高等数学同济第五版第9章答案

习题9?1

1? 设有一平面薄板(不计其厚度)? 占有xOy面上的闭区域D? 薄板上分布有密度为? ??(x, y)的电荷? 且?(x, y)在D上连续? 试用二重积分表达该板上全部电荷Q?

解 板上的全部电荷应等于电荷的面密度?(x, y)在该板所占闭区域D上的二重积分?

Q????(x,y)d??

D 2? 设I1???(x2?y2)3d?? 其中D1?{(x? y)|???x?1? ?2?y?2??

D1 又I2???(x2?y2)3d?? 其中D2?{(x? y)|0?x?1? 0?y?2}?

D2试利用二重积分的几何意义说明I1与I2的关系?

解 I1表示由曲面z?(x2?y2)3与平面x??1? y??2以及z?0围成的立体V的体积? I2表示由曲面z?(x2?y2)3与平面x?0? x?1? y?0? y?2以及z?0围成的立体V1的体积?

显然立体V关于yOz面、xOz面对称? 因此V 1是V位于第一卦限中的部分? 故 V?4V1? 即I1?4I2? 3? 利用二重积分的定义证明? (1)??d??? (其中?为D的面积)?

D 证明 由二重积分的定义可知?

lim?f(?i,?i)??i ??f(x,y)d????0i?1Dn其中??i表示第i个小闭区域的面积? ? 此处f(x, y)?1, 因而f(?? ?)?1, 所以

nlim???i?lim???? ??d????0??0i?1D (2)??kf(x,y)d??k??f(x,y)d? (其中k为常数)?

DD 证明

lim?kf(?i,?i)??i?limk?f(?i,?i)??i ??kf(x,y)d????0??0i?1i?1Dnnn ?klim?f(?i,?i)??i?k??f(x,y)d??

??0i?1D (3)??f(x,y)d????f(x,y)d????f(x,y)d??

DD1D2其中D?D1?D2? D1、D2为两个无公共内点的闭区域?

证明 将D1和D2分别任意分为n1和n2个小闭区域??i1和??i2, n1?n2?n, 作和

?f(?i,?i)??i??f(?i,?i)??i??f(?i,?i)??ii?1i1?1111nn1n2i2?1222?

令各??i1和??i2的直径中最大值分别为?1和?2, 又??max(?1?2), 则有 lim?f(?i,?i)??i?lim?f(?i1,?i1)??i1?lim?f(?i2,?i2)??i2?

??0i?1nn1n2?1?0i1?1?2?0i2?1即

??f(x,y)d????f(x,y)d????f(x,y)d??

DD1D2 4? 根据二重积分的性质? 比较下列积分大小? (1)??(x?y)2d?与,

D??(x?y)3d? 其中积分区域D是由x轴? y轴与直线

Dx?y?1所围成?

解 区域D为? D?{(x? y)|0?x? 0?y? x?y?1}? 因此当(x? y)?D时? 有(x?y)3?(x?y)2? 从而

??(x?y)3d????(x?y)2d??

DDD (2)??(x?y)2d?与??(x?y)3d?其中积分区域D是由圆周(x?2)2?(y?1)2?2

D所围成? ?

解 区域D如图所示? 由于D位于直线x?y?1的上方? 所以当(x? y)?D时? x?y?1? 从而(x?y)3?(x?y)2? 因而

??(x?y)2d????(x?y)3d??

DDD (3)??ln(x?y)d?与??(x?y)3d?其中D是三角形闭区域? 三角顶点分别为(1? 0),

D(1? 1), (2? 0)?

解 区域D如图所示? 显然当(x? y)?D时? 1?x?y?2? 从而0?ln(x?y)?1? 故有 [ln(x?y)]2? ln(x?y)? 因而

??[ln(x?y)]2d????ln(x?y)d??

DDD (4)??ln(x?y)d?与??(x?y)3d?其中D?{(x? y)|3?x?5? 0?y?1}?

D 解 区域D如图所示? 显然D位于直线x?y?e的上方? 故当(x? y)?D时, x?y?e? 从而

ln(x?y)?1? 因而 [ln(x?y)]2?ln(x?y), 故

??ln(x?y)d????[ln(x?y)]2d??

DD 5? 利用二重积分的性质估计下列积分的值? (1)I???xy(x?y)d?? 其中D?{(x? y)| 0?x?1? 0?y?1}?

D 解 因为在区域D上0?x?1? 0?y?1? 所以 0?xy?1, 0?x?y?2? 进一步可得

0?xy(x?y)?2? 于是 即

??0d????xy(x?y)d????2d??

DDD0???xy(x?y)d??2?

D (2)I???sin2xsin2yd?, 其中D?{(x? y)| 0?x??? 0?y??}?

D 解 因为0?sin2x?1? 0?sin2y?1? 所以0?sin2x sin2y?1? 于是可得

??0d????sin2xsin2yd????1d??

DDDD即 0???sin2xsin2yd???2??

(3)I???(x?y?1)d?, 其中D?{(x? y)| 0?x?1? 0?y?2}?

D 解 因为在区域D上? 0?x?1? 0?y?2? 所以1?x?y?1?4? 于是可得

??d????(x?y?1)d????4d????

DDDD即 2???(x?y?1)d??8?

???I???(x2?4y2?9)d?, 其中D?{(x? y)| x2?y2 ?4}?

D 解 在D上? 因为0?x2?y2?4? 所以 9?x2?4y2?9?4(x2?y2)?9?25? 于是

??9d????(x2?4y2?9)d????25d????

DDDD 9?22???(x2?4y2?9)d??25???22???即 36????(x2?4y2?9)d??100????

D

习题9?2

1? 计算下列二重积分?

(1)??(x2?y2)d?? 其中D?{(x? y)| |x|?1? |y|?1}?

D 解 积分区域可表示为D? ?1?x?1? ?1?y?1? 于是

1y3]1dx 22222(x?y)d??dx(x?y)dy?[xy?????1??1??1?13D11111?8? ??(2x2?1)dx?[2x3?2x]??133133 (2)??(3x?2y)d?? 其中D是由两坐标轴及直线x?y?2所围成的闭区域?

D 解 积分区域可表示为D? 0?x?2? 0?y?2?x? 于是

??(3x?2y)d???dx?D22?x00xdx (3x?2y)dy??[3xy?y2]2?0022?20? ??(4?2x?2x2)dx?[4x?x2?2x3]0033 (3)??(x3?3x2y?y2)d?? 其中D?{(x? y)| 0?x?1? 0?y?1}?

D24xdy 解 ??(x?3xy?y)d???dy?(x?3xy?y)dx??[?x3y?y3x]100400322113231Dyy2y4111113 ??(?y?y)dy?[??]0????1?

04424424 (4)??xcos(x?y)d?? 其中D是顶点分别为(0? 0)? (?? 0)? 和(?? ?)的三角形闭区

1D域?

解 积分区域可表示为D? 0?x??? 0?y?x? 于是?

xdx ??xcosx(?y)d???0xdx?0cos(x?y)dy??0x[sin(x?y)]0D?x? ??x(si2nx?sinx)dx???xd(1co2sx?coxs)

002

?13?? ??x(1co2(cos2x?cosx)dxsx?coxs)|?????02022 ?

2? 画出积分区域? 并计算下列二重积分?

(1)??xyd?? 其中D是由两条抛物线y?x? y?x2所围成的闭区域?

D?? 解 积分区域图如? 并且D?{(x? y)| 0?x?1? x2?y?x}? 于是

??xDyd???dx?20x1x122623xydy??x[y2]x2xdx??(x4?x4)dx??

030335517 (2)??xy2d?? 其中D是由圆周x2?y2?4及y轴所围成的右半闭区域?

D 解 积分区域图如? 并且D?{(x? y)| ?2?y?2? 0?x?4?y2}? 于是

??(x2?y2)d???dy?D3aa(x2?y2)dx??(2ay2?a2y?1a3)dy?14a4? y?aa3y3a (4)??x2?y2d?? 其中D是圆环形闭区域{(x? y)| a2?x2?y2?b2}?

D 解 在极坐标下D?{(?? ?)|0???2?? a???b}? 所以

??Dx2?y2d???d??r2dr?2?(b3?a3)? 0a3b2? 16? 设平面薄片所占的闭区域D由螺线??2?上一段弧(0????)与直线???22所围成? 它的面密度为?(x? y)?x2?y2? 求这薄片的质量?

解 区域如图所示? 在极坐标下D?{(?,?)|0????, 0???2?}? 所以所求质量

2 M????(x,y)d???d??2?2?D005????d??4??d???

2?24040 17? 求由平面y?0? y?kx(k>0)? z?0以及球心在原点、半径为R的上半球面所围

成的在第一卦限内的立体的体积?

解 此立体在xOy面上的投影区域D?{(x? y)|0???arctank? 0???R}?

y? V???R2?x2?y2dxd?Darctkan0d??R0 R2??2?d??1R3arctka?n3 18? 计算以xOy平面上圆域x2?y2?ax围成的闭区域为底? 而以曲面z?x2?y2为顶的曲顶柱体的体积?

解 曲顶柱体在xOy面上的投影区域为D?{(x? y)|x2?y2?ax}? 在极坐标下D?{(?,?)|??????, 0???acos?}? 所以

22 V?

习题9?3

1? 化三重积分I????f(x,y,z)dxdydz为三次积分? 其中积分区域?分别是?

?x2?y2?ax??(x2?y2)dxd?y?2?d???2?aco?s04a2???d???2?cos4?d??3a4??

4?232? (1)由双曲抛物面xy?z及平面x?y?1?0? z?0所围成的闭区域?

解 积分区域可表示为

??{(x? y? z)| 0?z?xy? 0?y?1?x? 0?x?1}? 于是 I??dx?011?x0dy?f(x,y,z)dz?

0xy (2)由曲面z?x2?y2及平面z?1所围成的闭区域? 解 积分区域可表示为

??{(x,y,z)|x2?y2?z?1, ?1?x2?y?1?x2, ?1?x?1}? 于是 I??dx??111?x2?1?x2x2?y222

dy?1f(x,y,z)dz?

(3)由曲面z?x?2y及z?2?x2所围成的闭区域?

解 曲积分区域可表示为

??{(x,y,z)|x2?2y2?z?2?x2, ?1?x2?y?1?x2, ?1?x?1}? 于是 I??dx??111?x2?1?x22

dy?22?x2x?2y2f(x,y,z)dz?

提示? 曲面z?x?2y2与z?2?x2的交线在xOy面上的投影曲线为x2+y2=1?

x2?y2?1 (4)由曲面cz?xy(c?0)? 22? z?0所围成的在第一卦限内的闭区域?

ab 解 曲积分区域可表示为

xy ??{(x,y,z)|0?z?, 0?y?ba2?x2, 0?x?a}?

ca于是 I??dx?0abaa2?x20dy?f(x,y,z)dz?

0xyc 提示? 区域?的上边界曲面为曲面cz?xy ? 下边界曲面为平面z?0?

2? 设有一物体? 占有空间闭区域??{(x? y? z)|0?x?1? 0?y?1? 0?z?1}? 在点(x? y? z)处的密度为?(x? y? z)?x?y?z? 计算该物体的质量?

解 M?????dxdydz??dx?dy?(x?y?z)dz??dx?(x?y?1)dy

000002?111111111 ??[xy?1y2?1y]0dx??(x?1)dx?1(x?1)2?3?

0200222

3? 如果三重积分???f(x,y,z)dxdydz的被积函数f(x? y? z)是三个函数f1(x)、

?f2(y)、f3(z)的乘积? 即f(x? y? z)? f1(x)?f2(y)?f3(z)? 积分区域??{(x? y? z)|a?x?b? c?y?d? l?z?m}? 证明这个三重积分等于三个单积分的乘积? 即

???f1(x)f2(y)f3(z)dxdydz??f1(x)dx?f2(y)dy?f3(z)dz?

?aclbdm 证明

???f1(x)f2(y)f3(z)dxdydz??a[?c(?l?bdmf1(x)f2(y)f3(z)dz)dy]dx

bmd ??[?(f1(x)f2(y)?f3(z)dz)dy]dx??[(f1(x)?f3(z)dz)(?f2(y)dy)]dx

acblalcbdm ??[(?f3(z)dz)(?f2(y)dy)f1(x)]dx?(?f3(z)dz)(?f2(y)dy)?f1(x)dx

alclcamdmdb ??f1(x)dx?f2(y)dy?f3(z)dz?

aclbdm 4? 计算???xy2z3dxdydz? 其中?是由曲面z?xy? 与平面y?x? x?1和z?0所围

?成的闭区域?

解 积分区域可表示为

??{(x? y? z)| 0?z?xy? 0?y?x? 0?x?1}?

xyz?xdx?y2dy?z3dz??xdx?y2[z]0dy 于是 ???xy2z3dxdyd?0000041xxy1x4?1x1 ?1?x5dx?y5dy?1?x12dx?1?

040280364 5? 计算????dxdydz? 其中?为平面x?0? y?0? z?0? x?y?z?1所围成的四面

(1?x?y?z)3体?

解 积分区域可表示为

??{(x? y? z)| 0?z?1?x?y? 0?y?1?x? 0?x?1}?

dxdydz11?x1?x?y1??dx?dy?dz 于是 ???33000(1?x?y?z)(1?x?y?z)? ??dx?011?x0[11]dy?1[1?3?1x]dx??02(1?x)88 2(1?x?y)28 ?(ln2?)?

1258提示?

11?x1?x?ydxdydz1?dxdy???(1?x?y?z)3?0?0?0(1?x?y?z)3dz

? ??dx?011?x0[11?x111]dy 1?x?y]dy?dx[?0?0?02(1?x?y)28?2(1?x?y?z)2 ??[01111?3?1x]dx ?x?1y]1dx?[0?02(1?x)88?2(1?x?y)815 ?[1ln( 1?x)?3x?1x2]1?(ln2?)?

2816028

6? 计算???xyzdxdydz? 其中?为球面x2?y2?z2?1及三个坐标面所围成的在第

?一卦限内的闭区域?

解 积分区域可表示为

??{(x,y,z)|0?z?1?x2?y2, 0?y?1?x2, 0?x?1} 于是

d?dx????xyzdxdy?00?11?x211?x2dy?1?x2?y20xyzd z ??dx?001xy(1?x2?y2)dy11??x(1?x2)2dx?1?

08248

7? 计算???xzdxdydz? 其中?是由平面z?0? z?y? y?1以及抛物柱面y?x2所围

?成的闭区域?

解 积分区域可表示为

??{(x? y? z)| 0?z?y? x2?y?1? ?1?x?1}? 于是

1y2dy xzdxdydz?xdxdyzdz?xdx?????1?x2?0??1?x22?11y11 ?1?x(1?x6)dx?0?

6?11 8? 计算???zdxdydz? 其中?是由锥面z?hx2?y2与平面z?h(R?0? h?0)所围

R?成的闭区域?

解 当0?z?h时? 过(0? 0? z)作平行于xOy面的平面? 截得立体?的截面为圆

2?RRR222Dz? x?y?(z)? 故Dz的半径为z? 面积为2z2? 于是 hhh

?R?zdxdydz?zdzdxdy???2?0??h?hDz2?0hz3dz??Rh? 422 9? 利用柱面坐标计算下列三重积分?

(1)???zdv? 其中?是由曲面z?2?x2?y2及z?x2?y2所围成的闭区域?

? 解 在柱面坐标下积分区域?可表示为 0???2?? 0???1? ?2?z?2??2? 于是

???zdv??0?2?d???d??012??2?2zdz

?2??1102?(2??2??4)d?

1 ???(2???3??5)d??7??

012

(2)???(x2?y2)dv? 其中?是由曲面x2?y2?2z及平面z?2所围成的闭区域?

? 解 在柱面坐标下积分区域?可表示为

?2?z?2? 0???2?? 0???2? 2于是

???(x2?y2)dv?????2??d?d?dz??d???3d??12dz

??2?22002?2?815 ??d??(2???)d???d??16??

000323 10? 利用球面坐标计算下列三重积分?

232? (1)???(x2?y2?z2)dv? 其中?是由球面x2?y2?z2?1所围成的闭区域?

? 解 在球面坐标下积分区域?可表示为 0???2?? 0????? 0?r?1?

解 平面的方程可写为z?c?x?y? 所割部分在xOy面上的投影区域为 D?{(x,y)|?于是 A?cacbxy?1, x?0, y?0}? ab??D22?z?zcc221?()?()dxdy???1?2?2dxdy

?x?yabD221cc??dxdy?2ab1?a2?b2? D22cc ?1?2?2ab 9? 在均匀的半径为R的半圆形薄片的直径上? 要接上一个一边与直径等长的同样材料的均匀矩形薄片? 为了使整个均匀薄片的质心恰好落在圆心上? 问接上去的均匀矩形薄片另一边的长度应是多少？

解 设所求矩形另一边的长度为H? 建立坐标系? 使半圆的直径在x轴上? 圆心在原点? 不妨设密度为??1g/cm3?

由对称性及已知条件可知x?y?0? 即

??ydxdy?0?

D从而 即

??Rdx??HRRR2?x2ydy?0?

1[(R3?x2)?H2]dx?0? ??R21亦即 R3?R2?RH2?0? 3从而 H?2R? 32R? 3 因此? 接上去的均匀矩形薄片另一边的长度为

10? 求曲抛物线y?x2及直线y?1所围成的均匀薄片(面密度为常数?)对于直线y??1的转动惯量?

解 抛物线y?x2及直线y?1所围成区域可表示为 D?{(x? y)|?1?x ?1? x2?y?1}? 所求转动惯量为

11368??

I????(y?1)dxdy???dx?2(y?1)dy???[8?(x2?1)3]dx??1x3?11052112D 11? 设在xOy面上有一质量为M的匀质半圆形薄片? 占有平面闭域D?{(x? y)|x2?y2?R2? y?0}? 过圆心O垂直于薄片的直线上有一质量为m的质点P? OP?a? 求半圆形薄片对质点P的引力?

解 设P点的坐标为(0? 0? a)? 薄片的面密度为??M?2M? 1?R2?R22 设所求引力为F?(Fx? Fy? Fz)?

由于薄片关于y轴对称? 所以引力在x轴上的分量Fx?0? 而

?R?2sin?m?y Fy?G??2d??m?G?d??d? 223/2223/200(x?y?a)(??a)D ?m?G?0sin?d??0(?2?a2)3/2d??2m?G?0(?2?a2)3/2d?

?R?2R?2224GmMR?a?RR)?

?(ln?a?R2a2?R2?Rm?a?2 Fz??G??2d???m?Ga?d??d? 223/200(?2?a2)3/2(x?y?a)D ???m?Ga

?0R2GmM(1?ad???)?

22(?2?a2)3/2R2a?R?2

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