二体问题（于万堂）

二体问题及质心系问题

一．质心运动定理

二.二体问题的动力学问题

如果一个系统中有两个相互作用的质点,并且系统的合外力为零,这类问题叫做二体问题. 如图所示，两个质点的质量分别为m1和m2，两者之间的相互作

1 f21 f12 2 ????用力分别f21和f12，则有：f21?m1a1 f12?m2a2

?m1m2?11????a12?ua12 所以有：a1?a2?(?)f21 即：f21?m1m2m1?m2其中u叫做约化质量。即：两个物体之间的相互作用力大小等于约化质量乘以两个物体的

相对加速度。

假如两个质点的质量分别为m1和m2，相距为r12，如果以质心C作为参考系，则1球和2球的坐标为：r1C?1 C 2 m2m1r12 r2C?r12

m1?m2m1?m2对以上两个式子求导得：v1C?m2m1v12 v2C?v12

m1?m2m1?m2再对以上两式求导得：a1C?m2m1a12 a2C?a12

m1?m2m1?m2?m1m2???a12 所以：f?m1a1C f?m2a2C 又因为：f21?m1?m2即：二体问题中，两物体之间的相互作用力等于物体的质量乘以物体相对于质心的加速度。 三．．质心系中的二体问题的动量和动能 【动量问题】对于有相互作用的两个质点，其质心坐标为xC?m1x1?m2x2

m1?m2??m1v1?m2v2????对上式求导得：vC? 即：(m1?m2)vC?m1v1?m2v2

m1?m2??????m1(vC?v1)?m2(v2?vC) ，即：m2v2C?m1v1C?0

即：两个相互作用的物体，以其质心为参考系，系统的动量为零。

【动能问题】：当质量分别为m和M的两个小球在同一直线上分别以速度v1和v2运动时，试求：（1）他们质心的运动速度 (2)将他们的动能表达为两项之和，其中一项只包含质心速度，另一项只包含相对速度（v1-v2） (3)如果两球发生正碰，说明只有第二项发生了改变

（4）在（3）的情况下给出恢复系数和总动能损失?E之间的关系式

【习题】

水平光滑桌面上有两个质量分别为M和m的两个物体，两者用一根劲度系数为k 的弹簧连接而处于静止状态，今用棒击质量为m 的物体，使之获得一指向另一方的速度v，试利用约化质量概念求出此后弹簧的最大压缩长度

1.水平面上有一辆质量为M的小车，车内有一平台，平台上有一根轻质弹簧，弹簧一端与小车的后壁固定，将弹簧压缩一定线度后锁定，并将一个质量为m的小球靠在压缩弹簧的自由端，解除锁定，弹簧可将小球弹出，小球飞出平台落在地板上。求下面两种情况下小球在车内落地点与平台边缘的水平距离之比，（1）小车固定；（2）小车不固定。计算时忽略一切摩擦。

质量为M的粒子以速度v0运动，与质量为m 的静止粒子碰撞，求第一个粒子在碰撞后的最大偏角？碰撞时完全弹性的。

2.质量为m的小珠子套在质量为M的均匀圆环上，将他们平放在水平桌面上，开始时珠子具有速度v，而环静止，求在以后过程中珠子的最小动能，不计一切摩擦。

如图所示，光滑水平面上放置着A、B两个可看做质点的

物体，其质量分别为m、 m/2，中间以劲度系数为k、原长为l的轻弹簧相连接。质量为 m/2的物体C以大小v0=

32kl2 方向为垂直弹簧的初速度与B发生碰撞，且碰后3m立即粘成一个整体D。求此后运动过程中A、D间距的最大值与最小值。

哑铃是质量为M和

M的两个小球分别固定在轻硬杆的两端，现将该哑铃放在光滑的水平2桌面上，还有一个质量为m的小球沿着桌面朝垂直哑铃方向运动，正好飞向哑铃上的M球，发生弹性碰撞，碰撞后哑铃将如何运动？球和哑铃还会发生一次碰撞吗？当m和M成什么比例的时候会发生第二次碰撞

M

M/2 v

6.（23届复赛）如图所示，一根质量可以忽略的细杆，长为2l，两端和中心处分别固连着质量为m的小球B、D和C，开始时静止在光滑的水平桌面上。桌面上另有一质量为M的小球A，以一给定速度v0沿垂直于杆DB的方间与右端小球B作弹性碰撞。求刚碰后小球A,B,C,D的速度，并详细讨论以后可能发生的运动情况。

如图所示，定滑轮B、C与动滑轮D组成一滑轮组，各滑轮与转轴间的摩擦、滑轮的质量均不计．在动滑轮D上，悬挂有砝码托盘A，跨过滑轮组的不可伸长的轻线的两端各挂有砝码2和3．一根用轻线（图中穿过弹簧的那条竖直线）拴住的压缩轻弹簧竖直放置在托盘底上，弹簧的下端与托盘底固连，上端放有砝码1（两者未粘连）．已知三个砝码和砝码托盘的质量都是m，弹簧的劲度系数为k，压缩量为l0，整个系统处在静止状态．现突然烧断拴住弹簧的轻线，弹簧便伸长，并推动砝码1向上运动，直到砝码1与弹簧分离．假设砝码1在以后的运动过程中不会与托盘的顶部相碰．求砝码1从与弹簧分离至再次接触经历的时间．

B D C 2 1 3 A

如图28决—2所示，在水平地面上有一质量为M、长度为L的小车，车内两端靠近底部处分别固定两个弹簧，两弹簧位于同一直线上，其原长分别为l1和l2，劲度系数分别为k1和k2；两弹簧的另一端分别放着一质量为m1、m2的小球，弹簧与小球都不相连。开始时，小球1压缩弹簧1并保持整个系统处于静止状态，小球2被锁定在车底板上，小球2与小车右端的距离等于弹簧2的原长。现无初速释放小球1，当弹簧1的长度等于其原长时，立即解除对小球2的锁定；小球1与小球2碰撞后合为一体，碰撞时间极短。已知所有解除都是光滑的；从释放小球1到弹簧2达到最大压缩量时，小车移动力距离l3.试求开始时弹簧1的长度l和后来弹簧2所达到的最大压缩量Δl2.

L k1 m1 图28决—2

m2 k2

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