2018版数学人教A版必修四文档：第二章 平面向量2-5-1 含答案 精品

2.5.1 平面几何中的向量方法

学习目标 1.学习用向量方法解决某些简单的平面几何问题及其他一些实际问题的过程.2.体会向量是一种处理几何问题的有力工具.3.培养运算能力、分析和解决实际问题的能力.

向量是数学中证明几何命题的有效工具之一.在证明几何命题时，可先把已知条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算就很容易得出结论.一般地，利用实数与向量的积可以解决共线、平行、长度等问题，利用向量的数量积可解决长度、角度、垂直等问题.

向量的坐标表示把点与数联系了起来，这样就可以用代数方程研究几何问题，同时也可以用向量来研究某些代数问题.

向量的数量积体现了向量的长度与三角函数间的关系，把向量的数量积应用到三角形中，就能解决三角形的边角之间的有关问题. 知识点一 几何性质及几何与向量的关系 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a，b的夹角为θ.

思考1 证明线段平行、点共线及相似问题，可用向量的哪些知识？ 答案 可用向量共线的相关知识： a∥b?a＝λb?x1y2－x2y1＝0(b≠0).

思考2 证明垂直问题，可用向量的哪些知识？ 答案 可用向量垂直的相关知识： a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0.

梳理 平面几何图形的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来.

知识点二 向量方法解决平面几何问题的步骤

1.建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题.

2.通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题. 3.把运算结果“翻译”成几何关系.

类型一 用平面向量求解直线方程

例1 已知△ABC的三个顶点A(0，－4)，B(4，0)，C(－6，2)，点D，E，F分别为边BC，CA，AB的中点.

(1)求直线DE，EF，FD的方程； (2)求AB边上的高线CH所在的直线方程.

解 (1)由已知得点D(－1，1)，E(－3，－1)，F(2，－2)，设M(x，y)是直线DE上任意一点，→→则DM∥DE.

→→

DM＝(x＋1，y－1)，DE＝(－2，－2). ∴(－2)×(x＋1)－(－2)×(y－1)＝0， 即x－y＋2＝0为直线DE的方程. 同理可求，直线EF，FD的方程分别为 x＋5y＋8＝0，x＋y＝0.

(2)设点N(x，y)是CH所在直线上任意一点， →→则CN⊥AB. →→∴CN·AB＝0.

→→

又CN＝(x＋6，y－2)，AB＝(4，4). ∴4(x＋6)＋4(y－2)＝0，

即x＋y＋4＝0为所求直线CH的方程.

反思与感悟 利用向量法解决解析几何问题，首先将线段看成向量，再把坐标利用向量法则进行运算.

跟踪训练1 在△ABC中，A(4，1)，B(7，5)，C(－4，7)，求∠A的平分线所在的直线方程. →→

解 AB＝(3，4)，AC＝(－8，6)， ∠A的平分线的一个方向向量为 →→

ABAC?34??43?a＝＋＝，＋－，

→→?55??55?|AB||AC|17－，?. ＝??55?

设P(x，y)是角平分线上的任意一点， ∵∠A的平分线过点A，

→

∴AP∥a，

71

∴所求直线方程为－(x－4)－(y－1)＝0.

55整理得7x＋y－29＝0.

类型二 用平面向量求解平面几何问题

例2 已知在正方形ABCD中，E、F分别是CD、AD的中点，BE、CF交于点P.求证：(1)BE⊥CF；(2)AP＝AB.

证明 建立如图所示的平面直角坐标系，设AB＝2，则A(0，0)，B(2，0)，C(2，2)，E(1，2)，F(0，1).

→→

(1)∵BE＝(－1，2)，CF＝(－2，－1). →→∴BE·CF＝(－1)×(－2)＋2×(－1)＝0， →→

∴BE⊥CF，即BE⊥CF.

→

(2)设点P坐标为(x，y)，则FP＝(x，y－1)， →→→FC＝(2，1)，∵FP∥FC， ∴x＝2(y－1)，即x＝2y－2， →→

同理，由BP∥BE，得y＝－2x＋4，

??x＝2y－2，由?得??y＝－2x＋4，

?

?8?y＝5，6x＝，5

68

∴点P的坐标为(，).

55→∴|AP|＝ 即AP＝AB.

反思与感悟 用向量证明平面几何问题的两种基本思路： (1)向量的线性运算法的四个步骤：

①选取基底；②用基底表示相关向量；③利用向量的线性运算或数量积找出相应关系；④把几何问题向量化.

(2)向量的坐标运算法的四个步骤：

68→??2＋??2＝2＝|AB|， 55

①建立适当的平面直角坐标系；②把相关向量坐标化；③用向量的坐标运算找出相应关系；④把几何问题向量化.

跟踪训练2 如图，在正方形ABCD中，P为对角线AC上任一点，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为E，F，连接DP，EF，求证：DP⊥EF.

证明 方法一 设正方形ABCD的边长为1，AE＝a(0

＝1×a×cos 180°＋1×(1－a)×cos 90°＋2a×a×cos 45°＋2a×(1－a)×cos 45° ＝－a＋a2＋a(1－a)＝0. →→

∴DP⊥EF，即DP⊥EF.

方法二 如图，以A为原点，AB，AD所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系.

设正方形ABCD的边长为1， AP＝λ(0<λ<2)， 则D(0，1)，P(2222λ，λ)，E(λ，0)，F(1，λ). 2222

2222→→

∴DP＝(λ，λ－1)，EF＝(1－λ，λ).

22222112→→

∴DP·EF＝λ－λ2＋λ2－λ＝0，

2222→→

∴DP⊥EF，即DP⊥EF.

→→

1.已知在△ABC中，若AB＝a，AC＝b，且a·b<0，则△ABC的形状为( ) A.钝角三角形 C.锐角三角形

B.直角三角形 D.不能确定

答案 A

2.过点A(2，3)，且垂直于向量a＝(2，1)的直线方程为( ) A.2x＋y－7＝0 C.x－2y＋4＝0 答案 A

→

解析 设P(x，y)为直线上一点，则AP⊥a，即(x－2)×2＋(y－3)×1＝0，即2x＋y－7＝0. →→→→

3.在四边形ABCD中，若AD＋CB＝0，AC·BD＝0，则四边形ABCD为( ) A.平行四边形 C.等腰梯形 答案 D

→→

解析 ∵AD＋CB＝0，

→→

∴AD＝BC，∴四边形ABCD为平行四边形. →→→→又∵AC·BD＝0，∴AC⊥BD， 即平行四边形ABCD的对角线垂直， ∴平行四边形ABCD为菱形.

→→→→→→4.如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，CP＝3PD，AP·BP＝2，则AB·AD的值是________.

B.矩形 D.菱形 B.2x＋y＋7＝0 D.x－2y－4＝0

答案 22

→→→1→1→→→→→1→→→→→1→解析 由CP＝3PD，得DP＝DC＝AB，AP＝AD＋DP＝AD＋AB，BP＝AP－AB＝AD＋AB

4444→→3→→→→1→→3→→1→→3→2

－AB＝AD－AB.因为AP·BP＝2，所以(AD＋AB)·(AD－AB)＝2，即AD2－AD·AB－AB

444216→→→→

＝2.又因为AD2＝25，AB2＝64，所以AB·AD＝22.

5.如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点.过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两→→→→

点M，N，若AB＝mAM，AC＝nAN，则m＋n的值为________.

答案 2

解析 ∵O是BC的中点， →1→→∴AO＝(AB＋AC).

2

→→→→又∵AB＝mAM，AC＝nAN， →m→n→∴AO＝AM＋AN.

22又∵M，O，N三点共线， mn

∴＋＝1，则m＋n＝2. 22

利用向量方法可以解决平面几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题.利用向量解决平面几何问题时，有两种思路：一种思路是选择一组基底，利用基向量表示涉及的向量；另一种思路是建立坐标系，求出题目中涉及的向量的坐标.

课时作业

一、选择题

1.在△ABC中，已知A(4，1)，B(7，5)，C(－4，7)，则BC边的中线AD的长是( ) A.25 C.35 答案 B

3?→?5?

解析 ∵BC的中点为D??2，6?，AD＝?－2，5?， →55∴|AD|＝.

2

→→→→→→

2.点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足OA·OB＝OB·OC＝OC·OA，则点O是△ABC的( )

55

B.

275D.

2

A.三个内角的角平分线的交点 B.三条边的垂直平分线的交点 C.三条中线的交点 D.三条高的交点 答案 D

→→→→

解析 ∵OA·OB＝OB·OC， →→→∴(OA－OC)·OB＝0， →→∴OB·CA＝0， ∴OB⊥AC.

同理OA⊥BC，OC⊥AB， ∴O为三条高的交点.

→→→→?ABAC?→AB，AC1→→

＋3.已知非零向量AB与AC满足?·BC＝0且·＝，则△ABC的形状是( ) ?→→→→2?|AB||AC|?|AB，||AC|A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形 C.等腰(非等边)三角形 D.等边三角形 答案 D

→→→→?ABAC?→ABAC→

＋解析 由?·BC＝0，得角A的平分线垂直于BC，∴AB＝AC.而·＝cos〈AB，?→→→→?|AB||AC|?|AB||AC|1→

AC〉＝，

2

→→

又〈AB，AC〉∈[0°，180°]，∴∠BAC＝60°. 故△ABC为等边三角形，故选D.

→→

4.在四边形ABCD中，若AC＝(1，2)，BD＝(－4，2)，则该四边形的面积为( ) A.5 B.25 C.5 D.10 答案 C

→→

解析 ∵AC·BD＝0，∴AC⊥BD. ∴四边形ABCD的面积 1→→1

S＝|AC||BD|＝×5×25＝5. 22

5.已知点A(－2，－3)，B(19，4)，C(－1，－6)，则△ABC是( ) A.等腰三角形

B.等边三角形

C.直角三角形 答案 C

D.等腰直角三角形

→

解析 AB＝(19，4)－(－2，－3)＝(21，7)， →

AC＝(－1，－6)－(－2，－3)＝(1，－3)， →→→→AB·AC＝21－21＝0，∴AB⊥AC， →→

又|AB|≠|AC|，∴△ABC为直角三角形.

→→→

6.已知点P是△ABC所在平面内一点，若CB＝λPA＋PB，其中λ∈R，则点P一定在( ) A.△ABC的内部 C.AB边所在的直线上 答案 B

→→→→→→

解析 ∵CB＝λPA＋PB，∴CB－PB＝λPA， →→

∴CP＝λPA，∴P，A，C三点共线， ∴点P一定在AC边所在的直线上.

→→

7.在?ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点，若AC·BE＝1，则AB的长为( ) 113A.1 B. C. D.

232答案 B

解析 设AB的长为a(a＞0)，

→→→→→→→1→

因为AC＝AB＋AD，BE＝BC＋CE＝AD－AB，

2→→→→→1→所以AC·BE＝(AB＋AD)·(AD－AB)

21→→1→2→211＝AB·AD－AB＋AD＝－a2＋a＋1. 222411

由已知，得－a2＋a＋1＝1，

24

11

又因为a＞0，所以a＝，即AB的长为. 22二、填空题

→→→

8.已知在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E，F分别为BC，CD的中点，则(AE＋AF)·BD＝________. 9答案 －

2

解析 如图，以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，

B.AC边所在的直线上 D.BC边所在的直线上

则A(0，0)，B(2，0)，D(0，1)， ∴C(2，1).

1

2，?，F(1，1)， ∵E，F分别为BC，CD的中点，∴E??2?3→→→

3，?，BD＝(－2，1)， ∴AE＋AF＝??2?39→→→

∴(AE＋AF)·BD＝3×(－2)＋×1＝－. 22

→→

9.已知直线ax＋by＋c＝0与圆x2＋y2＝1相交于A，B两点，若|AB|＝3，则OA·OB＝________. 1答案 －

2

解析 如图，作OD⊥AB于点D，则在Rt△AOD中，OA＝1，AD＝11→→→→

∠AOB＝120°，所以OA·OB＝|OA||OB|cos 120°＝1×1×(－)＝－.

22

3

，所以∠AOD＝60°，2

→→→

10.若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足3AM－AB－AC＝0，则△ABM与△ABC的面积之比为________. 答案 1∶3

解析 如图，D为BC边的中点，

→1→→则AD＝(AB＋AC).

2→→→

因为3AM－AB－AC＝0， →→所以3AM＝2AD， →2→所以AM＝AD，

3

21

所以S△ABM＝S△ABD＝S△ABC.

33三、解答题

11.在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°，动点E和F分别在→→→1→→→

线段BC和DC上，且BE＝λBC，DF＝DC，求AE·AF的最小值.

9λ

→→→

解 在等腰梯形ABCD中，由AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°，可得DC＝1，AE＝AB＋λBC，→→1→→→→→→1→AF＝AD＋DC，∴AE·AF＝(AB＋λBC)·(AD＋DC)

9λ9λ→→→1→→→→1→

＝AB·AD＋AB·DC＋λBC·AD＋λBC·DC

9λ9λ

112λ17

＝2×1×cos 60°＋2×＋λ×1×1×cos 60°＋λ·×cos 120°＝＋＋，

9λ9λ9λ218→→

由对勾函数的性质知AE·AF≥2

2λ1729

·＋＝， 9λ21818

2λ229

当且仅当＝，即λ＝时，取得最小值. 9λ2318

12.如图所示，在正三角形ABC中，D、E分别是AB、BC上的一个三等分点，且分别靠近点A、点B，且AE、CD交于点P.求证：BP⊥DC.

证明 设PD＝λCD，并设△ABC的边长为a，则有 2→→1→→→→→1→PA＝PD＋DA＝λCD＋BA＝λ(BA－BC)＋BA

3331→→＝(2λ＋1)BA－λBC， 3

→→→→1→EA＝BA－BC.

3

1→→→→→1→

∵PA∥EA，∴(2λ＋1)BA－λBC＝kBA－kBC.

33

?

于是有?1

λ＝?3k，

→1→∴PD＝CD，

7

1

?2λ＋1?＝k，3

1

解得λ＝.

7

→→→1→4→→2→→∴BP＝BC＋CP＝BC＋BA，CD＝BA－BC，

773

→→1→4→2→→从而BP·CD＝(BC＋BA)·(BA－BC)

773

8110→→

＝a2－a2－a2cos 60°＝0，∴BP⊥CD， 21721∴BP⊥DC.

13.如图，已知平行四边形ABCD的顶点A(0，0)，B(4，1)，C(6，8).

(1)求顶点D的坐标；

→→

(2)若DE＝2EC，F为AD的中点，求AE与BF的交点I的坐标. →→

解 (1)设点D(m，n)，因为AD＝BC， 所以(m，n)＝(6，8)－(4，1)＝(2，7)， 所以顶点D的坐标为(2，7).

71，?， (2)设点I(x，y)，则点F坐标为??2?→→

由于DE＝2EC，

1423?

故(xE－2，yE－7)＝2(6－xE，8－yE)，所以E??3，3?， 5→→→→

－3，?，BI＝(x－4，y－1)，BF∥BI， 由于BF＝?2??5

所以(x－4)＝－3(y－1)，

22314→→

又AE∥AI，所以x＝y，

33723

解①②得x＝，y＝.

48723

则点I的坐标为(，). 48四、探究与拓展

→→

14.在△ABC中，AB＝3，AC边上的中线BD＝5，AC·AB＝5，则AC的长为________. 答案 2

解析 设∠BAC＝θ，AD＝x， →→则AC·AB＝2x·3·cos θ＝5，

① ②

5

∴x·cos θ＝. 6

作DE⊥AB于点E，由DE2＋EB2＝BD2， 得(x·sin θ)2＋(3－x·cos θ)2＝5， 解得x·sin θ＝11

. 6

2511

∴x2·cos2θ＋x2·sin2θ＝x2＝＋＝1，

3636∴x＝1，∴AC＝2x＝2.

15.已知点A(2，－1).求过点A与向量a＝(5，1)平行的直线方程. 解 设所求直线上任意一点P(x，y)， →

则AP＝(x－2，y＋1). →

由题意知AP∥a， 故5(y＋1)－(x－2)＝0， 即x－5y－7＝0.

故过点A与向量a＝(5，1)平行的直线方程为x－5y－7＝0.精品文档 强烈推荐 精品推荐 强力推荐 值得拥有 精品推荐 强力推荐 值得拥有 精品推荐 强力推荐 值得拥有 精品推荐 强力推荐 值得拥有 精品推荐 强力推荐 值得拥有 精品推荐 强力推荐 值得拥有 精品推荐 强力推荐 值得拥有 精品推荐 强力推荐 值得拥有 精品推荐 强力推荐 值得拥有 精品推荐 强力推荐 值得拥有 精品推荐 强力推荐 值得拥有 精品推荐 强力推荐 值得拥有 精品推荐 强力推荐 值得拥有

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