高考数学名师大讲坛一轮复习教程：随堂巩固训练第十六章选修4 12

随堂巩固训练(12)

1. 已知矩阵A ＝??????33c d ，若矩阵A 的属于特征值6的一个特征向量为α1＝????

??11，属于特征值1的一个特征向量为α2＝????

??3－2.求矩阵A 的逆矩阵．

2. 已知矩阵A ＝????

??1－1a 1，若点P (1，1)在矩阵A 对应的变换作用下得到点P ′(0，－8)．

(1) 求实数a 的值；

(2) 求矩阵A 的特征值．

3. 若矩阵A 有特征向量i ＝??????10和j ＝????

??01，且它们对应的特征值分别为λ1＝2，λ2＝－1. (1) 求矩阵A 及其逆矩阵A －1；

(2) 求逆矩阵A －1的特征值及特征向量；

(3) 对任意向量α＝????

??x y ，求A 100α.

4. 设M 是把坐标平面上的点的横坐标伸长到2倍，纵坐标伸长到3倍的伸压变换．

(1) 求矩阵M 的特征值及相应的特征向量；

(2) 求逆矩阵M

－1以及椭圆x 24＋y 29

＝1在M －1的作用下得到的新曲线的方程．

答案与解析随堂巩固训练(12)

1. 解析：由矩阵A 的属于特征值6的一个特征向量为α1＝??????11，可得??????33c d ??????11＝6×????

??11，即c ＋d ＝6；

由矩阵A 属于特征值1的一个特征向量为α2＝??

????3－2，可得??????33c d ??????3－2＝??????3－2，即3c －2d ＝－2，解得?????c ＝2，d ＝4，即A ＝????

??3324， 所以矩阵A 的逆矩阵是??????23－12－13

12. 2. 解析：(1) 由??????1－1a 1??????11＝????

??0－8，得a ＋1＝－8， 所以a ＝－9. (2) 由(1)知A ＝??????1－1－91，矩阵A 的特征多项式为f (λ)＝????

??λ－119λ－1＝(λ－1)2

－9＝λ2－2λ－8，令f (λ)＝0，所以矩阵A 的特征值为－2或4.

3. 解析：(1) 设矩阵A ＝??????a b c d ，那么根据题意可得??????a b c d ??????10＝2×??????10，即?

????a ＝2，c ＝0， ??????a b c d ??????01＝－1×??????01，即?

????b ＝0，d ＝－1， 故矩阵A ＝??????200－1，逆矩阵A －1＝?????

???1200－1. (2) 逆矩阵的特征值有两个分别为λ′1＝－1，λ′2＝12

，属于特征值λ′1的一个特征向量可以取m ＝??????01，属于特征值λ′2的一个特征向量可以取n ＝????

??10. (3) 由于α＝??????x y ＝x ??????10＋y ????

??01＝x i ＋y j ， 则A 100α＝xλ1001i ＋yλ1002j ＝2100x ??????10＋y ??????01＝????

??2100x y . 4. 解析：(1) 由题意可得 M ＝??????2003，矩阵M 的特征多项式为f (λ)＝|λ－200λ－3

|＝(λ－2)(λ－3)，

令f (λ)＝0，解得矩阵M 的特征值λ1＝2，λ2＝3.

将λ1＝2代入二元一次方程组?

????（λ－2）x ＝0，（λ－3）y ＝0， x 为任意非零实数，y ＝0，取x ＝1，

故λ1＝2对应的一个特征向量为????

??10， 同理得λ2＝3对应的一个特征向量为????

??01. (2) M －1＝?????

???120013，设点(x ′，y ′)为椭圆上任意一点，(x ，y )为经过M －1作用后的点． 则????????120013??????x ′y ′＝??????12x ′13y ′＝??????x y ，即???x ＝12x ′，y ＝13y ′，

则?????x ′＝2x ，y ′＝3y ，

代入椭圆方程得4x 24＋9y 29＝1，即为x 2＋y 2＝1，故在逆矩阵M －1作用下，椭圆x 24＋y 29

＝1变换的新的曲线方程为x 2＋y 2＝1.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/41yq.html