函数项级数一致收敛的几个判别法及其应用（终极完整无敌升华版）

函数项级数一致收敛性判别法及其应用

栾娈 20111101894

数学科学学院数学与应用数学11级汉班

指导老师：吴嘎日迪

摘要:本文证明了常用的函数项级数一致收敛性的判别法,并通过例题给出了它的应用.另外,仿照极限的夹逼原理,得到函数项级数一致收敛的夹逼判别法. 关键词:一致收敛,函数项级数,和函数

1.函数列与一致收敛性

(1)函数项级数一致收敛性的定义:设有函数列{Sn（x）}(或函数项级数?un(x)的

n?1?部分和序列)。若对任给的??0，存在只依赖于?的正整数N（?），使n> N（?）时，不等式

Sn(x)?S(x)??

对X上一切x都成立，则称{Sn（x）}（?un(x)）在X上一致收敛于S（x）.

n?1?一致收敛的定义还可以用下面的方式来表达： 设 Sn?S?supSn(x)?S(x)，

x?X如果 limSn?S?0就称Sn（x）在X上一致收敛于S(x).

n??例1 讨论 Sn(x)?由于S（x）=0, 故

nx在X?[0，1]的一致收敛性 221?nx?1?1 Sn?S?maxSn(x)?Sn???，

o?x?1?n?2不收敛于零，故在[0，1]上非一致收敛 (2)函数项级数一致收敛的几何意义:函数列{f给的正数?，存

n}一致收敛于的f几何意义：对任

nN，对一切序号大于N的曲线y=f(x)都落在以曲

线y= f(x)+?与y=f(x)-?为上，下边界的带形区域内. 2.函数列一致收敛的判别准则（充要条件）

1

柯西准则

函数项级数?uk(x)在I上一致收敛的充要条件是;

k?1????0,?N?N(E)?N?,?n?N, ?p?N?,及?x?I都有n?pk?n?1

?uk(x)?Sn?p(x)-Sn(x)?un?1(x)?un?2(x)?...?un?p(x)???证明：必要性： 已知?uk(x)在区间I一致收敛，设其和函数式S（x）,即

k?1 Sn(x)?S(x)?也有Sn?p(x)?S(x)?于是

n?p?2

?2

k?n?1?uk(x)?Sn?p(x)?Sn(x)?Sn?p(x)?S(x)?S(x)?Sn(x)?Sn?p(x)?S(x)?S(x)?Sn(x)??2??2??

充分性：已知???0,?N?N(?)?N?,?n?N,?p?N?及?x?I 有

?k?n?1?un?pk(x)?Sn?p(x)-Sn(x)??

从而?uk(x)在区间

k?1收敛S（x）,因为p是任意正整数，所

?以当p??时，上述不等式有Sn(x)?S(x)??即函数项级数?uk(x)在区间I一

k?1致收敛. 余项准则

函数列{fn}在D上一致收敛于f的充要条件是limsupfn(x)?f(x)?0

n??x?D3.函数项级数一致收敛判别法 （1）充分条件

定理1（魏尔斯特拉斯判别法）

若对充分大的n,恒有实数an使得un(x)?an对X上任意的x都成立，并且数项级

2

数?an收敛，则?un(x)在X上一致收敛.

证明 由?an的收敛性，对任给的?>0,可得N（?），使n>N(?)时 an?1?an?2?...?an?p??（p=1,2,…）, 对X上的一切的x我们有

un?1(x)?...?un?p(x)?un?1(x)?...?un?p(x)?an?1?an?2?...?an?p??， 由一致收敛的柯西充要条件即得定理的结论.

例2 若?an绝对收敛，则?ansinnx和?ancosnx 在(??,??)内都是绝对收敛和一致收敛的级数. 事实上，

ansinnx?an， ancosnx?an， 由魏尔斯特拉斯判别法即可得证. 定理2(阿贝尔判别法)

若在X上?bn(x)一致收敛，又对X中每一固定的x,数列an(x单调.而对任意的n和X中每个x，有an(x)?L（不依赖于x和n的定数），那么?an(x)bn(x)在

X上一致收敛.

这个定理与数项级数的阿贝尔定理相似，其证明也大体相同，只要利用阿贝尔引理即可。事实上，由?bn(x)的一致收敛性，对任意给定的?>0,可得N（?），使n>N(?)时恒有

bn?1(x)?...?bn?p(x)?? （p=1,2…）， 固定x,由上式及an(x)的单调性，利用阿贝尔引理得到

an?1(x)bn?1(x)?...?an?p(x)bn?p(x) ??(an?1(x)?2an?p(x)

?3L?(n?N(?);p?1,2,...)再从一致收敛的柯西充要条件即可. 例3设级数?an收敛，证明lim??x?0an??an. xn证明：因为

1111{}单调且一致有，且，故?(x?[0,??),n?1,2,...)?1xxxxnn(n?1)n界，又级数?an收敛，即?an在[0,??)上一致收敛，所以由阿贝尔判别法知，

3

anan(n?1,2...)在[0,??)上连续， 在上一致收敛，又[0,??)?nx

nx故?

an

在[0,??)上也连续， xn

anan?lim?x?0?nx??an. nx即 lim??x?0定理3（狄利克雷判别法） 设?bn(x)的部分和

n?1?Bn(x)??bi(x)

i?1n在X上一致有界，又对X内每一x,数列an(x)单调，并且函数列{an(x)}在X上一致收敛于零，则?an(x)bn(x)在X上一致收敛. 证明 设

i?n?1?b(x)?L(不依赖于n和x的定数)，

in那么对X上任意的x和任意的正整数p恒有

?b(x)??b(x)??b(x)?2L

iiii?1i?1n?p?因此，利用阿贝尔引理

n?p

i?n?1?a(x)b(x)?2L(aiin?1(x)?2an?p(x))，

再由an(x)一致收敛于零即得.

(?1)n?1x2例3 讨论?的一致收敛性 2nn?1(1?x)?x2n设 an(x)? ,?(x)?(?1)n2n(1?x)易见对一切n及x?(??,??)都有??n(x)?1，

k?1n即一致有界，另外，对任意固定的x?(??,??)都有

4

an?1x2(1?x2)n1 ????1 2n?122an(1?x)x1?x所以an(x)对任意的x单调递减，并且有

x2x21 an(x)????0 (n??)

(1?x2)n1?nx2n故an(x)在(??,??)上随n??而一致收敛于零.

(?1)n?1x2依狄利克雷判别法知级数?内一致收敛. 在（-?，??）2nn?1(1?x)?（2）必要条件

函数项级数?un(x)在数级D上一致收敛的必要条件是函数列{un(x)}在D上一致收敛于零.

4.由极限的夹逼原理得到的一致收敛判别法 定理4:已知

?un?1?n(x),?vn(x)在I上一致收敛，且?N?N，当

n?1??n?N时有vn(x)?wn(x)?un(x)则?wn(x)在I上一致收敛.

n?1证明：不妨设n?1开始，便有vn(x)?wn(x)?un(x)，由?un(x),?vn(x)在I上

n?1n?1??一致收敛，根据一致收敛的柯西准则：???0,?N1?N，当n?Nn,?p?N， 有 ???un?1(x)?un?2(x)?...?un?p(x)?? 即 ???vn?1(x)?vn?2(x)?...?vn?p(x)?? 而 vn(x)?wn(x)?un(x) (n=1,2,…) 就必有 ???vn?1(x)?vn?2(x)?...?vn?p(x)? wn?1(x)?wn?2(x)?..?.wn?p(x)? un?1(x)?un?2(x)?...?un?p(x)?? 此即?wn(x),在I上满足柯西一致收敛条件.

n?1? 5

推论：已知数项级数

?a,?bnn?1n?1??n都收敛，若?N?N，当

?n?N时有an?wn(x)?bn,x?I，则函数项级数?wn(x),在I一致收敛，显然当

n?1wn(x)?w,即?wn(x)为常数项级数，则可判断?wn(x)收敛.

n?1n?1??定理5：设函数数列{un(x)},x?[a,b],?n?N. un(x)在[a,b]单调，且?un(a)及

n?1??un?1?n(b)都绝对收敛，则级数?un(x)在[a,b]一致收敛.

n?1?证明时只要注意有min?un(a),un(b)??un(x)?max?un(a),un(b)?并用定理四的推论即得.

参考文献;

1. 欧阳光中，朱学炎，金福临等.数学分析第三版下册[M]，北京:高等教育出版社，1978,75—89. 2. 华东师范大学数学系.数学分析[M]，北京：高等教育出版社，1981.

3. 张天德，韩振来.数学分析同步辅导[M],天津:天津科学技术出版社，2010,26—29.

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推论：已知数项级数

?a,?bnn?1n?1??n都收敛，若?N?N，当

?n?N时有an?wn(x)?bn,x?I，则函数项级数?wn(x),在I一致收敛，显然当

n?1wn(x)?w,即?wn(x)为常数项级数，则可判断?wn(x)收敛.

n?1n?1??定理5：设函数数列{un(x)},x?[a,b],?n?N. un(x)在[a,b]单调，且?un(a)及

n?1??un?1?n(b)都绝对收敛，则级数?un(x)在[a,b]一致收敛.

n?1?证明时只要注意有min?un(a),un(b)??un(x)?max?un(a),un(b)?并用定理四的推论即得.

参考文献;

1. 欧阳光中，朱学炎，金福临等.数学分析第三版下册[M]，北京:高等教育出版社，1978,75—89. 2. 华东师范大学数学系.数学分析[M]，北京：高等教育出版社，1981.

3. 张天德，韩振来.数学分析同步辅导[M],天津:天津科学技术出版社，2010,26—29.

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/43dr.html