2022年郑州大学联合培养单位平顶山学院650量子力学之量子力学教

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2020年郑州大学联合培养单位平顶山学院650量子力学之量子力学教程考研冲刺狂背五套题

（一） ..................................................................................................................................... 2 2020年郑州大学联合培养单位平顶山学院650量子力学之量子力学教程考研冲刺狂背五套题

（二） ................................................................................................................................... 13 2020年郑州大学联合培养单位平顶山学院650量子力学之量子力学教程考研冲刺狂背五套题

（三） ................................................................................................................................... 23 2020年郑州大学联合培养单位平顶山学院650量子力学之量子力学教程考研冲刺狂背五套题

（四） ................................................................................................................................... 33 2020年郑州大学联合培养单位平顶山学院650量子力学之量子力学教程考研冲刺狂背五套题

（五） (40)

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第 2 页，共 51 页 2020年郑州大学联合培养单位平顶山学院650量子力学之量子力学教程考研冲刺狂

背五套题（一）

特别说明：

1-本资料为2020考研学员最后冲刺阶段使用，精选历年经典试题，临门一脚，背诵专用。

2-资料仅供考研复习参考，与目标学校及研究生院官方无关，如有侵权、请联系我们立即处理。

一、简答题

1． 完全描述电子运动的旋量波函数为试述及

分别表示什么样的物理意义。 【答案】表示电子自旋向下位置在处的几率密

度；表示电子自旋向上的几率。

2．

已知为一个算符满足如下的两式问何为厄密算符？何为么正算符？

【答案】满足关系式（a ）的为厄密算符，满足关系式（b ）的为幺正算符。

3． 厄米算符的本征值与本征矢分别具有什么性质？ 【答案】本征值为实数，本征矢为正交、归一和完备的函数系。

4． 如果算符表示力学量那么当体系处于的本征态时，问该力学量是否有确定的

值？

【答案】是，

其确定值就是在本征态的本征值。

5． 什么是量子跃迁？什么是选择定则？线偏振光和圆偏振光照射下的选择定则有什么区别？

【答案】量子跃迁是指在某种外界作用下，体系在不同的定态之间跃迁。

选择定则：从一个定态到另一个定态之间的跃迁概率是否为零，也即跃迁是否是禁戒的。 线偏振光选择定则：圆偏光选择定则：

6． 如果一组算符有共同的本征函数，且这些共同的本征函数组成完全系，问这组算符中的任何一个是否和其余的算符对易？

【答案】不妨设这组算符为

.

完全系

为依题意

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则对任意波函数有：

可见，这组算符中的任何一个均和其余的算符对易。

7． 分别说明什么样的状态是束缚态、简并态与负宇称态？

【答案】当粒子的坐标趋向无穷远时，波函数趋向零，称之为粒子处于束缚态。若一个本征值对应一个以上的本征态，则称该本征值是简并的，所对应的本征态即为简并态，本征态的个数就是相应的简并度。将波函数中的坐标变量改变一个负号，若新波函数与原波函数相差一个负号，则称其为负宇称态。

8． —个量子体系处于定态的条件是什么？

【答案】量子体系处于定态的条件是哈密顿算符不显含时间或能量取确定值。

二、证明题

9． 设力学量A 不显含时间t ，证明在束缚定态下

，

【答案】设束缚定态为即有：

因A 不显含时间t ,所以因而有：

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第 4 页，共 51 页 10．假设A 、B 、C 是三个矩阵，证明

【答案】

所以

三、计算题

11．验证球面波满足自由粒子的薛定谔方程：

（注：其中代表仅与角度有关的微分算符） 【答案】

故

则

故

由（1）（2）（3）式可得

此即所需证明方程.

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12．己知氢原子的径向波函数

其中a 为波尔半径.

（1）求归一化常数A. （2）己知连带勒让德函数

求氢原子的归一化本征函数

（3）对于本征态其对应的能量、角动量、角动量z 分量各是多少？

【答案】⑴

（2） 本征函数可以表示为

所以

|

（3）对于本征态其对应的能量为：

角动量：

角动量的z 分量：

13．粒子在势场中运动，其中试用变分法求基态能级的上限。试探

波函数可取作

【答案】利用波函数的归一化公式

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由得： 重新代入表达式，得： 故基态能量的上限为：

14．设粒子从入射，进入一维阶跃势场：当x ＜0时，而当x ＞0时

，如果粒子能量试

（1）写出波动方程式并求解；

（2）求透射系数；

（3）求反射系数并求与透射系数之和.

【答案】（1）粒子波动方程为

令

则方程的解为

其中第一部分为入射波，第二部分为反射波.

此即透射波函数.

由波函数连续及波函数导数连续有

解得

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