高考数学一轮复习 11.1 抽样方法与总体分布的估计考点及自测 理 新人教A版

第1讲抽样方法与总体分布的估计

【2014年高考会这样考】

1．考查三种抽样方法及其应用．

2．考查频率分布直方图中的相关计算(求解频率、频数等)．

3．考查用样本估计总体中的样本数据的数字特征(平均数、方差、标准差等)．

对应学生

162

考点梳理

1．三种抽样方法的比较

2.频率分布直方图与茎叶图

(1)当总体很大或不便获得时，可以用样本的频率分布去估计总体的频率分布，我们把反映样本频率分布的表格称为频率分布表．绘制频率分布表的步骤为：①求极差；②决定组距和组数；③将数据分组；④列频率分布表．

(2)利用直方图反映样本的频率分布，这样的直方图称为频率分布直方图．画频率分布直方图的一般步骤是：①绘制频率分布表；②作直角坐标系，把横轴分成若干段，每一段对应一个组的组距；③在上面标出的各点中，分别以相邻两点为端点的线段为底作矩形，它

的高等于该组的

频率组距

.此时，每个矩形的面积恰好就是该组的频率，显然所有矩形的面积之和为1. 3．样本的数字特征

(1)众数

在样本数据中，出现次数最多的那个数据．

(2)中位数

样本数据中，将数据按大小排列，位于最中间的数据．如果数据的个数为偶数，就取中间两个数据的平均数作为中位数．

(3)平均数

样本数据的算术平均数，即x ＝1n

(x 1＋x 2＋…＋x n )． (4)方差与标准差

方差：s 2＝1n

[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]． 标准差：s ＝ 1n x 1－x 2＋x 2－x 2＋…＋x n －x 2].

【助学·微博】

一条规律 三种抽样方法的共同点都是等概率抽样，即抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，体现了这三种抽样方法的客观性和公平性．若样本容量为n ，总体的个体数为N ，则用这三种方法抽样时，每个个体被抽到的概率都是n N .

两个特性

(1)在频率分布表中，频数的和等于样本容量，每一小组的频率等于这一组的频数除以样本容量，各小组频率的和等于1；

(2)在频率分布直方图中，小矩形的高等于每一组的频率/组距，每个小矩形的面积等于该组的频率，所有小矩形的面积之和为1.

考点自测

1．(2012·山东)采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查．为此将他们随机编号为1,2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A ，编号落入区间[451,750]的人做问卷B ，其余的人做问卷C .则抽到的人中，做问卷B 的人数为( )．

A ．7

B ．9

C ．10

D ．15

解析 从960人中用系统抽样方法抽取32人，则每30人抽取一人，因为第一组抽到的号码为9，则第二组抽到的号码为39，第n 组抽到的号码为a n ＝9＋30(n －1)＝30n －21，由

451≤30n －21≤750，得23615≤n ≤25710

，所以n ＝16,17，…，25，共有25－16＋1＝10人，选C.

答案 C

2．(2013·临沂模拟)甲校有3 600名学生，乙校有5 400名学生，丙校有1 800名学生．为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层抽样法，抽取一个容量为90的样本，应该在这三校分别抽取的学生人数是( )．

A ．30,30,30

B ．30,45,15

C ．20,30,10

D ．30,50,10

解析 抽取比例是903 600＋5 400＋1 800＝1120，故三校分别抽取的学生人数为3 600×1120

＝30,5 400×1120＝45,1 800×1120

＝15. 答案 B

3．10名工人某天生产同一零件，生产的件数分别是15,17,14,10,15,19,17,16,14,12，则这一天10名工人生产的零件的中位数是( )．

A ．14

B ．16

C ．15

D ．17

解析 将这组数据从小到大排列得10,12,14,14,15,15,16,17,17,19.故中位数为15＋152

＝15.

答案 C

4．(2013·西北工大附中测试)如图是容量为150的样本的频率分布直方图，则样本数据落在[6,10)内的频数为( )．

A ．12

B ．48

C ．60

D ．80

解析 落在[6,10)内的频率为0.08×4＝0.32，故频数为0.32×150＝48.

答案 B

5．(2013·长沙模拟)

如图是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这五场比赛中得分的方差为________．

(注：方差s 2＝1n

[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]，其中x 为x 1，x 2，…，x n 的平均数)

解析 x ＝15(8＋9＋10＋13＋15)＝11，s 2＝15

×(9＋4＋1＋4＋16)＝6.8. 答案 6.8

考向一 抽样方法

【例1】?从某厂生产的802辆轿车中抽取80辆测试某项性能．请合理选择抽样方法进行抽样，并写出抽样过程．

[审题视点] 因为802不能整除80，为了保证“等距”分段，应先剔除2个个体．

解 由于总体及样本中的个体数较多，且无明显差异，因此采用系统抽样的方法，步骤如下：

第一步：先从802辆轿车中剔除2辆轿车(剔除方法可用随机数法)；

第二步：将余下的800辆轿车编号为1,2，…，800，并均匀分成80段，每段含k ＝80080

＝10个个体；

第三步：从第1段即1,2，…，10这10个编号中，用简单随机抽样的方法抽取一个编号(如

5)作为起始编号；

第四步：从5开始，再将编号为15,25，…，795的个体抽出，得到一个容量为80的样本．

解决系统抽样问题的两个关键步骤为：

(1)分段的方法应依据抽取的样本容量而定，即根据定义每段抽取一个样本．

(2)起始编号的确定应用简单随机抽样的方法，一旦起始编号确定，其他编号便随之确定了．

【训练1】 (2012·天津)某地区有小学150所，中学75所，大学25所．现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取30所学校对学生进行视力调查，应从小学中抽取________所学校，中学中抽取________所学校．

解析 根据分层抽样的特点求解．从小学中抽取30×150150＋75＋25

＝18所学校；从中学中抽取30×75150＋75＋25＝9所学校．

答案 18 9

考向二 频率分布直方图的绘制及应用

【例2】?某班同学利用国庆节进行社会实践，对[25,55]岁的人群随机抽取n 人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念，称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：

续表

(1)补全频率分布直方图； (2)求n ，a ，p 的值．

[审题视点] (1)要补全频率分布直方图，关键是计算出第二组的频率；(2)灵活运用关系式：频率组距×组距＝频率，频数样本容量

＝频率求解．

解 (1)第二组的频率为1－(0.04＋0.04＋0.03＋0.02＋0.01)×5＝0.3，所以小长方形的高为0.3

5

＝0.06.频率分布直方图如图所示．

(2)第一组的人数为1200.6

＝200，频率为0.04×5＝0.2， 所以n ＝2000.2

＝1 000. 由(1)知，第二组的频率为0.3，所以第二组的人数为1 000×0.3＝300，所以p ＝195300

＝0.65.第四组的频率为0.03×5＝0.15，所以第四组的人数为 1 000×0.15＝150，所以a ＝150×0.4＝60.

(1)绘制频率分布直方图时需注意：①制作好频率分布表后可以利用各组的频率

之和是否为1来检验该表是否正确；②频率分布直方图的纵坐标是频率组距

，而不是频率． (2)由频率分布直方图进行相关计算时，需掌握下列关系式：频率组距

×组距＝频率． 【训练2】 (2013·烟台四校联考)据悉2012年山东省高考要将体育成绩作为参考，为此，济南市为了了解今年高中毕业生的体能状况，从本市某校高中毕业班中抽取一个班进行铅球测试，成绩在8.0 m(精确到0.1 m)以上的为合格．把所得数据进行整理后，分成6组，并画出频率分布直方图的一部分如图所示．已知从左到右前5个小组对应矩形的高分别为0.04，0.10,0.14,0.28,0.30，且第6小组的频数是7.

(1)求这次铅球测试成绩合格的人数；

(2)若由直方图来估计这组数据的中位数，指出该中位数在第几组内，并说明理由．

解 (1)由题易知，第6小组的频率为1－(0.04＋0.10＋0.14＋0.28＋0.30)×1＝0.14，

∴此次测试的总人数为70.14

＝50. ∴这次铅球测试成绩合格的人数为(0.28×1＋0.30×1＋0.14×1)×50＝36.

(2)直方图中中位数两侧的矩形面积和相等，即频率和相等，前三组的频率和为0.28，前四组的频率和为0.56，

∴中位数位于第4组内．

考向三 用样本的数字特征估计总体的数字特征

【例3】?甲乙二人参加某体育项目训练，近期的五次测试成绩得分情况如图．

(1)分别求出两人得分的平均数与方差；

(2)根据图和上面算得的结果，对两人的训练成绩作出评价．

[审题视点] (1)先通过图象统计出甲、乙二人的成绩；

(2)利用公式求出平均数、方差，再分析两人的成绩，作出评价．

解 (1)由图象可得甲、乙两人五次测试的成绩分别为

甲：10分，13分，12分，14分，16分；

乙：13分，14分，12分，12分，14分. x 甲＝

10＋13＋12＋14＋165＝13， x 乙＝

13＋14＋12＋12＋145＝13， s 2甲＝15

[(10－13)2＋(13－13)2＋(12－13)2＋(14－13)2＋(16－13)2]＝4， s 2

乙＝15[(13－13)2＋(14－13)2＋(12－13)2＋(12－13)2＋(14－13)2]＝0.8.

(2)由s 2甲＞s 2

乙可知乙的成绩较稳定．

从折线图看，甲的成绩基本呈上升状态，而乙的成绩上下波动，可知甲的成绩在不断提高，而乙的成绩则无明显提高．

(1)用样本估计总体时，样本的平均数、标准差只是总体的平均数、标准差的近似．实际应用中，当所得数据平均数不相等时，需先分析平均水平，再计算标准差(方差)分析稳定情况．

(2)若给出图形，一方面可以由图形得到相应的样本数据，再计算平均数、方差(标准差)；另一方面，可以从图形直观分析样本数据的分布情况，大致判断平均数的范围，并利用数据的波动性大小反映方差(标准差)的大小．

【训练3】

(2012·陕西)从甲乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机，对其销售额进行统计，统

计数据用茎叶图表示(如图所示)．设甲乙两组数据的平均数分别为x 甲，x 乙，中位数分别为m 甲，m 乙，则( )．

A.x 甲m 乙

B.x 甲

C.x 甲>x 乙，m 甲>m 乙

D.x 甲>x 乙，m 甲

解析 x 甲＝

116

(41＋43＋30＋30＋38＋22＋25＋27＋10＋10＋14＋18＋18＋5＋6＋8)＝34516， x 乙＝116(42＋43＋48＋31＋32＋34＋34＋38＋20＋22＋23＋23＋27＋10＋12＋18)＝45716. ∴x 甲

又∵m 甲＝20，m 乙＝29，∴m 甲

答案 B

方法优化15——快速掌握抽样方法的技巧

【命题研究】 通过近三年的高考试题分析，考查分层抽样方法的题目较多，其次是系统抽样．题型多为选择题、填空题，有的与统计的其它知识或概率综合考查，常以解答题的形式出现，难度较低．

【真题探究】? (2012·江苏)某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3∶3∶4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取________名学生．

[教你审题] 一审 等比例性质；

二审 抽取的样本容量．

[优美解法] 高二年级学生人数占总数的

33＋3＋4＝310.样本容量为50，则高二年级抽取：50×310

＝15(名)学生． [答案] 15

[反思] 用分层抽样抽样时，分成的各层标准要一致，互不重叠，各层抽取的比例都等于样本容量在总体中的比例，即n N .

【试一试】 (2013·徐州模拟)从某小学随机抽取100名同学，这些同学身高都不低于100

厘米，将他们的身高(单位：厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图)．现用分层抽样的方法从身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]三组学生中，选取18人参加一项活动，则从身高在[140,150]内的学生中选取的人数应为________．

解析 由(0.005＋0.010＋0.020＋0.035＋a )×10＝1，得a ＝0.030，因此[120,130)，[130,140)，[140,150]三组学生人数分别为：0.3×100＝30,0.20×100＝20,0.10×100＝10，所以，从身高在[140,150]内的学生中选取的人数应为10

30＋20＋10

×18＝3.

答案 3

A 级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)

一、选择题(每小题5分，共20分)

1.(2013·西安质检)对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计， 得到样

本的茎叶图(如图所示)，则该样本的中位数、众数、极差分别是

( )． A ．46,45,56 B ．46,45,53 C ．47,45,56

D ．45,47,53

解析 样本共30个，中位数为45＋472＝46；显然样本数据出现次数最多的为

45，故众数为45；极差为68－12＝56，故选A. 答案 A

2．(2013·南昌模拟)小波一星期的总开支分布如图(a)所示，一星期的食品开支如图(b)所示，则小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为

( )．

A ．30%

B ．10%

C ．3%

D ．不能确定

解析 由题图(b)可知小波一星期的食品开支共计300元，其中鸡蛋开支30元．又由题图(a)知，一周的食品开支占总开支的30%，则可知一周总开支为

1 000元，所以鸡蛋开支占总开支的百分比为301 000

×100%＝3%. 答案 C

3．(2013·成都模拟)交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查．假设四个社区驾驶员的总人数为N ，其中甲社区有驾驶员96人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43，则这四个社区驾驶员的总人数N 为( )．

A ．101

B ．808

C ．1 212

D ．2 012

解析 甲社区驾驶员的抽样比例为1296＝18

，四个社区驾驶员总人数的抽样比例为12＋21＋25＋43N ＝101N ，由101N ＝18

，得N ＝808. 答案 B

4．(2012·安徽)甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则 ( )．

A ．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数

B ．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数

C ．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差

D ．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差

解析 由题意可知，甲的成绩为4,5,6,7,8，乙的成绩为5,5,5,6,9.所以甲、乙的成绩的平均数均为6，A 错；甲、乙的成绩的中位数分别为6,5，B 错；甲、乙的成绩的方差分别为15×[(4－6)2＋(5－6)2＋(6－6)2＋(7－6)2＋(8－6)2]＝2，15

×[(5－6)2＋(5－6)2＋(5－6)2＋(6－6)2＋(9－6)2]＝125

，C 对；甲、乙的成绩的极差均为4，D 错． 答案 C

二、填空题(每小题5分，共10分)

5．(2013·武夷模拟)用系统抽样法要从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生随机地从1～160编号，按编号顺序平均分成20组(1～8号，9～16号，…，153～160号)，若第16组抽出的号码为126，则第1组中用抽签的方法确定的号码是________．

解析 设第1组抽取的号码为b ，则第n 组抽取的号码为8(n －1)＋b ，∴8×(16－1)＋b ＝126，∴b ＝6，故第1组抽取的号码为6.

答案 6

6．(2013·苏州一中月考)某学校为了解学生数学课程的学习情况，在1 000名学生中随机抽取200名，并统计这200名学生的某次数学考试成绩，得到了样本的频率分布直方图(如图)．根据频率分布直方图可估计这1 000名学生在该次数学考试中成绩不低于60分的学生人数是________．

解析 低于60分学生所占频率为(0.002＋0.006＋0.012)×10＝0.2，故低于60分的学生人数为1 000×0.2＝200，所以不低于60分的学生人数为1 000－200＝800.

答案 800

三、解答题(共25分)

7．(12分)某政府机关有在编人员100人，其中副处级以上干部10人，一般干部70人，工人20人．上级机关为了了解政府机构改革意见，要从中抽取一个容量为20的样本，试确定用何种方法抽取，请具体实施抽取．

解 用分层抽样方法抽取．

具体实施抽取如下：

(1)∵20∶100＝1∶5，∴105＝2，705＝14，205

＝4， ∴从副处级以上干部中抽取2人，从一般干部中抽取14人，从工人中抽取4人．

(2)因副处级以上干部与工人的人数较少，他们分别按1～10编号与1～20编号，然后采用抽签法分别抽取2人和4人；对一般干部70人采用00,01,02，…，69编号，然后用随机数表法抽取14人．

(3)将2人，4人，14人的编号汇合在一起就取得了容量为20的样本．

8．(13分)(2012·揭阳调研)某校高一某班的某次数学测试成绩(满分为100分)的茎叶图和频率分布直方图都受了不同程度的破坏，但可见部分如图，据此解答下列问题：

(1)求分数在[50,60]的频率及全班人数；

(2)求分数在[80,90]之间的频数，并计算频率分布直方图中[80,90]间的矩形的高． 解 (1)分数在[50,60]的频率为0.008×10＝0.08.

由茎叶图知，分数在[50,60]之间的频数为2，所以全班人数为20.08

＝25. (2)分数在[80,90]之间的频数为25－2－7－10－2＝4，频率分布直方图中[80,90]间的矩

形的高为425

÷10＝0.016. B 级 能力突破

(时间：30分钟 满分：45分)

一、选择题(每小题5分，共10分)

1．(2013·哈尔滨模拟)一个样本容量为10的样本数据，它们组成一个公差不为0的等差数列{a n }，若a 3＝8，且a 1，a 3，a 7成等比数列，则此样本的平均数和中位数分别是

( )． A ．13,12 B ．13,13 C ．12,13

D ．13,14

解析 设等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，a 3＝8，a 1a 7＝(a 3)2

＝64，(8－2d )(8＋4d )＝64，(4－d )(2＋d )＝8,2d －d 2

＝0，又d ≠0，故d ＝2，故样本数据为4,6,8,10,12,14,16,18,20,22，样本的平均数为＋10

＝13，中位数为12＋14

2

＝13，

故选B. 答案 B

2．(2012·江西)样本(x 1，x 2，…，x n )的平均数为x ，样本(y 1，y 2，…，y m )的平均数为y (x ≠y )．若样本(x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y m )的平均数z ＝αx ＋(1－α)y ，其中0<α<1

2，则n ，m 的大小关系为

( )． A ．n m C ．n ＝m

D ．不能确定

解析 依题意得x 1＋x 2＋…＋x n ＝n x ，y 1＋y 2＋…＋y m ＝m y ，

x 1＋x 2＋…＋x n ＋y 1＋y 2＋…＋y m ＝(m ＋n )z ＝(m ＋n )αx ＋(m ＋n )(1－α)y ，

∴n x ＋m y ＝(m ＋n )αx ＋(m ＋n )(1－α)y ，

∴?

????

n ＝m ＋n α，m ＝m ＋n

－α

，

于是有n －m ＝(m ＋n )[α－(1－α)]＝(m ＋n )(2α－1)， ∵0<α<1

2，∴2α－1<0，∴n －m <0，即m >n .

答案 A

二、填空题(每小题5分，共10分)

3．(2013·沈阳质检)沈阳市某高中有高一学生600人，高二学生500人，高三学生550人，现对学生关于消防安全知识了解情况进行分层抽样调查，若抽取了一个容量为n 的样本，其中高三学生有11人，则n 的值等于________．

解析 由n 600＋500＋550＝11550

，得n ＝33(人)． 答案 33

4．(2013·北京西城一模)某年级120名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间．将测试结果分成5组：[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17)，[17,18]，得到如图所示的频率分布直方图．如果从左到右的5个小矩形的面积之比为1∶3∶7∶6∶3，那么成绩在[16,18]的学生人数是__________________________________________________________________．

解析 成绩在[16,18]的学生的人数所占比例为

6＋31＋3＋7＋6＋3＝920，所以成绩在[16,18]的学生人数为120×920

＝54. 答案 54

三、解答题(共25分)

5．(12分)汽车行业是碳排放量比较大的行业之一，欧盟规定，从2012年开始，对CO 2排放量超过130 g/km 的MI 型新车进行惩罚(视为排放量超标)，某检测单位对甲、乙两类MI 型品牌的新车各抽取了5辆进行CO 2排放量检测，记录如下(单位：g/km)：

经测算发现，乙类品牌车CO 2排放量的均值为x 乙＝120 g/km.

(1)求甲类品牌汽车的排放量的平均值及方差；

(2)若乙类品牌汽车比甲类品牌汽车CO 2的排放量稳定性好，求x 的取值范围．

解 (1)甲类品牌汽车的CO 2排放量的平均值x 甲＝80＋110＋120＋140＋1505

＝120(g/km)， 甲类品牌汽车的CO 2排放量的方差

s 2甲＝

－2＋－2＋－2＋－2＋－25 ＝600.

(2)由题意知乙类品牌汽车的CO2排放量的平均值x乙＝100＋120＋x＋y＋160

5

＝

120(g/km)，得x＋y＝220，故y＝220－x，所以乙类品牌汽车的CO2排放量的方差

s2乙＝－2＋－2＋x－2＋－x－2＋－2

5

，

因为乙类品牌汽车比甲类品牌汽车CO2的排放量稳定性好，所以s2乙

职工，将全体职工随机按1～50编号，并按编号顺序

平均分成10组，按各组内抽取的编号依次增加5进行

系统抽样．

(1)若第5组抽出的号码为22，写出所有被抽出职工

(2)的号码；

(2)分别统计这10名职工的体重(单位：公斤)，获得体重数据的茎叶图如图所示，求

该样本的方差；

(3)在(2)的条件下，从这10名职工中随机抽取两名体重不轻于73公斤(≥73公斤)的

职工，求体重为76公斤的职工被抽取到的概率．

解(1)由题意，第5组抽出的号码为22.

因为k＋5×(5－1)＝22，所以第1组抽出的号码应该为2，抽出的10名职工的号码分别为2,7,12,17,22,27,32,37,42,47.

(2)因为10名职工的平均体重为

x＝

1

10

(81＋70＋73＋76＋78＋79＋62＋65＋67＋59)＝71，

所以样本方差为：s2＝1

10

(102＋12＋22＋52＋72＋82＋92＋62＋42＋122)＝52.

(3)从10名职工中随机抽取两名体重不轻于73公斤的职工，共有10种不同的取法：(73,76)，(73,78)，(73,79)，(73,81)，(76,78)，(76,79)，(76,81)，(78,79)，(78,81)，(79,81)．

记“体重为76公斤的职工被抽取”为事件A，它包括的事件有(73,76)，(76,78)，(76,79)，(76,81)共4个．

故所求概率为P(A)＝4

10＝

2

5

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