华南农业大学珠江学院期末高数考试B卷及答案

华南农业大学珠江学院期末考试试卷

2008学年度下学期 考试科目：高等数学 考试年级：信工系08本科 考试类型：（闭卷）Ｂ卷 考试时间：120 分钟 学号 姓名 年级专业 题号 得分 评阅人 得分 评卷人

一、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）

一 二 三 四 五 总分 1.微分方程(y?)4?y????xy?x的阶数为 . 2.已知a???1,2,1?，b???,4,2?，且a∥b，则?= . 23.函数 z?ln(x?y)?x2?y2?1的定义域是 . 4.曲面x2?2y2?3z2?6 在点（1，1，1）处的法线方程为 . 5.已知

? 2 0dy? 2y y2f(x,y)dx 则改变积分次序后，二次积分变为 . 6. 已知三重积分I????f(x,y,z)dv,?: 由圆柱面y??2?x2, 与平面z=0,z=2及y=0

围成，将其化成在柱面坐标系下的三次积分为 .

7.已知L 为抛物线y2?4x上从点（0，0）与点（1，2）间的一段弧，则

? Lyds? .

8.若级数

?(un?n?1?2n） 收敛，则 limu n? . n??n?1试卷第1页（共5页）

得分 评卷人 二、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是最符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

9. f（（x0,y0)处连续的（ ）. xx0,y0)与f（ yx0,y0)存在是函数f(x,y)在点A. 必要条件; B. 充分条件; C. 充要条件; D. 既非充分又非必要条件.

y2?z2?1所表示的曲面是（ ）. 10. 方程x?32A. 双曲抛物面 ; B.椭圆锥面 ; C. 双叶旋转双曲面 ; D. 单叶旋转双曲面 . 11.函数z?x3?6xy?y2?2 的驻点的个数是（ ）.

A.1 ; B.2 ; C.3 ; D. 4. 12.设D 由x2?y2?a2围成, 且

3??Da2?x2?y2dxdy?? 则a?（ ）.

3A.

3 ; B. 231; C. 23 ; D. 1. 413.平面x?2y?z?4?0 与直线

x?1y?2z?1??的位置关系是（ ）. 31?1A.垂直 ; B.平行但直线不在平面上 ; C. 不平行也不垂直 ; D. 直线在平面上 .

14.下列级数中绝对收敛的是（ ）.

(?1)nA. ? ; B.

nn?1?n! ; C. ?n3n?1?(?1)n?1 ; D. ?2nn?1??(?1)nn?1?1 . n

得分 评卷人

三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分）

x15. 求微分方程2y???y??y?2e的通解.

试卷第2页（共5页）

16. 求过两点M (8,-3,1)和 N（4，7，2），且垂直于平面3x?5y?7z?21的平面方程.

17. 设z?f(xy,x2?y2)，f具有一阶连续偏导数，求

?z?z及. ?x?y?z?2z18. 函数z?z(x,y) 由方程x?y?z?e所确定，求 . 及?x?x?yz

试卷第3页（共5页）

19. 求

??Dx2d?，其中D是由直线x?2,y?x与双曲线xy?1所围成的闭区域. 2y20. 计算I=

?(yL3?ycosx)dx?(x3?sinx)dy，其中L为沿x2?y2?1(x?0)由点

A(0,?1)到点B(0,1)的弧段.

(x?2)n21. 求?n 的收敛半径及收敛域. n2n?1?

试卷第4页（共5页）

四、应用题（本大题共1题，共12分）

22.设内接于半径为a的球且有最大体积的长方体.

五、证明题（本大题共1题，共5分） 得分 评卷人

得分 评卷人 23.设z?xf() ，其中f为可微函数，证明：x

2yx?z?z?y?2z ?x?yB卷答案及评分标准

一、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 1. 3； 2. ?2； 3. (x,y)x?y,x?y?1 4.

?222?x?1y?1z?1??； 123试卷第5页（共5页）

5.

? 4 0dx?xf(x,y)dy ； 6.

2 x? ? 0d?? 2 0?d??f(?cos?,?sin?,z)dz；

0 2 7.

4(22?1)； 8. -2 . 3二、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. D; 10.D; 11. B; 12. A; 13. D; 14. D.

三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分） 15. 解：所给微分方程对应的齐次方程的特征方程为 2r?r?1?0 解得 ：r1?21,r2??1 …………2分 2x2对应的齐次方程的通解为：Y?C1e?C2e?x …………3分

由于f(x)?2ex ??1不是特征方程的根， 故可设y??aex是原方程的一个特解，代入原方程得：

2ae?ae?ae?2e …………5分

消去e，有a?1，即y??e

所以原方程的通解为 y?Y?y??C1e?C2e?x?ex …………7分

16. 解：已知平面的法向量

x2xxxxxxn1=?3,5,?7?，又MN???4,10,1?

设所求平面的法向量n??A,B,C? …………2分

由于n?n1且n?MN

n?n1?MN所以

i?3j5k?71 …………4分

?410??75,25,50? …………6分

试卷第6页（共5页）

由于所求平面过点M (8,-3,1)，故所求平面方程为

75(x?8)?25(y?3)?50(z?1)?0

即3x?y?2z?23?0 …………7分 17.解：u?xy,v?x2?y2 …………1分

?z?z?u?z?v???x?u?x?v?x?z?z?y?2x?u?v …………4分

?z?z?u?z?v???y?u?y?v?y?z?z?x?2y?u?v …………7分

18.解：(可用公式法, 也可以直接方程两边同时对自变量求偏导方法) 方程两边同时对x求偏导,

?z?z?ez?x?x …………2分

?z1??x1?ez1? …………3分

方程两边同时对y求偏导,

1??z?z?ez?y?y

?z1??y1?ez所以 …………5分

?2z?z?z?1?()?()z?x?y?y?x?y1?e??e(1?ez)3z

…………7分

试卷第7页（共5页）

19. 解：由题意可知： D=?(x,y)1?x?2,??1??y?x? …………2分 x?

所以：

??D2 2 xxx2d???dx?12dy 1 yy2x 2?? 1 21x2(?)y x 1xdx …………5分

??(?x?x3)dx 1x214?(??x)242?194 …………7分

20. 解：

I???(D?Q?P?)d???0dyBA?x?y …………3分

??3??(x2?y2)d?D???3?2??2d???3d?01 …………5分

3???4 …………7分

21. 解：收敛半径R=limn??anan?1nn?lim2n??n?12n?1?lim2?n??n?2 n?1 …………3分

所以x?2?2，得0?x?4

试卷第8页（共5页）

当x?4时，原级数为

?n，发散 …………5分

n?1?n(?1)?n，发散 n?1?当x?0时，原级数为

所以，收敛域为(0,4) …………7分 四、应用题（本大题共1题，共12分）

22. 解：设球面方程x2?y2?z2?a2，?x,y,z?是内接长方体第一卦限内的一个顶点， 则长方体的长，宽，高分别为2x,2y,2z ，体积为V?2x?2y?2z?8xyz …………3分 F?x,y,z?=8xyz+?(x2?y2?z2?a2) …………4分

?Fx?8yz?2?x?0?F?8xz?2?y?0?y则? …………7分 ?Fz?8xy?2?z?02222??x?y?z?a?4yz??x?0?4xz??y?0?即?

4xy??z?0?2222??x?y?z?a解得x?y?z???4,???4a …………10分 32a时，体积最大. …………12分 3所以长方体的长，宽，高均为23. 证明：

?zyyy?2xf()?x2f?()?(?2) …………1分 ?xxxxyy?yf?( ) ?2xf() xx试卷第9页（共5页）

?zy1?x2f?()??yxx

?xf?(yx)故x?z?x?y?z?y?2x2f(yx)?xyf?(yx)?xyf?(yx) =2x2f(yx)?2z

即x?z?x?y?z?y?2z 证毕

试卷第10页（共5页）

…………3分

5分

…………

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/459v.html