高中数学巧构造，妙解题

巧构造 妙解题

1. 直接构造 例1. 求函数f(x)?3?sinx的值域。

2?cosx3?sinx可以看作定点（2，3）与动点（-cosx，sinx）连线的斜率，

2?cosx故f(x)的值域即为斜率的最大、最小值。

分析：由于f(x)?解：令???cosx，??sinx，则?2??2?1表示单位圆

3???k表示连接定点P（2，3）与单位圆上任一点（?，?）所得直线2????k??(3?2k)?0的斜率。

f(x)?显然该直线与圆相切时，k取得最值，此时，圆心（0，0）到这条直线的距离为1，即

|3?2k|1?k2?1

所以k?2?23 3故2?2323 ?f(x)?2?33例2. 已知三条不同的直线xsin3??ysin??a，xsin3??ysin??a，

xsin3??ysin??a共点，求sin??sin??sin?的值。

分析：由条件知sin?，sin?，sin?为某一元方程的根，于是想法构造出这个一元方程，然后用韦达定理求值。

解：设（m，n）是三条直线的交点，则可构造方程msin3??nsin??a，即

4msin3??(n?3m)sin??a?0（*）

由条件知，sin?，sin?，sin?均为关于sin?的一元三次方程（*）的根。

由韦达定理知sin??sin??sin??0 2. 由条件入手构造

例3. 已知实数x，y，z满足x?6?y，z2?xy?9，求证：x?y

分析：由已知得x?y?6，xy?z2?9，以x，y为根构造一元二次方程，再由判别式非负证得结论。

解：构造一元二次方程p2?6p?z2?9?0 其中x，y为方程的两实根 所以??36?4(z2?9)?0

即z2?9?9

z2?0，z?0

故△＝0，即x?y 3. 由结论入手构造

例4. 求证：若n?3，n?N，则

11111 ??????333312345n分析：待证式的左边求和的分母是三次式，为降低分母次数，构造一个恒不等式。

11111??[?] k3(k?1)k(k?1)2(k?1)kk(k?1)所以左边?111 ????2?3?43?4?5(n?1)n(n?1)1111111?[???????] 22?33?43?44?5(n?1)nn(n?1)1111?[?]? 22?3n(n?1)12故原式得证。

例5. 已知实数x，y满足0?x?y?z??2，求证：

?2?2sinxcosy?2sinycosz?sin2x?sin2y?sin2z

分析：要证原式成立，即证

?4?sinxcosy?sinycosz?sinxcosx?sinycosy?sinzcosz

即证

?4?sinx(cosx?cosy)?siny(cosy?cosz)?sinzcosz

由三角函数线知可构造下图，此时不等式右边为图中三个矩形的面积之和S1?S2?S3，而

1?单位圆的面积为，所以 44

?4?sinx(cosx?cosy)?siny(cosy?cosz)?sinzcosz

故结论成立。

巧用函数单调性妙解数学题

函数是高中数学的重要内容，函数的单调性又是函数的重要性质。在求解某些数学问题时，若能根据题目的结构特征，构造出一个适当的单调函数，往往能化难为易，化繁为简，获得巧解和妙解。下面举例说明。

一. 巧求代数式的值

例1. 已知(x?2y)?x?2x?2y?0，求(x?y)55552007的值。

解：已知条件可化为(x?2y)?(x?2y)?(?x)?(?x)

5设f(x)?x?x，则f(x?2y)?f(?x)

5而f(x)?x?x在R上是增函数 则有x?2y??x，即x?y?0 所以(x?y)2007?0

点评：本题关键是将条件转化为(x?2y)?(x?2y)?(?x)?(?x)，再构造相应函数f(x)?x?x，利用单调性求解。

拓展练习：已知方程x?3x?3的根为α，方程x?log3x?3的根为β，求α+β的值。（答案：????3）

二. 妙解方程 例2. 解方程4?7?xx55565x

解：易见x=2是方程的一个解

?4??7?原方程可化为??????1

?65??65??4??4?而f(x)??（因为????(0，1)）

?65??65??7?在R上是减函数，g(x)???同样在R上是减函数

?65??4??7??因此f(x)?g(x)?????在R上是减函数

?65??65??4??7??4??7?由此知：当x?2时，????????????1

?65??65??65??65??4??7??4??7???当x?2时，??????????1

?65??65??65??65?这说明x?2与x?2的数都不是方程的解，从而原方程仅有唯一解x?2。 拓展训练：解方程5?1?2(2?2)。（答：x?2）

点评：解该类型题有两大步骤：首先通过观察找出其特解x0，然后等价转化为

xxxxx22xx22xxxxxxxf(x)?a(a为常数)的形式，最后根据f(x)的单调性得出原方程的解的结论。

三. 妙求函数的值域

cos2x?6cosx?10例3. 求函数y?(0?x??)的值域。

3?cosx解：令cosx?t，则

y?f(t)?t?3?1 t?3因为0?x??，所以?1?t?1 而f(t)在t??1，1内递增

??所以f(?1)?f(t)?f(1)

又f(?1)?517 ，f(1)?24而

517?f(x)? 24?5?217?为所求原函数的值域。 ?4?所以?，四. 巧解不等式 例4. 解不等式log5(1?x)?log16x

5t解：设t?log16x，则x?16，x?4 原不等式可化为log5(1?4t)?t

?1??4?tt则1?4?5，即??????1

?5??5??1??4?设f(t)??????

?5??5?显然f(t)是R上的减函数，且1?f(1)，那么不等式

tttt即f(t)?f(1)?t?1

因此有log16x?1，解得0?x?16

点评：解不等式其实质是研究相应函数的零点，正负值问题。用函数观点来处理此类问题，不仅可优化解题过程，且能让我们迅速获得解题途径。

拓展训练：解不等式(5x?3)?x?6x?3?0。（答：x??五. 巧证不等式

331） 2am?n?bm?nam?bman?bn例5. 设a?0，b?0，m?0，n?0，求证。 ?2222am?n?bm?nam?bman?bn证明：当m，n中至少有一个为0时，则有，结论成?2222立。

设m?0，n?0

因为y?x(??0)在(0，??)上单调递增

所以am?bm与a?b必同号，或同为0（当且仅当a?b时） 从而(a?b)(a?b)?0

mmnn?nn?am?n?bm?n?ambn?anbmam?n?bm?nam?bman?bn

??2222因此，原不等式成立（当且仅当a?b或m?0，或n?0时取“=”号）。 点评：原不等式等价于a?m?n?bm?n?ambn?anbm?(am?bm)(an?bn)?0，这可由

幂函数y?x(??0)在(0，??)上递增而得到。

sin2?cos2?本题可拓展：令m?sin?，n?cos?，则a?b?a六. 巧解恒成立问题

22b?acos?bsin22?。

1?2x?3xa例6. 已知函数f(x)?lg对区间??，1上的一切x值恒有意义，求a的

3??取值范围。

1?2x?3xa解：依题意，?0

3对??，1上任意x的值恒成立

xx???1??2?整理为a???????对??，1上任意x的值恒成立。

?3??3????1??2?设g(x)???????，只需a?g(x)max

?3??3?而g(x)在??，1上是增函数

xx??则g(x)max?g(1)??1 所以a??1 七. 巧建不等关系

例7. 给定抛物线C：y?4x，F是C的焦点，过点F的直线l与C相交于A，B两

2??点，设FB??AF。若??4，9，求l在y轴上的截距的变化范围。

??解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)

??由FB??AF，得

?x2?1??(1?x1)??y2???y12??y1?4x1又?2??y2?4x2(1)(2)(3)(4)

联立（1）（2）（3）（4），解得x2?? 所以B(?，2?)或(?，?2?)

所以l的方程为(??1)y?2?(x?1)或(??1)y??2?(x?1)

当y?4，9时，l在y轴的截距为

??2??2?或 ??1??1令f(?)?2?，则 ??1??1?1???2???0

f'(?)???(??1)2(??1)2所以f(?)在［4，9］上是减函数

故

32?44?2?3??或???? 4??133??14所以直线l在y轴上截距的取值范围是：

3??34??4?，???，? ??4??43??3八. 巧解数列问题

例8. 已知数列?bn?是等差数列，b1?1，b1?b2???b10?145。 （1）求数列?bn?的通项公式；

（2）设数列?an?的通项an?loga(1?1)(a?0，且a?1)，Sn是数列?an?的前nbn项和，试比较Sn与logabn?1的大小，并证明你的结论。

解：（1）由b1?b2???b10?145，b1?1 有10b1?得d?3

1310?9d?145 2因此bn?b1?(n?1)3?3n?2

（2）Sn?loga(1?1)?loga?1?????loga?1???1?4???1?? 3n?2????loga?(1?1)?1???1??1?????1?? 4??3n?2???1logabn?1?loga33n?1 31??1??(1?1)?1????1???4??3n?2?设f(n)?（n为正整数） 33n?11??1??1?3?(1?1)?1????1???1??3n?1?f(n?1)4??3n?2??3n?1?则?1??1?3f(n)?(1?1)?1????1??3n?4 ?4??3n?2??327n3?54n2?36n?8?127n3?54n2?27n?4所以f(n?1)?f(n)

即f(n)在n?N上是递增的

*从而f(n)?f(1)?2?1 341?3*??3n?1(n?N) 3n?2?即(1?1)?1????1???1?4???所以当a?1时，Sn?当0?a?1时，Sn?1logabn?1 31logabn?1 3巧用函数思想解数列题

从函数观点看，数列是定义域为正整数集或它的有限子集{1，2，3，?，n}上的函数，

当自变量从小到大取值时相应的一列函数值，因此，用函数思想解数列题，思路自然，方法简捷。

1. 利用周期性解题

例1. 在数列{an}中，已知a1?1，a2?5，an?2?an?1?an(n?N*)，则a2002等于（ ） A. －1

B. －5

C. 1

D. 5

解：因为an?2?an?1?an(n?N*) 所以an?3?an?2?an?1 两式相加，得an?3??an 从而有an?6??an?3?an

即{an}是周期为6的数列，所以a2002?a6?333?4?a4??a1??1 选A

2. 利用单调性解题

1111例2. 设n?N*，且n>1，求证(1?)(1?)(1?)?(1?)?3572n?12n?1 21111(1?)(1?)(1?)?(1?)3572n?1证明：令an?(n?2,3,?)

2n?11111(1?)(1?)?(1?)(1?)352n?12n?1 ?2n?3(1?1)2n?12n?1 2n?3?2(n?1)4(n?1)?12则an?1于是

an?1?an?2n?2(2n?1)(2n?3)?1

所以an?1?an

即an是n的单调递增函数，其中n＝2，3，4，?

直线M1M2的方程为y?y1?y2xx?x2??0(x?1)。 2y02即x0x?y0y?x0(x1?x2)y0(y1?y2) （*） ?2222又由命题1得，PM1方程为x1x?y1y?r,PM2方程为x2x?y2y?r。

2??x1x0?y1y0?r,由P?PM1,P?PM2，可得? 2??x2x0?y2y0?r?x0(x1?x2)y0(y1?y2)??r2

222代入（*）式得，切点弦M1M2所在直线方程为x0x?y0y?r。

对同一个问题从不同的角度去摸索和思考，这对提高我们分析问题和解决问题的能力是

很有好处的。

求圆锥曲线离心率“四法”

离心率是圆锥曲线中的一个重要的几何性质，在高考中频繁出现，下面给同学们介绍常用的四种解法。

一. 直接求出a、c，求解e

已知标准方程或a、c易求时，可利用离心率公式e?c来求解。 a例1. 过双曲线M：x?2y2b2?1(b?0)的左顶点A作斜率为1的直线l，若l与双曲线

M的两条渐近线分别相交于点B、C，且|AB|=|BC|，则双曲线M的离心率是（ ）

A. 10

B.

5 C.

10 3 D.

5 2分析：这里的a?1，c?b2?1，故关键是求出b2，即可利用定义求解。

解：易知A（-1，0），则直线l的方程为y?x?1。直线与两条渐近线y??bx和y?bx的交点分别为B(?故有e?1b1b,)、C(,)，又|AB|=|BC|，可解得b2?9，则c?10b?1b?1b?1b?1c?10，从而选A。 a

二. 变用公式，整体求出e

x2y24例2. 已知双曲线2?2?1(a?0,b?0)的一条渐近线方程为y?x，则双曲线的离

3ab心率为（ ）

A.

5 3 B.

4 3 C.

5 4 D.

3 2分析：本题已知

b4?，不能直接求出a、c，可用整体代入套用公式。 a3ca2?b2a2?b2b22??1??1?k解：由e??（其中k为渐近线的斜率）。

aaa2a2这里

c45b4?，则e??1?()2?，从而选A。

a33a3三. 统一定义法

由圆锥曲线的统一定义（或称第二定义）知离心率e是动点到焦点的距离与相应准线的

距离比，特别适用于条件含有焦半径的圆锥曲线问题。

例3. 在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为（ ）

A.

2 B.

2 2 C.

1 2 D.

2 4解：由过焦点且垂直于长轴的弦又称为通径，设焦点为F，则MF?x轴，知|MF|是通径的一半，则有|MF|?2|MF|2。由圆锥曲线统一定义，得离心率e?，从而选B。 ?2d2四. 构造a、c的齐次式，解出e

根据题设条件，借助a、b、c之间的关系，构造出a、c的齐次式，进而得到关于e的

方程，通过解方程得出离心率e的值。

x2y2例4. 已知F1、F2是双曲线2?2?1(a?0,b?0)的两焦点，以线段F1F2为边作正

ab?MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ）

A. 4?23

B.

3?1 C.

3?1 2 D. 3?1

解：如图，设|OF则点P的横坐标为?1|?c,MF1的中点为P，由焦半径公式|PF1|??exp?a，即c??c1，由|PF1|?|F1F2|?c，

22cc?(?)?a，得c2?2a2?2ac?0，有a2，故选D。 e2?2e?2?0，解得e?1?3,e?1?3（舍去）

练一练

设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若?F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ）

A.

2 2 B.

2?1 2 C. 2?2 D. 2?1

参考答案：D

三角函数求最值的归类研究

求函数的最大值与最小值是高中数学中的重要内容，也是高考中的常见题型，本文对三角函数的求最值问题进行归类研究，供同学们借鉴。

一、化成y?Asin(?x??)的形式

例1. 在直角三角形中，两锐角为A和B，求sinAsinB的最大值。 解：sinAsinB?sinAsin(由0?A??2?A)?sinAcosA?1sin2A 21。 2?2，得0?2A??，则当A??4时，sinAsinB有最大值

例2. 求函数f(x)?cosx?2sinxcosx?sinx在?0，?上的最大值和最小值。 解：

44????2?f(x)?cos4x?2sinxcosx?sin4x?(cosx?sinx)(cosx?sinx)?sin2x2222

?cos2x?sin2x??2sin(2x??

4)由0?x??2，得??4?2x??4?3?2?，??sin(2x?)?1， 424得?2??2sin(2x??4)?1，

3?时，f(x)min??2 8则当x=0时，f(x)max?1；当x?［点评］这类题目解决的思路是把问题化归为f(x)?Asin(?x??)?k的形式，一般而言，f(x)max?|A|?k，f(x)min??|A|?k，但若附加了x的取值范围，最好的方法是通过图象加以解决。

例2中，令u?2x??4，画出sinu在????3??， ，?上的图象（如图1）

?44?

图1

不难看出?22??sin(2x?)?1。 ?sinu?1，即?242应注意此题容易把两个边界的函数值f()和f(0)误认为是最大值和最小值。

?2二、形如y?ccosx?d的形式

asinx?b例3. 求函数y?sinx?1的最大值和最小值。

cosx?2解：由已知得ycosx?2y?sinx?1，

2即sinx?ycosx?1?2y，y?1?sin(x??)?1?2y，

所以sin(x??)?1?2yy?12

因|sin(x??)|?1，1?2yy?12?1，

4， 3即3y?4y?0，解得0?y?故ymax?24，ymin?0 3［点评］上述利用正（余）弦函数的有界性，转化为以函数y为主元的不等式，是解决这类问题的最佳方法。虽然本题可以使用万能公式，也可以利用圆的参数方程和斜率公式去求解，但都不如上述解法简单易行。有兴趣的同学不妨试一试其他解法。

三、形如y?csinx?d的形式

asinx?b3?2sinx的最大值和最小值。

sinx?2例4. 求函数y?解：y?3?2sinx2sinx?32(sinx?2)?11???????2

sinx?2sinx?2sinx?2sinx?211??，

sinx?23由?1?sinx?1，得?3?sinx?2??1，?1?1151???1，即????2??1 3sinx?23sinx?25?ymax??1，ymin??

3［点评］此题是利用了分离分母的方法求解的。若用例3的解法同样可求，有兴趣的同学不妨试一下，并作解法对比。

四、形如y?sinx?a的形式 sinx

例5. 求y?sinx?2(0?x??)的最小值。 sinx2(0?u?1)。 u解：设u?sinx，则y?u?从图2中可以看到y?u?来证明这一结论）。

2在区间(0，1]上是减函数（也可以利用函数的单调性定义u

?当u?1时，ymin?1?2?3 1［点评］若由sinx?22?2sinx??22，可得最小值22是错误的。 sinxsinx这是因为当等号成立时，sinx?即sinx?2， sinx1(0?x??)就可以用不sinx2?1是不可能的。若把此题改为y?sinx?等式法求解了，同学们不妨琢磨一下。

五、利用sin?与cos?之间的关系

例6. 求函数y?sinx?cosx?sinxcosx的最大值和最小值。

解：设t?sinx?cosx?2sin(x?)，

4?1?t2则?2?t?2，且sinxcosx?。

21?t21??(t?1)2?1， 由于y?t?22故当t=1时，ymax?1；当t??2时，ymin??2?1。 2［点评］sin??cos?，sin??cos?，sin?cos?这三者之间有着相互制约，不可分割的密切联系。sin?cos?是纽带，三者之间知其一，可求其二。令t?sinx?cosx换元后依题意可灵活使用配方法、重要不等式、函数的单调性等方法来求函数的最值。应该注意的是求三角函数的最值方法有多种，像配方法、不等式法等，这里不再赘述，有兴趣的同学不妨自己探讨一下。

练一练：

1. 求函数y?2sinx(sinx?cosx)的最大值和最小值。

22. 求函数y?3?cosx?sinx的最大值和最小值。

3. 已知x???????，?，求函数y?(sinx?1)(cosx?1)的最大值和最小值。 ?62?2?1，ymin?1?2

2答案：1. ymax?（提示：由y?2sinx?2sinxcosx?1?cos2x?sin2x?2. ymax?4，ymin?2sin(2x?)?1）

4?7 422（提示：由y?3?cosx?(1?cosx)?cosx?cosx?2?(cosx?)?1227） 43. ymax?3?222?3，ymin? 242（提示：令t?sinx?cosx，则sin2x?t?1。

3???2x???，??，??t2?1?1，

2?3?解得

3?1?t?2。 2t2?11?t?1?(t?1)2，容易求解） 于是y?sinxcosx?sinx?cosx?1?22三角问题的非三角化解题策略

对待三角问题，常规思路是运用三角知识及公式顺水推舟式的解析，自然而合理。其实，三角问题与相关知识的联系是十分密切的，在解题时，若能激活联想，发散思维，不少三角问题的解决途径是比较新奇和有趣的，正所谓三角问题的非三角化解题策略。这里剖析数例，以作欣赏。

一. 平几化策略

发挥平面图形的功能，以平面图形为载体，挖掘三角背景下的问题实质，使三角问题在平面图形的直观导引下得到解决。

例1. 已知△ABC的三个内角适合sin2A=sinB（sinB+sinC），求证：∠A=2∠B。

证明：如图1，联想平几知识中的切割线定理求解。延长CA到D，使AD=AB=c， 则CD=b+c。

由于sin2A=sinB（sinB+sinC）， 所以a2=b（b+c）， 即BC2=AC2CD，

所以BC切过A、B、D的圆于点B， 所以∠ABC=∠ADB。 因为AB=AD， 所以∠ABD=∠ADB，

所以∠CAB=∠ABD+∠ADB=2∠ABC，得证。 二. 对称化策略

利用互余三角函数间的特殊关系，以问题结构特征为出发点，通过构造“相似”结构式子，建立对称关系，开避解题坦途。

例2求cos210°+cos250°-sin40°sin80°的值。 解：设x=cos210°+cos250°-sin40°sin80°，

y=sin210°+sin250°-cos40°cos80°， 则x+y=2-cos40°；

x?y?cos20??cos100????1?cos40?。 21 2联立解得x?3，即为所求结果。 4三. 线圆化策略

直线与圆是数学中的平常而重要的几何图形。从抽象的数学式子里提炼出线圆关系，使问题及字母讨论在直观的几何显示下不解自知。

例3 设方程sin2x-sin2x=2cos2x+m有实数解，试求m的取值范围。 解：原方程变形为： 3cos2x-2sin2x+2m+1=0。

观察知：点（cos2x，sin2x）在直线3x-2y+2m+1=0上，而点又在单位圆x2+y2=1上，所以这个点是直线与圆的交点。原方程有实数解，就是直线与圆有交点，所以根据圆心到直线的距离不大于半径关系得：

2m?13?(?2)22≤1。

整理得m2+m-3≤0， 解得

?1?13?1?13。 ≤m≤22四. 轨迹化策略

一图值千言。依题意构点挖掘点的轨迹，发挥“区域”优势，使隐藏的“关节”得以显

现，利用解析几何辅助问题获解。

?asin??bcos?≥0例4. 设a、b＞0，且变量θ满足不等式组?，求sinθ的最大值。

?acos??bsin?≥0?x2?y2?1，?解设x=cosθ，y=sinθ，则不等式组等价于?bx?ay≥0，

?ax?by≥0。?原不等式呈现出鲜明的几何意义：动点（x，y）的运动区域是单位圆与二直线所围成的阴影区域。由此得sinθ的最大值就是阴影区域中的最高点的纵坐标，即（sinθ）

max=yM=

aa?b22

五. 曲线化策略

有些三角问题，抓住结构特征，依托曲线方程，巧妙地建构圆锥曲线模型，使问题在曲线性质的帮助下简捷求解。

cos4?sin4??例5 若α、β为锐角，且，求证α+β=。 ??1222sin?cos?解：构造A（cos2α，sin2α），B（sin2β，cos2β）两点，则A、B两点均在椭圆

y2x2??1上。根据圆锥曲线的切线知识知，经过点B的切线方程为x+y=1。显然sin2?cos2?点A的坐标适合切线方程，所以点A也是切点，从而知A、B两点为同一点。

即：cos2α=sin2β，sin2α=cos2β， 所以cosα=sinβ=cos（

?。 ?β）

2?。 2由题设条件α、β为锐角，不难得α+β=

一类求三角形面积的极值问题的解题思路与方法

问题：过点P?2,3?的直线与x轴、y轴的正半轴分别相交于点A,B，求?ABO的

面积最小值，以及此时所对应的直线方程。

解答这类问题的思路是：建立函数关系，利用有关函数的基本理论以及不等式的知识，求出目标函数的最值。

在研究函数的最值时，要注意函数的定义域对函数值的限制；在运用均值不等式求最值时，要注意取等号的条件是否具备。构造一元二次方程，利用一元二次方程有实数根时，判别式为非负数，求最值。

解答这类问题的常用解题方法如下：

一、 利用三角函数的有界性求解

解法1：设过点P?2,3?的直线方程为：?xay23?1，则??1，于是可设bab

a?23，。 b?cos2?sin2?记?ABO的面积为S，则S?3121 ?ab=22sin?cos2??sin2??2因为0

2此时，a?2cos245??4，b?xy??1 463?6

sin245?所求的直线方程为：

评注：若正实数m,n满足m?n?1，我们可以设m?sin2?，n?cos2?，把二

元转化为关于?的一元问题，可借助三角函数的有界性求解。

二、利用均值不等式求解

解法2：设过点P?2,3?的直线方程为：y?3?k?x?2?，

直线与x轴、y轴的正半轴分别相交于点A?2???3?,0?,B?0,3?2k?. 由图知k?0 k?记?ABO的面积为S，则S?1?3?2????3?2k? 2?k?即S?1?9??12?4k?? 2?k?因为k?0，所以，?4k?0，?利用均值不等式得：

9?0。 k9?9?(?4k)?(?)?2??4k?????12。

k?k?所以S?1?9?1?12?4k????12?12??12 2?k?2当且仅当?4k??93，即k??时?ABO的面积有最小值，此时所对应的直线方程为： k2y?3??3?x?2??3x?2y?122

评注： 在利用均值不等式解题时，需要对目标函数进行恒等变形。变形原则是能

使产生的几个正数的积（或和）为定值。

解法3：设过点P?2,3?的直线方程为：?xay232b ?1，则??1，于是a?babb?3因为直线与x轴、y轴的正半轴相交，则a?0,b?0。

12bb291记?ABO的面积为S，则S?ab=??b??b?3??6

2b?3b?3b?32因为：a?2b>0,b?0.所以b?3. b?399?2?b?3???6。

b?3b?3于是：b?3?所以：S=b?3?9?6?12。 b?3xay23则??1，于是ab?3a?2b ?1，

bab解法4：设过点P?2,3?的直线方程为：?因为直线与x轴、y轴的正半轴相交，所以 a?0,b?0。利用均值不等式得：

ab?3a?2b?26ab，abab?26?0，而ab?0，所以ab?24。

记?ABO的面积为S，则S???1ab?12 2当且仅当3a?2b且ab?24时，a?4,b?6。面积有最小值S?12。 所求的直线方程为：

xy??1 46评注： 此题利用均值不等式，产生一个新的不等式，解这个不等式求出ab的最小

值，从而获解。

三、判别式法

解法5：设过点P?2,3?的直线方程为：y?3?k?x?2?，

直线与x轴、y轴的正半轴分别相交于点A?2???3?,0?,B?0,3?2k?. 由图知k?0 k?记?ABO的面积为S，则S?21?3??2???3?2k? 2?k?化简得：4k??2s?12?k?9?0 （1）

将上式视为关于k的一元二次方程，因为k?R，所以，??0。 即?2s?12??4?4?9?0?S?12或S?0(舍去）。

2面积的最小值是：S?12，代入（1）得：k??此时所对应的直线方程为：y?3??3 23?x?2??3x?2y?12 2评注：上述方法就是构造一元二次方程，利用一元二次方程有实数根时，判别式为

非负数，求解。

解法6：设过点P?2,3?的直线方程为：?xay232b ?1，则??1，于是a?babb?3因为直线与x轴、y轴的正半轴相交，则a?0,b?0。

12bb21记?ABO的面积为S，则S?ab=? ?b?2b?3b?32化简得：b?Sb?3S?0 （2）

将上式视为关于b的一元二次方程，因为b?R，所以，??0。 即(?S)?4?3S?0?S?12。因为?S?0?

22面积的最小值是：S?12，代入（2）得：b?6，则a?所求的直线方程为：

2b=4 b?3xy??1 46评注：此题还可以通过消去b，关于a的一元二次方程，利用上述方法求解。

一类应用题的统一解法

有关应用题中最值问题，在实际条件的约束下，不能仅靠使用重要不等式求出最值，需要借助比较法，把问题转化为与端点值的大小关系问题。

例1 某种印刷品，单面印刷，其版面（如图中阴影部分）排成矩形，版面面积为A，它的左右两边都要留宽为a的空白，上下两边都要留有宽为b的空白，且印刷品左右长度不超过定值l。问：如何选择尺寸（纸张也是矩形），才能使印刷品所用纸张面积最小？从而使印刷的总用纸量最小。

图1

解：设版面左、右长为x，上、下宽为y

则有A?xy（x>0，y>0） 设每张印刷品所用纸张面积为S

则S?(x?2a)(y?2b)?(A?4ab)?(2bx?2a?A)（0?x?l?2a） x（1）当2a?aA?l时， b2bx?2a?A?4abA， xA时取“=”号，解得x?xaA，y?bbA a当且仅当2bx?2a?即此时左右长为2a?aAbA，上下宽为2b? ba（2）当2a?aA?l时 baA b因为0?x?l?2a?所以(l?2a)?x?0

且bx?(l?2a)?b?aAaA??aA bb所以[b(l?2a)?2AaA]?(bx?) l?2axb(l?2a)x?aA?0

(l?2a)x?[(l?2a)?x]?当x?l?2a时取等号，即选择左、右尺寸为l，上、下尺寸为2b?A用纸量最小。 l?2a综上所述，当2a?aAaAbA?l时，选择左右尺寸为2a?时，上、下尺寸为2b+; bba当2a?aAA?l时，选择左、右尺寸为l，上、下尺寸为2b?所用纸量最小。 bl?2a例2 一船由甲地逆水匀速行驶至乙地，甲、乙两地相距s（千米），水速为常量p（千

米/时），船在静水中的最大速度为q（千米/时）（q>p）。已知船每小时燃料费用（以元为单位）与船在静水中速度v（千米/时）的平方成正比，比例系数为k。

（I）把全程燃料费用y（元）表示为静水中速度v（千米/时）的函数，并指出这个函数的定义域；

（II）为了使全程燃料费用最小，船的实际前进速度应为多少？

解：（I）依题意知船由甲地匀速行驶至乙地所用的时间为

s，全程燃料费用为：v?py?kv2?s，故所求函数及其定义域为： v?psv2y?kv??ks?，v?(p，q]

v?pv?p2（II）由题意知k、s、v、p、q均为正数，且v>p，故有

p2y?ks[(v?p)??2p] v?p?ks(2p?2p)?4kspp2当且仅当v?p?，即v?2p时上式取等号

v?p若2p?q，则当v?2p时，全程燃料费用y最小。 若2p>q，当v?(p，q]时，有

v2q2ks??ks?v?pq?p

(q?v)(pq?pv?qv)?ks?(v?p)(q?p)因p?v?q?2p，故v?p?0，q?p?0，q?v?0 又pq?pv?qv?pv?pv?qv?(2p?q)v?0

v2q2所以ks? ?ks?v?pq?p当且仅当v=q时等号成立，即当v=q时，全程燃料费用最小。

综上知，为使全程燃料费用最小，当2p?q时，船的实际前进速度为p；当2p>q时，

船的实际前进速度应为q?p。

例3 甲、乙两地相距s千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/时。已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v（千米/时）的平方成正比，比例系数为b；固定部分为a元。

（I）把全程运输成本y（元）表示为速度v（千米/时）的函数，并指出这个函数的定义域；

（II）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？ 解：（I）依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为

s，全程运输成本为 vssay?a??bv2??s(?bv)

vvv故所求函数及其定义域为：

ay?s?(?bv)，v?(0，v]

v（II）依题意知s，a，b，v都为正数，故有s(a?bv)?2sab v当且仅当

a?bv，即v?va时上式中等号成立 b若

a?c，则当v?ba时上式中等号成立 b若

a?c，当v?(0，c]时，有 baas(?bv)?s(?bc) vcaa?s[(?)?(bv?bc)]vc

s?(c?v)(a?bcv)vc因为c?v?0，且a?bc，故有a?bcv?a?bc2?0 所以s(最小。

2aa?bv)?s(?bc)，且仅当v=c时等号成立。也即当v=c时，全程运输成本yvc综上知，为使全程运输成本y最小，当时行驶速度应为v=c。

ababab；当?c时行驶速度应为v??cbbb一招通解“二面角”和“点到平面的距离”

求“二面角”与“点到平面的距离”问题一直是高考命题的热点，而这两方面的题目

又是很多学生感到头痛的。事实上，这两类问题有着较强的相关性，下面给出这两类问题的一个“统一”求解公式，让你一招通解两类问题，

定理：如下图，若锐二面角??CD??的大小为?，点A为平面?内一点，若点A到二面角棱CD的距离为AB?m，点A到平面?的距离AH=d，则有d?m?sin?。

说明：d?m?sin?中含有3个参数，已知其中任意2个可求第3个值。其中?是指二面角??CD??的大小，d表示点A到平面?的距离，m表示点A到二面角??CD??棱CD的距离。值得指出的是：d?m?sin?可用来求解点到平面的距离，也可用于求解相关的二面角大小问题。其优点在于应用它并不强求作出经过点A的二面角??CD??的平．．．面角∠ABH，而只需已知点A到二面角??CD??棱的距离，与二面角大小?，即可求解点A到平面?的距离，或已知两种“距离”即可求二面角的大小?。这样便省去了许多作图过程与几何逻辑论证，简缩了解题过程。还要注意，当已知点A到平面?的距离d与点A到二面角棱CD的距离m求解二面角的大小时，若所求二面角为锐二面角，则有

??arcsindd；若所求二面角为钝二面角，则????arcsin mm下面举例说明该公式在解题中的应用。

例1. （2004年全国卷I理科20题）如下图，已知四棱锥P-ABCD，PB⊥AD，侧面PAD

为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120°。

（1）求点P到平面ABCD的距离；

（2）求面APB与面CPB所成二面角的大小。

分析：如上图，作PO⊥平面ABCD，垂足为O，即PO为点P到平面ABCD距离。第（1）问要求解距离PO，只需求出点P到二面角P-AD-O的棱AD的距离，及二面角P-AD-O的大小即可。第（2）问要求解二面角A-PB-C的大小，只需求出点C到二面角A-PB-C棱PB的距离及点C到半平面APB的距离即可。

解：（1）如上图，取AD的中点E，连结PE。由题意，PE⊥AD，即m?PE?3。

?又二面角P-AD-O与二面角P-AD-B互补，所以二面角P-AD-O的大小为60°，即?60?。于是由公式d?m?sin?知：点P到平面ABCD的距离为

PO?m?sin??3?sin60??3。 2（2）设所求二面角A-PB-C的大小为?，点C到平面PAB的距离为d。

连接BE，则BE⊥AD（三垂线定理），AD⊥平面PEB，因为AD∥BC，所以BC⊥平面PEB，BC⊥PB，即点C到二面角棱PB的距离为2，即m=2。

又因为PE=BE=3，∠PEB=120°，所以在ΔPEB中，由余弦定理可求得PB=3。 取PB的中点F，连结AF，因为PA=AB=2，则AF⊥PB，BF?AF?AB2?BF2?13PB?，所以22137，即S?PAB?PB?AF?2243。 27。又易求得S?ABC?3，点P到平

面ABC的距离：PO?根据等体积法VP?ABC?VC?PAB，有

11?PO?S?ABC??d?S?PAB， 33即

22133，代入公式 ?3?d?7，所以d?724d21。 ?m7d?m?sin?,sin??又由于面PBC⊥面PEB，所以所求二面角A-PB-C为钝二面角，所以????arcsind m点评：对于这个高考试题，许多考生反映第（2）问求解困难，失分较为严重。究其原因有二：一是不能正确地作出二面角的平面角；二是在求二面角的平面角时存在计算障碍。

利用公式d?m?sin?求解，省去了许多繁难的作图过程与逻辑论证，其优势显而易见。 例2. 已知ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AB、AD的中点，GC垂直于ABCD所在的平面，且GC=2，求点B到平面EFG的距离。

分析：欲求点B到平面GEF的距离，直接求解较困难。为此我们令平面GEF作为某二面角的一个半平面，当然二面角的另一个半平面即为平面BEF，为此我们只需找到该二面角的平面角及点B到二面角棱EF的距离即可。

解：如下图，过B作BP⊥EF，交EF的延长线于P，连结AC交EF于H，连结GH，易证∠GHC就是二面角G-EF-C的平面角。

又BP?AH?2，这就是点B到二面角C-EF-G棱EF的距离m?2

因为GC=2，AC?42，所以CH?32，GH=22，在RtΔGCH中，

sin?GHC?222，于是由d?m?sin?得所求点B到平面GEF的距离：

d?BP?sin?GHC?2?222?211。 11例3. 已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的侧面A1ACC1与底面ABC垂直，∠ABC=90°，BC=2，AC?22，且AA1⊥A1C，AA1=A1C。求顶点C与侧面A1ABB1的距离。 分析：如下图所示，解答好本题的关键是找到底面ABC的垂线A1D，找到了底面的垂线A1D，就可根据三垂线定理，作出侧面A1ABB1与底面ABC所成二面角的平面角A1DE，求出二面角A1-AB-C的平面角大小，就可依据公式d?m?sin?找到点D到平面A1ABB1的距离d，进而根据D为AC中点，也就不难求出点C到侧面A1ABB1的距离。

解：如上图，在侧面A1ACC1内，作A1D⊥AC，垂足为D，因为AA1=A1C，所以D为AC的中点。又因为AA1⊥A1C，AC?23，A1D=AD=3。

因为侧面A1ACC1⊥底面ABC，其交线为AC，所以A1D⊥面ABC。

过D作DE⊥AB，垂足为E，连接A1E，则由A1D⊥面ABC，得A1E⊥AB（三垂线定理），所以∠A1ED为侧面A1ABB1与面ABC所成二面角的平面角。

由已知，AB⊥BC，得ED∥BC，又D是AC的中点，BC=2，所以DE=1，

tan?A1ED?A1D?3，故∠A1ED=60°。 DE于是由公式d?m?sin?知，点D到侧面A1ABB1的距离 d?DE?sin60??1?33。 ?22又点D为AC的中点，故而点C到侧面A1ABB1的距离为点D到侧面A1ABB1距离的2倍，于是知点C到侧面A1ABB1的距离为3。

点评：本例先通过求侧面A1ABB1与面ABC所成二面角的大小，进而利用公式

d?m?sin?求出点D到侧面A1ABB1的距离，再利用中点D的性质巧妙地求得C到侧面A1ABB1的距离，充分体现了转化与化归的思想方法在解题中的灵活运用。

隐含在不等式中的最值问题

这是求函数最值中比较复杂的一类问题，它往往与恒成立问题有联系，换元与整体思维在解决问题的过程中起主导作用，通过对以下两个问题的探讨，我们可以从中发现解决这类题目的方法规律。

例1. 若不等式22x?2x?1?t?1?0对一切实数x都成立，求实数t的最大值。 解：原不等式可化为t?(2?1)?2 令a?2，f(a)?(a?1)?2(a?0) 则f(a)的值域为(?1，??)

x2x2?t??1时原不等式对x?R都成立，故t的最大值是?1

注：t?f(x)恒成立，应考虑f(x)的最小值，而t?f(x)恒成立应考虑f(x)的最大值。

例2. 已知a?b?c，求实数m的最大值，使不等式立。

解：将m与a，b，c分离并整理得m?11m???0总能成a?bb?cc?aa?ca?c。 ?a?bb?c要使此不等式成立，只需m不大于右边式子的最小值。

?a?b?0，b?c?0a?b?b?ca?b?b?c?a?bb?cb?ca?bb?ca?b?2???2?22?4

a?bb?ca?bb?c?m?4可使原不等式当a?b?c时恒成立右边?m的最大值是4练一练

已知对任意实数x，二次函数f(x)?ax?bx?c恒非负，且a?b，求小值。

答案与提示：令

2a?b?c的最

b?ab?t?1 at2a?b?ca?at?4a4?4t?t21?9?则????(t?1)??6??3

b?aat?a4(t?1)4?t?1?用待定系数法求三角函数最值

用均值不等式求三角函数最值时，“各数相等”及“和（或积）为定值”是两个需要刻

意凑出的条件，从何处入手，怎样拆项，如何凑出定值且使等号成立，又能使解答过程简捷明快，这确实既“活”又“巧”，对此问题，现利用待定系数法探析。

例1. 设x∈（0，π），求函数y?sinx2的最小值。 ?2sinx分析：拿到此题，很容易想到下面的解法。 因为 sinx＞0，

所以y?sinx2sinx2??2??2。 2sinx2sinx故ymin=2。

显然，这种解法是错误的！错误的原因是没有考虑“=”号成立的条件。由得sinx=2，这样的x不存在，故为错解。

事实上，此题是可以用均值不等式来解答的，但需要拆项，如何拆，既能使其积为定值，

又能使“=”号成立，这确实是一个难点，笔者认为，待定系数法就能很好地解决这个问题，为此，先引入一个待定系数λ（0＜λ＜2，使y?sinx2?2sinxsinx?2??。由均值不等式及正??2sinxsinx弦函数的有界性，得y?2sinx?2?????2??2??。 2sinxsinx当且仅当

sinx?115且sinx=1，即λ=时，上式等号成立。将λ=代入，得ymin=。 ?2222sinx14(sinx?)。 2sinx14145（0，1]上单调递减，所以ymin?(1?)?。 (t?)在

2122t另解：y=

令sinx=t(0＜t≤1＝，易证y?例2. 当x∈(0，

632?)时，求函数y?的最小值。 ?sinxcosx2分析：因为x∈(0，

?)，所以sinx＞0，cosx＞0，引入大于零的待定系数k，则函数2y?632333311可变形为y?+kcos2x－k≥???ksi2nx??sinxcosxsixnsixncoxscoxs3?2?33sinx?2??ksinx,3?k2?sinx?333，即?327k+3k－k=12k?k，等号成立当且仅当?，时

1?1?kcos2x?cos2x?3???cosxk2?成立。由sin2x+cos2x=1,。得

3?13k2?1，即k2=64，又k＞0，所以k=8。故函数y的最小值为

123k?k?12?2?8?16，此时x=

例3. 设x∈(0，

?。 31?)，求函数y=sinx+的最小值。 2sin2x1sinxsinx1?分析：因为x∈(0，)，所以sinx＞0，y=sinx+可变形为。y???22222sinxsinx由均值不等式得

sinx1sinxsinx113。但，故上式不能取等号。下面???3?222242sinxsinx引入待定系数k进行配凑解之。

解：因为x∈(0，所以sinx＞0。 因为

?)， 21k1?k??,0＜k＜1， sin2xsin2xsin2xsinxsinxk1?k ??)?2222sinxsinx故y?(≥33k1?k， ?41等号当且仅当

sinxkk1?k13且sinx=1，即k=时等号同时成立。从而3??2，?4122sin2x故函数y=sinx+

1的最小值为2。 2sinx1的最小值。

sin2x?cos2x例4. 求函数y=sin2x2cos2x+

sin22x4sin22x4分析：易得y?，由均值不等式得???2。 2244sin2xsin2xsin22x4但，故上式不能取等号。于是引入待定正实数λ，μ，且λ+μ=4，?4sin22xsin22x4则有y? ?24sin2xsin22x??= ??4sin22xsin22xsin22x????≥2 224sin2xsin2x≥???。

sin22x?1152

当且仅当且sin2x=1时等号同时成立，此时，所以当???，??2444sin2xsin22x=1时，y有最小值为

17。 4用放缩法证明不等式

所谓放缩法就是利用不等式的传递性，对照证题目标进行合情合理的放大和缩小的过程，在使用放缩法证题时要注意放和缩的“度”，否则就不能同向传递了，此法既可以单独用来证明不等式，也可以是其他方法证题时的一个重要步骤。下面举例谈谈运用放缩法证题的常见题型。

一. “添舍”放缩

通过对不等式的一边进行添项或减项以达到解题目的，这是常规思路。 例1. 设a，b为不相等的两正数，且a3－b3＝a2－b2，求证1＜a＋b＜4。 3证明：由题设得a2＋ab＋b2＝a＋b，于是（a＋b）2＞a2＋ab＋b2＝a＋b，又a＋b＞0，得a＋b＞1，又ab＜

1（a＋b）2，而（a＋b）2＝a＋b＋ab＜a＋b＋1（a＋b）2，即3（a4444，故有1＜a＋b＜4。

33＋b）2＜a＋b，所以a＋b＜

例2. 已知a、b、c不全为零，求证：

a2?ab?b2?b2?bc?c2?c2?ac?a2＞3（a?b?c）

2证明：因为a2?ab?b2?22（a?b）?3b2＞（a?b）?a?b≥a?b，同

42222理b2?bc?c2＞b?c，c2?ac?a2＞c?a。

223（a?b?c）

2所以a2?ab?b2?b2?bc?c2?c2?ac?a2＞二. 分式放缩

一个分式若分子变大则分式值变大，若分母变大则分式值变小，一个真分式，分子、分母同时加上同一个正数则分式值变大，利用这些性质，可达到证题目的。

例3. 已知a、b、c为三角形的三边，求证：1＜a＋b＋c＜2。 b?ca?ca?b证明：由于a、b、c为正数，所以

ba＞ab＞，，b?ca?b?ca?ca?b?ca＋b＋c＞c＞cabc，所以＋＋＝1，

b?ca?ca＋b＋ca＋b＋ca＋b＋ca?ba?ba?b?c又a，b，c为三角形的边，故b+c＞a，则

a为真分数，则a＜2a，同理

b?ca?b?cb?cb＜2b，c＜2c，

a?ca?b?ca?ba?b?c故

a＋b＋c＜2a＋2b＋2c?2.

b?ca?ca?b?ca?b?ca?b?ca?ba＋b＋c＜2。

b?ca?ca?b综合得1＜三. 裂项放缩

若欲证不等式含有与自然数n有关的n项和，可采用数列中裂项求和等方法来解题。 例4. 已知n∈N*，求1?12?13???1n＜2n。

证明：因为

1n?2n?n＜2n?n?1?2（n?n?1），则1?12?13?

??，证毕。

1n＜1?2（2?1）?2（3?2）???2（n?n?1）?2n?1＜2nn(n?1)(n?1)2例5. 已知n?N且an?1?2?2?3???n(n?1)，求证：?an?22*

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