2011届高三数学一轮巩固与练习：指数函数

巩固

1．集合S ＝{y |y ＝3x ，x ∈R }，T ＝{y |y ＝x 2－1，x ∈R }，则S ∩T 是( )

A ．S

B ．T

C ．?

D ．有限集

解析：选A.S ：y ＝3x >0，T ：y ＝x 2－1≥－1，

∴S ∩T ＝S .

2．函数y ＝a |x |(a >1)的图象是( )

解析：选B.法一：由题设知y ＝????? a x ，x ≥0，? ????1a x ，x <0，

又a >1.由指数函数图象易知答案为B. 法二：因y ＝a |x |是偶函数，又a >1.所以a |x |≥1，排除A 、C.当x ≥0，y ＝a x ，由指数函数图象知选B.

3．设a ＝π0.3，b ＝log π3，c ＝30，则a ，b ，c 的大小关系是( )

A ．a ＞b ＞c

B ．b ＞c ＞a

C ．b ＞a ＞c

D ．a ＞c ＞b

解析：选D.由于π＞1，则y ＝πx 递增，因此a ＝π0.3＞π0＝1，又由于π＞3，因此b ＝log π3＜log ππ＝1，而c ＝30＝1，所以a ＞c ＞b .

4．(原创题)函数y ＝(13)x －3x 在区间[－1,1]上的最大值为

________．

解析：由y ＝(13)x 是减函数，y ＝3x 是增函数，知y ＝(13)x －3x 是

减函数，当x ＝－1时函数最大值为83.

答案：83

5．设函数f (x )＝?

????

2x ，x ＜0g (x )，x ＞0，若f (x )是奇函数，则g (2)的值是________． 解析：令x ＞0，则－x ＜0，∴f (－x )＝2－x ， 又∵f (x )是奇函数，∴f (x )＝－f (－x )， ∴f (x )＝－2－x ，∴g (x )＝－2－x ，

∴g (2)＝－2－2＝－14.

答案：－14

6．已知2x 2＋x ≤(14)x －2，求函数y ＝2x －2－x 的值域．

解：∵2x 2＋x ≤2－2(x －2)，

∴x 2＋x ≤4－2x ，

即x 2＋3x －4≤0，得－4≤x ≤1.

又∵y ＝2x －2－x 在[－4,1]上为增函数， ∴2－4－24≤y ≤2－2－1.

故所求函数y 的值域是[－25516，32]．

练习

1．已知a ＜14，则化简4(4a －1)2的结果是( ) A.4a －1 B ．－4a －1

C.1－4a D ．－1－4a

解析：选C.4(4a －1)2＝4

(1－4a )2＝(1－4a )12＝1－4a .

2．设指数函数f (x )＝a x (a ＞0且a ≠1)，则下列等式不．正确的是( )

A ．f (x ＋y )＝f (x )·f (y )

B ．f [(xy )n ]＝[f (x )]n ·[f (y )]n

C ．f (x －y )＝f (x )f (y )

D ．f (nx )＝[f (x )]n

解析：选B.由幂的运算性质可知a x ＋y ＝a x ·a y ，故A 正确； a (xy )n ＝ax n y n ≠ax n ·ay n ，故B 错误；

a x －y ＝a x a y ，故C 正确；

a nx ＝(a x )n ，故D 正确．

3．设函数f (x )＝a －|x |(a ＞0，且a ≠1)，f (2)＝4，则( )

A ．f (－2)＞f (－1)

B ．f (－1)＞f (－2)

C ．f (1)＞f (2)

D ．f (－2)＞f (2)

解析：选A.∵f (x )＝a －|x |(a ＞0，且a ≠1)，f (2)＝4，

∴a －2＝4，∴a ＝12，

∴f (x )＝(12)－|x |＝2|x |，

∴f (－2)＞f (－1)，故选A.

4.(2009年高考山东卷)函数y ＝e x ＋e －x

e x －e

－x 的图象大致为( )

解析：选A.∵f (－x )＝e －x ＋e x

e －x －e x ＝－

f (x )， ∴f (x )＝e x ＋e －x

e x －e

－x 在其定义域{x |x ≠0}上是奇函数，图象关于原点对称，排除D.

又因为y ＝e x ＋e －x e x －e －x ＝e 2x ＋1e 2x －1＝1＋2e 2x －1

，所以当x ＞0时函数为减函数，排除B 、C.

5．给出下列结论：

①当a ＜0时，(a 2)32＝a 3； ②n a n ＝|a |(n ＞1，n ∈N *，n 为偶数)；

③函数f (x )＝(x －2)12－(3x －7)0的定义域是{x |x ≥2且x ≠73}；

④若2x ＝16,3y ＝127，则x ＋y ＝7.

其中正确的是( )

A ．①②

B ．②③

C ．③④

D ．②④

解析：选B.∵a ＜0时，(a 2)32＞0，a 3＜0，∴①错；②显然正确；

解??? x －2≥03x －7≠0

，得x ≥2且x ≠73，∴③正确，∵2x ＝16，∴x ＝4，∵3y ＝127＝3－3，∴y ＝－3，∴x ＋y ＝4＋(－3)＝1，∴④错．故②③正确．

6．设f (x )定义域为R ，对任意的x 都有f (x )＝f (2－x )，且当x ≥1时，f (x )＝2x －1，则有( )

A ．f (13)＜f (32)＜f (23)

B ．f (23)＜f (32)＜f (13)

C ．f (23)＜f (13)＜f (32)

D ．f (32)＜f (23)＜f (13)

解析：选B.由条件f (x )＝f (2－x )可得函数图象关于直线x ＝1对

称，则f (13)＝f (53)，f (23)＝f (43)，由于当x ≥1时，

f (x )＝2x －1，即函数在[1，＋∞)上为增函数，由于53＞32＞43，故

有f (13)＝f (53)＞f (32)＞f (43)＝f (23)．

7．(2010年襄樊调研)已知集合P ＝{(x ，y )|y ＝m }，Q ＝{(x ，y )|y ＝a x ＋1，a >0，a ≠1}，如果P ∩Q 有且只有一个元素，那么实数m 的取值范围是________．

解析：如果P ∩Q 有且只有一个元素，即函数y ＝m 与y ＝a x ＋1(a >0，且a ≠1)图象只有一个公共点．

∵y ＝a x ＋1>1，∴m >1.

∴m 的取值范围是(1，＋∞)．

答案：(1，＋∞)

8．(2008年高考重庆卷)若x >0，则(2x 14＋332)(2x 14－332)－4x －12(x

－x 12)＝________.

解析：(2x 14＋332)(2x 14－332)－4x －12(x －x 12)

＝4x 12－33－4x 12＋4

＝－23.

答案：－23

9．若函数f (x )＝2x 2－2ax －a －1的定义域为R ，则a 的取值范围为________．

解析：由f (x )＝2x 2－2ax －a －1的定义域为R .

可知2x 2－2ax －a ≥1恒成立．

即x 2－2ax －a ≥0恒成立．

解得－1≤a ≤0.

答案：[－1,0]

10．要使函数y ＝1＋2x ＋4x a 在x ∈(－∞，1]上y >0恒成立，求a 的取值范围．

解：由题意，得1＋2x ＋4x a >0，在x ∈(－∞，1]上恒成立，

即a >－1＋2x

4x 在x ∈(－∞，1]上恒成立．

又∵－1＋2x 4x ＝－(12)2x －(12)x ＝－[(12)x ＋12]2＋14，

当x ∈(－∞，1]时值域为(－∞，－34]，∴a >－34.

11．(2008年高考上海卷)已知函数f (x )＝2x －12|x |.

(1)若f (x )＝2，求x 的值；

(2)若2t f (2t )＋mf (t )≥0对于t ∈[1,2]恒成立，求实数m 的取值范围．

解：(1)当x ＜0时，f (x )＝0；

当x ≥0时，f (x )＝2x －12x .

由条件可知2x －12x ＝2，

即22x －2·2x －1＝0，又2x ＞0，

解得2x ＝1＋ 2.

∴x ＝log 2(1＋2)．

(2)当t ∈[1,2]时，

2t (22t －122t )＋m (2t －12t )≥0，

即m (22t －1)≥－(24t －1)．

∵22t －1＞0，∴m ≥－(22t ＋1)．

∵t ∈[1,2]，∴－(1＋22t )∈[－17，－5]，

故m 的取值范围是[－5，＋∞)．

12．设f (x )＝e －x a ＋a e

－x (a ＞0)是定义在R 上的函数， (1)f (x )可能是奇函数吗？

(2)若f (x )是偶函数，试研究其单调性．

解：(1)假设f (x )是奇函数，由于定义域为R ，

∴f (－x )＝－f (x )，即e x a ＋a e x ＝－(e －x a ＋a e －x )，

整理得(a ＋1a )(e x ＋e －x )＝0，

即a ＋1a ＝0，即a 2＋1＝0，显然无解．

∴f (x )不可能是奇函数．

(2)因为f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )，

即e x a ＋a e x ＝e －x a ＋a e －x ，整理得(a －1a )(e x ＋e －x )＝0， ∴有a －1a ＝0，得a ＝1.

∴f (x )＝e －x ＋e x ，以下讨论其单调性，

取x 1，x 2∈R 且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝e x 1＋e －x 1－e x 2－e －x 2＝(e x 1－e x 2)(e x 1＋x 2－1)e x 1·e x 2， 其中e x 1·e x 2＞0，e x 1－e x 2＜0，

当e x 1＋x 2－1＞0时，f (x 1)＜f (x 2)，f (x )为增函数， 此时需要x 1＋x 2＞0，即增区间为[0，＋∞)，

反之(－∞，0]为减区间．

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/44ve.html