极限的求解方法

求函数极限的方法和技巧

1、运用极限的定义

2、利用极限的四则运算性质

若 limx?xf(x)?A limg(x)?B

0x?x0(I)limx?x?f(x)?g(x)?? lim?xf(x)?limg(x)?A?B

0x0x?x0(II)limx?x?f(x)?g(x)??limf(x)?limx?xg(x)?A?B

0x?x00(III)若 B≠0 则：

limf limf(x)x?x(x)0Ax??

x?0g(x)limx?xg(x)B0IV）limx?xc?f(x)?c?lim?xf(x)?cA （c为常数）

0x0上述性质对于x??,x???,x???时也同样成立 3、约去零因式（此法适用于x?x00时,0型）

例: 求x3?x2?16xxlim?20??2x3?7x2?16x?12

3解:原式=?x?3x2?10x???(2x2?6x?20)xlim??2?x3?5x2?6x?(2x2?10x?12) lim(x?2)(x2?3x?10)(x?2)(x2?5x?6)

x??2=(x2?3x?10)xlim?6)=lim(x?5)(x?2) ??2(x2?5xx??2(x?2)(x?3)=x?5xlim

??2

x?3??7 4、通分法（适用于???型）

1

（ = 例: 求 lim(x?241?)

4?x22?x

解: 原式=lim4?(2?x)

x?2(2?x)?(2?x)(2?x)

x?2(2?x)(2?x)11?

x?22?x4

=lim

=lim5、利用无穷小量性质法（特别是利用无穷小量与有界量之乘积仍为无穷小量的性质）

设函数f(x)、g(x) 满足： （I）limf(x)?0

x?x0(II) g(x)?M (M为正整数) 则：limg(x)f(x)?0

x?x0例: 求 limx?sinx?01 x 解: 由 limx?0 而 sinx?01?1 x故 原式 =limx?sinx?01?0 x6、利用无穷小量与无穷大量的关系。 （I）若：limf(x)?? 则 lim1?0 f(x)(II) 若: limf(x)?0 且 f(x)≠0 则 lim例: 求下列极限 ① lim1?? f(x)11 ②lim

x??x?5x?1x?12

解: 由 lim(x?5)?? 故 lim

1?0

x??x??x?51由 lim(x?1)?0 故 lim=?

x?1x?1x?17、等价无穷小代换法

设?,?',?,?' 都是同一极限过程中的无穷小量，且有： ?~?,?~'?，

'?'

lim' 存在，

????'

则 lim 也存在，且有lim= lim'

???1?cosx2例:求极限lim2

x?0xsinx2(x2)2 解: sinx~x, 1?cosx~

2222(x2)21?cosx22?1

=? lim2x?0xsinx22x2x2注： 在利用等价无穷小做代换时，一般只在以乘积形式出现时可以互换，若以和、

差出现时，不要轻易代换，因为此时经过代换后，往往改变了它的无穷小量之比的“阶数”

8、利用两个重要的极限。

(A)limsinx1?1 (B)lim(1?)x?e

x?0x??xx但我们经常使用的是它们的变形：

sin?(x)?1,(?(x)?0)?(x)

1(B')lim(1?)?(x)?e,(?(x)??)?(x)(A')lim例：求下列函数极限

3

(1)、limax?1 x?0x(2)、limlncosaxx?0lncosbx 解：（1）令ax?1?u,则 x?ln(1?u)ax?1ulnalna 于是x?ln(1?u) 又当x?0时，u?0故有：limax?1x?0x?limulnau?0ln(1?u)?limlnalnau?0ln(1?u)?limu?01?lnauln(1?u)u(2)、原式?limln[(1?(cosax?1)]?(cosbx?1)]

x?0ln[1?limln[(1?(cosax?1)]cosbx?1x?0cosax?1?cosax?1

ln[1?(cosbx?1)]cosbx?1?limcosbx?1x?0cosax?1 sin2ax?2sin2?2x(ax)2(bx)2?lim2?lim2?2b2?2sin22

x?0?bx?0baa2xsin22x(2x)2(bx)22、利用函数的连续性（适用于求函数在连续点处的极限）。

(i)若f(x)在x?x0处连续，则limx?xf(x)?f(x0)0(ii)若f[?(x)]是复合函数，又limx?x?(x)?a且

0f(u)在u?a处连续，则limx?xf(?(x))?f[limx?x?(x)]?f(a)00例：求下列函数的极限

4

9 (1)、limexcosx?51?x2?ln(1?x) （2） x?0limln1(?x)x?0x 解：由于x?0属于初等函数f(x)?excosx?51?x2?ln(1?x)的定义域之内。故由函数的连续性定义有：limexcosx?5x?01?x2?ln(1?x)?f(0)?6

ln(11

(2)、由?x)x?ln(1?x)x1令??x??(1?x)x故有：11limln(1?x)x?0x?limx?0ln(1?x)x?ln(limx?0(1?x)x)?lne?110、变量替换法（适用于分子、分母的根指数不相同的极限类型）特别地有：llimxk?1x?1n?mlx?1nk m、n、k、l 为正整数。 m例：求下列函数极限 ① lim1?nxx?11?mx(m 、n ?N) ②lim(2x?3x??2x?1)x?1 解: ①令 t=mnx 则当x?1 时 t?1,于是

1?tm原式=limt?11?tn?lim(1?t)(1?t?t2????tm?1)t?1(1?t)(1?t?t2????tn?1)?mn ②由于lim(2x?3x?12x?x??2x?1)=limx??(1?2x?1)1

令：2x?112?t 则 x?1?1t?12 2x?311?limx??(2x?1)x?1=limx??(1?22x?1)x?1=limt?2t?0(1?t) 5

(1)有理式的情况，即若:

P(x)a0xm?a1xm?1????amR(x)?? (a0?0,b0?0) nn?1Q(x)b0x?b1x????bn(I)当x??时，有

?a0? m?n?b?0mm?1?a0x?a1x????am?P(x)??lim?lim?0 m?n?? x??Q(x)x??bxn?bxn?1????b01n?? m?n???????(II)当x?0 时有: ①若Q(x0)?0 则 limP(x)P(x0)?

x?0Q(x)Q(x0)P(x)??

x?0Q(x)②若Q(x0)?0 而 P(x0)?0 则lim③若Q(x0)?0,P(x0)?0,则分别考虑若x0为P(x)?0的s重根,即:

P(x)?(x?x0)sP1(x) 也为Q(x)?0的r重根,即:

Q(x)?(x?x0)rQ1(x) 可得结论如下：

?0 , s?r???(x?x0)s?rP1(x)?P1(x0)P(x)?lim?lim?? , s?r? x?x0Q(x)x?x0Q1(x)?Q1(x0)?? ,s?r??? ?例：求下列函数的极限

x3?3x?2(2x?3)20(3x?2)30 ①lim ②lim4 50x?1x??x?4x?3(2x?1) 解: ①分子，分母的最高次方相同，故

330(2x?3)20(3x?2)30220?330?() lim=5050x??22(2x?1)

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②?P(x)?x3?3x?2,?P(1)?0

?Q(x)?x4?4x?3,?Q(1)?0

?P(x),Q(x)必含有（x-1）之因子，即有1的重根 故有:

x3?3x?2(x?1)2(x?2)x?21 lim4?lim?lim?x?1x?4x?3x?1(x?1)2(x2?2x?3)x?1x2?2x?32(2)无理式的情况。虽然无理式情况不同于有理式，但求极限方法完全类同，这里就不再一一详述.在这里我主要举例说明有理化的方法求极限。 例：求lim(x?x???x?x?x) x?x?x)

解: lim(x?x????limx?x?x?xx?x?x?xx?xx?x?x?x1?1x1?13x12

x????limx????limx????1?1?x 二、多种方法的综合运用

上述介绍了求解极限的基本方法，然而，每一道题目并非只有一种方法。因此我们在解题中要注意各种方法的综合运用的技巧，使得计算大为简化。

1?cosx2例:求 lim2

x?0xsinx2[解法一]:

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lim1?cosx2x?0x2sinx2?lim2xsinx2sinx2x?02x?x2cosx2?2xsinx2 ?limx?0x2cosx2?sinx2 sinx2?limx2x?02=1 cosx2?sinx2x2注:此法采用罗比塔法则配合使用两个重要极限法。

解法二]:

2x2x22limcosx2sinsinsinx21?x?0x2sinx2=lim2x?0x2sinx2?lim2x?0x2?1sinx2?2x2?12 2x22?2注：此解法利用“三角和差化积法”配合使用两个重要极限法。

[解法三]:

lim1?cosx21?cosx22xsinx22xsinx21x?0x2sinx2?limx?0x2?x2?limx?04x3?limx?04x?x2?2 注:此解法利用了两个重要极限法配合使用无穷小代换法以及罗比塔法则 [解法四]:

(x2)21?cosx21?cosx2x2lim2x21x?0x2sinx2?limx?0x4?sinx2?limx?0x4?sinx2?2 注:此解法利用了无穷小代换法配合使用两个重要极限的方法。 [解法五]:

2x2x22lim1?cosx22sin22()1x4x?0xsinx2x?0x2sinx2?lim2212?limx?0x2(x2)?limx?0x4?2 注:此解法利用“三角和差化积法”配合使用无穷小代换法。

[解法六]：

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[ 令u?x2

lim1?cosx21?cosusinux?0x2sinx2?limu?0usinu?limu?0sinu?ucosu?limcosu

u?0cosu?cosu?usinu?12注：此解法利用变量代换法配合使用罗比塔法则。 [解法七]:

lim1?cosx2sinx21x?0x2sinx2?limx?0x2cosx2?sinx2?limx?0?x2?112tgx2注:此解法利用了罗比塔法则配合使用两个重要极限。

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