柯西不等式的证明及其应用

kexi budengshi

柯西不等式的证明及其应用

赵增林

（青海民族大学，数学学院，青海，西宁，810007）

摘要：柯西不等式是一个非常重要的不等式，本文用五种不同的方法证明了柯西

不等式，并给出了一些柯西不等式在证明不等式、求函数最值、解方程、解三角与几何问题等方面的应用，最后用其证明了点到直线的距离公式，更好的解释了柯西不等式。

关键词：柯西不等式，证明，应用 柯西不等式

定理：如果a1,a2,……,an;b1,b2,……,bn为两组实数，则

2222

(a1b1 a2b2 …… anbn)2 (a12 a2 …… an)(b12 b2 …… bn) （*）

当且仅当a1b2 a2b1 a1b3 a3b1 …… a1bn anb1 0时等号成立。 若b1 0,b2 0,……,bn 0，则不等式的等号成立的条件是

aa1a2

…… n。 b1b2bn

我们称不等式（*）为柯西不等式。 柯西不等式的证明：

一）两个实数的柯西不等式的证明：

22

对于实数a1,a2,b1,b2，恒有(a1b1 a2b2)2 (a12 a2)(b12 b2)，当且仅当

a1b2 a2b1 0时等号成立。如果b1 0,b2 0则等式成立的条件是证明：对于任意实数a1,a2,b1,b2，恒有

a1a2

。 b1b2

22

(a12 a2)(b12 b2) (a1b1 a2b2)2 (a1b2 a2b1)2，而(a1b2 a2b1)2 0， 22故(a1b1 a2b2)2 (a12 a2)(b12 b2)当且仅当a1b2 a2b1 0时等号成立。

不等式的几何意义如图1所示，在直角坐标系中有

异于原点O的两点P(a1,a2)，Q(b1,b2)，由距离公式

得：|OP

| ，|OQ

|

|PQ

|

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设OP与OQ的夹角为 ，

|OP|2 |OQ|2

|PQ|2由余弦定理得cos 。

2|OP||OQ|因为 1 cos 1，所以cos

12

2 1，

22

即(a1b1 a2b2)2 (a12 a2)(b12 b2)当且仅当cos2 1时等号成立，

即OPQ共线时等号成立。这时有

a1a2

，即a1b2 a2b1 0。 b1b2

二）柯西不等式的证明：

常用的证明柯西不等式的方法有： 1）配方法：

作差：因为( a)( b) ( aibi)2

2i

2j

i 1

j 1

i 1

n

n

n

( a)( b) ( aibi)( ajbj)

2i

2j

i 1

j 1

i 1

j 1

nnnn

ab aibiajbj

22ij

i 1j 1

i 1j 1

nn

1nn22nn22

( aibj ajbi 2 aibjajbi)

2i 1j 1i 1j 1i 1j 1

nnnn

1nn222 (aibj 2aibjajbi a2jbi)

2i 1j 1

1nn

(aibj ajbi)2 0

2i 1j 1

所以( a)( b) ( aibi) 0，即( a)( b) ( aibi)2

2i

2j

2

2i

2j

i 1

j 1

i 1

i 1

j 1

i 1

n

n

n

n

n

n

2222

即(a1b1 a2b2 …… anbn)2 (a12 a2 …… an)(b12 b2 …… bn)

当且仅当aibj ajbi 0(i,j 1,2,……,n) 即

aiaj

(i 1,2,……,n;j 1,2,……,n;bj 0)时等号成立。 bibj

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2）利用恒等式证明：

先用数学归纳法证明如下恒等式，然后证明柯西不等式： 对于二组实数

a1,a2,……,an;b1,b2,……,bn有柯西—拉格朗日恒等式

2222

(a12 a2 …… an)(b12 b2 …… bn) (a1b1 a2b2 …… anbn)2

(a1b2 a2b1)2 (a1b3 a3b1)2 … (a1bn anb1)2 (a2b3 a3b2)2 … (a2bn anb2)2 … (an 1bn anbn 1)2 由实数性质 2 0( R)可得柯西不等式成立。 3）利用判别式证明（构造二次函数法） i)若a1 a2 …… an 0，则不等式显然成立。

22ii)若a1，a2，……，an至少有一个不为0，则a12 a2>0 …… an

对于任意的实数x，总有(aix bi)2 0(i 1,2,……,n), ai2x2 2aibix bi2 0。 当i 1,2,……,n时，将以上n个式子相加，有

2222

(a12 a2 …… an)x2 2(a1b1 a2b2 …… anbn)x (b12 b2 …… bn) 0 22当a12 a2 …… an 0时，上面的不等式对于所有的x均成立。

故有判别式

2222 4(a1b1 a2b2 …… anbn)2 4(a12 a2 …… an)(b12 b2 …… bn) 0 2222即(a1b1 a2b2 …… anbn)2 (a12 a2 …… an)(b12 b2 …… bn)。

当

aaba1a2ababa

…… n时，因为121 222 …… n2n 1。 b1b2bnb1b2bnb1

a1b1 a2b2 …… anbna1a1b1 a2b2 …… anbnb1

。同理可得 。 222222

b1 b2 …… bnb1a1 a2 …… ana1

故

两式相乘，得

2222

(a1b1 a2b2 …… anbn)2 (a12 a2 …… an)(b12 b2 …… bn)

即不等式的等号成立。 不等式的等号成立，即

2222

(a1b1 a2b2 …… anbn)2 (a12 a2 …… an)(b12 b2 …… bn)时，有 2222[ 2(a1b1 a2b2 …… anbn)]2 4(a12 a2 …… an)(b12 b2 …… bn) 0

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则关于x的方程

2222

(a12 a2 …… an)x2 2(a1b1 a2b2 …… anbn)x (b12 b2 …… bn) 0

则有(a1x b1)2 (a2x b2)2 …… (anx bn)2 0 于是aix bi 0(i 1,2,……n)，即

aa1a2

…… n。 b1b2bn

ai1

(i 1,2,……n)，即bix

4）用数学归纳法证明

2

i）当n 1时，有(a1b1)2 a12b2，不等式成立。 222

当n 2时，(a1b1 a2b2)2 a12b2 a2b2 2a1b1a2b2

2222222

(a12 a2)(b12 b2) a12b12 a2b2 a12b2 a2b1。

22222

因为a12b2)(b12 b2) a2b1 2a1b1a2b2，故有(a1b1 a2b2)2 (a12 a2

当且仅当a1b2 a2b1，即

a1a2

时等号成立。 b1b2

ii）假设n k时不等式成立。即

222

(a1b1 a2b2 …… akbk)2 (a12 a2 …… ak)(b12 b2 …… bk2)

当且仅当

aa1a2

…… n时等号成立。 b1b2bn

那么当n k 1时，

(a1b1 a2b2 …… akbk ak 1bk 1)2

22

(a1b1 a2b2 …… akbk)2 2ak 1bk 1(a1b1 a2b2 …… akbk) ak 1bk 1

22222 (a12 a2 …… ak)(b12 b2 …… bk2) 2ak 1bk 1(a1b1 a2b2 …… akbk) ak 1bk 1 2222222222 (a12 a2 …… ak)(b12 b2 …… bk2) a12bk2 1 b12ak 1 …… akbk 1 bkak 1 ak 1bk 1

22222 (a12 a2 …… ak 1)(b1 b2 …… bk 1) 2222 (a12 a2 …… an)(b12 b2 …… bn)

当且仅当a1bk 1 b1ak 1,a2bk 1 b2ak 1,……,akbk 1 bkak 1时等号成立，

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即

aaa1a2

…… k k 1时等号成立。 b1b2bkbk 1

于是n k 1时不等式成立。

由i）ii）可得对于任意的自然数n，柯西不等式成立。 5）用向量法证明

设n维空间中有二个向量a ，b (b1,b2,……,bn)，其中 （a1,a2,……,an）

a1,a2,……,an;b1,b2,……,bn为任意两组实数。

由向量的长度定义，有|a

| b

| 又由内积的定义，a b |a||b|cos , j是a, b的夹角，

且有a b a1b2 a2b2 …… anbn。 因|cos | 1，故| a b | |a||b|，于是

|a1b1 a2b2 …… anbn|

2222

(a1b1 a2b2 …… anbn)2 (a12 a2 …… an)(b12 b2 …… bn)

当且仅当|cos | 1时，即a与b共线时等号成立。

（ R）由a,b共线可知a1 b1,a2 b2,……,an bn

即

aa1a2

…… n(bi 0,i 1,2,……,n) b1b2bn

由以上，命题得证。 柯西不等式的应用： 1）证明不等式

在不等式的证明中，柯西不等式的作用是很突出的。有些不等式的证明用常归方法很繁琐，而用柯西不等式却很简单。

例1：已知a1,a2,……,an为互不相等的正整数，求证：对于任意的正整数n，有

ana1a211

…… 1 …… 。 1222n22n

证明：由柯西不等式：

不等式

112

(1 ……

)2 ……

2n (

an11a1a21 …… )( …… ) 22212na1a2an

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111 ……

aa1a211。 于是2 2 …… n (1 …… )2

12n2n1 1 …… 1

a1a2an

又因为a1,a2,……,an为互不相等的正整数，故其中最小的数不小于1，次小

111 …… 1。 的数不小于2，最大的不小于n，这样就有

111 …… a1a2an11

1 ……

11 1 1 …… 1。 所以有(1 …… )2n1 1 …… 12n

a1a2an11

1 ……

aa1a211 因为2 2 …… n (1 …… )

12n22n1 1 …… 1

a1a2an11

1 ……

11 1 1 …… 1 而(1 …… )2n1 1 …… 12n

a1a2an所以有

ana1a211

…… 1 …… 。 1222n22n

例2：设ai 0(i1 ,2,

,……)n

，

则证明： a1 a2 …… an)

i 1

n证明：由柯西不等式，对于任意的n个实数x1,x2,……,xn，有

22

(x12 x2 …… xn)(12 12 …… 12) (x1 x2 …… xn)2

(x1 x2 …… xn)2 即x x …… x

n

21

22

2n

于是i 1

i 1

n

n

nnn

[( aj) ai] n 1) ai a1 a2 …… an)。

i 1j 1i 1

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2）求函数的极值

柯西不等式也可以广泛应用于求函数的极值或最值。事实上，由

2222

(a1b1 a2b2 …… anbn)2 (a12 a2 …… an)(b12 b2 …… bn)可得

a1b1 a2b2 …… anbn

边当作一个函数，而右边值确定时，则可知a1b1 a2b2 …… anbn的最大值与最

aa1a2

…… n。 b1b2bn

反过来，如果把柯西不等式右边的一个因式或两个的积当作函数，而其他的因式已知时，则可求出此函数的最小值。

例1：求函数y asinx bcosx的极值，其中a,b是常数。 解：y2 (asinx bcosx)2 (a2 b2)(sin2x cos2x) a2 b2

故有y 当且仅当

sinxcosxa

时，即x arctan k (k Z)时， abb

函数y asinx

bcosx有极小值

例2：已知a,b,c,R为常数，当x2 y2 z2 R2时，求函数f(x,y,z) ax by cz的最大值与最小值。

解：由柯西不等式：

f2(x,y,z) (ax by cz)2 (a2 b2 c2)(x2 y2 z2) (a2 b2 c2)R2

故f(x,y,z) 当且仅当

xyz

t，即x at,y bt,z ct（t为常数）时等号成立。 abc

将x at,y bt,z ct代入x2 y2 z2 R2得(a2 b2 c2)t2 R2

则t

(x,y,z) a,b,c)时，

f(x,y,z ) c

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3）解方程

2x y 5

例1：解方程组 2 2

9x 4y 35

21

解：由柯西不等式有[(3x)2 (2y)2] [()2 ()2] (2x y)2

32

即9x 4y

22

52

()2 ()232

36 35，故方程组无解。

9 222

x y z

例2：在实数集内解方程组 4

8x 6y 24z 39

解：由柯西不等式

(x2 y2 z2)[( 8)2 62 ( 24)2] ( 8x 6y 24z)2 （1）

9

因为(x2 y2 z2)[( 8)2 62 ( 24)2] (64 36 4 144) 392

4

又因为( 8x 6y 24z)2 392。

即(x2 y2 z2)[( 8)2 62 ( 24)2] ( 8x 6y 24z)2 即（1）式取等号。

xyz （2） 86 24

6918

（2）式与 8x 6y 24z 39联立，则有x ,y ,z 。

132613

4）解三角与几何问题

由柯西不等式取等号的条件有

例1：在三角形ABC

中，证明 sinnA sinnB sinnC 证明：由柯西不等式：(sinnA sinnB sinnC)2 (1 sinnA 1 sinnB 1 sinnC)2

(12 12 12)(sin2nA sin2nB sin2nC)

即(sinnA sinnB sinnC)2 3(sin2nA sin2nB sin2nC) （1） 因为sin2nA sin2nB sin2nC 1 cos2nA

1

2 cos2nA (cos2nB cos2nC)

2

1 cos2nB1 cos2nC

22

2 cos2nA cos(nB nC)cos(nB nC)

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2 cos2nA cos(nB nC)cos(nB nC)

2 cos2nA cos(nB nC)

故sin2nA sin2nB sin2nC 2 cos2nA cos(nB nC) （2） 又因为2 cos2nA cos(nB nC) 2 cosnA(1 cosnA)

2 [

cosnA (1 cosnA)2

]

2

19

（3） 44

9

将（3）代入（2）得sin2nA sin2nB sin2nC （4）

49

将（4）代入（1）得(sinnA sinnB sinnC)2 3

4

因而2 cos2nA cosnA 2

即 sinnA sinnB sinnC

例2

：求证三角形三边上正方形面积之和不小于该三角形面积的

a2 b2 c2 ，其中a,b,c为三角形的三边长，S为三角形的面积。 证明：由海伦——秦九韶面积公式S2 s(s a)(s b)(s c)，其中s

于是16S2 (a b c)(b c a)(c a b)(a b c)

a b c

。 2

2(b2c2 c2a2 a2b2) a4 b4 c4

由柯西不等式，有

(b2c2 c2a2 a2b2)2 (b4 c4 a4)(c4 a4 b4) (a4 b4 c4)2

b2c2a2

当且仅当2 2 2，即a b c时等式成立。

cab

于是4(a4 b4 c4) 4(b2c2 c2a2 a2b2)。 变形得：

a4 b4 c4 2b2c2 2c2a2 2a2b2 3(2b2c2 2c2a2 2a2b2 a4 b4 c4)。

即(a2 b2 c2)2 3 16S（S是三角形的面积）

故有a2 b2 c2 ，当且仅当a b c时等号成立。

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5）推导点到直线的距离公式

已知点P(x0,y0)及直线l:Ax By C 0(A2 B2 0)，设Px1,y1)是l上任意1(

P到l的距离，证明：一点，点P到P1的距离的最小值|PP1|就是点

|PP

1|

。

证明：因为P1是l上的点，所以有Ax1 By1 C 0。 （1）

而|PP

| （2） 1

由柯西不等式，

A(x1 x0) B(y1 y0)

Ax1 Ax0 By1 By0 Ax1 By1 (Ax0 By0) （3） 由（1）得：Ax1 By1 C （4） 将（4）代入（3）

C (Ax0 By0)

PP1 C (Ax0 By0) C (Ax0 By0) 移项则有：|PP

1|

（5）

当且仅当

y1 y0B

（5）式取等号，即点到直线的距离公式： 即PP1 l时

x1 x0A

|PP

1|

。

参考文献：

[1] 王学功，著名不等式，中国物资出版社

[2]李永新李得禄，中学数学教材教法，东北师大出版社 [3]柯西不等式与排序不等式，南山，湖南教育出版社 [4]柯西不等式的微小变动，数学通报，2002 第三期

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Application of Cauchy inequality

Zenglin Zhao

(Department of mathematics, Qinghai University For Nationalities,Xining,Qinghai,810007) Abstract: Cauchy inequality is a very important inequality in this paper using five different methods to prove the Cauchy inequality, and gives a number of inequality in the proof of Cauchy's inequality, and the value function, solution of equations,

solution of triangular and geometric issues application, and finally to prove the point with the straight-line distance from the formula, a better explanation of the Cauchy inequality.

Keywords: Cauchy inequality; proof; application

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/42dm.html