对数正态分布伪随机数的产生与检验

对数正态分布伪随机数的产生与检验

第２７卷第６期２００７年１１月

天津商学院学报

Ｖｏ！．２７Ｎｏ．６Ｎｏｖ．２００７

ＪｏｕｒｎａｌｏｆＴｉａｎｊｉｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＣｏｍｍｅｒｃｅ

对数正态分布伪随机数的产生与检验

滕建辅１，梁静毅１，滕颖２

（１．天津商业大学信息工程学院，天津３００１３４；２．天津大学电子信息工程学院。天津３０００７２）

摘要：本文给出了一种产生对敷正态分布伪随机教的算法以厦相应的检验方法，产生的均匀分布随机序列。经近似抽样产生正态分布的随机敦，弄经变换抽样最终产生对敷正态分布的随机序列。采用卡方检验验证其是否符夸对数正态分布。计算实例表明，所给出的方法具有产生伪随机敷速度快、微量大、方差小和较长的周期等特点。具有较太的工程实用价值。计算结果验证了所给方法的正确性。

关键词：伪随机敷；均匀分布；正态分布；对数正态分布；卡方检验；工程模瓤中围分类号：０２１１．６

文献标识码：＾

文章编号：１００１—０２６２（２００７）０６—０（３０１—０５

随着计算机仿真技术的发展，伪随机数的产生引起了许多学者的关注”。１。伪随机数发生器广泛应用于电子电路的成品率设计、蜂窝移动通信系统的小区容量分析、ＣＤＭＡ关键技术的仿真、数字水印技术、ＤＶＢ信道编解码与调制解调以及信息安全等诸多领域。

对于一个高质量的伪随机数发生器，它所生成的伪随机数序列应具有不相关性，即序列的任意数值间相互独立。理想的伪随机数系列应是串行不相

正态分布伪随机数的产生以及对这些伪随机数如何检验却报导的不多。本文给出了对数正态分布伪随机数的产生以及用卡方分布检验其均匀性的方法。计算结果表明，本文所给出的方法产生伪随机数速度快，数量大，而且具有较小的方差和较长的周期等特点。

一般情况下，只要所用的伪随机数序列（ｒ口）满

足均匀性和不相关性，由（ｒ１）产生的ｒ（ｘ）的简单子样就严格满足独立同分布于Ｆ（＊）的特性。所以本文先产生（ｏ，１）区间的均匀分布随机数，然后通过抽样生成正态分布的随机数以及对数正态分布的随机数。

关的，也就是说序列中的任何一个子序列与其他子

序列之间应是不相关的。其次，生成的伪随机数序列应具有均匀性，即满足一个确定的概率分布。

伪随机数发生器在满足上面特点的同时，所生成的伪随机数还应具有长的周期。理想的随机数序列的周期应该是无限长的，但对于由一定算法产生

１算法原理

１．１均匀分布随机数的产生

的伪随机数其必然有一定的周期性，导致随机数出

现一定的相关性和重复性。伪随机数发生器研究的

目前，有多种生成（ｏ，１）均匀分布随机数的方

法，如平方取中算法洞余算法以及Ｔａｕｓｗｏｒｔｈｅ序列

等。在这些算法中，线性同余发生器是目前应用较

广的一种生成均匀分布随机数的方法，其表达式为

目标就是利用现有工具，拓展伪随机数的周期，使其

在一定长度内表现为均匀不相关或者使其伪随机序列的相关性越小越好。

用数学递推公式产生的随机数需要经过统计检验才能决定在实际中能否应用。近年来。许多学者都致力于伪随机数产生的研究，大量文献介绍（ｏ，１）区间均匀分布伪随机数的产生和检验，但对对数

收稿日期：２００７－１０—１５

矗＋１＝ａｘ．＋ｃ（ｍｏｄｍ）（１）

式中ｎ、ｃ为常量，ｍ为模数，它们均为正整数。诚＋ｃ

对ｍ做模运算后就得到置＋。。由此产生序列（丑），ｘｏ是程序开始时给定的初始值。此算法对于ａ、ｃ以及

蜀的选取没有什么规律可寻，随机数的不相关性与参

作者简介：辟建辅（１９５４一），男，山东潍坊人，教授，博士生导师．主要从事电路设计与信号处理的研究。

万方数据　

对数正态分布伪随机数的产生与检验

．２．

天津商学院学报

２００７年

数以及初值的选取有很大关系。可以证明，取ｍ＝ｒ，可以获得的随机数的最大周期为ｒ＝２“２。

为了提高伪随机数的质量，文献［１］在产生均

匀分布随机数时，提出了两种算法对原来线性同余发生器的算法进行了改进。本文采用文献［１］中的

算法产生（０，１）区间的均匀分布随机数，其基本原理如下：

（１）将ｘ的初值设定为一个３２位的整数，然后将低１６位作为伪随机数输出，高１６位作为下次运

算的进位（即ｃ），系数＆乘以前一个随机数的低１６

位值，加上其高１６位的值ｃ，得到本次运算的３２位

结果，将其低１６位取出，作为下一个伪随机数输出。将产生出的（兄）序列对ｍ进行模运算，最终得到符

合（Ｏ，１）均匀分布的随机序列。试验证明，由此产

生的随机序列的周期明显加长，但是在一定长度内，如５００００，随机数重复出现的概率较大，有的甚至重复出现了１０次之多，也就是说在一定程度上影响了随机数的均匀性。

（２）针对上述问题，再做以下改进。在程序中同时产生两个形如ｘ的随机序列（丘）、（ｊ：－），分别做步骤（１）所叙述的运算，将每次产生的两个３２位的伪随机数的低１６位分别取出，然后进行位拼接，

形成一个３２位的新随机数，虽然两个序列都存在随机数重复的问题，但因为那不是按照周期重复出现

的现象，而是算法本身导致的，也就是说在一个很长的周期中重复出现某一个数，但并不具有一定的重现期，故将两个数进行拼接后，随机数重复出现的现象大大减少。将新产生出的（丢）序列２”一１对进行模运算，这样就可以得到一个周期很长而且均匀

性很好的均匀分布随机序列。有关的详细过程可以参考文献［１］。

１．２正态分布抽样

随机变量的抽样是直接地或间接地由均匀分布

的总体产生已知分布，（＊）的简单子样。鉴于所需要的随机数服从正态分布，鉴于直接抽样，变换抽样，设选抽样运算量太大，而且抽样效率太低等特点，这里采取近似抽样的方法生成服从正态分布的随机序列。

设ｒ，，／＇２，…，ｒ－为ｎ个相互独立的均匀分布在［０，１］区间上的随机数，由于Ｅ（ｒ）＝１／２，Ｄ（ｒ）＝１／１２，根据独立同分布的中心极限定理推知，当ｎ充分大时，变量

万　

方数据ｒ＿＝／６：掣

Ｙ，．旦

盯

（２）

／“

～１２

服从Ｎ＝（肛，口２）。试验中取ｎ＝１２可以达到很好的精度。故

掣＝∑ｒｉ一６＝∑Ｐ∑（１一ｒ１）（３）

当且取０，口取ｉ且ｎ充分大时，即可以得到近似正态分布Ｎ（ｏ，１）的随机数。１．３对数正态分布抽样

变换抽样的方法的一般过程为：先抽样产生ｘ

的一组样本（置），然后通过变换ｙｆ＝ｇ（Ｘｉ）得到ｙ的一个容量为Ⅳ的子样。设工具有密度函数以＊），

数，则Ｙ＝ｇ（ｘ）是一个新的随机变量，设其反函数

为Ｘ＝妒（Ｙ），则ｌ，的概率密度为

，［妒（ｙ）］Ｉ妒７（ｙ）Ｉ（４）

本文中，对数正态分布的随机序列正是应用此

方法产生的。

ｆ（ｘ）＝赢ｅ印｛－毗旁业｝

对数正态分布的密度函数为

（５）

其中，ｚ≥ｏ，Ａ为常数。由已经得到的正态分布的容量为Ⅳ的样本序

列。应用抽样公式

Ｅ＝口＋ｅｘｐ｛口７置－Ａｌ（６）

抽取产生对数正态分布的随机序列，其中（置）即是已经抽样产生的符合Ｎ（０，１）正态分布的随机

序列。为简单起见，程序中，将口，Ａ均取为０。故抽样公式变为

Ｋ＝ｅｘｐ（口’Ｘｉ）

（７）

１．４卡方检验

对于抽样得到的样本序列（Ｅ），我们来检验关

于样本空间分布的一种假设：

风：观测结果落在第ｉ组的概率为ｎ。

卡方检验的基本思想是：将样本空间ｓ分成互不相容的ｋ组，记＾为第ｉ组的观测频数，ｉ＝１，２，…，＆，而原假设巩是“观测结果落在第ｉ组的概率

为Ｐ；”，且有∑Ｐ。＝１，令吼＝Ｎｐ。，为第ｉ组的理论

频数，检验原假设就是比较观测频数＾与理论频数

Ｙ＝ｇ（ｘ）为一一对应的变换，且具有非零的连续导

对数正态分布伪随机数的产生与检验

第６期滕建辅，等：对数正态分布伪随机数的产生与检验

砚之间的差异是否显著，Ｋ．Ｐｅａｒｓｏｎ提出用统计量公式（８）便可以得到‰。￡，。（ｄ）的理论值通过程

序运算产生，然后进行比较。

妊＝砉垒≠＝砉与≯㈣

作为衡量分布（ｐ。，…，Ｐ。）与实际数据的偏差，其证明的极限定理如下：

当ｘ的理论分布确为（ｐ，，…，ｎ）时，有Ｋ。一

（２），分布的分位数的计算

所谓，分布的分位数的计算，就是计算，分

布的上侧概率

Ｚ。即当Ｎ足够大时，可以近似地认为ｘ，的分布

就是毹一ｔ。

依据这个定理，提出第一种检验方法如下：当

ｄ＝Ｉ—Ｆ盯；Ⅳ）＝Ｊｆ（ｕ；ｎ）ｄｕ

≥

（１０）

的逆函数，其近似计算公式为

蝓瑚：一。（ｄ）时，否定风，否则就接受风。其中

Ｚ一。（口）为Ｘ２统计上侧概率为ａ的分位点。蠢．。（ａ）满足ｎ＝

的密度函数。

当ｎ≤２时ｔ（１）＝《，爿：（２）＝一２１ｎ

ａ

（１ｌａ）

（１ｌｂ）

当ｎ≥３时，Ｚ（ｎ）＝（ｕ。＋川五；习）２／２

改进

其中‰是Ｎ（０，１）的分位数。为了得到更精确的结

Ｊ，（＃）如，其中以ｘ）为，分布＿Ｚ（４）

果。可以Ｚ（ｎ）为初值，利用牛顿迭代法对公式进行

另外依据这个极限定理，也可以提出另一种检验方法，称为拟合优度。设就某一组具体数据算出

ｘ．＋Ｉ：＊ｉ一尝ｌ：０，１．２，…（１２）

托““ｔ一了瓦厂‘２＾’…

¨２ｉ

公式中用到的ｒ分布的下侧概率Ｐ的求法，在

后面给出。求解公式中的正态分布的分位数ｕ。，即是求解

秭之值为ｃ，计算概率Ｐ（＾，ｃ）＝Ｐ（采．，≥ｃ）。Ｐ（Ｉ，ｃ）的意义是：当假设风成立而』、ｒ相当大时，偏差“

取不小于Ｃ的值的可能性的大小，把这个概率称为

拟合优度。由于，分布是一个中间隆起的单峰分

布，典型的符合良好的情况应Ｐ（ｋ，ｃ）是在０．３—０．７的范围内，Ｐ（＾，ｃ）过小固然反映拟台不佳，但过大接近１的Ｐ（＾，ｃ）也难免使人对数据的真实性产

生怀疑。

ａ＿ｌ－咖（‰）２』—者｛山Ｉｌ’…

公式的反函数，其近似公式为

ｒⅡ’日０＜ａ＜Ｏ．５

（１３）

卢＝ｄ

（１）确定分组个数＆

一般而言，分组的个数＾与样本观测值的取法有关，与样本总量Ｊ】ｖ有关，也与实验数据的分布性质有关，其总的原则是＾的值不宜过大，ｋ值过大导致出现若干频数为０的区间。％值也不宜过小，过小出现不可解释的错误结论，参考数据如表１所示。

裹１样本总量与分组数

Ⅳ１００

２００

５００

１０００

２０００

５０００

１０ｏｏｏ

５０ｏｏｏ

‰＝｛Ⅱ’口０．５＜ｄ＜Ｉ卢＝Ｉ—ｄ

【０Ｉ

ｊ

（１４）

其中，ＩｔＩ＃一（ｙ∑ｂｌｙ‘）２，ｙ＝一ｌｎ［邻（１一卢）］；６．为

参数。

公式在Ⅳ大于４５且ｄ较小时准确率较好，但当Ⅳ较小时和准确值差别较大。还可以将得到的

，（ｎ）值带人ｒ分布的分布函数中，得出ａ，与ａ的

给定值相比较的方法确定抽样是否符合已知分布。

（３），分布的上侧概率Ｏｔ的计算

ｒ分布的密度函数为

＾１０—１２１４—１６

２０一丝２８—３０３６—３９５０一５６鹤一７４１２０一１４２

，（，（ｎ）；ｎ）＝ＪＬｆ辽监ｒｅ善（１５）？ｒ（ｎ、ｘ

将长度为［Ｏ，３口］的区间按照等距离分组的方法分组，对对数正态分布的密度函数进行积分，得到样点落在每个区间的理论频率

上侧概率ｄ为

一‘、ｎ，

２

ｚ

只＝』高贯一（一警）出

ｉ＝Ｉ，２，…ｋ

ａ＝ｌ－Ｆ瓴２（ｎ）；ｎ）＝Ｉ以ｕ；ｎ）ｄｕ

÷

（１６）

ｔ

（９）

其中

Ｆ叼（ｎ）；ｎ）＝ｆ，（ｐ；／７，）如

６

（１７）

再用公式：ｍ。＝＾≯。，算出各组的理论频数，运用

因为Ｊ１分布的分布函数Ｌ（ｐ）可以由递推公式求出

万方数据　

对数正态分布伪随机数的产生与检验

天津商学院学报

２００７盎

，Ｉ（ｐ＋ｉ）＝‘缸）一言以（ｐ）

（１８）

以（ｐ＋１）２言玑（ｐ）

（１９）

其中，仉（ｐ）＝矿ｅ”／，（ｐ），故只要知道了Ｌ（肛）和址（芦）的初值，就可以求出Ｆ分布的密度函

数和分布函数，而，分布的分布函数可以由Ｆ分布导出，故可以利用上面的递推公式来间接计算，（ｎ）

，口（ｎ）；ｎ）＝Ｌ（号）

（２０）

初值的选取为：

ｎ删‘（｛）＝ｚ』去等如，

玑（吉）＝√寺ｅ一；

（ｚ ａ）ｎ为偶数时Ｌ（１）＝１一ｅ５，玑（１）＝￡ｅ。

（２１ｂ）

公式中ｆ了杀善舡，可以由标准正态分布的

下侧概率公式导出，即

中（以．）一丁１

２』—杰亍等如一号＝

』去等如

（２２）

而计算标准正态分布的分布函数的近似公式为

ｆ导Ｅ，（ｇ）＋０．５（。≥ｏ）

酬小仁争，ｆ（ｘ㈨删。３’

其中，误差函数Ｅ，“＊）＊ｌ一（１＋耋ａ∥）。６，＊＝

ｉｌｕｌ，ａ；为参数。

这样将卡方检验得到的，（ｎ）带人到卡方分布

上侧概率口的计算公式中，得到统计量对应的概率值，如果ａ大于给定值则接受假设，否之则拒绝假设。本试验中运用前文所述的均匀分布的伪随机数发生器，产生了６０００００个（Ｏ，１）均匀分布的伪随机数。将其按照等距离的方法分为１２５组，经检验可

以得到表２。

万　

方数据表２均匀分布卡方检验

可见由拼接成３２位后产生的随机序列具有更好的均匀性，因为随机数产生在（０，１）这个很小的范围内，所以二者的ｒ检验值差异不大。

将（０，１）均匀分布的伪随机数１２个分为一组，由近似抽样方法，产生５００００个正态分布随机数。同样按照等距离的方法将［－３０－ｔ§，３０＂］￡毒］的距离分成１２５组，同样对此范围内的随机数进行了卡方检验，比较上面两种方法，可以得到表３。

表３正态分布卡方检验

，（ｎ）值

５０ｏｏｏ１６位１１４．９１ｌ４３拼接３２位

“５５８１６

圈１正态分布抽样分布

围２对数正；螽分布抽样分布

由正态分布的随机数变换抽样产生对数正态分布的随机数。由于对数分布的随机数的离散性较小，故对［ｏ，３９髓Ⅲ§］范围内的数进行统计，将此距离按照等距离的方法分成１２５组，比较两种方法，可以得到表４。

２抽样结果与分析

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第６期

滕建辅，等：对数正态分布伪随机数的产生与检验

裹４对敛正态分布卡方检验ｒ（ｎ）值

１６位拼接３２位

５００００１１８２５７３９１１８５７３３９

分布的伪随机数的算法。４结论

本文给出了一种产生对数分布正态伪随机数的算法以及相应的检验方法。首先产生（０，Ｉ）均匀分布随机序列，经近似抽样产生正态分布的随机数，再经变换抽样最终产生对数正态分布的随机序列。经卡方检验，验证其是否符合对数正态分布。计算实例表明，本文所给出的方法产生伪随机数速度快，数量大．而且具有较小的方差和较长的周期等特点，具有较大的实用价值，可用于系统仿真、测试及其它诸多工程领域。

致谢：感谢天津大学电子信息工程学院昊裕功教授在启发式教学中提出了对数正态分布伪随机数的产生厦检验这一课题以及对论文所提出的建议和参考资料。

：

而当Ｋ＝１２５，由程序产生的理论卡方分位数：艋∞１＝１６８．４５９，毹Ⅻ＝１７２．７３２

可见均满足ｒ（ｎ）≤ｔ，故可以认为由以上两种方法抽样得到的随机数序列符合对数正态分布。由统

计出的，（ｎ）值计算，可以得到其上侧概率为：

ａ＝１一，（１１８．５７３３９；１２４）＝Ｏ．６４４

７８３

由０．６２０６７１＞０．０１，也可以得出结论，随机序

列符合对数正态分布。通过图示可以更直观地表达由此方法产生的伪随机数较好地符合规定的分布形式，分别如图Ｉ、图２所示。

３模型的评价

由产生均匀分布的伪随机数的算法产生的随机序列周期很长，而且进行位拼接后随机数的重复性大大减小，使得对数正态分布伪随机数发生器的可扩展性得到了很大程度的提高。

每产生１２个均匀分布的伪随机数后，即生成一个正态分布的伪随机数，所以数组的最大容量只有

５０

参考文献：

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４８９—４９３．

０００而不是６０００００，节省了存储空间。

产生正态分布伪随机数的近似抽样，算法简单，

近似性较好。

本算法的关键是寻找一种快速优良的产生均匀

［５］张桂华，龚志勇．长伪随机序列实时相位快速计算算法研究

［Ｊ］．无线电工程．２００６，３６（１１）：３６－３７．

ＡｌｇｏｒｉｔｈｍｓｆｏｒＧｅｎｅｒａｔｉｎｇａｎｄＴｅｓｔｉｎｇＬｏｇｎｏｒｍａｌＰｓｅｕｄｏｒａｎｄｏｍＮｕｍｂｅｒｓ

ＴＥＮＧＪｉａｎ．ｆｕｌ，ＬＩＡＮＧＪｉｎｇ．ｙｊｌ，ＴＥＮＧＹｉｎ９２

（１．ＳｃｈｏｏｌａｆＩｎｆｏｒｍａｔｉｏｎＥｎｇｌｎｅｔｔｉｎｇ，ＴｉａｎｊｉｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ０ｆＣｏｍｍｅｒｃｏ，Ｔｉａｎｊｉｎ３００１３４，Ｃｈｉｎａ；２．ＳｃｈｏｏｌｏｆＩｎｆｏｎｎａｔｉｏｎＥ｜Ｉｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｔｉ蛐ｊｉｎＵｎｉｖｅ．ｒａｉｔｙ，Ｔｉ蚰ｊｉｎ３０００７２，Ｃｈｉｎａ）

Ｅｌｍｎｌｃ

Ａｂｓｔｒａｃｔ：ＡｌｇｏｒｉｆｌｍＭｆｏｒｇｅｎｅｒａｔｉｎｇｇｏｒｉｔｈｍ

ａｎｄｔｅ日ｈ。培ｔｈｅｌｎｇｎｏｒｍａｌｐ自ｅｕｄｏｒａｎｄｏｍｎｕｍｂｅｒｓ

ａｒｅ

ｇｉｖｅｎｉｎｔｈｅｐａｐｅｒ．Ｆｉｒｓｔ，ａｎ

８１．－

ｆｏｒｇｅｎｅｒａｔｉｎｇ（０．１）ｕｎｉｆｏｒｍｌｙｄｉｓｔｒｉｂｕｔｅｄｐｓｅｕｄｏｒａｎｄｏｍ１１９ＪＪｘｌｂｅｉ镕ｉｓｉｎｔｒｏｄｌｌｏｅｘｌ，ａｎｄｔｈｅｎｔｈｅｎｏｒｍａｌｌｙｄｉｓｔｒｉｂｕｔｅｄ

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ｔｈｅｖａｌｉｄｉｔｙｏｆｔｈｅｇｉｖ即ｍｅｔｈｏｄ．Ｔｈｅｕｓｅｄｆｏｒｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇｓｉｍｕｌａｔｉｍａ．

Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｐｓｅｕｄｏｒａｎｄｏｍｎ１１］１１ｌＭｃｅ；ｕｎｉｆｏｒｍｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ；ｎｏｒｍａｌｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ；ｌｏｇｎｏｒｍａｌｄｉｓＬｒｉｂｕｆｉｏｎ；Ｘ２ｔ∞ｌ；ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ

ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ

（责任编辑高俊丽）

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对数正态分布伪随机数的产生与检验

对数正态分布伪随机数的产生与检验

作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：引用次数：

滕建辅， 梁静毅， 滕颖， TENG Jian-fu， LIANG Jing-yi， TENG Ying

滕建辅,梁静毅,TENG Jian-fu,LIANG Jing-yi(天津商业大学信息工程学院,天津,300134)， 滕颖,TENG Ying(天津大学电子信息工程学院,天津,300072)天津商学院学报

JOURNAL OF TIANJIN UNIVERSITY OF COMMERCE2007，27(6)0次

参考文献(5条)

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7.期刊论文 朱晓玲.姜浩.ZHU Xiao-ling.JIANG Hao 任意概率分布的伪随机数研究和实现 -计算机技术与发展2007,17(12)

非均匀随机数在计算机仿真、信息安全、自动控制等领域有重要应用,但计算机系统中一般只提供均匀分布的随机数.介绍如何通过均匀分布的伪随机数来产生任意概率分布的伪随机数分理论和方法,包括反函数法、变换法和舍选法,并给出了舍选法的具体实现,最后通过实验结果进行检验.

8.学位论文 赵锋 基于蒙特卡罗算法和3d Widget交互方式的体积测量方法 2005

对数正态分布伪随机数的产生与检验

蒙特卡罗方法，与确定性算法不同，是一种用随机数来解决各种计算问题的概率算法。在计算机上，这些随机数通常用伪随机数序列来产生。将蒙特卡罗方法中的随机点用超均匀分布序列中的点代替，就变成拟蒙特卡罗方法。

三维图形的交互式测量需要使用者选择三维空间的位置。当测量工具初始化后，通常我们还需要修改它的位置和大小。完成选择和转变的最简单的方式是通过直接的操纵，这种交互的风格需要3dwidget。3dwidget是近年来出现的一种三维交互工具，它由一个三维几何体和定义在其上的操作组成，被广泛地应用在许多三维交互的场合。

本文提出了使用(拟)蒙特卡罗算法和3dwidget交互工具相结合的方式来计算自封闭多角形网格体积的方法，并且分别给出了该方法在VisualToolKit和MicrosoftDirect3D的实现方案。

蒙特卡罗算法和3dwidget互相配合，可以很好地解决其他方法所不能解决的交互式的、实时的三维网格体积测量问题。特别是可以根据需要控制测量的精度并且计算测量的误差。在只需要大概估算的计算场合，这种性质就显得十分重要。 全文共分五章，各章的内容分别为：

第一章，介绍了三维网格体积测量的意义和现有网格体积测量的方法及其适用场合和存在的问题。 第二章，介绍了蒙特卡罗方法的基本原理和发展现状，实现了下文用到的两个随机类。 第三章，提出了基于MentoCarlo方法和3DWidgets交互方式的体积测量算法。 第四章，给出了本算法在VTK上的实现方案。 第五章，给出了本算法在D3D上的实现方案。

9.会议论文 李松.王欢 Monte Carlo方法中伪随机数的产生与检验 2006

MonteCarlo模拟方法是近年来在传输方程求解中得到广泛应用的一种方法.由MonteCarlo法求得的辐射方程的解的质量很大程度上取决于求解过程中所用的随机数的质量.本文在在matlab环境下编程利用乘同余法得到100万个伪随机数,对随机数的性质进行了全面检验,证明我们所产生的伪随机数序列在[0,11]区间内均匀分布,具有良好的随机性.

10.期刊论文 孙晓雅 伪随机数及其在中心极限定理教学演示试验中的应用 -甘肃科技2007,23(1)

设计了一种基于改进的线性同余法产生(0,1)均匀分布伪随机数的方法,利用伪随机数发生器产生随机样本序列,依据中心极限定理的原理,编制了基于VB的独立同分布的中心极限定理的演示试验程序.概率与数理统计课堂教学实践表明,通过采用中心极限定理的演示试验能够达到更好的教学效果.

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