概率论与数理统计习题集及答案
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《概率论与数理统计》作业集及答案
第1章 概率论的基本概念
§1 .1 随机试验及随机事件
1. (1) 一枚硬币连丢3次,观察正面H﹑反面T 出现的情形. 样本空间是:S= ;
(2) 一枚硬币连丢3次,观察出现正面的次数. 样本空间是:S= ; 2.(1) 丢一颗骰子. A:出现奇数点,则A= ;B:数点大于2,则B= . (2) 一枚硬币连丢2次, A:第一次出现正面,则A= ;
B:两次出现同一面,则= ; C:至少有一次出现正面,则C= .
§1 .2 随机事件的运算
1. 设A、B、C为三事件,用A、B、C的运算关系表示下列各事件:
(1)A、B、C都不发生表示为: .(2)A与B都发生,而C不发生表示为: . (3)A与B都不发生,而C发生表示为: .(4)A、B、C中最多二个发生表示为: . (5)A、B、C中至少二个发生表示为: .(6)A、B、C中不多于一个发生表示为: . 2. 设S?{x:0?x?5},A?{x:1?x?3},B?{x:2??4}:则
(1)A?B? ,(2)AB? ,(3)AB? , (4)A?B= ,(5)AB= 。
§1 .3 概率的定义和性质
1. 已知P(A?B)?0.8,P(A)?0.5,P(B)?0.6,则
(1) P(AB)? , (2)(P(AB))= , (3)P(A?B)= . 2. 已知P(A)?0.7,P(AB)?0.3, 则P(AB)= .
§1 .4 古典概型
1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率,
(2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率.
2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率.
§1 .5 条件概率与乘法公式
1.丢甲、乙两颗均匀的骰子,已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。 2. 已知P(A)?1/4,P(B|A)?1/3,P(A|B)?1/2, 则P(A?B)? 。
§1 .6 全概率公式
1. 有10个签,其中2个“中”,第一人随机地抽一个签,不放回,第二人再随机地抽一个
签,说明两人抽“中‘的概率相同。
2. 第一盒中有4个红球6个白球,第二盒中有5个红球5个白球,随机地取一盒,从中
随机地取一个球,求取到红球的概率。
- 1 -
§1 .7 贝叶斯公式
1. 某厂产品有70%不需要调试即可出厂,另30%需经过调试,调试后有80%能出厂,求(1)
该厂产品能出厂的概率,(2)任取一出厂产品, 求未经调试的概率。
2. 将两信息分别编码为A和B传递出去,接收站收到时,A被误收作B的概率为0.02,
B被误收作A的概率为0.01,信息A与信息B传递的频繁程度为3 : 2,若接收站收到的信息是A,问原发信息是A的概率是多少?
§1 .8 随机事件的独立性
1. 电路如图,其中A,B,C,D为开关。设各开关闭合与否相互独立,且每一开关闭合的概率均为p,求L与R为通路(用T表示)的概率。
A B L R C D
3. 甲,乙,丙三人向同一目标各射击一次,命中率分别为0.4,0.5和0.6,是否命中,相
互独立, 求下列概率: (1) 恰好命中一次,(2) 至少命中一次。
第1章作业答案
§1 .1 1:(1)S?{HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT}; (2)S?{0,1,2:(1)A?{1,2,3}
3,5}B?{3,4,5,6};
(2)A?{正正,正反},B?{正正,反反},C?{正正,正反,反正}。 §1 .2 1: (1) ABC;(2) ABC;(3) ABC;(4)A?B?C;(5) AB?AC?BC;
(6) AB?AC?BC 或 ABC?ABC?ABC?ABC;
2: (1)A?B?{x:1?x?4};(2)AB?{x:2?x?3};(3)AB?{x:3?x?4};
(4)A?B?{x:0?x?1或2?x?5} ;(5)AB?{x:1?x?4}。
§1 .3 1: (1) P(AB)=0.3, (2)P(AB)= 0.2, (3) P(A?B) = 0.7. 2:P(AB))=0.4.
- 2 -
28101019810101910§1 .4 1:(1)C8,(2)(,(3)1-(C22. C22/C30(C22?C8C22?C82C22)/C30?C8C22)/C302: P43/43.
§1 .5 1:. 2/6; 2: 1/4。 §1 .6 1: 设A表示第一人“中”,则 P(A) = 2/10
设B表示第二人“中”,则 P(B) = P(A)P(B|A) + P(A)P(B|A) =
21822???? 10910910两人抽“中‘的概率相同, 与先后次序无关。
2: 随机地取一盒,则每一盒取到的概率都是0.5,所求概率为:
p = 0.5 × 0.4 + 0.5 × 0.5 = 0.45
§1 .7 1:(1)94% (2)70/94; 2: 0.993;
§1 .8. 1: 用A,B,C,D表示开关闭合,于是 T = AB∪CD, 从而,由概率的性质及A,B,C,D的相互独立性
P(T) = P(AB) + P(CD) - P(ABCD)
= P(A)P(B) + P(C)P(D) – P(A)P(B)P(C)P(D)
?p2?p2?p4?2p2?p4
2: (1) 0.4(1-0.5)(1-0.6)+(1-0.4)0.5(1-0.6)+(1-0.4)(1-0.5)0.6=0.38; (2) 1-(1-0.4)(1-0.5)(1-0.6)=0.88.
第2章 随机变量及其分布
§2.1 随机变量的概念,离散型随机变量
1 一盒中有编号为1,2,3,4,5的五个球,从中随机地取3个,用X表示取出的3个球 中的最大号码., 试写出X的分布律.
2 某射手有5发子弹,每次命中率是0.4,一次接一次地射击,直到命中为止或子弹用尽为止,用X表示射击的次数, 试写出X的分布律。
§2.2 0?1分布和泊松分布
1 某程控交换机在一分钟内接到用户的呼叫次数X是服从λ=4的泊松分布,求
(1)每分钟恰有1次呼叫的概率;(2)每分钟只少有1次呼叫的概率; (3)每分钟最多有1次呼叫的概率;
2 设随机变量X有分布律: X 2 3 , Y~π(X), 试求: p 0.4 0.6
(1)P(X=2,Y≤2); (2)P(Y≤2); (3) 已知 Y≤2, 求X=2 的概率。
§2.3 贝努里分布
1 一办公室内有5台计算机,调查表明在任一时刻每台计算机被使用的概率为0.6,计算
机是否被使用相互独立,问在同一时刻 (1) 恰有2台计算机被使用的概率是多少? (2) 至少有3台计算机被使用的概率是多少? (3) 至多有3台计算机被使用的概率是多少? (4) 至少有1台计算机被使用的概率是多少?
- 3 -
2 设每次射击命中率为0.2,问至少必须进行多少次独立射击,才能使至少击中一次的概率不小于0.9 ?
§2.4 随机变量的分布函数
x??1?0?1设随机变量X的分布函数是: F(x) = ?0.5?1?x?1
?1x?1?(1)求 P(X≤0 ); P?0?X?1?;P(X≥1),(2) 写出X的分布律。
?Ax?2 设随机变量X的分布函数是:F(x) = ?1?x??0
x?0x?0, 求(1)常数A, (2) P?1?X?2?.
§2.5 连续型随机变量
1 设连续型随机变量X的密度函数为:f(x)???kx0?x?1
0其他?(1)求常数k的值;(2)求X的分布函数F(x),画出F(x) 的图形,
(3)用二种方法计算 P(- 0.5 x?1?0?2 设连续型随机变量x?0的分布函数为:F(x) = ?lnx1?x?e ?1x?e?(1)求X的密度函数f(x),画出f(x)的图形,(2)并用二种方法计算 P(X>0.5). §2.6 均匀分布和指数分布 1设随机变量K在区间 (0, 5) 上服从均匀分布, 求方程 4x+ 4Kx + K + 2 = 0 有实根的概率。 - 4 - 2 2 假设打一次电话所用时间(单位:分)X服从??0.2的指数分布,如某人正好在你前面走进电话亭,试求你等待:(1)超过10分钟的概率;(2)10分钟 到20分钟的概率。 §2.7 正态分布 1 随机变量X~N (3, 4), (1) 求 P(2 2 某产品的质量指标X服从正态分布,μ=160,若要求P(120 §2.8 随机变量函数的分布 1设随机变量X的分布律为; X 0 1 2 p 0.3 0.4 0.3 Y = 2X – 1, 求随机变量X的分布律。 2设随机变量X的密度函数为:f(x)???2(1?x)0?x?1, 其他?0Y?X2;求随机变量Y的密度函数。 3. 设随机变量X服从(0, 1)上的均匀分布,Y??2lnX ,求随机变量Y的密度函数。 第2章作业答案 §2.1 1: X 3 4 5 p 0.1 0.3 0.6 2: X 1 2 3 4 5 p 0.4 0.6×0.4 0.6×0.6×0.4 0.6×0.6×0.6×0.4 0.6×0.6×0.6×0.6×1 §2.2 1: (1) P(X = 1) = P(X≥1) – P(X≥2) = 0.981684 – 0.908422 = 0.073262, (2) P(X≥1) = 0.981684, (3) P(X≤1) = 1 - P(X≥2) = 1 – 0.908422 = 0.091578。 - 5 - 2:(1) 由乘法公式: P(X=2,Y≤2) = P(X=2) P(Y≤2 | X=2)= 0.4× (e?2?2e?2?2e?2)= 2e?2 (2)由全概率公式:P(Y≤2) = P(X=2) P(Y≤2 | X=2) + P(X=3) P(Y≤2 | X=3) = 0.4×5e + 0.6×(3)由贝叶斯公式:P(X=2|Y≤2)= ?217?3e= 0.27067 + 0.25391 = 0.52458 2P(X?2,Y?2)0.27067??0.516 P(Y?2)0.52458§2.3 1: 设X表示在同一时刻被使用的台数,则 X ~B(5, 0.6), 234(1) P( X = 2 ) = C50.620.43 (2) P(X ≥3 ) = C50.630.42?C50.640.4?0.65 4 (3) P(X ≤3 ) = 1 - C50.640.4?0.65 (4)P(X ≥1 ) = 1 - 0.4 52: 至少必须进行11次独立射击. §2.4 1:(1)P(X≤0 )=0.5; P ?0?X?1? = 0.5;P(X≥1) = 0.5, (2) X的分布律为: X -1 1 P 0.5 0.5 2: (1) A = 1, (2) P?1?X?2? =1/6 ?0?2§2.5 1:(1)k?2,(2)F(x)??x?1?(3)P(- 0.5 x?00?x?1; x?100.5?0.50?0.5?0.5f(x)dx??0dx??2xdx?1; 4 或= F(0,5) – F(-0.5) = 11?0?。 44?1/x1?x?e 2: (1)f(x)?? (2)P(X?2)?1?ln2 其他?0§2.6 1: 3/5 2: (1)e?2(2)e?2?e?4 §2.7 1:(1) 0.5328, 0.9996, 0.6977, 0.5;(2) c = 3, 2:σ≤31.25。 §2.8 1: Y - 1 1 3 p 0.3 0.4 0.3 ?1?1?y/2(1?y)0?y?1??e2: fY(y)??y, 3: fY(y)??2?0?其他?0? y?0; y?0第3章 多维随机变量 - 6 - §3.1 二维离散型随机变量 1. 设盒子中有2个红球,2个白球,1个黑球,从中随机地取3个,用X表示取到的红球 个数,用Y表示取到的白球个数,写出 (X, Y) 的联合分布律及边缘分布律。 2. 设二维随机变量(X,Y)的联合分布律为: X Y 0 1 2 试根椐下列条件分别求a和b的值; 0 0.1 0.2 a (1)P(X?1)?0.6; 1 0.1 b 0.2 (2)P(X?1|Y?2)?0.5; (3)设F(x)是Y的分布函数,F(1.5)?0.5。 §3.2 二维连续型随机变量 1. (X、Y)的联合密度函数为:f(x,y)???k(x?y)0?x?1,0?y?1 其他?0求(1)常数k;(2)P(X<1/2,Y<1/2);(3) P(X+Y<1);(4) P(X<1/2)。 2.(X、Y)的联合密度函数为:f(x,y)???kxy0?x?1,0?y?x 其他?0求(1)常数k;(2)P(X+Y<1);(3) P(X<1/2)。 §3.3 边缘密度函数 1. 设(X, Y) 的联合密度函数如下,分别求X与Y的边缘密度函数。 f(x,y)? 1?2(1?x2)(1?y2)???x???,???y??? 2. 设(X, Y) 的联合密度函数如下,分别求X与Y的边缘密度函数。 ?e?x f(x,y)???0 0?y?x 其他§3.4 随机变量的独立性 1. (X, Y) 的联合分布律如下, X Y 1 2 3 试根椐下列条件分别求a和b的值; 1 1/6 1/9 1/18 - 7 - (1) P(Y?1)?1/3; 2 a b 1/9 (2) P(X?1|Y?2)?0.5; (3)已知X与Y相互独立。 2. (X,Y) 的联合密度函数如下,求常数c,并讨论X与Y是否相互独立? 2?cxy0?x?1,0?y?1 f(x,y)?? 其他?0 第3章作业答案 §3.1 1: X Y 1 2 2: (1) a=0.1 b=0.3 1 0.4 0.3 0.7 (2) a=0.2 b=0.2 2 0.3 0. 0.3 (3) a=0.3 b=0.1 0.7 0.3 1 §3.2 1:(1) k = 1;(2) P(X<1/2, Y<1/2) = 1/8;(3) P(X+Y<1) = 1/3;(4) P(X<1/2) = 3/8。 2:(1) k = 8;(2) P(X+Y<1) = 1/6;(3) P(X<1/2) = 1/16。 §3.3 1: fX(x)?12dy?????2(1?x2)(1?y2)?(1?x2)?????x???; fY(y)??12dx????2(1?x2)(1?y2)?(1?y2)?????y???; ?xe?x 2: fX(x)???0?e?y; fY(y)??x?0?0x?0y?0y?0; §3.4 1: (1)a=1/6 b=7/18; (2) a=4/9 b=1/9;(3)a = 1/3, b = 2/9。 2: c = 6, X与Y相互独立。 第4章 随机变量的数字特征 §4.1 数学期望 1.盒中有5个球,其中2个红球,随机地取3个,用X表示取到的红球的个数,则EX是: (A)1; (B)1.2; (C)1.5; (D)2. ?3x22?x?41?2. 设X有密度函数:f(x)??8 , 求E(X),E(2X?1),E(2),并求X其他X?0?大于数学期望E(X)的概率。 - 8 - 3. 设二维随机变量(X,Y)的联合分布律为: X Y 0 1 2 已知E(XY)?0.65, 0 0.1 0.2 a 则a和b的值是: 1 0.1 b 0.2 (A)a=0.1, b=0.3; (B)a=0.3, b=0.1; (C)a=0.2, b=0.2; (D)a=0.15, b=0.25。 4.设随机变量 (X, Y) 的联合密度函数如下:求EX,EY,E(XY?1)。 f(x,y)?? ?xy0?x?1,0?y?2 0其他?§4.2 数学期望的性质 1.设X有分布律: X 0 1 2 3 则E(X2?2X?3)是: p 0.1 0.2 0.3 0.4 (A)1; (B)2; (C)3; (D)4. ?5?yx2?y?12. 设(X,Y)有f(x,y)??4,试验证 E(XY)?E(X)E(Y),但X与Y不 ?其他?0相互独立。 §4.3 方差 1.丢一颗均匀的骰子,用X表示点数,求EX,DX. 0?x?2?(x?1)/42.X有密度函数:f(x)?? ,求 D(X). 其他0? - 9 - §4.4 常见的几种随机变量的期望与方差 1. 设X~?(2),Y~B(3,0.6),相互独立,则E(X?2Y),D(X?2Y)的值分别是: (A)-1.6和4.88; (B)-1和4; (C)1.6和4.88; (D)1.6和-4.88. 2. 设X~U(a,b),Y~N(4,3),X与Y有相同的期望和方差,求a,b的值。 (A) 0和8; (B) 1和7; (C) 2和6; (D) 3和5. §4.6 独立性与不相关性 矩 1.下列结论不正确的是( ) (A)X与Y相互独立,则X与Y不相关; (B)X与Y相关,则X与Y不相互独立; (C)E(XY)?E(X)E(Y),则X与Y相互独立; (D)f(x,y)?fX(x)fY(y),则X与Y不相关; (X,Y)?0,则不正确的是( ) 2.若 COV(A)E(XY)?E(X)E(Y);(B)E(X?Y)?E(X)?E(Y); (C)D(XY)?D(X)D(Y);(D)D(X?Y)?D(X)?D(Y); 3.(X,Y)有联合分布律如下,试分析X与Y的相关性和独立性。 X Y -1 0 1 . -1 1/8 1/8 1/8 0 1/8 0 1/8 1 1/8 1/8 1/8 4.E(XY)?E(X)E(Y)是X与Y不相关的( ) (A)必要条件;(B)充分条件:(C)充要条件;(D)既不必要,也不充分。 5. E(XY)?E(X)E(Y)是X与Y相互独立的( ) (A) 必要条件;(B)充分条件:(C)充要条件;(D)既不必要,也不充分。 6. 设随机变量 (X, Y) 有联合密度函数如下:试验证X与Y不相关,但不独立。 ?21x2y/4x2?y?1 f(x,y)?? 其他?0 - 10 - 第4章作业答案 §4.1 1: B; 2:3/2, 2, 3/4, 37/64; 3: D; 4: 2/3,4/3,17/9; §4.2 1: D; §4.3 1:7/2, 35/12; 2:11/36; §4.4 1:A; 2: B; §4.5 1:0.2, 0.355; 2:-1/144, -1/11; §4.6 1:C; 2:C; 3:X与Y不相关,但X与Y不相互独立;4:C;5:A; 第5章 极限定理 *§5.1 大数定理 §5.2 中心极限定理 1. 一批元件的寿命(以小时计)服从参数为0.004的指数分布,现有元件30只,一只在用, 其余29只备用,当使用的一只损坏时,立即换上备用件,利用中心极限定理求30只元件至少能使用一年(8760小时)的近似概率。 2. 某一随机试验,“成功”的概率为0.04,独立重复100次,由泊松定理和中心极限定理 分别求最多“成功”6次的概率的近似值。 第5章作业答案 §5.2 2:0.1788; 3:0.889, 0.841; 第6章 数理统计基础 §6.1 数理统计中的几个概念 1. 有n=10的样本;1.2, 1.4, 1.9, 2.0, 1.5, 1.5, 1.6, 1.4, 1.8, 1.4,则样本 2均值X= ,样本均方差S? ,样本方差S? 。 2.设总体方差为b有样本X1,X2,?,Xn,样本均值为X,则Cov(X1,X)? 。 2§6.2 数理统计中常用的三个分布 1. 查有关的附表,下列分位点的值:Z0.9= ,22 ?0.1(5)= ,t0.9(10)= 。 2.设X1,X2,?,Xn是总体?(m)的样本,求E(X),D(X)。 §6.3 一个正态总体的三个统计量的分布 1.设总体X~N(?,?),样本X1,X2,?,Xn,样本均值X,样本方差S,则 22X???/n ~ , X??~ , S/n- 11 - 1?2?(Xi?1ni?X)~ , 21?2?(Xi?1ni??)2~ , 第6章作业答案 §6.1 1.x?1.57,s?0.254,s2?0.0646; 2. Cov(X1,X)?b2/n; D(X)?2m/n; §6.2 1.-1.29, 9.236, -1.3722; 2.E(X)?m,§6.3 1.N(0,1),t(n?1),?2(n?1),?2(n); 第7章 参数估计 §7.1 矩估计法和顺序统计量法 ???x1.设总体X的密度函数为:f(x)????0知参数? 的矩估计。 2.每分钟通过某桥量的汽车辆数X~?(?),为估计?的值,在实地随机地调查了20次,每次1分钟,结果如下:次数: 2 3 4 5 6 量数: 9 5 3 7 4 试求?的一阶矩估计和二阶矩估计。 ??10?x?1其他,有样本X1,X2,?,Xn,求未 §7.2 极大似然估计 ??(??1)x1.设总体X的密度函数为:f(x)????0未知参数? 的极大似然估计。 ?0?x?1其他,有样本X1,X2,?,Xn,求 §7.3 估计量的评价标准 ??2X?1是a 1.设总体X服从区间(a,1)上的均匀分布,有样本X1,X2,?,Xn,证明a的无偏估计。 2.设总体X~?(?),有样本X1,X2,?,Xn,证明aX?(1?a)S2是参数?的无偏估计(0?a?1)。 §7.4 参数的区间估计 1. 纤度是衡量纤维粗细程度的一个量,某厂化纤纤度X~N(?,?2),抽取9根纤维,测 量其纤度为:1.36,1.49,1.43,1.41,1.27,1.40,1.32,1.42,1.47,试求?的置信度为0.95的置信区间,(1)若?2?0.0482,(2)若?2未知 2. 2. 为分析某自动设备加工的另件的精度,抽查16个另件,测量其长度,得x?12.075 - 12 - ㎜,s = 0.0494㎜, 设另件长度X~N(?,?2),取置信度为0.95,(1)求?的置信区间,(2)求?的置信区间。 2第7章作业答案 §7.1 1:(X2); 2: 5, 4.97; 1?Xn?1)2; i§7.2 1:(?lnXi?1n§7.3 §7.4 1:(1.377,1.439),(1.346,1.454); 2:(0.0013,0.0058);(0.036, 0.076) 第8章 假设检验 §8.1 假设检验的基本概念 ,1. 某种电子元件的阻值(欧姆)X~N(1000400),随机抽取25个元件,测得平均电 阻值x?992,试在??0.1下检验电阻值的期望?是否符合要求? 22. 在上题中若?未知,而25个元件的均方差s?25,则需如何检验,结论是什么? §8.2 假设检验的说明 1. 设第一道工序后,半成品的某一质量指标X~N(?,64),品质管理部规定在进入下一工序前必需对该质量指标作假设检验H0:???0,H1:???0;n?16,当X与?0的绝对偏差不超过3.29时,许进入下一工序,试推算该检验的显著性水平。 §8.3 一个正态总体下参数的假设检验 1. 成年男子肺活量为??3750毫升的正态分布,选取20名成年男子参加某项体育锻练一 定时期后,测定他们的肺活量,得平均值为x?3808毫升,设方差为?验肺活量均值的提高是否显著(取??0.02)? 2?1202,试检 第8章作业答案 §8.1 1:拒绝H0:??1000; 2: 接受H0:??1000; §8.2 1:0.1; §8.3 1:拒绝H0; - 13 -
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