1第一章函数极限和连续

第一章 函数、极限和连续

【考试要求】 一、函数

1．理解函数的概念：函数的定义，函数的表示法，分段函数． 2．理解和掌握函数的简单性质：有界性，单调性，奇偶性，周期性． 3．了解反函数：反函数的定义，反函数的图像． 4．掌握函数的四则运算与复合运算．

5．理解和掌握基本初等函数：幂函数，指数函数，对数函数，三角函数，反三角函数． 6．了解初等函数的概念． 二、极限

1．理解数列极限的概念：数列，数列极限的定义．

2．了解数列极限的性质：唯一性，有界性，四则运算定理，夹逼定理，单调有界数列，极限存在定理，掌握极限的四则运算法则．

3．理解函数极限的概念：函数在一点处极限的定义，左右极限及其与极限的关系，趋于无穷（

x???，x???）时函数的极限．

4．掌握函数极限的定理：唯一性定理，夹逼定理，四则运算定理． 大量的性质，两个无穷小量阶的比较． 6．熟练掌握用两个重要极限求极限的方法． 7．熟练掌握分段函数求极限的方法． 三、连续

xx??，

5．理解无穷小量和无穷大量：无穷小量与无穷大量的定义，无穷小量与无穷大量的关系，无穷小量与无穷

1．理解函数连续的概念：函数在一点连续的定义，左连续和右连续，函数在一点连续的充分必要条件，函数的间断点及其分类．

2．掌握函数在一点处连续的性质：连续函数的四则运算，复合函数的连续性，反函数的连续性，会求函数的间断点及确定其类型．

3．掌握闭区间上连续函数的性质：有界性定理，最大值和最小值定理，介值定理（包括零点定理），会运用介值定理推证一些简单命题．

4．理解初等函数在其定义区间上连续，并会利用连续性求极限． 5．熟练掌握分段函数连续性的判定方法．

【考试内容】 一、函数 （一）函数的概念 1．函数的定义：设数集

D?R，则称映射f:D?R为定义在D上的函数，通常简记为

y?f(x)，x?D，其中x称为自变量，y称为因变量，D称为定义域．

说明：表示函数的记号是可以任意选取的，除了常用的“

f外，还可以用其他的英文字母或希腊字母，如

、“F”、“?”等，相应的，函数可记作y?g(x)，y?F(x)，y??(x)等．有时g”

1

还直接用因变量的记号来表示函数，即把函数记作2．函数的解析（公式）表示法 （1）函数的显式表示法（显函数）：

y?y(x)，这一点应特别注意．

y?f(x)形式的函数，即等号左端是因变量的符号，而右端是含

xe?1x有自变量的式子，如y?xe?2cosx，y?3sinx?等．

xe?lnx（2）函数的隐式表示法（隐函数）：函数的对应法则由方程

F(x,y)?0所确定，即如果方程

F(x,y)?0确定了一个函数关系y?f(x)，则称y?f(x)是由方程F(x,y)?0所确

定的隐函数形式．

说明：把一个隐函数化成显函数，叫做隐函数的显化．例如从方程

x?y3?1?0解出y?31?x，

就把隐函数化成了显函数．但并非所有的隐函数都能显化，隐函数的显化有时是非常困难的，甚至是不可能的．

（3）分段函数：如果函数的对应法则是由几个解析式表示的，则称之为分段函数，如

?x?1,x?0 是由两个解析式表示的定义域为(??,??)的一个函数． f(x)???x?1,x?0（4）由参数方程确定的函数：如果自变量

x与因变量y的关系是通过第三个变量t联系起来

?x??(t) （t为参变量），则称这种函数关系为参数方程所确定的函数．例如：参数方程 ??y??(t)?x?2cost 表示的图形即为圆心在原点，半径为4的圆． ??y?2sint（二）函数的几种特性 1．有界性

设函数

f(x)的定义域为D，数集X?D，如果存在正数M，使得f(x)?M对任一

x?X都成立，则称函数f(x)在X上有界．如果这样的M不存在，就称函数f(x)在X上无

界．

说明：我们这里只讨论有界无界的问题而不区分上界和下界，并且，由上述定义不难看出，如果正数函数

M是

f(x)的一个界，则比M大的数都是函数f(x)的界．

f(x)的定义域为D，区间I?D．如果对于区间I上任意两点x1及x2，当x1?x22

2．单调性 设函数

时，恒有

f(x1)?f(x2)，则称函数f(x)在区间I上是单调增加的；如果对于区间I上任意两点

x1及x2，当x1?x2时，恒有f(x1)?f(x2)，则称函数f(x)在区间I上是单调减少的．单

调增加和单调减少的函数统称为单调函数． 3．奇偶性 设函数则称

f(x)的定义域D关于原点对称．如果对于任一x?D，f(?x)?f(x)恒成立，

f(x)为偶函数．如果对于任一x?D，f(?x)??f(x)恒成立，则称f(x)为奇函数．例f(x)?cosx、f(x)?x2都是偶函数，f(x)?sinx、f(x)?arctanx是奇

如：

函数，而

f(x)?sinx?cosx则为非奇非偶函数．

偶函数的图形关于y轴对称，而奇函数的图形关于原点对称．

说明：两个偶函数的和是偶函数，两个奇函数的和是奇函数；两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的乘积是偶函数，偶函数与奇函数的乘积是奇函数．其余结论读者可自行论证． 4．周期性 设函数

f(x)的定义域为D．如果存在一个正数l，使得对于任一x?D有(x?l)?D，且

恒成立，则称

f(x?l)?f(x)f(x)为周期函数，l称为f(x)的周期，通常我们说周期函数的

周期是指最小正周期．例如：函数为周期的周期函数． （三）函数的运算 1．和差积商运算 设函数

sinx、cosx都是以2?为周期的周期函数，函数tanx是以?f(x)，g(x)的定义域依次为D1，D2，D?D1?D2??，则我们可以定义这

两个函数的下列运算： （1）和（差）（2）积

f?g：(f?g)(x)?f(x)?g(x)，x?D；

f?g：(f?g)(x)?f(x)?g(x)，x?D； fg：

（3）商

?f?f(x)，x?D\\{xg(x)?0,x?D}． (x)??g?g(x)??y是x的函数y?f(x)，若将y当作自变量而x当作因变量，则由关系式

2．反函数（函数的逆运算）

对于给定的

y?f(x)所确定的函数x??(y)称为函数f(x)的反函数，记为y?f?1(x)，f(x)叫

做直接函数．

3

若直接函数值域为

y?f(x)的定义域为D，值域为M，则反函数y?f?1(x)的定义域为M，

D．且直接函数的图像与反函数的图像关于直线y?x对称．

y?f(u)的定义域为Df，函数u?g(x)的定义域为Dg，且其值域Rg?Df，

y?f[g(x)]，x?Dg称为由函数u?g(x)与函数y?f(u)构成的

Dg，变量u称为中间变量．

3．复合函数（函数的复合运算）

设函数

则由下式确定的函数

复合函数，它的定义域为说明：

g与f能构成复合函数的条件是函数

g的值域Rg必须含在函数f的定义域

Df内，即

Rg?Df，否则不能构成复合函数．此外，复合函数可以由多个函数复合而成．

（四）基本初等函数与初等函数 1．基本初等函数 幂函数：

y?x?（??R是常数）；

y?ax（a?0且a?1）；

指数函数：对数函数：三角函数：

y?logax（a?0且a?1，特别当a?e时记为y?lnx）；

y?sinx，y?cosx，y?tanx，y?cotx，y?secx，y?cscx； y?arcsinx，y?arccosx，y?arctanx，y?arccotx．

反三角函数：

以上五类函数统称为基本初等函数．

说明：反三角函数是学习和复习的难点，因此这里重点给出三角函数和反三角函数的关系，这对于后边学习极限、渐近线及导数等知识是非常有帮助的，请大家牢记．

（1）反正弦函数

y?arcsinx：是由正弦函数y?sinx在区间[?[?1,1]，值域为[???,]上的一段定义的反函

22数，故其定义域为

??,]． 22（2）反余弦函数故其定义域为

y?arccosx：是由余弦函数y?cosx在区间[0,?]上的一段定义的反函数，

[?1,1]，值域为[0,?]．

（3）反正切函数

y?arctanx：是由正切函数y?tanx在区间(?4

??,)上的一段定义的反22

函数，故其定义域为

(??,??)，值域为(???,)． 22（4）反余切函数故其定义域为2．初等函数

y?arccotx：是由余切函数y?cotx在区间(0,?)上的一段定义的反函数，

(??,??)，值域为(0,?)．

由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数，称为初等函数．例如：

y?2sin2xcosx，y?2?x2，y?ln(x?x2?1)，

y?arccos(x2?1)等都是初等函数．在本课程中所讨论的函数绝大多数都是初等函数．

二、极限 （一）数列的极限 1．数列极限的定义：设总存在正整数

{xn}为一数列，如果存在常数A，对于任意给定的正数?（不论它多么小），

N，使得当n?N时，不等式xn?A??都成立，那么就称常数A是数列{xn}{xn}收敛于A，记为limxn?A或xn?A（n??）．如果不存在这

n??n??的极限，或者称数列样的常数

A，就说数列{xn}没有极限，或者说数列{xn}是发散的，习惯上也说limxn不存在．

说明：数列极限中自变量2．收敛数列的性质

n的趋向只有一种，即n??，虽然含义表示正无穷，但不要写做

n???，注意与函数极限的区别．

性质（1）：（极限的唯一性）如果数列

{xn}收敛，那么它的极限唯一．

{xn}收敛，那么数列{xn}一定有界．

，则称数列

性质（2）：（收敛数列的有界性）如果数列说明：对于数列

{xn}，如果存在正数M，使得对一切n，都有xn?M{xn}是无界的．

{xn}是有界

的，否则称数列

性质（3）：（收敛数列的保号性）如果

，那么存在正整数N，limxn?A，且A?0（或者A?0）

n??当

n?N时，都有xn?0（或xn?0）．

（二）函数的极限 1．函数极限的定义 （1）

x?x0时函数的极限：设函数f(x)在点x0的某个去心邻域内有定义．如果存在常数A，对

5

x2x2解：因 lim?lim?0，故x2是比x?1?1高阶的无穷小．

x?0x?1?1x?01x23．1?x?1?x比x．

1?x?1?x(1?x?1?x)(1?x?1?x)解：因 lim ?limx?0x?0xx(1?x?1?x)2x?lim?1，故1?x?1?x与x是等价无穷小． x?0x(1?x?1?x)4．

x2比tanx?sinx．

x2x2cosxx2解：因 lim?lim?lim??，

x?0tanx?sinxx?0sinx(1?cosx)x?012x?x2 故

x2是比tanx?sinx低阶的无穷小．

说明：本题中的四个题目均可用洛必达法则求解． 【例1-8】讨论下列分段函数在指定点处的连续性．

1．

?2x,0?x?1?f(x)??1,x?1 在x?1处的连续性．

?1?x,x?1?f(1)?1，f(1?)?limf(x)?lim2x?2，

??x?1x?1解：因

f(1?)?limf(x)?lim(1?x)?2，从而limf(x)?2?f(1)，故函数在x?1??x?1x?1x?1处不连续．

1??ex,x?0 在x?0处的连续性．

f(x)????ln(1?x),x?02．

解：因

f(x)?lime?0， f(0)?0，f(0?)?lim??x?0x?01x，故函数在f(0?)?limf(x)?limln(1?x)?0，从而limf(x)?0?f(0)??x?0x?0x?0x?0处连续．

16

【例1-9】当常数

a为何值时，函数

?2x?a,x?0? 在x?0处连续？ f(x)??ln(1?x),x?0??xx?0x?0解：因

f(0)??a，f(0?)?limf(x)?lim(2x?a)??a，

??1ln(1?x)1xf(0?)?limf(x)?lim?limln(1?x)?limln(1?x)?1，

????x?0x?0x?0xx?0x故由连续性可得，

f(0?)?f(0?)?f(0)，即?a?1，故a??1．

【例1-10】求下列函数的间断点并判断其类型．

1x1．

f(x)?e ．

1x1x解：所给函数在

故x?0是间断点．又lime???，lime?0，故x?0x?0处无定义，

??x?0x?0是

f(x)的第二类间断点．

2．

xf(x)? ．

sinx解：所给函数在

x?k?（

k?0,?1,?2,?）处无定义，故x?0、

x?k?（

k??1,?2,?）是间断点．又limx?1，故x?0是第一类间断点，且是可去间断点；

x?0sinxxlim??，故x?k?是第二类间断点，且是无穷间断点． x?k?sinx3．

f(x)?e?1e?11x1x ．

解：所给函数在

x?0处无定义，故x?0是间断点．又

1xe?1f(0)?lim?1，1x?0?ex?1?1xf(0?)?lim?x?0e?1e?11x??1，故x?0是f(x)的第一类间断点且是跳跃间断点．

17

4．

1??arctan,x?0 ． f(x)??x?x?0?0,x?0时arctan11是初等函数，故arctan在x?0时xx解：该题是分段函数的连续性问题，因

是连续的，所以该题主要考虑分界点

x?0处的连续性．

，

由

f(0?)?limarctan?x?01??x2f(0?)?limarctan?x?01???x2，可知

x?0是

f(x)的第一类间断点且是跳跃间断点．

【例1-11】证明方程证：函数

x3?4x2?1?0在区间(0,1)内至少有一个根．

f(x)?x3?4x2?1在闭区间[0,1]上连续，又f(0)?1?0，f(1)??2?0，

根据零点定理，在（

(0,1)内至少有一点

?，使得

f(?)?0，即?3?4?2?1?0

320???1），该等式说明方程x?4x?1?0在区间(0,1)内至少有一个根是?．

【例1-12】证明方程

x?2x?1至少有一个小于1的正根．

f(x)?x?2x?1在区间[0,1]上连续，又f(0)??1?0，

证：由题意，函数

f(1)?1?0，根据零点定理，在(0,1)内至少有一点?，使得f(?)?0，即??2??1?0（

【历年真题】 一、选择题

x0???1），该等式说明方程x?2?1在区间(0,1)内至少有一个小于1的正根?．

1．（2010年，1分）函数

y?1?x2?arccosx?1的定义域是（ ） 2（A）

[?3,1] （B）[?3,?1] （C）[?3,?1) （D）[?1,1]

18

?1?x2?0??1?x?1??1?x?1?解：因 ? ， ? ，所以 x?1 ，故 ??1??2?x?1?2??3?x?1??1?2?． ?1?x?1，故选（D）

sin3x2．（2010年，1分）极限lim等于（ ）

x?0x（A）

0 （B）1 （C）

1 （D）3 3sin3x3x?lim?3，故选（D）解：lim．

x?0x?0xxn?(?1)n?（ ） 3．（2009年，1分）极限limn??n（A） （B）

10 （C）? （D）不存在

n?(?1)n(?1)n(?1)n?lim[1?]?1?lim?1?0?1，故选（A）解：lim．

n??n??n??nnn4．（2009年，1分）若

?x?1,x?0?f(x)??0,x?0 ，则limf(x)?（ ）

x?0?x?1,x?0?（A）

?1 （B）0 （C）1 （D）不存在

x?0解：因

limf(x)?lim(x?1)??1，limf(x)?lim(x?1)?1，

????x?0x?0x?0x?0x?0． limf(x)?limf(x)，故limf(x)不存在，选（D）

??x?0?x5．（2009年，1分）x?是函数y?的（ ）

2tanx（A）连续点 （B）可去间断点 （C）跳跃间断点 （D）第二类间断点

解：因

lim?x?2?xx的可去间断点，选（B）． ?0，故x?是函数y?2tanxtanx 19

6．（2008年，3分）设

1f(x)?xsin ，则limf(x)等于（ ）

x??x（A）

0 （B）不存在 （C）? （D）1

sin1x?1，故选（D）

．

1?lim解：limf(x)?limxsinx??x??xx??1x7．（2008年，3分）当

x?0时，3x2是sin2x的（ ）

（A）高阶无穷小 （B）同阶无穷小，但不等价 （C）低阶无穷小 （D）等价无穷小

3x23x2?lim2?3，故选（B）解：因 lim．

x?0sin2xx?0x8．（2007年，3分）当

x?0时，tan2x是（ ）

（A）比

sin3x高阶的无穷小 （B）比sin3x低阶的无穷小 sin3x同阶的无穷小 （D）与sin3x等价的无穷小

（C）与

tan2x2x2?lim?，故选（C）解：因 lim．

x?0sin3xx?03x3?x??,x?0]?（ ）9．（2006年，2分）设f(x)?sinx ，g(x)?? ，则f[g(x)

?x??,x?0（A）

sinx （B）cosx （C）?sinx （D）?cosx

x?0时，f[g(x)]?f(x??)?sin(x??)??sin(??x)??sinx；

解：当当

． x?0时，f[g(x)]?f(x??)?sin(x??)??sinx，故选（C）

1x10．（2005年，3分）设

lim(1?mx)?e2，则m?（ ）

x?0（A）

?11 （B）2 （C）?2 （D） 22 20

解：由

lim(1?mx)?lim[1?(?mx)]x?0x?01x1?(?m)?mx?e?m?e2，得m??2，选（C）．

11．（2005年，3分）设（A）

y?e?1x是无穷大，则

x的变化过程是（ ）

x?0? （B）x?0? （C）x??? （D）x???

1?11????，????，ex?0； 解：x?0时，xx1?11x?0时，???，????，ex???；故选（B）．

xx?二、填空题

??2x?1,x?11．（2010年，2分）若函数f(x)?? 在x?1处连续，则a? ．

?x?a,x?1解：

limf(x)?lim(?2x?1)??1，limf(x)?lim(x?a)?1?a，

????x?1x?1x?1x?1x?1x?1因

f(x)在点x?1处连续，故limf(x)?limf(x)，即?1?1?a，a?2．

??2．（2010年，2分）

x?0是函数f(x)?xcos1的第 类间断点． x1?0，故x?0是函数f(x)的第一类间断点． 解：因 limf(x)?limxcosx?0x?0x3．（2009年，2分）设

?1,?f(x)??0,??1,?x?1x?1 ，g(x)?ex，则g[f(ln2)]? ． x?1解：因

0?ln2?1，故 f(ln2)?1，所以 g[f(ln2)]?g(1)?e1?e．

y?sin1在x?0处是第 类间断点． x4．（2009年，2分）

11??，sin 没有极限，故 x?0 是第二类间断点． 解：因x?0时，

xx5．（2008年，4分）函数

y?lnx?arcsinx的定义域为 ．

21

?x?0解：由题意，? ，故原函数的定义域为 (0,1]．

??1?x?16．（2008年，4分）设数列xn有界，且limyn?0，则limxnyn? ．

n??n??解：数列可看作特殊的函数，因数列是无穷小可得，

xn有界，数列yn为无穷小，所以根据无穷小与有界函数的乘积仍然

limxnyn?0．

n??7．（2008年，4分）函数解：由

y?3x?1的反函数为 ．

y?3x?1可得，y3?x?1，x?y3?1，故反函数为 y?x3?1．

2x?18．（2007年，4分）函数y?arcsin的定义域为 ．

32x?1?1得，?3?2x?1?3，即?1?x?2，所以定义域为[?1,2]． 解：由?1?39．（2007年，4分）

lim(x??x?12x)? ． xx?12x?12x?1?x?(?2))?lim(1?)?lim(1?)?e?2． 解：lim(x??x??x??xxx10．（2006年，2分）若函数

?1?2x21?x12),x?0?( 在x?0处连续，则f(x)??1?x2?2x?a,x?0?a? ．

解：

x?0limf(x)?lim(2x?a)??a，

??x?021?1x221?2xlimf(x)?lim()x?0?x?0?1?x因

?3x?3x2?(?3)?3， ?lim(1?)?e2?x?01?xx?021?x2?3?3f(x)在x?0处连续，故lim，即?a?e，故a??e． f(x)?limf(x)??x?0三、计算题

?x?c?1．（2010年，5分）求极限 lim??x??x?c??

x，其中

c为常数．

22

解：

2c?2c??x?c???lim??lim1??lim1??x??????x??x?c???x?c?x???x?c?limx?0xxx?c2cx?2cx?c?e2c．

2．（2010年，5分）求极限

tanx?x． 3xtanx?xsec2x?1tan2x1?lim?lim?． 解：lim322x?0x?0x?0x3x3x3说明：此题也可多次使用洛必达法则，解法如下：

tanx?xsec2x?12secx?secxtanx1lim?lim?lim?．

32x?0x?0x?0x3x6x33??13．（2009年，5分）求极限 lim? ． ?3?x?11?x1?x??解：此题为“???”型的极限，解法如下：

3?1?x?x2?3(x?1)(x?2)?1lim???lim?lim??1．

3?32x?11?xx?1x?11?x?1?x(1?x)(1?x?x)?ex?e?x4．（2009年，5分）求极限 limx?0sinx ．

ex?e?xex?e?x2?lim??2． 解：limx?0x?0sinxcosx1sin2x5．（2008年，5分）求极限 lim ．

?x?cos(??x)2sin2x2cos2x解：lim?lim??2．

??x?cos(??x)x??sin(??x)?(?1)226．（2007年，5分）求极限

11lim(?x) ． x?0xe?111ex?1?xex?1?xex?11解：lim(?)?lim?lim?lim?．

xx2x?0xx?0x?0x?0e?1x(e?1)x2x2说明：

x?0时，ex?1~x．

23

11?) ． 7．（2006年，4分）求极限 limcotx(x?0sinxx解：

limcotx(x?011cosx(x?sinx)x?sinx?)?lim?lim

23x?0x?0sinxxxsinxx12x1?cosx2?1．

?lim?limx?0x?03x23x268．（2006年，4分）设

f(x)??1?cosx056xxsint2dt，g(x)??56，求

limx?0f(x)．

g(x)解：因

x?0时，f(x)??1?cosx01?cosx056xxsint2dt?0，g(x)???0，

56且

f?(x)?(?sint2dt)??sinxsin(1?cosx)2，g?(x)?x4?x5，

f(x)f?(x)sinxsin(1?cosx)2x(1?cosx)2故 lim?lim?lim?lim45x?0g(x)x?0g?(x)x?0x?0x?xx4?x512214x(x)x?x1x24?lim4?lim4?lim?0．

x?0x?x5x?0x?x5x?041?x9．（2005年，5分）求极限

lim(x?111?) ．

x?1lnx1?111lnx?x?1x?)?lim?lim解： lim(

x?1x?1x?1x?1x?1lnx(x?1)lnxlnx?x1?x?11?lim?lim??．

x?1xlnx?x?1x?1lnx?1?12 24

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