江苏省徐州市2012年9月高三摸底测试数学试题及详细解析

江苏省徐州市2012年9月高三摸底测试

数学试题及详细解析

数 学 I

注意事项 考生在答题前认真阅读本注意事项即各题答题要求 1．本试卷共4页，均为非选择题（第1题~第20题，共20题）．本试卷满分160分， 考试时间为120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试 卷及答题纸上的规定位置． 3．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其 它位置作答一律无效． 4．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，符号等须加黑、加粗．

参考公式：

1

棱锥的体积V＝Sh，其中S为底面积，h为高．

3

一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分．请把答案填写在答题纸相应位置上． 1． 已知集合A＝{1,3}，B＝{1,2,m}，若A?B，则实数m＝ ▲ ．

2． 若(1－2i)i＝a＋bi（a，b∈R，i为虚数单位），则ab＝ ▲ ．

3． 某工厂生产A，B，C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2:3:5，现用分层抽

样方法抽出一个容量为n的样本，样本中A种型号

开始 的产品有16件，那么此样本的容量n＝ ▲ ． 4． 在大小相同的4个小球中，2个是红球，2个是白球，

若从中随机抽取2个球，则所抽取的球中至少有一个 红球的概率是 ▲ ．

5． 已知某算法的流程图如图所示，则程序运行结束时

输出的结果为 ▲ ． 6． 已知cos(π??2)?23x←1，y←1，n←1 n←n＋2 x←3x y←y－2 n＞4 ，则cos?＝ ▲ ．

7． 已知一个正六棱锥的高为10cm，底面边长为6cm，

则这个正六棱锥的体积为 ▲ cm3． 8． 已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，

若a3＝18，S3＝26，则{an}的公比q＝ ▲ ．

?x?y≥2,?9． 已知实数x，y满足?x?y≤2,则z?2x?y的最大值

?0≤y≤3,?Y 输出（x，y） 结束 (第5题图)

N 是 ▲ ．

10．在曲线y?x3?3x?1的所有切线中，斜率最小的切线的方程为 ▲ ． 11．已知直线y＝a与函数f(x)?2x及函数g(x)?3?2x的图象分别相交于A,B两点，

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则A,B两点之间的距离为 ▲ ．

19

12．已知二次函数f(x)?ax2?4x?c?1的值域是[1,＋∞)，则＋的最小值是 ▲ ．

ac13．如图，A，B是半径为1的圆O上两点，

π

且∠AOB＝．若点C是圆O上任意一点，

3→→则OA?BC的取值范围为 ▲ ． 14．已知a，b，c是正实数，且abc＋a＋c＝b，设

p?2a?12B C

O (第13题图)

A ?2b?12?3c?12，则p的最大值为 ▲ ．

二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文 ．．．．．．．字说明、证明过程或演算步骤．

15．（本小题满分14分）

在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知acosC?bcosC?ccosB?ccosA，

且C＝120°． （1）求角A； （2）若a＝2，求c．

16．（本小题满分14分）

如图，在四棱锥P‐ABCD中，四边形ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，E为PD

的中点．求证：

P （1）PB∥平面AEC；

（2）平面PCD⊥平面PAD．

E

A B (第16题图)

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D C Confidential

17．（本小题满分14分）

在一个矩形体育馆的一角MAN内（如图所示），用长为a的围栏设置一个运动器材储 存区域，已知B是墙角线AM上的一点，C是墙角线AN上的一点． （1）若BC＝a＝10，求储存区域三角形ABC面积的最大值；

（2）若AB＝AC＝10，在折线MBCN内选一点D， M 使DB＋DC＝a＝20，求储存区域四边形DBAC

面积的最大值．

18．（本小题满分16分）

已知椭圆E：

x?y?22B

D A (第17题图)

C N xa22?yb22 ?1(a?b?0)的左顶点为A，左、右焦点分别为F1、F2，且圆C：过A，F2两点．

3x?3y?6?0（1）求椭圆E的方程；

（2）设直线PF2的倾斜角为α，直线PF1的倾斜角为β，当β－α＝

P在一定圆上．

19．（本小题满分16分）

已知函数f(x)?x?2ax22π

时，证明：点 3

?alnx(a?R)．

（1）讨论函数y?f(x)的单调区间；

（2）设g(x)?x2?2bx?4?ln2，当a＝1时，若对任意的x1，x2∈[1,e]（e是自然对

数的底数），f(x1)≥g(x2)，求实数b的取值范围．

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20．（本小题满分16分）

设fk(n)?c0?c1n?c2n2?????cknk?k?N?，其中c0,c1,c2,???,ck为非零常数， 数列{an}的首项a1＝1，前n项和为Sn，对于任意的正整数n，an＋Sn＝fk(n)． （1）若k＝0，求证：数列{an}是等比数列；

（2）试确定所有的自然数k，使得数列{an}能成等差数列．

数学II (附加题)

．

21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答．．．．．．．

卷纸指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）

已知?ABC中，AB?AC，D是?ABC外接圆劣弧AC上的点（不与点A,C重合），延长BD至点E 求证：AD的延长线平分?CDE

B．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）

?1已知矩阵A????12?? 4?（1）求A的逆矩阵A?1； （2）求A的特征值和特征向量

C．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）

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已知曲线C的极坐标方程为??4sin?，以极点为原点，极轴为x轴的非负半轴建立平面1?x?t?2?直角坐标系，直线l的参数方程为?（t为参数），求直线l被曲线C截得的线段

?y?3t?1??2长

D．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分） 设a,b,c均为正实数，求证：

．．．．．．．．

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内作答．解

答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）

在正方体ABCD?A1B1C1D1中，O是AC的中点，E是线段D1O上一点，且D1E??EO

（1）若??1，求异面直线DE与CD1所成角的余弦值； （2）若平面CDE?平面CD1O，求?的值 23．（本小题满分10分）

已知整数n?4，集合M??1,2,3,?,n?的所有3个元素的子集记为A1,A2,?,AC3

n12a?12b?12c?1b?c?1c?a?1a?b

（1）当n?5时，求集合A1,A2,?,AC3中所有元素之和；

n（2）设mi为Ai中的最小元素，设Pn?m1?m2???mC3，试求Pn（用n表示）

n

【解答部分】 1．3 2．2 3．80

54．

65．(9,?3) 6．

19

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7．1803 8．3 9．7

10．y??3x?1 11．log23 12．3 13．[?14．

1031,] 22315.【解析】（1）由正弦定理，acosC?bcosC?ccosB?ccosA化为

sinAcosC?sinBcosC?sinCcosB?sinCcosA，…………………………………2分 所以sin(A+C)?sin(B+C)，…………………………………………………………4分

因为A,B,C是三角形的内角，

所以A?B，因为C?120?，所以A?30?．…………………………………………8分 （2）由（1）知，a?b?2，所以c2?a2+b2?2abcosC?4+4?2?2?2cos120??12， 所以c?23．………………………………………………………………………14分 16.【解析】（1）证明：连结BD交AC于点O，连结EO．

因为O为BD中点，E为PD中点，

所以EO?PB，………………………………………………………………………4分 因为EO?平面AEC，PB?平面AEC，

所以PB?平面AEC．………………………………………………………………7分 （2）证明：因为PA?平面ABCD，CD?平面ABCD，所以PA?CD．………9分

因为在正方形ABCD中CD?AD且PA?AD?A，

所以CD?平面PAD． ……………………………………………………………12分 又因为CD?平面PCD，所以平面PCD?平面PAD．………………………14分

2217.【解析】（1）设AB?x，则AC?10?x，…………………………………………2分

所以S△ABC?1212x100?x……………………………………………………………4分

222?x(100?x)≤2212(x+100?x2)?212?50?25，

当且仅当x2?100?x2，即x?52时，S△ABC取得最大值25．…………………7分 （2）由DB+DC?20，知点D在以B,C为焦点的椭圆上， ………………………10分

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因为S△ABC?12?10?10?50，所以要使四边形DBAC面积最大，只需△DBC的面积

最大，此时点D到BC的距离最大，即D必为椭圆短轴顶点．由BC?102，得短半轴长为52，

所以S△DBC的最大值为?102?52?50．……………………………………13分

21因此，四边形DBAC面积的最大值为100．………………………………………14分 18.【解析】（1）圆x2?y2?3x?3y?6?0与x轴交点坐标为A(?23,0)，F2(3,0)

……………………2分

故a?23,c?3，所以b?3，所以椭圆方程是（2）设点P?x,y?，F1(?3,0)，F2(3,0)，

因为?,?是直线的倾斜角，且????所以kPF?tan??1x212?y29?1．…………………6分

??3，所以?,?均不可能为

y?2，

yx+3，kPF?tan??2x?3，…………………………………10分

因为??????3，所以tan(???)??3．

tan??tan?1+tan?tan??23yx+y?322因为tan(???)??23yx+y?322?，

所以??3．……………………………………………………………14分

化简得x2+y2?2y?3．所以点P在定圆x2+y2?2y?3?0上．……………16分 19.【解析】（1）因为f?x??x?所以f?(x)?1?2ax222ax2?alnx(x?0)，

2?ax?x?ax?2ax22??x?a??x?2a?x2．………………………2分

①若a?0，f?x??x，f?x?在?0,???上单调递增．

②若a?0，当x??0,2a?时，f?(x)?0， f?x?在?0,2a?上单调递减；

当x??2a,???时，f?(x)?0，f?x?在?2a,???上单调递增．

③若a?0，当x??0,?a?时，f?(x)?0， f?x?在?0,?a?上单调递减；

当x???a,???时，f?(x)?0，f?x?在??a,???上单调递增．………7分

综上：①当a?0时，f?x?在?0,???上单调递增．

②当a?0时，f?x?在?0,2a?上单调递减，f?x?在?2a,???上单调递增．

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③当a?0时，f?x?在?0,?a?上单调递减，f?x?在??a,???上单调递增．

（2）当a?1时，f?x??x?2x?lnx?x?0?．

由（1）知，若a?1，当x??0,2?时，f?(x)?0，f?x?单调递减，

当x??2,???时，f?(x)?0，f?x?单调递增，

所以f?x?min?f?2??3?ln2 ．…………………………………………………9分 因为对任意的x1,x2?[1,e]，都有f(x1)≥g(x2)成立，

问题等价于对于任意x??1,e?，f?x?min≥g?x?恒成立，……………………11分 即3?ln2≥x2?2bx?4?ln2对于任意x??1,e?恒成立， 即2b≥x?1x对于任意x??1,e?恒成立，

1x1x因为函数y?x?所以函数y?x?1e的导数y'?1?1x2?0在?1,e?上恒成立，

??1?1，……………14分 ?e??x?maxe在?1,e?上单调递增，所以?x?e2?12e所以2b≥e?，所以b≥．………………………………………………16分

20.【解析】（1）若k?0，f0(n)?c0，即an?Sn?f0(n)?c0．

当n?1时，a1?S1?c0，即c0?2a1?2． 当n≥2时，an?Sn?2， ① an?1?Sn?1?2， ②

①?②得，2an?an?1?0(n?N*,n≥2)．

若an?0，则an?1?0，…，a1?0，与已知矛盾，所以an?0．

故数列?an?是首项为1，公比为1的等比数列．…………………………………6分

2（2）（ⅰ）若k?0，由（1）知，不符题意，舍去．………………………………7分

（ⅱ）若k?1，因为f1(n)?c1n?c0，

当n?1时，c1?c0?2a1?2，

当n≥2时，an?Sn?c1n?c0， ③

an?1?Sn?1?c1(n?1)?c0，

④

③－④得 2an?an?1?c1(n?N，n≥2)．

要使数列{an}是公差为d（d为常数）的等差数列，必须有an?c1?d（常数），

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而a1?1，故?an?只能是常数数列，通项公式为an?1(n?N*)，

故当k?1时，数列?an?能成等差数列，其通项公式为an?1?n?N*?，此时．…………………………………………………………………………11f1(n)?n?1（ⅲ） 若k?2，设f2(n)?c2n2?c1n?c0， 当n≥2时，an?Sn?c2n2?c1n?c0， ⑤

2 an?1?Sn?1?c(n?1)?cn(?21分

⑥ ?1)c，0⑤－⑥得 2an?an?1?2c2n?c1?c2(n?N*，n≥2)，

要使数列?an?是公差为d（d为常数）的等差数列，必须有an?2c2n+c1?c2?d， 且d?2c2，

考虑到a1=1，所以an?1?(n?1)?2c2?2c2n?2c2?1?n?N*?．

故当k?2时，数列{an}能成等差数列，其通项公式为an?2c2n?2c2?1?n?N*?， 此时f2(n)?c2n2?(c2?1)n?1?2c2．………………………………………………14分 （ⅳ）当k≥3时， an?Sn?fk(n)?cknk+?+c2n2?c1n?c0(ck?0)，n的最高次的次数k≥3，但如果数列?an?能成等差数列，则an?Sn的表达式中n的最高次的次数至多为2，矛盾．

综上得，当且仅当k?1或k?2时，数列?an?能成等差数列．…………………16分 21【解析】A．设F为AD延长线上一点，因为A,B,C,D四点共圆，所以?ABC??CDF，

又AB?AC，所以?ABC??ACB, …………………………………………………5分 因为?ADB??ACB, 所以?ADB??CDF,又对顶角?EDF??ADB,

故?EDF??CDF, 所以AD的延长线平分?CDE. ……………………………10分 B．（1）矩阵A的逆矩阵为A?1?2?3???1??6?1?3??.………………………………………………4分 1?6??（2）矩阵A的特征多项式为f(?)???11?2??4?(??1)(??4)+2???5?+6，

2由f(?)?0，得?1?2，?2?3,…………………………………………………6分 当?1?2时，对应的方程组为??x?2y?0,?x?2y?0?2???，令y?1，则x?2，

所以特征值?1?2对应的特征向量为??；………………………………………8分

1当?2?3时，同理可得特征值?2?3对应的特征向量为??. …………………10分

1??Confidential

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?1?C．将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程为x2?y2?4y?0，

即x2?(y?2)2?4，它表示以(0,2)为圆心，2为半径的圆，……………………4分 直线方程l的普通方程为y?3x?1， ………………………………………………7分

因为圆C的圆心到直线l的距离d?

12

，

1故直线l被曲线C截得的线段长度为222?()2?15．………………………10分

2D．因为a,b,c?0，所以?1?12?2a?1?11，当且仅当a?b时等号成立； ≥≥?2b?a?b2ab1?11?11，当且仅当b?c时等号成立； ?≥≥??2?2b2c?b?c2bc1?11?11?≥≥，当且仅当a?c时等号成立； ??2?2c2a?c?a2ca三个不等式相加得

12a?12b?12c≥1b?c?1c?a?1a?b，

当且仅当a?b?c时等号成立．…………………………………………………10分 22.【解析】（1）不妨设正方体的棱长为1，以DA,DC,DD1分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，则A(1,0,0),O(,,0),C(0,1,0),D1(0,0,1)，因为??1，则E(,,)，

44222???????????????????????DE?CD13111????所以DE?(,,),CD1?(0,?1,1)，因为cos?DE,CD1??????????， ??6442DECD1?????????????11111所以异面直线DE与CD1所成的角的余弦值为

36．…………………………………5分

?????????（2）设平面CD1O的法向量为m?(x1,y1,z1)，由m?CO?0，m?CD1?0，

1?1?x1?y1?0,得?2取x1?1，得y1?z1?1，即m?(1,1,1)， 2??y?z?0,1?1?????????由D1E??EO，则E(?2(1??)2(1??)1??????????又设平面CDE的法向量为n?(x2,y2,z2)，由n?CD?0，n?DE?0，

2(1??)2(1??)1??,?,1????)，DE?(?,?,1)，

?y2?0,?得??x2 取x2?2，得z2???，即n?(2,0,??)， ?y2z2???0,?2(1??)2(1??)1???因为平面CDE?平面CD1O，所以m?n?0，得??2．…………………………10分

?6个，同理含2,3,4,5的子集也各有6个,23.【解析】（1）当n?5时，含元素1的子集有C24?6?15?90．于是所求元素之和为(1?2?3?4?5)?C2 ……………………………4分 4（2）不难得到1≤mi≤n?2, mi?Z，并且以1为最小元素的子集有C2个，以2为最小元n?1素的子集有C2以3为最小元素的子集有C2…，以n?2为最小元素的子集有C2n?2个，n?3，2Confidential Page 10 5/2/2013

2222个,则Pn?m1?m2???m?1?Cn?2Cn?2?3Cn?3???(n?2)C2 ?13

Confidential Cn?(n?2)C22222?(n?3)C3?(n?4)C4???Cn?1

?C222222?(n?3)(C2?C3)?(n?4)C4???Cn?1 ?C232222?(n?3)(C3?C3)?(n?4)C4???Cn?1

?C23222?(n?3)C4?(n?4)C4???Cn?1 ?C233222?C4?(n?4)(C4?C4)???Cn?1

?C2C3322?4?(n?4)C5???Cn?1

?C433C344?C4?C5???n?Cn?1．…………………………………10分

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2222个,则Pn?m1?m2???m?1?Cn?2Cn?2?3Cn?3???(n?2)C2 ?13

Confidential Cn?(n?2)C22222?(n?3)C3?(n?4)C4???Cn?1

?C222222?(n?3)(C2?C3)?(n?4)C4???Cn?1 ?C232222?(n?3)(C3?C3)?(n?4)C4???Cn?1

?C23222?(n?3)C4?(n?4)C4???Cn?1 ?C233222?C4?(n?4)(C4?C4)???Cn?1

?C2C3322?4?(n?4)C5???Cn?1

?C433C344?C4?C5???n?Cn?1．…………………………………10分

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