2010.3高三数学（理科）模拟试题(4)

2010年石景山区高三统一测试

数学（理科）

考生1. 本试卷为闭卷考试，满分为150分，考试时间为120分钟． 须知 2. 本试卷共10页，第Ⅰ卷1-2页，第Ⅱ卷3-9页，第10页为草稿纸，各题答案均答在本题规定的位置．

题号 分数 一 二 15 16 17 三 18 19 20 总分 第Ⅰ卷（选择题 共40分）

得分 评卷人

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．复数

2等于（ ） 1?iB． 2i

C．1?i

D． 1?i

A． ?2i

2．已知命题 p:?x?R，x?2，那么命题?p为（ ）

A．?x?R，x?2 C．?x?R，x??2

B．?x?R，x?2 D．?x?R，x??2

3．已知平面向量a?(1,2), b?(?2,m), 且a∥b, 则m的值为（ ）

A．1 C．4

B．?1 D．?4

4．一个几何体的三视图如图所示，那么此几何体 的侧面积（单位：cm）为（ ）

A． 80 C． 40

2B．60 D．20

1

5．经过点P(2,?3)作圆(x?1)2?y2?25的弦AB，使点P为弦AB的中点，则弦AB所在直线方程为（ ）

A．x?y?5?0 B．x?y?5?0 C．x?y?5?0

D．x?y?5?0

开始 S?0 k?k?1 n?2 k?1

k?10 6．已知程序框图如图所示，则该程序框图的 功能是（ ）

7．已知函数f(x)的导函数f?(x)的图象如图 所示，那么函数f(x)的图象最有可能的是（ ）

n?n?2 S?S?1 n

1n1B．求数列{}的前10项和(n?N?)

2n1C．求数列{}的前11项和(n?N?)

n1D．求数列{}的前11项和(n?N?)

2nA．求数列{}的前10项和(n?N?)

是否 输出S 结束

x8．已知函数f(x)?()?log2x，正实数a,b,c是公差为正数的等差数列，且满足

13f(a)?f(b)?f(c)?0．若实数d是方程f(x)?0的一个解，那么下列四个判断：

① d?a；② d?b；③ d?c；④ d?c中有可能成立的个数为（ ） A． 1

B． 2

C． 3

D． 4

2

第Ⅱ卷（非选择题 共110分）

得分 评卷人 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．

9.二项式(x+)的展开式中的常数项为_____________，展开式中各项系数和为 ．（用数字作答） 10.已知曲线C的参数方程为?2x4?x?cos?,(q为参数)，则曲线C的普通方程

?y??2?sin?,?2x?y?2?0?是 ；点A在曲线C上，点M(x,y)在平面区域?x?y?2?0上，则

?2y?1?0?AM的最小值是 .

11.如图，已知PE是圆O的切线．直线PB交圆O于

A、B两点， PA?4，AB?12，AE?43．

则PE的长为_____， ?ABE的大小为________. 12.某校从参加高三年级期末考试的学生中抽出

60名学生，并统计了他们的化学成绩（成绩均

为整数且满分为100分），把其中不低于50分的成绩分成五段?50,60?，?60,70???90,100?后，画出部分频率分布直方图（如图），那么化学成．．绩在?70,80?的学生人数为 .

13.函数y?cosx?sinx?2sinx?cosx的最小正周期为_____________，此函数的值域为_____________．

?2214.在数列?an?中，若an（n?2,n?N，p为常数），则称?an?为“等方?an?1?p，

22差数列”．下列是对“等方差数列”的判断：

3

2①若?an?是等方差数列，则an是等差数列； n②(?1)是等方差数列；

????③若?an?是等方差数列，则?akn?（k?N，k为常数）也是等方差数列；

?④若?an?既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列．

其中正确命题序号为 ．（将所有正确的命题序号填在横线上）

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 得分 评卷人

15．(本题满分13分)

B，C所对的边分别为a，b，在?ABC中，角A，且a?1，c?c，2，cosC?3． 4（Ⅰ）求sin(A?B)的值； （Ⅱ）求sinA的值； （Ⅲ）求CB?CA的值．

4

得分 评卷人 16．（本题满分13分）

如图，两个圆形转盘A,B，每个转盘阴影部分各占转盘面积的

1和21．某“幸运转盘积分活动”规定，当指针指4到A,B转盘阴影部分时，分别赢得积分1000分和2000分．先转哪个转盘由参与者选择，若第一次赢得积分，可继续转另一个转盘，此时活动结束；若第一次未赢得积分，则终止活动．

(Ⅰ)记先转A转盘最终所得积分为随机变量X，则X的取值分别是多少？

(Ⅱ)如果你参加此活动，为了赢得更多的积分，你将选择先转哪个转盘？请说明理由.

5

得分 评卷人 17．（本题满分14分）

E是棱CC1上动如图，已知直三棱柱ABC?A1B1C1，?ACB?90，

?点，F是AB中点 ，AC?BC?2，AA1?4. （Ⅰ）求证：CF?平面ABB1；

（Ⅱ）当E是棱CC1中点时，求证：CF∥平面AEB1； （Ⅲ）在棱CC1上是否存在点E，使得二面角A?EB1?B的大小是45?，若存在，求CE的长，若不存在，请 说明理由.

6

得分 评卷人 18．（本题满分13分）

在数列{an}中，a1?3，an??an?1?2n?1 (n?2，且 n?N*).

（Ⅰ）求a2，a3的值；

（Ⅱ）证明：数列{an?n}是等比数列，并求{an}的通项公式； （Ⅲ）求数列{an}的前n项和Sn.

7

得分 评卷人

19．（本题满分14分）

6x2y2已知椭圆??1(a?b?0)的离心率为，短轴的一个端点到a2b23右焦点的距离为3，直线l:y?kx?m交椭圆于不同的两点A，B． （Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）若m?k，且???OA?????OB??0，求k的值（O点为坐标原点）；

（Ⅲ）若坐标原点O到直线l的距离为32，求?AOB面积的最大值．

8

得分 评卷人 20．（本题满分13分） 已知函数f(x)?px?p?2lnx. x（Ⅰ）若p?2，求曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；

（Ⅱ）若函数f(x)在其定义域内为增函数，求正实数p的取值范围； （Ⅲ）设函数g(x)?2e，若在?1,e?上至少存在一点x0，使得f(x0)＞g(x0)成立，求x实数p的取值范围.

9

以下为草稿纸

2010年石景山区高三统一测试

数学（理科）参考答案

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的．

题号 答案 1 C 2 B 3 D 4 A 5 A 6 B 7 A 8 C

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上． 题号 9 210 211 12 13 14 答案 24,81 x+(y+2)=1 ，3①② 8,30? 18 ?，[?2，2] ③④ 2注：一题两空的第1个空3分，第2个空2分.

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本题满分13分） 解：（Ⅰ）∵ 在?ABC中，A?B???C，

∴ sin(A?B)?sin(??C)?sinC.

又∵ cosC?3?72,∴ 0?C?,∴sinC?1?cosC?. 424 ∴ sin(A?B)?（Ⅱ）由正弦定理得

7. ?????3分 4ac?, sinAsinC∴ sinA?asinC?c21?74?14. ??????8分

822 （Ⅲ）由余弦定理得 c?a?b?2abcosC，

10

2

12(k2?1)(3k2?1?m2)3(k2?1)(9k2?1)? ? ??11分 (3k2?1)2(3k2?1)212k21212?3??3??3??4(k?0) ??12分 19k4?6k2?12?3?629k?2?6k13即k??时等号成立. 2，

k3 3经检验，k??满足(*)式.

3当k?0时，AB?3. ??13分

当且仅当9k2?综上可知ABmax?2，

133?当AB最大时，?AOB的面积取最大值S??2????14分

222.

20．（本题满分13分）

2解：（Ⅰ）当p?2时，函数f(x)?2x??2lnx， f(1)?2?2?2ln1?0．

x22f?(x)?2?2?，

xx曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为f?(1)?2?2?2?2． ????1分 从而曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y?0?2(x?1)，

即y?2x?2． ???2分

p2px2?2x?p（Ⅱ）f?(x)?p?2??． ????3分

xxx2令h(x)?px2?2x?p，要使f(x)在定义域(0,??)内是增函数，只需h(x)?0在

(0,??)内恒成立. ?????4分

由题意p＞0，h(x)?px?2x?p的图象为开口向上的抛物线，对称轴方程为

211?(0,??)，∴h(x)min?p?， pp1只需p??0，即p?1时,h(x)?0,f?(x)?0，

px?∴f(x)在(0,??)内为增函数，正实数p的取值范围是[1,??). ???6分

16

（Ⅲ）∵g(x)?2e在?1,e?上是减函数， x ∴x?e时，g(x)min?2； x?1时，g(x)max?2e，即g(x)??2,2e?， ??7分 ①当p＜0时，h(x)?px2?2x?p，其图象为开口向下的抛物线，对称轴x?1在py轴的左侧，且h(0)?0，所以f(x)在x??1,e?内是减函数．

当p?0时，h(x)??2x，因为x??1,e?，所以h(x)＜0，f?(x)?? 此时，f(x)在x??1,e?内是减函数．

故当p?0时，f(x)在?1,e?上单调递减?f(x)max?f(1)?0?2，不合题意；

????????9分

②当0＜p＜1时，由x??1,e??x?所以f(x)?p(x?)?2lnx?x?2x＜0， x21?0， x1x1?2lnx． x又由（Ⅱ）知当p?1时，f(x)在?1,e?上是增函数， ∴x?111?2lnx?e??2lne?e??2＜2，不合题意； ?????11分 xee③当p?1时，由（Ⅱ）知f(x)在?1,e?上是增函数，f(1)?0?2， 又g(x)在?1,e?上是减函数，

故只需f(x)max＞g(x)min，x??1,e?，

而f(x)max?f(e)?p(e?)?2lne，g(x)min?2，

1e1e4e解得p＞2 ，

e?1即 p(e?)?2lne?2，

所以实数p的取值范围是(

4e，??). ????????13分 2e?117

注：若有其它解法，请酌情给分．

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