解答微积分BI(A)试卷

2006-2007学年第一学期〈微积分(B)I〉期末考试试卷(A)答案

11．(6分)求极限?3?5?x?. lim??x?0?2??1]xx?xx?[3?5??解：原式= lim??1?[?1]??x?0?2??????3x?5x?1?=exp?lim??1???x?0?2??x??00?????[]1x??exp?lim??x?0?1?? x???3xln3?5xln5?1??ln3?ln5??exp?lim??exp?? ???x?022????1??=15

评分:做到第1、2、3、4、5、6个等号后，给到2、3、3、5、6、6分。 2．(6分) 设解：y???12xy?cosx?cosx?cosx，求y?.

sinx?12cosxsinx?14xcosxsinx.

评分: 结论的3项, 1项2分.

?1?x2n??的连续性,如有间断点,判别其类型. ?x3．(7分) 讨论函数f(x)?lim??n???1?x2n???x,?解：f(x)???x,?0,?|x|?1??1?x?1,|x|?1?x?1或x??1, |x|?1?x?1或x??1.显然 f (x ) 在(??,?1),(?1,1),(1,??)连续.

?f(1)?1,f(1)??1,?x?1是一类跳跃间断点. ?f((?1))??1,f((?1))?1,?x??1是一类跳跃间断点.

????评分: f (x )的3行,1行1分;连续行1分;最后2行3分(对1行2分).

4．(8分)设 y=y(x) 由方程x?y?3确定,求曲线y=y(x) 在(1,2)处的切线方程.

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yx|解: 切线 y?y0?(y?xx?x0,y?y0)?(x?x0)

(xy?yx)?x?(3)?x?xy(y?lnx?yx1x)?y(lny?xx1yy?)?0x

?(y?|)??2?2ln2; 将x?x0?1,y?y0?2代入,得y?xxx?x0,y?y0所求切线方程: y?2?(?2?2ln2)?(x?1). 评分:做到第1、2、3、4行后，给到1、5、7、8分 5．(6分) 填空题: 已知 f (x) 二阶导数连续,且lim则f(0)?,f?(0)?f(x)?1?2xx2x?0?3,

,f??(0)?.

解: 填 -1, 2, 6. 评分: 一空2分. 6．(7分) 求函数4y?(x?2)(2x?1)的单调区间和极值点(不必算极值).

45354解: y??5(x?2)(2x?1)?(x?2)4(2x?1)2

?(x?2)(2x?1)[18x?11]

43所以有表 x -1/2 11/18 2 y’ + 0 - 0 + 0 + y 增加 极大 减少 极小 增加 驻点 增加 ?单增区间为（??，?1/2]，[11/18，??）；单减区间为[?1/2，11/18].

极大值点-1/2; 极小值点11/18.

评分: y’ 正确(第2个等号后)3分,表第1行1分, 第2行1分, 第3行2分;最后两行(方括号可用圆括号代替)可以代替表4分. 7．(8分) 求曲线 y?2x?3x?3x?2x?x232 的所有的渐进线的方程.

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解: 垂直 (间断处x=0,x=-1可能) :

?limy??,x?0?x?0是垂直渐进线.

?x??1limy?lim2x?3x?3x?2x?x232x??1?lim6x?6x?32x?12x??1??,x??1不是垂直渐进线.

斜渐进线(含水平渐进线k=0):

?k?limyx?2,x??b?lim(y?kx)?lim[x??x??2x?3x?3x?2x?x232?2x(x?x)x?x22]??3?2??5

?y?kx?b?2x?5是斜渐进线(无水平渐进线).

评分:第1、2、3、4、5、6、7行分别给0、2、2、0、1、2、1分(无第3行减2分). 8．(8分) 证明: 当x?0时，ln(1?x)?arctanx1?x.

解: 令H(x)?(1?x)ln（1?x）?arctanx.

（1?x）?1?则 x?0时，H?(x)?ln11?x2?ln(1?0)?0?0;

x?0时，H(x)单增(广义），; x?0时，H(x)?H(0)?0?所证.

评分:做到第1、2、3、4行后，给到3、6(?0给1分）、7、8分 9．(7分) 求由抛物线 y?x及直线y?x?2 所围图形的面积. 解:如图

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2B 所求为两粗线所围月牙形区域的面积，为求A、B，

解 y2?x,y?x?2?y2?y?2?y??1(A点）或y?（2B点）

3?y2y?92[y?2）?y]dy???2y??故 所求=?（ ?3??12?2?122评分:只看最后一行，做到第1、2、3个等号后，给到4(限2分,函数2分)、6、7分 10．(8分=4+4分) 设a ,b 为常数,且ab?0, (1)求不定积分

acosx?bsinxx?bsinxcosxsinxdx, I2??dx; (2)求不定积分 I1??acosx?bsinxacosx?bsinx?asinx?bcosxdx?ln|acosx?bsinx|?C 解: (1) ?acosx?bsinxacosx?bsinxdx?x?C ?acosx?bsinx??asinx?bcosxdx,

?acosacosx?bsinxdx;

(2)由(1)及积分的线性性质可知

bI1?aI2?ln|acosx?bsinx|?C aI1?bI2?x?C

由克莱姆法则(注意算时不要C,最后加个C)

ln|acosx?bsinx|I1?D1D?xbabI2?D2D?aba?ab?ab?C?1a?b22[bln|acosx?bsinx|?ax]?C

ln|acosx?bsinx|x?ab?C?1a?b22[?aln|acosx?bsinx|?bx]?C

评分: (1)前3分,后1分; (2)列方程2分,解方程2分.

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1211．(9分=5+4分) 积分计算 (1)求?ln(1?x)dx；(2)求?ln(1?x)dx.

20解: (1)

?ln(1?x2)dx?xln(1?x)?(?2)?2x?1?11?x1222dx

?xln(1?x)?2[?x?2ln!?x1?x]?C

(2) 所求?{xln(1?x)?2[?x?212ln!?x1?x12]}0

1 ?（lim{xln(1?x)?2[?x?x?1?2ln!?x1?x]}）?0

（1?x）?2x?ln（1?x）]?lim[xln(1?x)?ln（1?x）] ?lim[xlnx?1?x?1? ?2ln2?2?limx?1ln(1?x)?(x?1)?1?2ln2?2?lim?x?1?(1?x)?(x?1)?1?2?2ln2?2

评分: (1)前3分,后2分; (2) 做到第1、2、3、4、5、6个等号后，给到0、2(有“-0”给1分)、3、3、3、4分.

x12．(6分) 若 f (t ) 是连续的奇函数,证明?f(t)dt是偶函数.

0解:令u=-t ,注意 f 是奇函数,则

?xxx?0f(t)dt??0f(?u)(?1)du??0f(t)dt

xx故?f(t)dt是偶函数.(注意本题?f(t)dt?F(x),证F(?x)?F(x))

00评分: u=-t 2分; 第2行3分, 第3行1分.

13．(6分) 设半径为R 的球体的体密度??r,其中r是球内任一点到球心的距离,求球

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体的质量.(注意均匀物体的质量等于其体密度与体积的乘积)

解: 将球分成一层一层的同心球壳,与球心距离在 [ x, x+dx ] 中的球壳质量为 dM, 体积为 dv , 则

RRR 所求=M??dM0???dv0??x02(4?xdx)?24?R55

评分:只看最后一行，积分限1分，dM??dv?x2dv 1分，dv?4?xdx 3分，结论1分.

14．(8分) 设f??(x)?0,f(0)?0,证明：.

对任意a?0,b?0,都有f(a?b)?f(a)?f(b)

2解1: 由中值定理

f(a?b)?f(a)?f?(?1)b,a??1?a?b ,0??2?b

f(b)?f(b)?f(0)?f?(?2)b则 左?右?f(a?b)?f(a)?f(b)?[f?(?1)?f?(?2)]b 由于f??(x)?0,所以f?(x)单减, 不妨设b?a,

则0??2?b?a??1?f?(?1)?f?(?2)?[f?(?1)?f?(?2)]b?0 故 左?右?0.

评分:第1、2、3、4、5、6、7、8行分别给0、2、2、0、1、1、1、1分(第4、8行一起1分).

解2: 令H(x)?f(x)?f(a)?f(a?x)， 则 x?0时，H?(x)?f?(x)?f?(a?x);

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由于f??(x)?0,所以f?(x)单减,

故由a?0?x?0时，H?(x)?f?(x)?f?(a?x)?0 x?0时，H(x)单增;

b?0时，H(b)?右?左?H(0)?0.

评分:做到第1、2、3、4、5、6行后，给到3、4、5、6、6、8分

601?|x|601?|x?4|附加题1．(10分) 求f(x)??在(??,??)上的最值及值域.

解2: 因为解f(x)连续，所以f(x)的最值只能取在驻点、不可导点和区间端点。对于开区间，算其端点的函数极限值，如极限值最大(小),函数无最大(小)值.又连续函数的值域在最值(包括前面说的极限值)之间(如有极限值,值域不包含极限值).

60?60??1?x1?x?4,?60?60?f(x)???,?1?x1?x?460?60?,?1?x1?x?4?x?0,0?x?4, 4?x.?6060?,?22(1?x)(5?x)?6060??f?(x)????,22(5?x)?(1?x)6060???,2?(1?x)2(x?3)?x?0,0?x?4, 4?x.不算 x=0,x=4 的导数, 把x=0,x=4 当做最值嫌疑点. 令f?(x)?0,显然x?0时,f?(x)?0无解;x?2.

x?4时,f?(x)?0也无解.，

而0?x?4时,f?(x)?0的解为计算所有最值疑点的函数值

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f(??)?f(??)?0,f(0)?f(4)?72,f(2)?40

所以函数的最大值为 72 , 无最小值; 值域为 (0,72 ] .

评分: 分段的函数与导数各1.5分(一段0.5分),求出驻点3分(一段1分), 最值疑点的函数值: 极限值1分, 函数值1分; 两个结论,一个1分. 附加题2．(10分) 设f (x)是连续函数, a>0是一个常数, 证明

a?12?2a?dx?f??x?x2?x???a?12?a?dx?f??x?x?x.

??解: 令u?x,则2

dxx?2xdx2x2?du2ua2a2?左??1?a?du1??f?u???u?2u2?a22a2?122?a?dx?f??x?x?x

??aa111111????左?右???????????????211212a21212?a1?aaaa2????2?a?dx?f??x?x?x

??令t?ax,则

a2?a2?a?dx?f??x?x?x???1?a?a2??t?2a2dt?f???t?t?t?1a2??a?12?a?dx?f??x?x?x

???左?右?0.

评分:做到第1、2、3、4、5、6行后，给到2、4、6、8、10、10分.

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