私家车保有量增长及控制问题全国数学建模竞赛校内选拔赛论文-毕

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私 家 车 保 有 量 增 长 及 控 制 问 题

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一、 摘要

我国经济的快速发展为私人汽车提供了巨大的发展空间。据统计，全国汽车保有量的60%左右为私人汽车。私人汽车的多少直接影响国民经济的发展和环境问题。本文在正确理解题意的基础上，提出了合理的假设，提出了解决问题的模型和方法，并取得了很好的效果。我们根据相关性分析和偏相关分析，得出了除噪音外，其他因素均对私人汽车保有量有较强的影响。我们根据历史数据建立了多元线性回归模型，得到了私人汽车保有量与人均国内生产总值、社会消费品零售总额等因素之间的线性关系，并通过了检验说明了多元线性回归模型的可行性，得出2010年的私人汽车保有量大约为150万辆。并对问题进行了通径分析，从各个自变量对因变量的直接作用来看：全社会固定资产投资总额对私人汽车保有量有极强的负作用，人均国内生产总值、运营公交车辆数对私人汽车保有量有较强的负作用，居民储蓄款余额对私人汽车保有量有一定的负作用；道路总长、公交车营运总里程对私人汽车保有量有极强的正作用，汽油(93号)年均价、居民人均可支配收入对私人汽车保有量有较强的正作用，全社会消费品零售总额、公交营运总数、公交营运总数对私人汽车保有量有一定的正作用。全社会固定资产投资总额越多，则用于购买私人汽车的资产就越少，这与实际相符；道路总长、公交车营运总里程越长，道路上行驶的私有汽车就可以越多，这与实际相符。因为在自变量对因变量产生影响的同时，自变量之间也有相互影响，所以从各个自变量对因变量的直接作用来看：汽油(93号)年均价、道路总长、运营公交车辆数对私人汽车保有量有强的正作用，居民储蓄款余额对私人汽车保有量有较强的正作用，公交营运总数对私人汽车保有量几乎没有影响，说明其他变量对公交营运总数的影响相互抵消的已经所剩无几了，其余的对私人汽车保有量都有不同程度的负作用。若要进行决策分析，从R(i)上看：若要增加私人汽车保有量，则主要依靠道路总长、汽油(93号)年均价，可以放松人均国内生产总值、全社会消费品零售总额、公交营运总数、城市交通干线噪音均值、居民储蓄款余额对私人汽车保有量的影响，极力抵制其余因数对私人汽车保有量的影响。

关键词 相关分析 偏相关分析 多元线形回归模型 残差分析 通径分析

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二、问题重述：

我国经济得快速发展为私人汽车提供了巨大得发展空间。然而影响私人汽车保有量的因素有多个，比如人均国内生产总值、居民人均可支配收入、居民储蓄余额等，同时政府的一些干预政策对私人汽车保有量得变化趋势也有一定得影响。在私有车增加的同时，产生了一系列的社会问题，比如污染加重、能源危机等，为对未来该地区车辆进行合理配置及科学规划提供依据，题目要求我们解决以下问题：

结合数学模型分析影响该地区私人汽车保有量因素，并根据影响私人汽车保有量的主要因素预测2010年该地区私人汽车保有量有多少。

数据见附录三：表1

三、模型假设：

1）在问题中汽车保有量只与给出的因素有关，我们通过分析选取其中影响较大的一部分因素，而与其他未选中部分无关； 2）社会发展稳定，发展平稳，无突发事件，不会使保有量发生巨变； 3）原始数据可靠，均为真实情况得反映。

四、符号说明：

x1：人均国内生产总值(元) x2：全社会消费品零售总额(亿元) x3：全社会固定资产投资总额(亿元) x4：运营公交车辆数（辆） x5：公交营运总数(亿人次) x6：公交车营运总里程(万公里) x7：道路总长（公里） x8：居民人均可支配收入（元） x9：居民储蓄款余额(亿元) x10：汽油(93号)年均价 (元/升)

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Y：私人汽车保有量(万辆)

l1：私家车年运行总公里数 l2：公交车年运行总公里数 s1：私家车数量 s2：公交车数量

五、问题分析：

问题先要求对影响该地区私人汽车保有量的分析，一般情况下，要分析某个因素的影响因素，我们一般就会想到相关分析或偏相关分析等等，通过分析可以得出影响因素与要分析的因素之间是否存在强相关性，若存在就可以说明影响因素是要分析因素的主要影响因素.而预测到2010年该地区私人汽车保有量时我们可以使用大量的预测模型，比如较为简单的多元线性回归模型，预测后我们可以对模型进行检验。

六、模型建立与求解：

1.1自变量的初步取舍及数据处理：

自变量的初步取舍：通过对原始数据取对数后数据相关性分析我们得出，

表2：各因素与私人汽车保有量的相关系数为：

运营

公交

居民人均居民可支储蓄汽

私人油汽车

人均全社会全社会公交公交城市交车营国内消费品固定资车辆营运通干线运总生产零售总产投资数(元)

私人汽车保有量(万辆)

.916** .913** .865**

.960**

.964** .000

元)

元)

）

总数噪音均里程道路配收款余(93号)保有

额(亿年均价 量(万

(元/升 辆)

次)

贝)

里)

(公里) （元） 元)

总值额(亿总额(亿（辆(亿人值(分(万公总长入

.961** .863** .820** .912** .956** 1

说明：把私人汽车保有量与人均国内生产总值、全社会消费品零售总额、全

社会固定资产投资总额、运营公交车辆数、公交营运总数、城市交通干线噪音均值、公交车营运总里程、道路总长、居民人均可支配收入、居民储蓄款余额、汽油(93号)年均价的相关系数分别记为：r1,r2,...r11由上表可知大小关系为：

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r5?r7?r4?r11?r1?r2?r10?r3?r8?r9?r6?0

故得：相关系数大，则对应因素与私人汽车保有量线性相关性也越强，对应因素对私人汽车保有量的影响也越大，即得城市交通干线噪音均值(分贝)可以不再考虑。

表3：各因素与私人汽车保有量的偏相关分析：

全社会全社会固消费品定资产投公交车营运总汽油(93号)年均价(元/升) 人均国内私人汽 生产总值车保有(元) 运营公交公交营车辆数运总数道路总居民人均居民储长(公可支配收蓄款余零售总资总额(亿里程(万量(万辆) （辆） (亿人次) 额(亿元) 元) 公里) 里) 入（元） 额(亿元) 私人汽车保有量(万辆) 0.986 1 0.972 0.958 0.988 0.97 0.993 0.969 0.953 0.981 0.989 说明：把私人汽车保有量与人均国内生产总值、全社会消费品零售总额、全

社会固定资产投资总额、运营公交车辆数、公交营运总数、城市交通干线噪音均值、公交车营运总里程、道路总长、居民人均可支配收入、居民储蓄款余额、汽油(93号)年均价的偏相关系数分别记为：r1,r2,...r11由上表可知大小关系为：

r7?r11?r4?r1?r10?r2?r5?r8?r3?r9?0.953。（去除r6后，各变量对私人汽车保有量(万辆)的相关性都在95%以上，故各变量对私人汽车保有量的影响是极其密切，则进一步证明去除城市交通干线噪音的影响是比较合理的。）

数据处理：除城市交通干线噪音均值外，可以明显地看出：其他自变量与因变量之间有强烈的线性关系。因此，我们可以建立各个变量的对数与因变量的对数的线性关系。

1.2多元线性回归分析预测模型的建立：

假如对象（因变量）y与p个因素（自变量）

x1,x2...xp的关系是线性的，为

研究它们之间的定量关系式，做次抽样，每一次抽样可能发生的对象之值为：

y1,y2,...ym，它们是在因素x (i=1，2，??，p)数值已经发生的条件下随机发生

i的，把第j次观测的因素记为： x1j,x2j,...,xpj ( j=1，2，??，n)，那么可以假设有如下的结构表达式：

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?y1??0??1x11?...??px1p??1??y2??0??1x21?...??px2p??2?...... ??yn??0??1xn1?...??pxnp??n???......其中： ?1,?2,...,?p是P+1个待估计参数，?1,?2,...,?p是n个相互独立且服从同一正态分布N?0,?2?的随机变量。这就是多元线性回归的数学模型。

用矩阵来研究多元线性回归是方便的；若令Y??y1,y2,...,yn? ；

T?1x11?1x21X??????1xn1x12x22xn2......x1p?x2p??， ??xnp??????1,?2,...,?p?T; ????1,?2,...,?n?T

则上面多元线性回归的数学模型可以写成矩阵形式：Y?X??? 对于本题来说我们建立如此之线性关系：

ln(Y)??Ln(X)??（1）

由最小二乘法，求得：???ln(x)ln(x)?ln(x)Tln(y)（2）

T?11.3模型的求解

1.3.1 直接利用matlab统计工具箱中的regress命令求解，使用格式为：

[b，bint，r,rint，stats]＝regress(y,x,alpha)则给出系数的估计值b；alpha

系数估计值的置信度bint为在置信度为alpha下的置信区间；残差r及各残差的置信区间rint;向量stats给出回归的(R为相关系数)R2统计量F以及统计量F对应的概率值P.

得到的模型（1）的回归估计值及其置信区间（置信水平alpha=0.05）、检验统计量R2 、F,P的结果见下表：（代码见附录一：）

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表4：参数估计

参数

参数估计值(b)

43.4552 3.2355 0.4415 0.0799 4.8403 0.8992 -5.5364 -3.0410 -8.0038 5.1609 0.3826

参数置信区间 [-103.3106 190.2209] [-6.8448 13.3158] [-1.9477 2.8307] [-3.4924 3.6522] [-8.9542 18.6348] [-0.8850 2.6835] [-21.5008 10.4279] [-12.5424 6.4603] [-25.2305 9.2229] [-5.2392 15.5609] [-7.1239 7.8891]

?0

?1

?2

?3

?4

?5 ?6

?7

?8

?9

?10

R2=0.99993 F=1469.6387 P=0.0203

可知模型为 y?43.455?23.2x55?13?）...x0.38 261（03

1.3.2 利用模型对1996-----2007年的私人汽车保有量进行预测

预测值与真实值的比较120原始数据预测值100私家汽车的保有量80604020002468年份(从1996年到2007年)1012

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图1：1996-----2007年的私人汽车保有量真实值与预测值的比较

1.3.3模型检验：

1.3.3.1F性检验：

R2=0.99993 指因变量y(私人汽车保有量)的99.993%可以用模型确定，F的值

超过了F检验的临界值，P小于alpha=0.05，该模型是及其显著的，因而从整体上看该模型是可以应用的。 1.3.3.2残差分析：

残差分析图0.250.20.150.1残差的变化范围0.050-0.05-0.1-0.15-0.22468年份(从1996年到2007年)101图2：总的残差分析图

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残差的变化范围0.020-0.021010.511同一因素随时间的变化范围残差分析图11.5残差的变化范围残差分析图残差分析图0.020-0.025.566.577.5同一因素随时间的变化范围残差分析图8残差的变化范围0.020-0.025.566.57同一因素随时间的变化范围残差分析图7.5残差的变化范围0.020-0.027.888.28.48.68.89同一因素随时间的变化范围残差分析图9.29.4残差的变化范围0.020-0.021.61.822.22.42.6同一因素随时间的变化范围残差分析图2.83残差的变化范围0.020-0.029.81010.210.410.610.8同一因素随时间的变化范围残差分析图1111.2残差的变化范围0.020-0.026.577.5同一因素随时间的变化范围残差分析图8残差的变化范围0.020-0.029.79.89.91010.110.210.310.410.5同一因素随时间的变化范围残差分析图残差的变化范围0.020-0.0266.577.58同一因素随时间的变化范围8.5残差的变化范围0.020-0.020.811.21.41.6同一因素随时间的变化范围1.82

图3：残差与各自变量的关系图

说明：从图中可以看出：总体的残差大都均匀分布在0点的两侧，说明该预测基本正常。从残差对各个变量的分析图中可以看出：各变量都较为均匀地分布在残差为0的两侧，因此表中无不正常的数据。

1.3.3.3 2008年到2010年的私人汽车保有量的预测

首先，通过简单拟合（一次或二次）得出：

表5：各个自变量在2008---2010年的值：

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人均国内全社会消费全社会固定公交车营运年份 运营公交车辆公交营运总道路总长居民人均可支配居民储蓄款汽油(93号)年生产总值品零售总额资产投资总总里程(万公

数（辆） 数(亿人次) (公里) 收入（元） 余额(亿元) 均价 (元/升) (元) (亿元) 额(亿元) 里)

2008 86234.24 2159.603 2009 94386.96 2428.254 2010 103044 2714.005

1441.198 1538.454 1635.71

9518.227 10877.45 12359.38

21.1743 24.0517 27.1873

85533.24 99291.16 114293

3063.31 3276.52 3489.73

32226.2 33507.6 34789

4337.221 4665.006 4927.8

4.929 5.1992 5.4694

其次,用模型（3）进行预测的结果为：

表6；私人汽车保有量(万辆)的真实值与预测值的比较

年份 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010

真实值 3.1 3.6 4.2 4.8 6.7 9.1 13 18.9 29 51.1 78.2 113

预测值 3.0343 3.4618 4.1108 4.6610 6.5816 8.8468 12.6208 18.7330 27.7464 49.7009 77.3057 109.6108 115.4932 136.0738 150.0128

误差（%） 2.119355 3.838889 2.12381 2.895833 1.767164 2.782418 2.916923 0.883598 4.322759 2.737965 1.143606 2.999292

1.3.4 通径分析

1 基本概念

通径分析（Path Analysis）是研究变量间相互关系、自变量对因变量作用方式、程度的多元统计分析技术。在市场研究中，自变量间的关系往往比较复杂，有些自变量间的关系为相关关系，而有些自变量间的关系却是因果关系。一般地，我们称受其他变量影响的变量为内生变量，而影响其他变量的变量为外生

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变量，显然，因变量y为内生变量，各自变量都以自己不同的方式影响因变量y。一般而言，通径分析以多元线性回归分析为基础，通过对标准化变量的偏回归系数进一步分析、分解，对各自变量的作用方式、途径给出了一个科学、合理、定量的解释。

2 基本思想、原理

通径图：通径分析借助几何图形来表达变量间的关系。如设x1，x2，x3都是y的原因因素，由逐步回归求得的方程中仅含x1，x2，不含x3。但通过分析又知x3与x1间具有较强的因果关系，x3影响x1，即x3→x1，从而它们影响y的方式可用下图表示：

图中，Py.1表示固定其他自变量时，x1直接作用于y的大小，称为x1对y的通径系数，Py.1的定义就是x1关于y的标准偏回归系数（b’1）； Py.2定义类似。P1.3表示x3直接作用于x1的大小，定义为x3关于x1的标准偏回归系数(b’’1)。r23表示 x2、x3间的相关系数，x3可通过影响x2间接影响因变量y，其大小可由r23Py.2衡量，称r23Py.2为x3通过x2对y的间接作用大小；x3 亦可通过x1而作用于y，其作用大小可用P1.3Py.1衡量，称P1.3Py.1为x3，通过x1对y的间接作用大小。

一般地，设xi，xj为任意两个自变量，它们对y的作用定义如下： xi对于y的直接作用大小（xi对y的通径系数）=Py.i=标准偏回归系数(b’i)；

xi通过xj而间接作用于y的大小（xi通过xj对y间接通径系数）=rijPy.j。 另外，将残差记为一个“原因变量（自变量）”，用e表示，由回归分析知，e永远独立于其他的自变量，e对y的直接作用定义为Py.e，其大小用

（R为复相关系数）衡量。仿此，可定义其他内生变量的残差。

读图原则：读通径图时，要求遵循“先后退，后前进”的原则进行，沿箭头方向为前进，反之为后退。如由x3至x1即x3→x1为前进，反之，由x1至x3为后退；x2与x3间为相互关系，因而它们之间的通径为双向通径，这时需注意，分析x3作用于y的通径时，由x3至x2为前进，反之为后退，而分析x2的作用于y的通径时，由x2至x3为前进，反之为后退。

主要公式：设n个自变量x1，x2，…，xn的通径系数分别为Py.1，Py.2，…，Py.n，

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由回归分析，存在如下的关系式：

riy=ri1Py.1+ri2Py.2+…+rinPy.n （i=1,2,…,n） 以R表示复相关系数，有以下关系式成立：

以上两个等式体现了通径分析对相关系数、决定系数的分解过程。

表7：通径分析表

通径 直接作用 间接作用 x1<->x2->y x1<->x3->y x1<->x4->y x1<->x5->y x1->y -0.7056 x1<->x6->y x1<->x7->y x1<->x8->y x1<->x9->y -0.6455 -0.6955 0.1568 -0.6713 -0.0765 -0.6382 0.0337 -0.6632 -0.3877 0.0493 总作用 R(i) x1<->x10->y -0.6425 x1<->x11->y x2<->x1->y x2<->x3->y x2<->x4->y x2<->x5->y x2->y 0.1025 x2<->x6->y x2<->x7->y x2<->x8->y x2<->x9->y x2<->x10->y x2<->x11->y 0.1442 0.0937 0.0972 0.0171 0.0936 -0.0061 0.0987 0.0346 0.0755 0.1011 0.0182 -0.0098 -0.0125 私家车保有量增长及其控制问题 Page 13 of 63

x3<->x1->y x3<->x2->y x3<->x4->y x3<->x5->y x3->y -1.1864 x3<->x6->y x3<->x7->y x3<->x8->y x3<->x9->y -1.1694 -1.1261 0.1194 -1.1132 -0.1348 -1.1033 -0.0971 -1.0523 -0.283 -0.736 x3<->x10->y -1.1228 x3<->x11->y x4<->x1->y x4<->x2->y x4<->x3->y x4<->x5->y x4->y -0.9006 x4<->x6->y x4<->x7->y x4<->x8->y x4<->x9->y 0.1035 0.2001 -0.1504 0.0907 0.0997 0.1956 -0.149 -0.8709 0.4815 0.9727 -2.563 x4<->x10->y -0.1689 x4<->x11->y -0.8905 x5<->x1->y x5<->x2->y x5<->x3->y x5<->x4->y x5->y 0.0739 x5<->x6->y x5<->x7->y x5<->x8->y x5<->x9->y x5<->x10->y 0.0703 0.0675 0.0694 -0.0082 0.0064 0.0691 0.002 0.0636 0.0683 -0.2506 -0.0425 x5<->x11->y -0.0061 私家车保有量增长及其控制问题 Page 14 of 63

x6<->x1->y x6<->x2->y x6<->x3->y x6<->x4->y x6->y 0.605 x6<->x5->y x6<->x7->y x6<->x8->y x6<->x9->y x6<->x10->y 0.0066 -0.0036 0.0069 -0.0131 0.0052 0.0039 -0.0161 0.0087 0.0004 -0.253 -0.0342 x6<->x11->y -0.0116 x7<->x1->y x7<->x2->y x7<->x3->y x7<->x4->y x7->y 1.08 x7<->x5->y x7<->x6->y x7<->x8->y x7<->x9->y x7<->x10->y x7<->x11->y x8<->x1->y x8<->x2->y x8<->x3->y x8<->x4->y x8->y 1.2887 x8<->x5->y x8<->x6->y x8<->x7->y x8<->x9->y x8<->x10->y x8<->x11->y 0.9768 1.0403 1.0044 0.1787 1.0091 0.0689 0.3147 0.7805 1.0662 0.1907 -0.0616 0.4346 0.1054 1.2461 0.0341 -0.3441 0.3755 -0.476 0.4423 1.2329 0.9042 0.6699 -0.0007 -1.1679 私家车保有量增长及其控制问题 Page 15 of 63

x9<->x1->y x9<->x2->y x9<->x3->y x9<->x4->y x9->y 0.5204 x9<->x5->y x9<->x6->y x9<->x7->y x9<->x8->y x9<->x10->y 0.4892 0.3838 0.4616 -0.2783 0.448 0.0748 0.3761 -0.1922 0.3771 -0.6653 -0.9633 x9<->x11->y -0.2674 x10<->x1->y -0.1859 x10<->x2->y -0.2014 x10<->x3->y -0.1932 x10<->x4->y -0.0383 x10->y -0.2041 x10<->x5->y -0.1886 x10<->x6->y -0.0015 x10<->x7->y -0.2015 x10<->x8->y -0.0701 x10<->x9->y -0.1479 x10<->x11->y -0.0407 x11<->x1->y -0.1019 x11<->x2->y 0.0886 0.0166 -0.0484 x11<->x3->y -0.0435 x11<->x4->y x11->y 0.4986 0.493 0.9718 0.7204 x11<->x5->y -0.0411 x11<->x6->y x11<->x7->y x11<->x8->y -0.096 0.088 0.477 x11<->x9->y -0.2562 x11<->x10->y 0.0994

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