力学第二版习题答案第十章

第十章波动基本知识小结

⒈平面简谐波方程 y?Aco?s(t?xV)?Acos?(t?kx)； ?T?2?,k??2?,v?1/T,V??v。

⒉弹性波的波速仅取决媒质性质：弹性体中横波的波速

V?N/?，弹性体中纵波的波速V?Y/?，流体中纵波波速V?k/?，绳波波速V?T/?。

⒊波的平均能量密度 ??12??2A2，波的平均能流密度I?1??2A22V。

⒋波由波密射向波疏媒质，在边界处，反射波与入射波相位相

同；波由波疏射向波密媒质，在边界处，反射波比入射波相位落后π，相当损失半个波长；例如：在自由端无半波损失，在固定端有半波损失。

⒌振动方向相同、频率相同、位相差恒定的二列波叫相干波，相干波叠加叫波的干涉。

⒍振幅相同、传播方向相反的两列相干波叠加产生驻波现象；

驻波方程 y?2Acos2??xcos?t；波节两边质元振动相位相反，两个波节之间质元振动相位相同；相邻波节或相邻波腹间距离为λ/2，

相邻波腹波节间距离为λ/4。

⒎多普勒公式：v'?V?V0V?VSv，在运用此公式时，以波速V为正方

向，从而确定V0、VS的正负。

10.2.1 频率在20至20000Hz的弹性波能使人耳产生听到声音的

感觉。0oC时，空气中的声速为331.5m/s,求这两种频率声波的波长。

解：?V?v?,???V/v,?1?V/v1?331.520?16.58m

?2?V/v2?331.5/20?16.58?10?3m?

10.2.2 一平面简谐声波的振幅A=0.001m，频率为1483Hz，在20oC的水中传播，写出其波方程。

解：查表可知，波在20oC的水中传播，其波速V=1483m/s.设o-x轴沿波传播方向，x表示各体元平衡位置坐标，y表示各体元相对平衡位置的位移，并取原点处体元的初相为零，则：

y?Acos2?v(t?xV)?0.001cos(2966?t?2?x)

10.2.3 已知平面简谐波的振幅A=0.1cm,波长1m,周期为10-2s,写出波方程（最简形式）.又距波源9m和10m两波面上的相位差是多少？

解：取坐标原点处体元初相为零，o-x轴沿波传播方向，则波方程的最简形式为

y?Acos?(t?xtx?3V)?Acos2?(T??)?10cos2?(100t?x) ???2?(100t?9)?2?(100t?10)?2?

10.2.4 写出振幅为A,频率v=f,波速为V=C,沿o-x轴正向传播的平面简谐波方程.波源在原点o,且当t=0时，波源的振动状态是位移为零，速度沿o-x轴正方向。

解：设波源振动方程为y?Acos(?t??).

∵t=0时，y?Acos??0,u?dydt???Asin??0,?????2 ∴波方程y?Acos[2?v(t?xV)??2]?Acos[2?f(t?xC)??2]

10.2.5 已知波源在原点（x=0）的平面简谐波方程为

y?Acos(bt?cx),A,b,c均为常量.试求：⑴振幅、频率、波速和波

长；⑵写出在传播方向上距波源l处一点的振动方程式，此质点振动

的初相位如何？

解：⑴将y?Acos(bt?cx)与标准形式y?Acos(?t?kx)比较，ω=b,k=c,∴振幅为A,频率v=ω/2π=b/2π,波速V=ω/k=b/c,波长λ=V/v=2π/c.

⑵令x=l, 则y?Acos(bt?cl)，此质点振动初相为 – cl.

10.2.6 一平面简谐波逆x轴传播，波方程为

y?Acos2?v(t?xV?3),试利用改变计时起点的方法将波方程化

为最简形式。

解：令t’=t+3,则y?Acos2?v(t'?xV)，即将计时起点提前3s,即可把方程化为如上的最简形式。

10.2.7 平面简谐波方程y?5cos2?(t?x4)，试用两种方法画出t?35s时的波形图（SI）。

解：由波方程可知：A=5, v=4, v=1, λ=v/v=4

t?35cos2?(35s时，y?5?xcos?124)?52(x?5)

方法一：令x'?x?125，先画出y?5cos?2x'的波形图，然后将y轴右移125即可。 方法二：找出x、y的对应点，根据余弦函数规律描出。

y' y

x(m)

10.2.8 对于平面简谐波S?rcos2?(tT??x)中，r=0.01m,T=12s,λ=0.30m,画出x=0.20m处体元的位移-时间曲线。画出t=3s,6s时的

波形图。

解：波方程S?rcos2?(t??x)?0.01cos2?(txT12?0.3) ⑴令x=0.20，S?0.01cos2?(t?0.2120.3)?0.01cos?6(t?8)；令

t'=t-8,根据T=12s及余弦曲线的规律，先画出S'?0.01cos?6t'的S’-t’曲线，再把S'轴向左移动8秒，即得S-t曲线。

S (m) S’

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 t (s) - 0.01

⑵令t=3, S?0.01cos2?(3?x120.)?0.01cos2?(x330.3?12)=

0.01cos20(x?3?333?40).令x'?x40，根据??0.3?4?40m及余弦

曲线的规律，先画出S'?0.01cos203?x'的S’-x’曲线，再把S’轴向左移动3/40m，即得S-x曲线。 S(m) S’ 0.01 x(3/40m) -1 0 1 2 3 4 5 6 7 t=6s时的波形图，可把t=3s时的波形图左移6?3?0.3?31240m，

即1个单位，就是t=6s时的波形图（虚线所示）。

10.2.9 两图分别表示向右和向左传的平面简谐波在某一瞬时的波形图，说明此时x1,x2,x3以及ξ1,ξ2,ξ3各质元的位移和速度为正还是为负？它们的相位如何？（对于x2和ξ2只要求说明其相位在第几像限）

y xv y v 2

x1 x3 x ξ2 ξ1 ξ3 x

解：根据y?Acos?(t?xV),u???Asin?(t?xV)及波形图随时间t的移动方向，可做出如下判断：

x1 x2 x3 ξ1 ξ2 ξ3 位移 正最大 负 0 正最大 负 0 速度 0 负 负最大 0 正 正最大 相位 0或2π Ⅱ像限 π/2 0或2π Ⅲ像限 -π/2

10.2.10 图（a）、（b）分别表示t=0和t=2s时的某一平面简谐波的波形图。试写出平面简谐波方程。

解：由波形图知：A=2m,λ=2m.由图（a），原点处质元t=0时， y=A,可判断其初相为零.比较 y/m v （a）、（b）两图,（b）图可看 2 作（a）图向右移动0.5m得到。 0 1 2 x/m ∴VΔt=0.5,V=0.5/2=0.25m/s. -2 ω=2πV/λ=2π×0.25/2=0.25π 图（a） ?y?2cos?(t?xV)?2cos0.25?(t?x0.25) 0 1 2 x/m ?2cos?(0.25t?x) 图（b）

10.3.1 有一圆形横截面的铜丝，受张力1.0N,横截面积为1.0mm2.求其中传播纵波和横波时的波速各为多少？铜的密度为8.9×103kg/m3,铜的杨氏模量为12×109N/m2.

解：纵波波速 V?Y12?109??8.3?103?1.16?103m/s.

铜丝的线密度?'??s?8.9?103?1.0?10?6?8.9?10?3kg/m，铜

丝中传播的横波是绳波，横波波速V?T?1'?8.9?10?3?10.6m/s

10.3.2 已知某种温度下水中声速为1.45×103m/s,求水的体变模量。

解：∵水中声波速度V??k?水的体变模量

k??V2?1.0?103?(1.45?103)2?2.10?109Pa

10.4.1 在直径为14cm管中传播的平面简谐波，平均能流密度为 9erg/s.cm2，v=300Hz，V=300m/s.⑴求最大能量密度和平均能量密度，⑵求相邻同相位波面间的总能量。

解：平均能流密度 I?122??A2V?9?10?3J/s.m2

⑴ ∵能量密度????2A2sin2?(t?xV)，∴ 最大能量密度 ?2?3max???2A?2IV?2?9?10300?6?10?5J/m3. 平均能量密度

??122110?52??A?2?max?3?J/m3 ⑵管的横截面积 s??R2?3.14?(14?10?2)2?1.54?10?2m22，∵相邻同相位波面间的距离为??Vv?300300?1m，∴其间总能量为

E???s?3?10?5?1?1.54?10?2?4.6?10?7J

10.4.3 面向街道的窗口面积约40m2,街道上的噪声在窗口的声强级为60dB,问有多少声功率传入室内？（即单位时间进入多少声能）

解：据声强级定义：Il?10lgII0?60,lgII0?6,I?106I0，

所以传入室内的声功率W?IS?106?10?12?40?4.0?10?5W

10.4.4 距一点声源10m的地方，声音的声强级为20dB，求：⑴距声源5m处的声强级；⑵距声源多远就听不见1000Hz的声音了？

解：⑴设r=r1=5m时,声强为I1,声强级为IL1；r=r2=10m时，声强为I2,声强级为IL2

?I4?r2222r 11?I24?r2,?I1?I2(rr1)，用声强级

表示：10lgI1I0?10lgI2r22I?10lgI2220r12I0?10lg(rr1) 即ILr221?IL2?10lg(r1)?20?10lg4?20?6.02?26.02dB ⑵设r=r3时听不到声音，即对应的声强级IL3=0

10lgI2I2I3I2I22I3?10lgI0?10lgI0?IL2?IL3?20?0,?lgI3?2,I3?10I2?r2I3r22I224?r2?I343,I2?(r3),r3?I3r2?10?10?100m

10.5.1 声音干涉仪用于显示声波的干涉，见图。薄膜S在电磁铁的作用下振动，D为声音检测器，SBD长度可变，SAD长度固定，声音干涉仪内充满空气。当B处于某一位置时，在D处听到的声强为100单位的最小声音，将B移动则声音加大，当B移动1.65cm时听到强度为900单位的最强音。求：⑴声波的频率；⑵到达D处二声波振幅之比，已知声速为342.4m/s

解：⑴D处听到的声强是由

SAD和SBD传过来的两列相干波叠

S 加结果；声强最小，说明两列相干

波在D处的相位相反，合振幅为两B A 个分振幅之差；声强最大，说明两

列相干波在D处相位相同，合振幅

D 为两个分振幅之和；两列波在D处的相位差由相反变为相同，相位差改变为π，因此两列波传播距离的改变为λ/2，有：

??2?2V2?2?1.65?10,??6.6?10m,v???342.46.6?10?2?5188Hz

⑵I221/I2?A1/A2,A1/A2?I1/I2?100/900?1/3

10.5.2 两个波源发出横波，振动方向与纸面垂直，两波源具有相同的相位，波长0.34m.⑴至少求出三个x数值使得在P点合振动最强，⑵求出三个x数值使得在P点的合振动最弱。

解：由于两个波源的相位相同，

因而二波在P点引起的两个分振动的 l P 相位差 ??l?(l?x)?2??2??x l-x

⑴当2??x?2n?(n?0,1,2…）时，

合振动最强。取n=0,1,2, 得x1=0, x2=λ=0.34m, x3=2λ=0.68m

⑵当2??x?(2n?1)?(n?0,1,2…）时，合振动最弱。取n=0,1,2,

得 x1=λ/2=0.17m, x2=3λ/2=0.51m, x3=5λ/2=0.85m

10.5.3 试证明两列频率相同，振动方向相同、传播方向相反而振幅大小不同的平面简谐波相叠加可形成一驻波与一行波的叠加。

证明；设满足要求的两列平面简谐波的波方程为：

y1?A1cos(?t?kx),y2?A2cos(?t?kx),A1?A2y?A1cos(?t?kx)?A2cos(?t?kx)?(A1?A2?A2)cos(?t?kx)?A2cos(?t?kx)?(A1?A2)cos(?t?kx)?A2[cos(?t?kx)?cos(?t?kx)]?(A1?A2)cos(?t?kx)?2A2coskxcos?t （应用三角函数公式：cos??cos??2cos???cos???22）

显然，前一项表示一行波，后一项为一驻波

10.5.4 入射波y?10?10?4cos[2000?(t?x34)]在固定端反射，

坐标原点与固定端相距0.51m,写出反射波方程.无振幅损失.(SI)

解：反射波的振幅、频率、波速均与入射波相同；反射波传播

方向与入射波传播方向相反；入射波在原点处振动初相为零，设反射波在坐标原点处振动初相为φ，固定端反射有半波损失，所以

0???2??2???,???(4???1)???(4?0.5134/1000?1)???61?.综合以上考虑，反射波方程为 y?10?10?4cos[2000?(t?x34)?61?] ?10?10?4cos[2000?(t?x34)??]

10.5.5 入射波方程为y?Acos2?(tT??x)，在x=0处的自由端反射，求反射波的波方程。无振幅损失。

解：反射波的振幅、周期、波长与入射波相同；反射波传播方向与入射波相反；由于在x=0处的自由端反射，无半波损失，反射波与入射波在原点的初相相同。综合以上考虑，反射波方程为

y?Acos2?(txT??)

10.5.6 10.5.7 图表示某一瞬时入射波的波形图，分别画出在固定端反射和在自由端反射时，反射波的波形图，无振幅损失。

解： 1

2 3

x

方法：可先把界面后边的入射波补画上去，如图1；固定端反射时，损失半个波长，可把界面后边的波形去掉半个波长，然后把剩余波形映射过去即可，如图2；自由端反射，无半波损失，直接把界面后边的波形映射过去即可，如图3。

10.5.8 一平面简谐波自左 x/m 向右传播，在波射线上某质元 0.2 A的振动曲线如图示。后来此 0 1 2 3 4 5 t/s 波在前进方向上遇一障碍物而 -0.2 反射，并与该入射平面简谐波 叠加而成驻波，相邻波节波腹距离为3m,以质元A的平衡位置为o-y轴原点，写出该入射波波方程。

解：∵相邻波节波腹间距离是λ/4=3,∴λ=12m,k=2π/λ=π/6； 从A点振动曲线可知：A=0.2m,T=2s,ω=2π/T=π；设A点振动方程为x?0.2cos(?t??),∵t=0.5s时，x= - 0.2,∴- 0.2=0.2cos(?2??)

??2????,??2.综合以上考虑，入射波波方程应为

x?0.2cos(?t?ky??)?0.2cos(?t???6y?2)

10.5.9 同一媒质中有两个平面简谐波波源作同频率、同方向、同振幅的振动。两波相对传播，波长8m.波射线上A、B两点相距20m.一波在A处为波峰时，另一波在B处相位为-π/2.求AB连线上因干涉而静止的各点的位置

解：以A点为坐标原点， y 建立图示坐标系，x表示各质 A 20m B x 元的平衡位置，y表示各质元 的振动位移。

设：y1?Acos(?t?2??x),y2?Acos(?t?2??x??)，据题意，波1使A处(x=0)质元位移最大时，波2使B处(x=20)质元的振

动相位为-π/2,即t=0时，2???20??????2,????2?40?8??5.5?

∴y2?Acos(?t?2??x?5.5?).

合振动位移为零（即静止）的条件是：两波在这些点引起的分振动的相位差???(?t?2??x?5.5?)?(?t?2??x)?(2n?1)?，

将λ=8代入并整理，可得 x = 4n+13, n = 0, ±1, ±2, ±3…. 由于

0≤x≤20,∴取n = -3, -2, -1, 0, 1, 对应的 x = 1, 5, 9, 13, 17m.

10.5.10 一提琴弦长50cm,两端固定，不用手指按时，发出的声音是A调：440Hz，若欲发出C调：528Hz，手指应按在何处？

解：基频决定音调，取n=1，v1?1T2l?,v1'?1T2l'?,所以，

v1v?l',l'?v1vl?440?50cm?41.67cm，即手按在41.67cm1'l1'528可发出C调音

10.5.11 张紧的提琴弦能发出某一种音调，若欲使它发生的频率比原来提高一倍，问弦内张力应增加多少倍？ 解：?v?1TT'22l?,?v'T?,T'?(v'22v2v)T?2T?4T，即弦内张力

应增加3倍。

10.7.1火车以速率v驶过一个在车站上静止的观察者，火车发出的汽笛声频率为f.求观察者听到的声音的频率的变化。设声速是v0.

解：根据多普勒公式，当火车驶进车站时，观察者听到的频率

vV01?V0?Vf；当火车驶出车站时，观察者听到的频率v2?V0V0?Vf。

10.7.2 两个观察者A和B携带频率均为1000Hz声源。如果A静止，而B以10m/s的速率向A运动，那么A和B听到的拍是多少？

设声速为340m/s. V V

解：A听到的拍频vA=v2’- v1’ 其中：v1’=v=1000Hz, v2'?VV?Vsv A Vs B ?340340?10?1000?1030Hz，∴vA=1030-1000=30Hz.

V?V0VB听到的拍频vB=v1’- v2’.其中：v2’=1000Hz, v1'?v

?

340?10340?1000?1029Hz,?vB?1029?1000?29Hz.

10.7.3 一音叉以vs=2.5m/s速率接近墙壁，观察者在音叉后面听到拍音频率v=3Hz,求音叉振动频率。声速340m/s.

解：设音叉振动频率为f.人从音叉

直接听到的频率 v v v1'?VV?Vsf?340340?2.5f?0.9927f vs 人听到的从墙反射回来的频率（即墙接受到的频率）

v2'?VV?Vsf?340340?2.5f?1.0074f.

?v2'?v1'?v,即(1.0074?0.9927)f?v?3 ?f?3/(1.0074?0.9927)?204Hz

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