【师说】2015高考数学(理)一轮复习课后练习：2.3 导数的应用(二)]

【师说】2015高考数学(理)一轮复习课后练习：2.3 导数的应用(二)]

．3 导数的应用(二

)

x32

1．函数f(x)＝＋x－3x－4在[0,2]上最小值是( )

3

1710A．－ B．－

33

64

C．－4 D．－32

解析：f′(x)＝x＋2x－3，f′(x)＝0，x∈ [0,2]只有x＝1.

1710

比较f(0)＝－4，f(1)＝－f(2)33

17

可知最小值为－3

答案：A

2．已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m是常数)，在[－2,2]上有最大值3，那么在[－2,2]上的最小值为( )

A．－37 B．－29 C．－5 D．－11

解析：由f′(x)＝0 x＝0或2.∴f(0)＝m，f(2)＝－8＋m，f(－2)＝－40＋m，∴m＝3，f(－2)＝－37.

答案：A

3．用边长为48 cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊接成铁盒，所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为( )

A．6 B．8 C．10 D．12 解析：设小正方形边长为x，铁盒体积为y. y＝(48－2x)2·x＝4x3－192x2＋2304x.

y′＝12x2－384x＋2304＝12(x－8)(x－24)． ∵48－2x＞0，∴0＜x＜

24.

一、选择题

∴x＝8时，ymax＝8192. 答案：B 4．(2014·潍坊期末)函数f(x)＝ex－x(e为自然对数的底数)在区间[－1,1]上的最大值是( )

1

A．1＋ B．1

e

C．e＋1 D．e－1

解析：因为f(x)＝ex－x，所以f′(x)＝ex－1.令f′(x)＝0，得x＝0.

且当x＞0时，f′(x)＝ex－1＞0，x＜0时， f′(x)＝ex－1＜0，即函数在x＝0处取得极

1

小值，f(0)＝1，又f(－1)＝1，f(1)＝e－1，综合比较得函数f(x)＝ex－1在区间[－1,1]上

e

的最大值是e－1.故选D.

答案：D

π1

0， 上的值域为( ) 5．函数f(x)＝ex(sinx＋cosx)在区间 2 2

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1x1x

解析：f′(x)＝e(sinx＋cosx)(cosx－sinx)

22

＝excosx，

π

0≤x≤f′(x)≥0，

2

π

0，上的增函数． ∴f(x)是 2π 1π

∴f(x)的最大值为f 2 ＝2e2

1

f(x)的最小值为f(0)＝2

π

0，上的值域为∴f(x)在 . 2答案：A 6．(2014·潍坊质检)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在定义域x∈[－2,2]上表示的曲线过原点，且在x＝±1处的切线斜率均为－1.有以下命题：

①f(x)是奇函数；②若f(x)在[s，t]内递减，则|t－s|的最大值为4；③若f(x)的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝0；④若对 x∈[－2,2]，k≤f′(x)恒成立，则k的最大值为2.其中正确命题的个数为( )

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

解析：由题意得函数过原点，则c＝0.又f′(x)＝3x2＋2ax＋b

.

f′ 1 ＝3＋2a＋b＝－1，则必有

f′ －1 ＝3－2a＋b＝－1. a＝0，解得

b＝－4.

所以f(x)＝x3－4x.

2令f′(x)＝3x2－4＝0得x＝.

3

则函数在[－2,2]上的最小值是负数．

由此得函数图象大致如图：得出结论是：①③正确；②④错误．故选B. 答案：B 二、填空题 7．若f(x)＝2x3－6x2＋3，对任意的x∈[－2,2]都有f(x)≤a，则a的取值范围为__________． 解析：由f′(x)＝6x2－12x＝0，得x＝0，或x＝2. 又f(－2)＝－37，f(0)＝3，f(2)＝－5， ∴f(x)max＝3.又f(x)≤a，∴a≥3. 答案：[3，＋∞) 8．(2014·湖州调研)设函数f(x)＝ax3－3x＋1(x∈R)，若对于任意x∈[－1,1]，都有f(x)≥0成立，则实数a的值为__________．

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解析：若x＝0，则不论a取何值，f(x)≥0显然成立．

31

当x＞0，即x∈(0,1]时，f(x)＝ax3－3x＋1≥0可化为a≥－xx

3 1－2x 31

设g(x)＝g′(x)

xxx111

0，上单调递增，在区间 1 上单调递减，因此g(x)max＝g ＝4，所以g(x)在区间 2 2 2从而a≥4.

31

当x＜0，即x∈[－1,0]时，同理，a≤xx

g(x)在区间[－1,0)上单调递增， ∴g(x)min＝g(－1)＝4，

从而a≤4，综上，可知a＝4. 答案：4

9．将边长为1 m的正三角形薄铁皮沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯

梯形的周长 2

形，记s＝s的最小值是__________．

梯形的面积

解析：如图，设AD＝x(0＜x＜1)，则DE＝AE＝x， ∴梯形的周长为x＋2(1－x)＋1＝3－x

.

2， 4

33

∴梯形的面积为x2.

442

3x－6x＋9∴s×＜x＜1)．

31－x－8 3x－1 x－3

∴s′3 1－x 111

0，时，s′＜0，s递减；当x∈ ，1 时，s′令s′＝0得x＝或3(舍去)，当x∈ 3 3 3

13

＞0，s递增；故当xs的最小值是.

33

323答案：3

三、解答题

10．已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，是否存在实数a、b，使f(x)在[－1,2]上取得最大值3、最小值－29？若存在，求出a，b的值，若不存在，请说明理由．

解析：显然a≠0，f′

(x)＝3ax2－12ax＝3a(x2－4x)． 令f′(x)＝0，得x＝0或x＝4(舍去)． (1)当a＞0时，如下表：

又S△ADE＝

∴当x＝0时，f(x)取得最大值，f(0)＝3， ∴b＝3.

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又f(－1)＝－7a＋3＞f(2)＝－16a＋3， ∴最小值f(2)＝－16a＋3＝－29，a＝2. (2)当a＜0时，如下表：

∴当x＝0时，f(x)取得最小值，∴b＝－29. 又f(－1)＝－7a－29＜f(2)＝－16a－29， ∴最大值f(2)＝－16a－29＝3，a＝－2.

a＝2， a＝－2，

综上， 或

b＝3b＝－29.

11．某商场销售某种商品的经验表明：该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格

a

x(单位：元/千克)满足关系式y＝10(x－6)2.其中3＜x＜6，a为常数．已知销售价格为

x－3

5元/千克时，每日可售出该商品11千克．

(1)求a的值；

(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．

解析：(1)因为x＝5时，y＝11，

a

10＝11，a＝2.

2

(2)由(1)可知，该商品每日的销售量

2y＝10(x－6)2. x－3

所以商场每日销售该商品所获得的利润

22

f(x)＝(x－3) x－310 x－6

＝2＋10(x－3)(x－6)2,3＜x＜6.

从而，f ′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]＝30(x－4)(x－6)． 于是，当x

所以，当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.

答：当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大． 12．设f(x)＝ln x，g(x)＝f(x)＋f ′(x)． (1)求g(x)的单调区间和最小值；

1

(2)讨论g(x)与g()的大小关系；

x

1

(3)求a的取值范围，使得g(a)－g(x)＜x＞0成立．

a1

解析：(1)由题设知f(x)＝lnx，g(x)＝lnx＋

x

x－1

∴g′(x)＝g′(x)＝0得x＝1，

x

当x∈(0,1)时，g′(x)＜0，故(0,1)是g(x)的单调减区间，

当x∈(1，＋∞)时，g′(x)＞0，故(1，＋∞)是g(x)的单调增区间，

因此，x＝1是g(x)的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以g(x)的最小值为g(1)＝1.

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1

(2)g(＝－lnx＋x，

x

11

设h(x)＝g(x)－g(＝2lnx－x＋，

xx2

x－1

则h′(x)＝－，

x1

当x＝1时，h(1)＝0，即g(x)＝g(；

x

当x∈(0,1)∪(1，＋∞)时h′(x)＜0，h′(1)＝0， 因此，h(x)在(0，＋∞)内单调递减， 当0＜x＜1时，h(x)＞h(1)＝0，

1

即g(x)＞g(；

x

1

当x＞1时，h(x)＜h(1)＝0，即g(x)＜g(．

x

(3)由(1)知g(x)的最小值为1，所以，

11

g(a)－g(x)＜x＞0成立 g(a)－1lna＜1，从而得0＜a＜e.

aa

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/44fm.html