二元一次方程组的实际应用和三元一次方程组的解法

第9讲 二元一次方程组的实际应用和三元一次方程组的解法

知识点1．三元一次方程组

（1）定义：含有三个未知数，每个未知数的次数都是1，像这样的方程组就叫三元一次方程组。

?x=1?xy+z=1??例如：?y+z=-1是三元一次方程组，而?y+z=2不是。

?x+y=2?x+y+z=-3??

知识点2.三元一次方程组的解法思路

解简单的三元一次方程组的基本思想是“消元”，基本方法是代入法和加减法，通过消元，把三元一次方程组转化为二元一次方程组，再转化成一元一次方程，“消元”的关键是选准先消去的未知数。一般原则是：

（1）消去系数最简单的未知数； （2）消去某个方程中缺少的未知数；

（3）消去系数成整数倍数关系的未知数。在“消元”过程中，必须保持每个方程至少用一次。

知识点3.三元一次方程组的解法及步骤

（1）利用代入法或加减法，把方程组里的一个方程分别与另两个方程组成两组，消去

两组中的同一个未知数，得到另外两个未知数的一个二元一次方程组； （2）解这个二元一次方程组，求得两个未知数的值： （3）求出另一个未知数的值：

?x=a?（4）写出?y=b的形式

?z=c?

知识点4.列方程（组）解应用题的一般步骤 1、审题： 2、设未知数；

3、找出相等关系，列方程（组）； 4、解方程（组）；

5、检验，作答；

知识点5.列方程（组）解应用题常见类型题及其等量关系；

1、工程问题

（1）基本工作量的关系：工作量=工作效率×工作时间

（2）常见的等量关系：甲的工作量+乙的工作量=甲、乙合作的工作总量 （3）注意：工程问题常把总工程看作“1”，水池注水问题属于工程问题

2、水中航行问题：

顺流速度=船在静水中的速度+水流速度；逆流速度=船在静水中的速度–水流

速度

3、行程问题

（1）基本量之间的关系：路程=速度×时间 （2）常见等量关系：

相遇问题：甲走的路程+乙走的路程=全路程 追及问题（设甲速度快）：

同时不同地：甲的时间=乙的时间；甲走的路程–乙走的路程=原来甲、乙相距路程

同地不同时：甲的时间=乙的时间–时间差；甲的路程=乙的路程

4、数字问题：

基本量之间的关系：三位数=个位上的数+十位上的数×10+百位上的数×100

5、销售问题

售价-进价×100% 利润=售价-进价，利润率=

进价

6、年龄问题：解这类问题的关键是抓住两人年龄的增长率相等这一特征；

知识点6.列方程解应用题的常用方法

1、译式法：就是将题目中的关键性语言或数量及各数量间的关系译成代数式，然

后根据代数之间的内在联系找出等量关系。

2、线示法：就是用同一直线上的线段表示应用题中的数量关系，然后根据线段长

度的内在联系，找出等量关系。

3、列表法：就是把已知条件和所求的未知量纳入表格，从而找出各种量之间的关系。

4、图示法：就是利用图表示题中的数量关系，它可以使量与量之间的关系更为直

观，这种方法能帮助我们更好地理解题意。

题型1、解三元一次方程组

?x+y=6?x-y=2?x?y?z?13???1-1、（1）?y+z=3（2）?2x+y+z=3（3）?y?z?x??1；

?z?x?y?3?x+z=-1?x+z=-3???

1-2、在等式y=ax2+bx+c中，当x=1时，y=2；当x=﹣1时，y=20；当x=与x=时，y

的值相等，求a，b，c的值．

题型2、二元一次方程组的实际应用

1.流水行程问题

2-1、一条船顺水行驶36千米和逆水行驶24千米的时间都是3小时，求船在静水中的速度

与水流的速度。

2.行程问题 2-2、（2014?呼伦贝尔）从甲地到乙地的路有一段上坡，一段下坡．如果上坡平均每分钟走50米，下坡平均每分钟走100米，那么从甲地走到乙地需要25分钟，从乙地走到甲地需要20分钟．甲地到乙地上坡与下坡的路程各是多少？

3.工程问题 2-3、（2011?长沙）某工程队承包了某标段全长1755米的过江隧道施工任务，甲、乙两个班组分别从东、西两端同时掘进．已知甲组比乙组平均每天多掘进0.6米，经过5天施工，两组共掘进了45米．

（1）求甲、乙两个班组平均每天各掘进多少米？

（2）为加快工程进度，通过改进施工技术，在剩余的工程中，甲组平均每天能比原来多掘进0.2米，乙组平均每天能比原来多掘进0.3米．按此施工进度，能够比原来少用多少天完成任务？

4.数字问题 2-4、（2009?淄博）如图，在3×3的方阵图中，填写了一些数和代数式（其中每个代数式都表示一个数），使得每行的3个数、每列的3个数、斜对角的3个数之和均相等． （1）求x，y的值；

（2）在备用图中完成此方阵图． 备用图

3 4 3 4 ﹣2 y 2y﹣x c x a b

﹣2

5.年龄问题

2-5、一名学生问老师：“您今年多大？”老师风趣地说：“我像您这样大时，您才出生；您到我这么大时，我已经37岁了。”请问老师、学生今年多大年龄了呢？

6.销售问题 2-6、（2014?益阳）某电器超市销售每台进价分别为200元、170元的A、B两种型号的电风扇，下表是近两周的销售情况： 销售时段 销售数量 A种型号 B种型号 销售收入 第一周 3台 5台 1800元 第二周 4台 10台 3100元 （进价、售价均保持不变，利润=销售收入﹣进货成本） 求A、B两种型号的电风扇的销售单价。

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