江苏省历届高等数学竞赛试卷(1991-2010)

江苏省第一届（1991年）高等数学竞赛

本科竞赛试题（有改动）

一、填空题（每小题5分，共50分）

1.函数

y?sinxsinxx?（其中

?2）的反函数为________________________。

n2.当x?0时，3x?4sinx?sinxcosxx与x为同阶无穷小，则n?____________。 3.在x?1时有极大值6，在x?3时有极小值2的最低幂次多项式的表达式是 _____________________________________。

dn(1?xm)np(x)?m,n是正整数，则p(1)?________________。 dxn4.设，

?2[x?cos(x)]sinxdx???2?25._______________________________。

26. 若函数x?x(t)由

t??e?tdt?01x所确定的隐函数，则

d2xdt2?t?0 。

xyyy?y????()lnxxx有特解7.已知微分方程，则?(x)?________________________。 ?x?2z?y?1绕z轴旋转，得到的旋转面的方程为_______________________________。

8.直线???????????aa?3b7a?5ba?4b7a?2ba9.已知为单位向量，垂直于，垂直于，则向量、b的夹

角为____________。

??12lim??1?2n?????n10.

二、（7分） 设数列

??22????1?n2????n2???????1?n2???????? 。

liman1n?an?满足an??2,an?1?an?2,n?1，求n??。

?三、（7分）求c的值，使a

b(x?c)cos(x?c)?0，其中b?a。

222222x?y?cz,x?y??a,xy??b四、（12分）求由曲面和z?0所围区域的体积（其中

a,b,c为正实数）。

五、（12分）一点先向正东移动am,然后左拐弯移动

aqm（其中0?q?1）

，如此不断重复

左拐弯，使得后一段移动距离为前一段的倍，这样该点有一极限位置，试问该极限位置与原出发点相距多少米？

q

六、（12分）已知f(x)在[0,2]上二次连续可微,f(1)?0,证明其中

?201f(x)dx?M3，

M?maxf??(x)x?[0,2].

江苏省第二届（1994年）高等数学竞赛

本科一级竞赛试题（有改动）

一、填空题（每小题5分，共50分）

1?1???lim4n?14n?21. n????1???4n?2n?________________.

?x?(t?1)cosz?z??y?tsinz?x?z2.设是由方程组确定的隐函数，则____________________。

f(x)?(x?3x?2)cos3.设

2n?x2(n)16，则f(2)?________________。

xy?xecos2x，14．设四阶常系数线性齐次微分方程有一个解为则通解为_______________。

x2y2?2?12Ax?By?Cz?0(C?0)(A,B?0)相交成的椭圆面积为____。ab5. 平面与柱面

?limb?2(a,b)?x?0a,b3，6.已知是非零常向量，则

??a?xb?ax?___________________。

7.

?201dx?1?(cotx)3_______________________。

222x?2y?4z?1与平面x?y?z?7?0之间的最短距离为______________。 8.椭球面

e??e二、（8分）试比较与的大小。

三、（10分）已知a,b满足

?baxdx?12y?x?ax与直线y?bx所0?a?b2，（），求曲线

围区域的面积的最大值与最小值。

四、（10分）设区域D：x?y?t,(t?0)，f(x,y)在D上连续。求证：

222lim

1t?0t2??f(x,y)dxdy?f(0,0)D。

1?xcosx?x(1?xesinx)dx五、（10分）求不定积分。

?2u?2u?2u?6?42?02??x?ay,??x?by?x?y?x?y六、（10分）通过线性变换将方程化简成

?2u?0????，求a,b的值。

七、（12分）已知f(x)在[0,1]上具有二阶连续导数，且f(0)?f(1)?0,f(x)?0,

证明：

?10f??(x)dx?4maxf(x)x?[0,1]。

江苏省第三届（1996年）高等数学竞赛 本科三级、专科竞赛试题（有改动）

一、填空题（每小题5分，共40分）

1.若a?0，

1t2?limdt?lim[sin(?x)tan3x]?x?0x?sinx???6a?tx?06x，则a?____________.

2.若f(x)?x(2x?1)(3x?2)??(100x?99),则f?(0)?________________.

111a(x?)b2为等价无穷小，则 3.已知当x大于2且趋向于2时，?-3arccosx与

a?_____________,b?_______________.

4.

?2?1xe?|x|dx?___________________________.

?x?2y?3z?2?2x?y?z?3在平面z?1上的投影为直线L，则点(1,2,1)到直线L的距离为

5.直线?____________.

6.设?与?均为单位向量，其夹角为，则以?+??与??+?为邻边的平行四边形的6面积为______________.?7.设当x?0时dd2f(sinx)?f(sinx),f?(0)?0，则f(0)?_______.dxdx

limy?x 。

33y?y(x)x?y?3axy?0（a?0）确定，则x???8.设函数是由

二、（10分）

??xxy?f(x)????0设

三、（10分）

,x?0,x?0；讨论f(x)的连续性，求单调区间、极值与渐近线。

设f(x)=x2(x?1)2(x?3)2.

(1)(本科三级考生做）试问曲线y?f(x)有几个拐点，证明你的结论.

(2)(专科考生做）试问f?(x)?0在区间（0,3）上有几个实根，证明你的结论.

四、（10分）

若f（u）是连续函数，证明?xf(sinx)dx=0??2?0?f(sinx)dx,并求??0xsinxdx.3sin2x?4cos2x

五、（10分）

设f(x)在区间[0,1]上可积，当0?x

六、(10分)

?x?y?0L1:?L2?x?y?z?4?0、求过点(11,9,0)，而与两直线

程。

七、（10分）

A?A?x?3y?1?0:??y?z?2?0相交的直线方

??f(t)设连续函数，求证D

f(x?y)dxdy??f(t)(A?t)dt,D:x?AA,y?22。

江苏省第四届（2002年）高等数学竞赛 本科三级、专科竞赛试题(有改动)

一、填空题（每小题5分，共40分）

lim1.

x?01?x?1?x?21?x22?____________

的不可导点的个数为___________.

?x2. 函数f(x)=

?3x?2?x2?x?1?x2,x?0??13,x??0?2f(x?2)dx?1?x?13.设f(x)= ,则=_______________.

dy4.(本三考生做)设变量x,y,t满足y=f(x,t)及F(x,y,t)=0,函数f，F的一阶偏导数连续，则dx=_______________.

11f(xt)dt?________x?0x?0 (专科考生做)设f(x)的导数连续，且f（0）=0，则

lim?2x?z?1?lx?y?3z?5和

5（本三考生做）已知直线l过点M（1，-1，0）且与两条直线1：??x??2?t,?l2:?y?1?4t,?z?3?6.

垂直，则l的参数方程为_______________________.

?lnxdx?_____________________.

f(x)?limx2n?1?ax2?bxx2n?1n??(n?N)7. 设

， 极限x?1limf(x)与limf(x)x??1都存在.，则

a?______________________、b?___________________________.

??8. 设f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，且f(a)?2,g(a)?3(a?0)，那么 f?(?a)?g?(?a)? 。

二、（9分）求n??

limsin(?n2?n).

?xx?e?三、（9分）为正常数，使得不等式对任意正数x成立，求?的最大值.

''ff(x)f(x)?0,且在[a,b]的子区四、设函数 (x)在[a,b]上二阶可导，对于[a,b]内每一点x，

间上f(x)不恒等于零.试证f(x)在[a,b]中至多有一个零点.

23x?xf(x)dx?xf(x)dx,求f(x).f(x)f(x)??00五、（9分）设连续函数 满足=

12

1xf(x)dx?0x???f(x)?x?[x][x]x六、（9分）设（表示不超过x的最大整数），求极限。

lim

七、（9

分）有一形状为直角三角形的薄铜片，其密度

f(x,y)?k(1?x?2y),x?0,y?0,1?x?2y?0,k为常数.今从中截取一矩形铜片（该

矩形两条邻边位于三角形的两条直角边上）使其质量最大，求该矩形铜片质量与原直角三角形铜片质量之比。

八、（6分）地面虽然不太平坦，但请证明一张小方凳经过适当旋转总可以放平稳.这里假设小方凳四条腿的端点A，B，C，D为正方形四个顶点。

江苏省第五届（2000年）高等数学竞赛 本科三级、民办本科竞赛试题（有改动）

一、填空题（每小题3分，共15分）

d1[f(x3)]?，则f?(x)?______________.x1. 已知dx

lim(tanx)1x?121lnx2.

x?0??______________.

3.

?xdx?_______________.

4. 设z?z(x,y)由方程F?x?y,y?z,z?x??0所确定，F为可微函数，则

?z?z???x?y ；

5. ?a二、选择题（每小题3分，共15分）

??a[f(x)?f(?x)]sinxdx?________________.

e2x?1f(x)?x(x?1)的可去间断点为( ) 1.函数

A、x?0,1 B、x?1 C、x?0 D、无可去间断点 2. 改变积分次序

?10dy?2f(x,y)dx?y?11?y( )

0?11?A、

C、

1?11dx?1?x?1?x1?xf(x,y)dyf(x,y)dy B、? D、

dx?1?x01?x1?xf(x,y)dy??dx?011?x0f(x,y)dy

?dx?0?1?x??1dx?f(x,y)dy

F(x)?f(x)(1?sinx)3.设f(x)可导, ，欲使F(x)在x?0处可导，则必有( )

A、f?(0)?0 B、 f(0)?0 C、 f(0)?f?(0)?0 D、 f(0)?f?(0)?0

?f4.若?x(x0,y0),?f?y(x0,y0)?x,y?都存在，则f(x,y)在00是( )

A、连续且可微 B、连续但不一定可微

C、可微但不一定连续 D、不一定可微也不一定连续

?1?,?1??2x2f(x,y)?e(x?y?2y)2??处取( ) 5. 在点

ee?A、极大值2 B、极小值2

?C、不取得极值 D、极小值e

limx?0ln(1?x)?(ax?bx2)三、（8分）设

?x20etdt2????edxx(lnx)2，求常数a,b。

yz?(1?xy)四、（6分）设，求dz(1,1)。

a,b五、（6分）设f(x),g(x)在上连续，在(a,b)内可导，且对于(a,b)内的一切x均有

f?(x)g(x)?f(x)g?(x)?0，证明：若f(x)在(a,b)内有两个零点，则介于这两个零点之

间，g(x)至少有一个零点。

2|y?x|dxdy??D??六、（6分）计算二重积分

，其中积分区域

D:x?1,0?y?2.

22y?x(a,a)作切线，问a为何值时所作切线与抛物线七、（8分）过抛物线上一点

y??x2?4x?1所围成的图面积最小？

八、（6分）当x?0时，

F(x)??(x2?t2)f?(t)dt0x2?的导数与x为等价无穷小，求f(0)。

九、（8分）计算

???021(1?x)(1?x)2dx。

?y?x?3?y?2x??z?xz?x?1十、（8分）求两直线?和?之间的最短的距离。

22D:y?x?4,y?x,x?y?2,x?y?4.在D的边界y?x上任意取点P，三、（10分）设22y?xPQy?x?4于Q。 tPD设到原点的距离为，作垂直于交的边界

求：1）将P,Q的距离

PQ用t表示；2）将D绕

y?x旋转一周所得立体的体积。

四、（10分）设f?x?在???,???上有定义，f?x?在x?0处连续，且对一切实数x1,x2有

f?x1?x2??f?x1??f?x2?，求证：f?x?在???,???上处处连续。

五、（10分）设k为常数，方程

kx?1?1?0x在?0,???上恰有一根，求k的取值范围。

f?1,2??2,fy?1,2??3,六、（10分）设f?x,y?可微，f?1,2??1,x

??x??f?f?x,2x?,2f?x,2x??；求?'?1?

七、（10分）求

?2?0d?????1?ed???22?2

江苏省第八届（2006年）高等数学竞赛

本科三级、民办本科竞赛试题

二、 填空题（每小题5分，共40分）

1．

limn??x?0?1222n2???n3?12?n3?22???n3?n2?????________________.

x0 2.

lim?x???1?t2e?1dt?3x________________.

2??3. 若

lim?x?3x?2?ax?b?0?，则a?________________；b?________________.

2sinx\??fx?1?x?xef 4. ，则?0??________________. y?z 5. 设函数由x?ze确定，则dz?e,0??________________.

???x2??fx,y?eax?b?y 6. 函数中常数a,b满足条件________________时，f??1,0?为

??其极大值。

7. 交换二次积分的次序

?dx?12ex?e?11xf?x,y?dy?________________.

8. 设D：2x?x?y，0?y?x?2，则

22??D1x?y22dxdy?________________.

?ax2?bsinx?c,x?0f?x???x?0问：a,b,c为何值时，函数在x?0处一阶?ln?1?x?,二、（8分）设

导数连续，但二阶导数不存在？

三、（9分）过点?1,5?作曲线?:y?x的切线L。

3 求：1）L的方程；2）?与L所围平面图形D的面积；3）D的x?0部分绕x 轴 旋转一周所得立体的体积。

f?x??f'?x??1??????fx0,??f0?0四、（8分）设在区间上有连续的导数，，；

证明：

f?x??ex?1，x??0,???

??1?x?五、（8分）求

01arctanx2dx

22x?y?1,?z?0?被柱面z?x2?2x?2，及平面z?0截下的部分六、（9分）设圆柱面

为?。为计算?的面积，用铁片制作了?的模型，A?1,0,5?,B??1,0,1?,C??1,0,0?为?上的三点，现将?沿线段BC剪开并展开为平面图形D。建立平面直角坐标系，使得D位于x轴的正上方，且点A?1,0,5?的坐标为?0,5?。求：1）D的边界方程；

2）求D的面积。

2222x?2y?4上的??fx,y?x?2xy?2y七、（9分）用拉格朗日乘数法求函数在区域

最大值与最小值。

八、（9分）设D为

y?x;x??2;y?0所围的平面图形，求

??cos?x?y?dxdyD。

江苏省第九届（2008年）高等数学竞赛

本科三级竞赛试题

三、 填空题（每小题5分，共40分）

1、若

limx??nax?2xbx?xarctanx???2，则a?________________；b?________________.

2、

limn??1????kk?3k?1________________.

'????????fx?xx?1x?2?x?100f3、，则?100??________________.

4、常数a?______,b? ______时，的阶数最高.

?f?x??ax?x2?x1?bx在x?0时，关于x的无穷小

5、

?20sin2x?cos3xdx?________________.

??1?x?6、

1?x222dx?________________.

n?zx?2,1??z?n?yx?y7、设，则________________.

??y?x,x?0y?18、 设D：由，所围，则D

二、（8分）设数列

arctanydxdy?________________.

?xn?为：x1?1,xn?1?6?xn ；求证：数列

?xn?收敛，并求极限。

三、（8分）设f?x?在区间?a,b?上连续， 证明：存在???a,b?,使得

?a?f?x?dx?0.

ab?f?x?dx??f???。

222xoy??x?b?y?a,?0?a?b?绕直线x?3b 四、（8分）将平面上的曲线

旋转一周所得立体的体积。

?2x2y2?x?y?4f?x,y???x?y2?0?五、（8分）设

续性，可偏导性，可微性。

?x,y???0,0??x,y???0,0?讨论f?x,y?在?0,0?处的连

2224x?4y?z?1与平面z?x?y?0的交线在xoy面上的投影曲六、（10分）已知曲面

线为一椭圆，求该椭圆的面积.

?x?2y?2z?1?3x?y?4z?3x?2y?z?20?L七、（8分）在平面：内作直线?，使?过另一直线：?与平面?的交点，且?垂直于L.求直线?的参数方程.

22x?y?2x,0?y?x，求D八、（10分）设为

??Dx2?y2?1dxdy。

江苏省第十届（2010年）高等数学竞赛

本科三级，民办本科竞赛试题

考试时间：2010年6月5日 上午 8:30—11:30

一、 填空题（每小题4分，共32分）

sinx?sin(sinx)?3x?0(sinx)1、 极限_____________________________.

lim2xy?arctan(x)?etanx，则y??__________________. 2、 已知

dy?yxy?y(x)x?y3、 设由确定，则dx________________________.

2(n)y?cosxy?_______________________________. 4、 设，则

1?xxedx?2?5、 不定积分x________________________________.

6、 积分

?10x?arctan(x2)dx?41?x______________________________.

2x?2y?z?2?0???222?x?y?z?4x?2y?2z?19的面积为________________. 7、 圆?xz?f(2x?y,)y，f可微且8、 已知

f?1(3,2)?2,f?2(3,2)?3,dz|(2,1)?_____________.

2ax二、（10分）设a为正常数，使得x?e对一切正数x成立，求常数a的最小值。

三、（10分）设f(x)在[0,1]上连续，且

??10f(x)dx??xf(x)dx01；

f(x)dx?0。??(0,1),?a求证：存在使得

四、（12分）过原点(0,0)作曲线y??lnx的切线。求该切线、曲线y??lnx与x轴所围成的图形绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积。

五、（12分）

2，E为C1D1的中点，F为侧面B1BCC1的中心，已知正方体ABCD?A1B1C1D1边长为

（1）试求过点

A1,E,F的平面与底面ABCD所成的二面角的值；

A1,E,F的平面的距离。

（2）试求点D到过点

六、（12分）

已知ABCD为等腰梯形，BC//AD，其中AB+BC+CD=8，求AB,BC,AD的长，使该梯形绕AD旋转一周所得旋转体的体积最大。 七、（12分）

求二重积分

??(cosD2x?sin2y)dxdy,22D:x?y?1,x?0,y?0。其中

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