2019-2020学年高中数学人教A版必修四课下能力提升：（二十） Word版含解析

课下能力提升(二十) [学业水平达标练]

题组1 平面向量数量积的坐标运算

1．已知向量a＝(1，－1)，b＝(2，x)．若a·b＝1，则x＝( ) A．－1 B．－12

C.1

2

D．1 2．已知向量a＝(0，－23)，b＝(1，3)，则向量a在b方向上的投影为( ) A.3B．3 C．－3 D．－3

3．已知向量a＝(3，1)，b是不平行于x轴的单位向量，且a·b＝3，则b＝( ) A.??312，2??B.??12，32?? C.??1334，4?? D．(1，0) 题组2 向量模的问题

4．已知平面向量a＝(2，4)，b＝(－1，2)，若c＝a－(a·b)b，则|c|等于( ) A．42B．25C．8 D．82

5．设平面向量a＝(1，2)，b＝(－2，y)，若a∥b，则|3a＋b|等于________． 6．已知在直角梯形ABCD中，AD

∥

BC，

ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，则|

|的最小值为________．

题组3 向量的夹角与垂直问题

7．设向量a＝(1，0)，b＝??112，2??，则下列结论中正确的是( ) A．|a|＝|b| B．a·b＝22

C．a－b与b垂直 D．a∥b

8．已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－3)，若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c等于( ) A.??779，3?? B.??－73，－79?? C.??73，79??D.??－79

，－73?? 9．以原点O和点A(5，2)为顶点作等腰直角三角形OAB，使∠B＝90°，求点B和向量的坐标．10．已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝(1，2)． (1)若|c|＝25，且c∥a，求c的坐标； (2)若|b|＝

5

2

，且a＋2b与2a－b垂直，求a与b的夹角θ. [能力提升综合练]

∠

33A.B．－ 22C．4 D．－4 2．已知向量 )

A．(－3，0) B．(2，0) C．(3，0) D．(4，0)

3．a，b为平面向量，已知a＝(4，3)，2a＋b＝(3，18)，则a，b夹角的余弦值等于( ) 88A.B．－ 65651616C.D．－ 6565

4．已知a＝(1，2)，b＝(x，4)，且a·b＝10，则|a－b|＝________. 5．如图，已知点A(1，1)和单位圆上半部分上的动点B，若

⊥

，则向量

的坐标为________．

＝(2，2)，

＝(4，1)，在x轴上有一点P，使

有最小值，则点P的坐标是(

6．已知a＝(λ，2λ)，b＝(3λ，2)，若a与b的夹角为锐角，则λ的取值范围是________． 7．已知O为坐标原点，得

答 案

[学业水平达标练]

1. 解析：选D a·b＝(1，－1)·(2，x)＝2－x＝1?x＝1.

a·b－6

2. 解析：选D 向量a在b方向上的投影为＝＝－3.选D.

|b|23. 解析：选B 法一：设b＝(x，y)，其中y≠0， 则a·b＝3x＋y＝3. x2＋y2＝1，??由?3x＋y＝3， ??y≠0，＝(2，5)，

＝(3，1)，

＝(6，3)，则在线段OC上是否存在点M，使

？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

?13解得?即b＝?，?.故选B.

?22?3

?y＝2，法二：利用排除法．D中，y＝0，

1x＝，2

133?∴D不符合题意；C中，向量?，?44?不是单位向量， ∴C不符合题意；A中，向量?∴A不符合题意．故选B.

4. 解析：选D 易得a·b＝2×(－1)＋4×2＝6， 所以c＝(2，4)－6(－1，2)＝(8，－8)， 所以|c|＝82＋（－8）2＝82. 5. 解析：a∥b，则2×(－2)－1·y＝0， 解得y＝－4，从而3a＋b＝(1，2)，|3a＋b|＝5. 答案：5

6. 解析：建立如图所示的平面直角坐标系，设DC＝h，则A(2，0)，B(1，h)．设P(0，y)(0≤y≤h)，则＝(2，－y)，

＝(1，h－y)，

31?b＝2，

?2，2?使得a·

∴|故|答案：5

7. 解析：选C 由题意知|a|＝12＋02＝1，|b|＝11

＝a·b－|b|2＝－＝0，故a－b与b垂直．

22

8. 解析：选D 设c＝(m，n)，

则a＋c＝(1＋m，2＋n)，a＋b＝(3，－1)， 由(c＋a)∥b，

得－3(1＋m)＝2(2＋n)， 又c⊥(a＋b)，得3m－n＝0， 77

故m＝－，n＝－. 93

9. 解：设点B坐标为(x，y)， 则∵

＝(x，y)，⊥

，

＝(x－5，y－2)．

111?1?＋?1?＝2，a·b＝1×＋0×＝，(a－b)·b?2??2?22222

2

|＝25＋（3h－4y）2≥25＝5. |的最小值为5.

∴x(x－5)＋y(y－2)＝0， 即x2＋y2－5x－2y＝0. 又∵|

|＝|

|，

∴x2＋y2＝(x－5)2＋(y－2)2，

即10x＋4y＝29.

??x2＋y2－5x－2y＝0，由? ?10x＋4y＝29，???解得?或?37

y＝－，y＝?2?2.7x＝，23

x＝，2

73??37?，－，∴点B的坐标为?2?或?22?. ?23773

－2，－2?或?－2，2?. ＝?????10. 解：(1)设c＝(x，y)， ∵|c|＝25，∴x2＋y2＝25， ∴x2＋y2＝20. 由c∥a和|c|＝25，

?y－2·x＝0，?1·

可得?

?x2＋y2＝20，???x＝2，??x＝－2，解得?或?

??y＝4，y＝－4.??故c＝(2，4)或c＝(－2，－4)． (2)∵(a＋2b)⊥(2a－b)， ∴(a＋2b)·(2a－b)＝0， 即2a2＋3a·b－2b2＝0， 5∴2×5＋3a·b－2×＝0，

45

整理得a·b＝－，

2a·b

∴cos θ＝＝－1.

|a||b|又θ∈[0，π]，∴θ＝π.

[能力提升综合练]

1.

解得m＝4.

2. 解析：选C 设P(x，0)，则

＝(x－2，－2)，

＝(x－4，－1)，∴

＝(x－2)(x－4)＋2

＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1，故当x＝3时，AP―→·BP―→最小，此时点P的坐标为(3，0)．

3. 解析：选C 设b＝(x，y)， 则2a＋b＝(8＋x，6＋y)＝(3，18)，

??8＋x＝3，所以?

?6＋y＝18，???x＝－5，解得?

?y＝12，?故b＝(－5，12)，

a·b16所以cos〈a，b〉＝＝.

|a||b|65

4. 解析：由题意，得a·b＝x＋8＝10， ∴x＝2，∴a－b＝(－1，－2)， ∴|a－b|＝5. 答案：5

5. 解析：依题意设B(cos θ，sin θ)，0≤θ≤π，

即cos θ＋sin θ＝0， 3π解得θ＝，

4所以

＝?－?22?. ，22?答案：?－?22? ，22?6. 解析：因为a与b的夹角为锐角， a·b

所以0<<1，

|a||b|即0<<1，

5λ2×9λ2＋43λ2＋4λ

411

解得λ<－或0<λ<或λ>.

333

411

－∞，－3?∪?0，3?∪?3，＋∞? 答案：???????7. 解：假设存在点M，

∴(2－6λ)(3－6λ)＋(5－3λ)(1－3λ)＝0，

即45λ2－48λ＋11＝0， 111

解得λ＝或λ＝.

315

2211?∴存在M(2，1)或M??5，5?满足题意．

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