

????????以O为原点，OA为x轴正方向，OB为y轴正方

????向，OD为z轴正方向，设AC?a，建立空间直角坐标系，

z DCOEBAxy???a?33a??a??0,a,0E0,则O?0,0,0?，A?,0,0?，D?0,0,?，B?，???2??4a,4?? 2??2????????a?????a3a??????aa?????AD??,0,OA??,0,0? AE??,a,易得：，，?????244?2??2?2???

??????设平面AED的法向量为n1，平面AEC的法向量为n2，

????????????AE?n1?0?则???????，解得n1?3,1,3 ??AD?n1?0????????????AE?n2?0????，解得n2?0,1,?3 ??????OA?n2?0若二面角D?AE?C为?，易知?为锐角，

??????????n1?n27????? 则cos????7n1?n2

20．（12分）已知抛物线C:y2=2x，过点（2，0）的直线l交C于A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆．

（1）证明：坐标原点O在圆M上；

（2）设圆M过点P（4，-2），求直线l与圆M的方程．

【解析】⑴显然，当直线斜率为0时，直线与抛物线交于一点，不符合题意．

设l:x?my?2，A(x1,y1)，B(x2,y2)，

?y2?2x联立：?得y2?2my?4?0，

?x?my?2??4m2?16恒大于0，y1?y2?2m，y1y2??4． uuruuurOA?OB?x1x2?y1y2

?(my1?2)(my2?2)

?(m2?1)y1y2?2m(y1?y2)?4

??4(m2?1)?2m(2m)?4?0 uuruuur∴OA?OB，即O在圆M上．

uuuruur⑵若圆M过点P，则AP?BP?0 (x1?4)(x2?4)?(y1?2)(y2?2)?0 (my1?2)(my2?2)?(y1?2)(y2?2)?0

(m2?1)y1y2?(2m?2)(y1?y2)?8?0

1化简得2m2?m?1?0解得m??或1

21①当m??时，l:2x?y?4?0圆心为Q(x0,y0)，

2y?y2119y0?1??，x0??y0?2?，

2224?9??1?半径r?|OQ|???????

?4??2?921285则圆M:(x?)?(y?)?

4216②当m?1时，l:x?y?2?0圆心为Q(x0,y0)，

y?y2y0?1?1，x0?y0?2?3，

222半径r?|OQ|?32?12 则圆M:(x?3)2?(y?1)2?10

21．（12分）已知函数f(x)?x?1?alnx．

（1）若f(x)≥0，求a的值；

（2）设m为整数，且对于任意正整数n，(1+11)(1+2)鬃?(1221)

ax?a则f?(x)?1??，且f(1)?0

xx当a≤0时，f??x??0，f?x?在?0，???上单调增，所以0?x?1时，f?x??0，不满足题意； 当a?0时，

当0?x?a时，f?(x)?0，则f(x)在(0,a)上单调递减； 当x?a时，f?(x)?0，则f(x)在(a,??)上单调递增．

①若a?1，f(x)在(a,1)上单调递增∴当x?(a,1)时f(x)?f(1)?0矛盾 ②若a?1，f(x)在(1,a)上单调递减∴当x?(1,a)时f(x)?f(1)?0矛盾

③若a?1，f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,??)上单调递增∴f(x)≥f(1)?0满足题意 综上所述a?1．

⑵ 当a?1时f(x)?x?1?lnx≥0即lnx≤x?1

则有ln(x?1)≤x当且仅当x?0时等号成立

11∴ln(1?k)?k，k?N*

221111111一方面：ln(1?)?ln(1?2)?...?ln(1?n)??2?...?n?1?n?1，

2222222111即(1?)(1?2)...(1?n)?e．

222111111135另一方面：(1?)(1?2)...(1?n)?(1?)(1?2)(1?3)??2

22222264111当n≥3时，(1?)(1?2)...(1?n)?(2,e)

222111∵m?N*，(1?)(1?2)...(1?n)?m，

222∴m的最小值为3．

22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

?x????m,?x???t,?在直角坐标系xOy中，直线l?的参数方程为?（t为参数），直线l?的参数方程为?my?,?y?kt,?k?（m为参数），设l?与l?的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C． （1）写出C的普通方程：

（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l?:?(cos??sin?)????，M为l?与C的交点，求M的极径．

【解析】⑴将参数方程转化为一般方程

l1:y?k?x?2? ……①

1?x?2? ……② k①?②消k可得：x2?y2?4 l2:y?即P的轨迹方程为x2?y2?4； ⑵将参数方程转化为一般方程

l3:x?y?2?0 ……③

联立曲线C和l3???x?y?2?022??x?y?4

?32x???2 解得?2?y????2?x??cos?由?解得??5 ?y??sin?即M的极半径是5．

23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）

已知函数f(x)?|x??|?|x??|． （1）求不等式f(x)??的解集；

（2）若不等式f(x)?x??x?m的解集非空，求m的取值范围．

??3,x≤?1?【解析】⑴f?x??|x?1|?|x?2|可等价为f?x???2x?1,?1?x?2.由f?x?≥1可得：

?3,x≥2?①当x≤?1时显然不满足题意；

②当?1?x?2时，2x?1≥1，解得x≥1；

③当x≥2时，f?x??3≥1恒成立.综上，f?x??1的解集为?x|x≥1?.

22⑵不等式f?x?≥x?x?m等价为f?x??x?x≥m，

2令g?x??f?x??x?x，则g?x?≥m解集非空只需要??g?x???max≥m.

??x2?x?3,x≤?1?2而g?x????x?3x?1,?1?x?2.

??x2?x?3,x≥2?①当x≤?1时，??g?x???max?g??1???3?1?1??5；

35?3??3?gx?g???3??1??②当?1?x?2时，?； ????????max2224????2③当x≥2时，??g?x???max?g?2???2?2?3?1.

综上，??g?x???max?255，故m?. 44欢迎访问“高中试卷网”——http://sj.fjjy.org

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