2015年江苏省高考数学试卷（含解析版）

2015年江苏省高考数学试卷

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）

1．（5分）已知集合A={1，2，3}，B={2，4，5}，则集合A∪B中元素的个数为 ． 2．（5分）已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为 ． 3．（5分）设复数z满足z2=3+4i（i是虚数单位），则z的模为 ． 4．（5分）根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为 ．

5．（5分）袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球、1只红球、2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为 ．

6．（5分）已知向量=（2，1），=（1，﹣2），若m+n=（9，﹣8）（m，n∈R），则m﹣n的值为 ． 7．（5分）不等式2

＜4的解集为 ．

8．（5分）已知tanα=﹣2，tan（α+β）=，则tanβ的值为 ．

9．（5分）现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为 ．

10．（5分）在平面直角坐标系xOy中，以点（1，0）为圆心且与直线mx﹣y﹣2m﹣1=0（m∈R）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 ． 11．（5分）设数列{an}满足a1=1，且an+1﹣an=n+1（n∈N*），则数列{为 ．

12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2﹣y2=1右支上的一个动点，若点P到直线x﹣y+1=0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为 ． 13．（5分）已知函数f（x）=|lnx|，g（x）=实根的个数为 ． 14．（5分）设向量

=（cos

，sin

+cos

）（k=0，1，2，…，12），则

（ak?ak+1）

，则方程|f（x）+g（x）|=1

}的前10项的和

水秀中华

的值为 ．

二、解答题（本大题共6小题，共计90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（14分）在△ABC中，已知AB=2，AC=3，A=60°． （1）求BC的长； （2）求sin2C的值．

16．（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC=CC1，设AB1的中点为D，B1C∩BC1=E． 求证：

（1）DE∥平面AA1C1C； （2）BC1⊥AB1．

17．（14分）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5千米和40千米，点N到l1，l2的距离分别为20千米和2.5千米，以

水秀中华 2

水秀中华

l2，l1在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数y=中a，b为常数）模型． （1）求a，b的值；

（2）设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t． ①请写出公路l长度的函数解析式f（t），并写出其定义域； ②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度．

（其

18．（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆且右焦点F到左准线l的距离为3． （1）求椭圆的标准方程；

（2）过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC=2AB，求直线AB的方程．

水秀中华

3

+=1（a＞b＞0）的离心率为，

水秀中华

19．（16分）已知函数f（x）=x3+ax2+b（a，b∈R）． （1）试讨论f（x）的单调性；

（2）若b=c﹣a（实数c是与a无关的常数），当函数f（x）有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是（﹣∞，﹣3）∪（1，）∪（，+∞），求c的值．

20．（16分）设a1，a2，a3．a4是各项为正数且公差为d（d≠0）的等差数列． （1）证明：2

，2

，2

，2

依次构成等比数列；

（2）是否存在a1，d，使得a1，a22，a33，a44依次构成等比数列？并说明理由；

（3）是否存在a1，d及正整数n，k，使得a1n，a2n+k，a3n+2k，a4n+3k依次构成等比数列？并说明理由．

水秀中华

4

水秀中华

三、附加题（本大题包括选做题和必做题两部分）【选做题】本题包括21-24题，请选定其中两小题作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤【选修4-1：几何证明选讲】

21．（10分）如图，在△ABC中，AB=AC，△ABC的外接圆⊙O的弦AE交BC于点D． 求证：△ABD∽△AEB．

【选修4-2：矩阵与变换】 22．（10分）已知x，y∈R，向量

=

是矩阵

的属于特征值﹣2的一个特征向量，求

矩阵A以及它的另一个特征值．

水秀中华

5

水秀中华

【选修4-4：坐标系与参数方程】 23．已知圆C的极坐标方程为ρ2+2

[选修4-5：不等式选讲】 24．解不等式x+|2x+3|≥2．

【必做题】每题10分，共计20分，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤

25．（10分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=

，PA=AD=2，AB=BC=1．

ρsin（θ﹣

）﹣4=0，求圆C的半径．

（1）求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值；

（2）点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长．

水秀中华

6

水秀中华

26．（10分）已知集合X={1，2，3}，Yn={1，2，3，…，n）（n∈N*），设Sn={（a，b）|a整除b或b整除a，a∈X，B∈Yn}，令f（n）表示集合Sn所含元素的个数． （1）写出f（6）的值；

（2）当n≥6时，写出f（n）的表达式，并用数学归纳法证明．

水秀中华 7

水秀中华

2015年江苏省高考数学试卷

参考答案与试题解析

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）

1．（5分）已知集合A={1，2，3}，B={2，4，5}，则集合A∪B中元素的个数为 5 ．

【考点】1D：并集及其运算．

【专题】5J：集合．

【分析】求出A∪B，再明确元素个数

【解答】解：集合A={1，2，3}，B={2，4，5}，则A∪B={1，2，3，4，5}； 所以A∪B中元素的个数为5； 故答案为：5

【点评】题考查了集合的并集的运算，根据定义解答，注意元素不重复即可，属于基础题

2．（5分）已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为 6 ．

【考点】BB：众数、中位数、平均数．

【专题】5I：概率与统计．

【分析】直接求解数据的平均数即可． 【解答】解：数据4，6，5，8，7，6， 那么这组数据的平均数为：=6．

故答案为：6．

【点评】本题考查数据的均值的求法，基本知识的考查．

3．（5分）设复数z满足z2=3+4i（i是虚数单位），则z的模为 ．

【考点】A8：复数的模．

【专题】5N：数系的扩充和复数．

【分析】直接利用复数的模的求解法则，化简求解即可．

水秀中华

8

水秀中华

【解答】解：复数z满足z2=3+4i， 可得|z||z|=|3+4i|=∴|z|=

．

．

=5，

故答案为：

【点评】本题考查复数的模的求法，注意复数的模的运算法则的应用，考查计算能力．

4．（5分）根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为 7 ．

【考点】EA：伪代码（算法语句）．

【专题】27：图表型；5K：算法和程序框图．

【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的I，S的值，当I=10时不满足条件I＜8，退出循环，输出S的值为7． 【解答】解：模拟执行程序，可得 S=1，I=1

满足条件I＜8，S=3，I=4 满足条件I＜8，S=5，I=7 满足条件I＜8，S=7，I=10

不满足条件I＜8，退出循环，输出S的值为7． 故答案为：7．

【点评】本题主要考查了循环结构的程序，正确判断退出循环的条件是解题的关键，属于基础题．

5．（5分）袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球、1只红球、2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为

水秀中华

9

．

水秀中华

【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．

【专题】5I：概率与统计．

【分析】根据题意，把4个小球分别编号，用列举法求出基本事件数，计算对应的概率即可． 【解答】解：根据题意，记白球为A，红球为B，黄球为C1、C2，则 一次取出2只球，基本事件为AB、AC1、AC2、BC1、BC2、C1C2共6种， 其中2只球的颜色不同的是AB、AC1、AC2、BC1、BC2共5种； 所以所求的概率是P=， 故答案为：．

【点评】本题考查了用列举法求古典概型的概率的应用问题，是基础题目．

6．（5分）已知向量=（2，1），=（1，﹣2），若m+n=（9，﹣8）（m，n∈R），则m﹣n的值为 ﹣3 ．

【考点】9H：平面向量的基本定理．

【专题】5A：平面向量及应用．

【分析】直接利用向量的坐标运算，求解即可．

【解答】解：向量=（2，1），=（1，﹣2），若m+n=（9，﹣8） 可得

，解得m=2，n=5，

∴m﹣n=﹣3． 故答案为：﹣3．

【点评】本题考查向量的坐标运算，向量相等条件的应用，考查计算能力．

7．（5分）不等式2

＜4的解集为 （﹣1，2） ．

【考点】7J：指、对数不等式的解法．

【专题】51：函数的性质及应用；59：不等式的解法及应用． 【分析】利用指数函数的单调性转化为x2﹣x＜2，求解即可． 【解答】解；∵2

水秀中华

＜4，

10

水秀中华

∴x2﹣x＜2， 即x2﹣x﹣2＜0， 解得：﹣1＜x＜2 故答案为：（﹣1，2）

【点评】本题考查了指数函数的性质，二次不等式的求解，属于简单的综合题目，难度不大．

8．（5分）已知tanα=﹣2，tan（α+β）=，则tanβ的值为 3 ．

【考点】GP：两角和与差的三角函数．

【专题】56：三角函数的求值．

【分析】直接利用两角和的正切函数，求解即可． 【解答】解：tanα=﹣2，tan（α+β）=， 可知tan（α+β）=即

=，

=，

解得tanβ=3． 故答案为：3．

【点评】本题考查两角和的正切函数，基本知识的考查．

9．（5分）现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为

．

【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．

【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离．

【分析】由题意求出原来圆柱和圆锥的体积，设出新的圆柱和圆锥的底面半径r，求出体积，由前后体积相等列式求得r．

【解答】解：由题意可知，原来圆锥和圆柱的体积和为：设新圆锥和圆柱的底面半径为r，

水秀中华

11

．

水秀中华

则新圆锥和圆柱的体积和为：∴故答案为：

．

，解得：

．

．

【点评】本题考查了圆柱与圆锥的体积公式，是基础的计算题．

10．（5分）在平面直角坐标系xOy中，以点（1，0）为圆心且与直线mx﹣y﹣2m﹣1=0（m∈R）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 （x﹣1）2+y2=2 ．

【考点】J1：圆的标准方程；J7：圆的切线方程．

【专题】11：计算题；5B：直线与圆．

【分析】求出圆心到直线的距离d的最大值，即可求出所求圆的标准方程． 【解答】解：圆心到直线的距离d=

=

≤

，

∴m=1时，圆的半径最大为，

∴所求圆的标准方程为（x﹣1）2+y2=2． 故答案为：（x﹣1）2+y2=2．

【点评】本题考查所圆的标准方程，考查点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，比较基础．

11．（5分）设数列{an}满足a1=1，且an+1﹣an=n+1（n∈N*），则数列{

．

}的前10项的和为

【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．

【专题】54：等差数列与等比数列．

【分析】数列{an}满足a1=1，且an+1﹣an=n+1（n∈N*），利用“累加求和”可得an=利用“裂项求和”即可得出．

【解答】解：∵数列{an}满足a1=1，且an+1﹣an=n+1（n∈N*）， ∴当n≥2时，an=（an﹣an﹣1）+…+（a2﹣a1）+a1=n+…+2+1=当n=1时，上式也成立，

水秀中华

12

．再

．

水秀中华

∴an=∴∴数列{==

．

． =2

．

}的前n项的和Sn=

∴数列{}的前10项的和为．

．

故答案为：

【点评】本题考查了数列的“累加求和”方法、“裂项求和”方法、等差数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2﹣y2=1右支上的一个动点，若点P到直线x﹣y+1=0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为

．

【考点】KC：双曲线的性质．

【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．

【分析】双曲线x2﹣y2=1的渐近线方程为x±y=0，c的最大值为直线x﹣y+1=0与直线x﹣y=0的距离．

【解答】解：由题意，双曲线x2﹣y2=1的渐近线方程为x±y=0， 因为点P到直线x﹣y+1=0的距离大于c恒成立，

所以c的最大值为直线x﹣y+1=0与直线x﹣y=0的距离，即故答案为：

．

．

【点评】本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，比较基础．

13．（5分）已知函数f（x）=|lnx|，g（x）=实根的个数为 4 ．

水秀中华

13

，则方程|f（x）+g（x）|=1

水秀中华

【考点】53：函数的零点与方程根的关系．

【专题】15：综合题；51：函数的性质及应用．

【分析】：由|f（x）+g（x）|=1可得g（x）=﹣f（x）±1，分别作出函数的图象，即可得出结论．

【解答】解：由|f（x）+g（x）|=1可得g（x）=﹣f（x）±1． g（x）与h（x）=﹣f（x）+1的图象如图所示，图象有2个交点

g（x）与φ（x）=﹣f（x）﹣1的图象如图所示，图象有两个交点；

所以方程|f（x）+g（x）|=1实根的个数为4． 故答案为：4．

【点评】本题考查求方程|f（x）+g（x）|=1实根的个数，考查数形结合的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

14．（5分）设向量的值为

水秀中华

14

=（cos，sin+cos）（k=0，1，2，…，12），则（ak?ak+1）

．

水秀中华

【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算；GP：两角和与差的三角函数．

【专题】5A：平面向量及应用．

【分析】利用向量数量积运算性质、两角和差的正弦公式、积化和差公式、三角函数的周期性即可得出． 【解答】解：=

=+

++

+

+

==∴=

++

++

，

（

++

ak?ak+1

+

+

+

++

）+…++…+

++

++

==

+0+0 ．

．

故答案为：9

【点评】本题考查了向量数量积运算性质、两角和差的正弦公式、积化和差公式、三角函数的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

二、解答题（本大题共6小题，共计90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（14分）在△ABC中，已知AB=2，AC=3，A=60°． （1）求BC的长； （2）求sin2C的值．

【考点】GS：二倍角的三角函数；HR：余弦定理．

【专题】58：解三角形．

【分析】（1）直接利用余弦定理求解即可．

水秀中华

15

水秀中华

（2）讨论直线AB的斜率不存在和存在，设出直线方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，以及两直线垂直的条件和中点坐标公式，即可得到所求直线的方程． 【解答】解：（1）由题意可得，e==且c+

=3，解得c=1，a=

， +y2=1；

，CP=3，PC≠2AB，不合题意；

，

则b=1，即有椭圆方程为（2）当AB⊥x轴，AB=

当AB与x轴不垂直，设直线AB：y=k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2）， 将AB方程代入椭圆方程可得（1+2k2）x2﹣4k2x+2（k2﹣1）=0， 则x1+x2=

，x1x2=

，

则C（==

?

，），且|AB|=

==

|x1﹣x2|

，

若k=0，则AB的垂直平分线为y轴，与左准线平行，不合题意； 则k≠0，故PC：y+

=﹣（x﹣

），P（﹣2，

），

从而|PC|=，

由|PC|=2|AB|，可得=，解得k=±1，

此时AB的方程为y=x﹣1或y=﹣x+1．

【点评】本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率和方程的运用，联立直线方程，运用韦达定理和弦长公式，同时考查两直线垂直和中点坐标公式的运用，属于中档题．

19．（16分）已知函数f（x）=x3+ax2+b（a，b∈R）． （1）试讨论f（x）的单调性；

（2）若b=c﹣a（实数c是与a无关的常数），当函数f（x）有三个不同的零点时，a的取值

水秀中华

21

水秀中华

范围恰好是（﹣∞，﹣3）∪（1，）∪（，+∞），求c的值．

【考点】52：函数零点的判定定理；6B：利用导数研究函数的单调性．

【专题】15：综合题；53：导数的综合应用．

【分析】（1）求导数，分类讨论，利用导数的正负，即可得出f（x）的单调性； （2）由（1）知，函数f（x）的两个极值为f（0）=b，f（﹣有三个不同的零点等价于f（0）f（﹣﹣a+c＞0或a＜0时，

）=b（

）=

+b，则函数f（x）

+b）＜0，进一步转化为a＞0时，

﹣a+c，利用条件即可求c的值．

﹣a+c＜0．设g（a）=

【解答】解：（1）∵f（x）=x3+ax2+b， ∴f′（x）=3x2+2ax， 令f′（x）=0，可得x=0或﹣

．

a=0时，f′（x）＞0，∴f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增； a＞0时，x∈（﹣∞，﹣

）∪（0，+∞）时，f′（x）＞0，x∈（﹣），（0，+∞）上单调递增，在（﹣

，0）时，f′（x）＜0， ，0）上单调递减；

）时，f′（x）＜0，

）上单调

∴函数f（x）在（﹣∞，﹣

a＜0时，x∈（﹣∞，0）∪（﹣，+∞）时，f′（x）＞0，x∈（0，﹣

∴综上所述：函数f（x）在（﹣∞，0），（﹣递减；

，+∞）上单调递增，在（0，﹣

（2）由（1）知，函数f（x）的两个极值为f（0）=b，f（﹣则函数f（x）有三个不同的零点等价于f（0）＞0，且f（﹣∴b＞0且∵b=c﹣a， ∴a＞0时，设g（a）=

﹣a+c＞0或a＜0时，﹣a+c，

﹣a+c＜0．

+b＜0，

）=）＜0，

+b，

∵函数f（x）有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是（﹣∞，﹣3）∪（1，）∪（，+∞），

水秀中华

22

水秀中华

∴在（﹣∞，﹣3）上，g（a）＜0且在（1，）∪（，+∞）上g（a）＞0均恒成立， ∴g（﹣3）=c﹣1≤0，且g（）=c﹣1≥0， ∴c=1，

此时f（x）=x3+ax2+1﹣a=（x+1）[x2+（a﹣1）x+1﹣a]， ∵函数有三个零点，

∴x2+（a﹣1）x+1﹣a=0有两个异于﹣1的不等实根，

∴△=（a﹣1）2﹣4（1﹣a）＞0，且（﹣1）2﹣（a﹣1）+1﹣a≠0， 解得a∈（﹣∞，﹣3）∪（1，）∪（，+∞）， 综上c=1．

【点评】本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，考查函数的零点，考查分类讨论的数学思想，难度大．

20．（16分）设a1，a2，a3．a4是各项为正数且公差为d（d≠0）的等差数列． （1）证明：2

，2

，2

，2

依次构成等比数列；

（2）是否存在a1，d，使得a1，a22，a33，a44依次构成等比数列？并说明理由；

（3）是否存在a1，d及正整数n，k，使得a1n，a2n+k，a3n+2k，a4n+3k依次构成等比数列？并说明理由．

【考点】87：等比数列的性质．

【专题】54：等差数列与等比数列．

【分析】（1）根据等比数列和等差数列的定义即可证明；

（2）利用反证法，假设存在a1，d使得a1，a22，a33，a44依次构成等比数列，推出矛盾，否定假设，得到结论；

（3）利用反证法，假设存在a1，d及正整数n，k，使得a1n，a2n+k，a3n+2k，a4n+3k依次构成等比数列，得到a1n（a1+2d）n+2k=（a1+d）2（n+k），且（a1+d）n+k（a1+3d）n+3k=（a1+2d）2（n+2k），利用等式以及对数的性质化简整理得到ln（1+3t）ln（1+2t）+3ln（1+2t）ln（1+t）=4ln（1+3t）ln（1+t），（**），多次构造函数，多次求导，利用零点存在定理，推出假设不成立． 【解答】解：（1）证明：∵

=

=2d，（n=1，2，3，）是同一个常数，

水秀中华 23

水秀中华

∴2，2，2，2

依次构成等比数列（ai≠0，i=1，2，3，4）；

（2）令a1+d=a，则a1，a2，a3，a4分别为a﹣d，a，a+d，a+2d（a＞d，a＞﹣2d，d≠0） 假设存在a1，d使得a1，a22，a33，a44依次构成等比数列， 则a4=（a﹣d）（a+d）3，且（a+d）6=a2（a+2d）4，

令t=，则1=（1﹣t）（1+t）3，且（1+t）6=（1+2t）4，（﹣＜t＜1，t≠0）， 化简得t3+2t2﹣2=0（*），且t2=t+1，将t2=t+1代入（*）式， t（t+1）+2（t+1）﹣2=t2+3t=t+1+3t=4t+1=0，则t=﹣， 显然t=﹣不是上面方程的解，矛盾，所以假设不成立， 因此不存在a1，d，使得a1，a22，a33，a44依次构成等比数列．

（3）假设存在a1，d及正整数n，k，使得a1n，a2n+k，a3n+2k，a4n+3k依次构成等比数列， 则a1n（a1+2d）n+2k=（a1+d）2（n+k），且（a1+d）n+k（a1+3d）n+3k=（a1+2d）2（n+2k）， 分别在两个等式的两边同除以a12（n+k），a12（n+2k），并令t=

，（t＞

，t≠0），

则（1+2t）n+2k=（1+t）2（n+k），且（1+t）n+k（1+3t）n+3k=（1+2t）2（n+2k）， 将上述两个等式取对数，得（n+2k）ln（1+2t）=2（n+k）ln（1+t）， 且（n+k）ln（1+t）+（n+3k）ln（1+3t）=2（n+2k）ln（1+2t）， 化简得，2k[ln（1+2t）﹣ln（1+t）]=n[2ln（1+t）﹣ln（1+2t）]， 且3k[ln（1+3t）﹣ln（1+t）]=n[3ln（1+t）﹣ln（1+3t）]， 再将这两式相除，化简得，

ln（1+3t）ln（1+2t）+3ln（1+2t）ln（1+t）=4ln（1+3t）ln（1+t），（**） 令g（t）=4ln（1+3t）ln（1+t）﹣ln（1+3t）ln（1+2t）+3ln（1+2t）ln（1+t）， 则g′（t）=

222[（1+3t）ln（1+3t）﹣3（1+2t）ln（1+2t）+3（1+t）ln（1+t）]，

令φ（t）=（1+3t）2ln（1+3t）﹣3（1+2t）2ln（1+2t）+3（1+t）2ln（1+t）， 则φ′（t）=6[（1+3t）ln（1+3t）﹣2（1+2t）ln（1+2t）+3（1+t）ln（1+t）]， 令φ1（t）=φ′（t），则φ1′（t）=6[3ln（1+3t）﹣4ln（1+2t）+ln（1+t）]， 令φ2（t）=φ1′（t），则φ2′（t）=

＞0，

由g（0）=φ（0）=φ1（0）=φ2（0）=0，φ2′（t）＞0，

知g（t），φ（t），φ1（t），φ2（t）在（﹣，0）和（0，+∞）上均单调， 故g（t）只有唯一的零点t=0，即方程（**）只有唯一解t=0，故假设不成立，

水秀中华

24

水秀中华

所以不存在a1，d及正整数n，k，使得a1n，a2n+k，a3n+2k，a4n+3k依次构成等比数列． 【点评】本题主要考查等差数列、等比数列的定义和性质，函数与方程等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力，属于难题．

三、附加题（本大题包括选做题和必做题两部分）【选做题】本题包括21-24题，请选定其中两小题作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤【选修4-1：几何证明选讲】

21．（10分）如图，在△ABC中，AB=AC，△ABC的外接圆⊙O的弦AE交BC于点D． 求证：△ABD∽△AEB．

【考点】N4：相似三角形的判定．

【专题】5M：推理和证明．

【分析】直接利用已知条件，推出两个三角形的三个角对应相等，即可证明三角形相似． 【解答】证明：∵AB=AC，∴∠ABD=∠C，又∵圆周角定理，∴∠C=∠E，∴∠ABD=∠E，又∠BAE是公共角， 可知：△ABD∽△AEB．

【点评】本题考查圆的基本性质与相似三角形等基础知识，考查逻辑推理能力．

【选修4-2：矩阵与变换】 22．（10分）已知x，y∈R，向量

=

是矩阵

的属于特征值﹣2的一个特征向量，求

矩阵A以及它的另一个特征值．

【考点】OV：特征值与特征向量的计算．

【专题】5R：矩阵和变换． 【分析】利用A

水秀中华

=﹣2，可得A=，通过令矩阵A的特征多项式为0即得结论．

25

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/41w2.html