2020年中考数学试题分类： 新概念规律类题 含解析

2020年中考数学试题分类汇编之十五

新概念新规律题

一、选择题

1.（2020河南）定义运算：21m n mn mn =--☆．例如2:42424217=?-?-=☆．则方程10x =☆的根的情况为（ ）

A. 有两个不相等的实数根

B. 有两个相等的实数根

C. 无实数根

D. 只有一个实数根

【答案】A

【详解】解：根据定义得：2110,x x x =--=☆ 1,1,1,a b c ==-=-

()()2

2414115b ac ∴?=-=--??-=＞0,

∴ 原方程有两个不相等的实数根，

故选.A

2.（2020湖北武汉）下列图中所有小正方形都是全等的．图（1）是一张由4个小正方形组成的“L ”形纸片，图（2）是一张由6个小正方形组成的32?方格纸片．把“L ”形纸片放置在图（2）中，使它恰好盖住其中的4个小正方形，共有如图（3）中的4种不同放置方法，图（4）是一张由36个小正方形组成的66?方格纸片，将“L ”形纸片放置在图（4）中，使它恰好盖住其中的4个小正方形，共有n 种不同放置方法，则n 的值是（ ）

A. 160

B. 128

C. 80

D. 48 解：由图可知，在66?方格纸片中，32?方格纸片的个数为5420?=（个） 则20480n =?=

故选：C ．

③

②①3.（2020重庆A 卷）把黑色三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个黑色三角形，第①个图案中有3个黑色三角形，第①个图案中有6个黑色三角形，…，按此规律排列下去，则第①个图案中黑色三角形的个数为（ ）

A. 10

B. 15

C. 18

D. 21 解：∵第①个图案中黑色三角形的个数为1，

第①个图案中黑色三角形的个数3＝1+2，

第①个图案中黑色三角形的个数6＝1+2+3，

……

∴第①个图案中黑色三角形的个数为1+2+3+4+5＝15，

故选：B ．

4.（2020重庆B 卷）下列图形都是由同样大小的实心圆点按一定规律组成的，其中第①个图形一共有5个实心圆点，第②个图形一共有8个实心圆点，第③个图形一共有11个实心圆点，?，按此规律排列下去，第⑥个图形中实心圆点的个数为（ ）

A.18

B. 19

C.20

D.21

答案C. 5．(2020山东枣庄)（3分）对于实数a 、b ，

定义一种新运算“?”为：21a b a b =-?，这里等式右边是实数运算．例如：21113138

=

=--?．则方程2(2)14x x -=--?的解是( ) A ．

4x = B ．5x = C ．6x = D ．7x =

【解答】解：根据题意，得

12144

x x =---， 去分母得：12(4)x =--，

解得：5x =， 经检验5x =是分式方程的解．

故选：B ．

6．（3分）（2020?常德）如图，将一枚跳棋放在七边形ABCDEFG 的顶点A 处，按顺时针方向移动这枚跳棋2020次．移动规则是：第k 次移动k 个顶点（如第一次移动1个顶点，跳棋停留在B 处，第二次移动2个顶点，跳棋停留在D 处），按这样的规则，在这2020次移动中，跳棋不可能停留的顶点是（ ）

A ．C 、E

B ．E 、F

C ．G 、C 、E

D ．

E 、C 、F

【解答】解：经实验或按下方法可求得顶点C ，E 和F 棋子不可能停到．

设顶点A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 分别是第0，1，2，3，4，5，6格，

因棋子移动了k 次后走过的总格数是1+2+3+…+k =12k （k +1），应停在第12k （k +1）﹣7p 格，

这时P 是整数，且使0≤12k （k +1）﹣7p ≤6，分别取k ＝1，2，3，4，5，6，7时， 12k （k +1）﹣7p ＝1，3，6，3，1，0，0，发现第2，4，5格没有停棋，

若7＜k ≤2020，

设k ＝7+t （t ＝1，2，3）代入可得，12k （k +1）﹣7p ＝7m +12

t （t +1）， 由此可知，停棋的情形与k ＝t 时相同，

故第2，4，5格没有停棋，即顶点C ，E 和F 棋子不可能停到．

故选：D ．

7．（3分）（2020?烟台）如图，△OA 1A 2为等腰直角三角形，OA 1＝1，以斜边OA 2为直角边作等腰直角三角形OA 2A 3，再以OA 3为直角边作等腰直角三角形OA 3A 4，…，按此规律作下去，则OA n 的长度为（ ）

A ．（√2）n

B ．（√2）n ﹣1

C ．（√22）n

D ．（√22

）n ﹣1 【解答】解：∵△OA 1A 2为等腰直角三角形，OA 1＝1，

∴OA 2=√2；

∵△OA 2A 3为等腰直角三角形，

∴OA 3＝2=(√2)2；

∵△OA 3A 4为等腰直角三角形，

∴OA 4＝2√2=(√2)3．

∵△OA 4A 5为等腰直角三角形，

∴OA 5＝4=(√2)4，

……

∴OA n 的长度为（√2）n ﹣

1． 故选：B ．

8．（2020云南）（4分）按一定规律排列的单项式：a ，﹣2a ，4a ，﹣8a ，16a ，﹣32a ，…，第n 个单项式是（ ）

A ．（﹣2）n ﹣

1a B ．（﹣2）n a C ．2n ﹣1a D ．2n a 解：∵a ＝（﹣2）1﹣1a ，

﹣2a ＝（﹣2）2﹣

1a ， 4a ＝（﹣2）3﹣

1a ， ﹣8a ＝（﹣2）4﹣

1a ， 16a ＝（﹣2）5﹣

1a ， ﹣32a ＝（﹣2）6﹣

1a ， …

由上规律可知，第n 个单项式为：（﹣2）n ﹣

1a ． 选：A ．

二、填空题

9.（2020江西）公元前2000年左右，古巴比伦人使用的楔形文字中有两个符号（如图所示），一个钉头形代表1，一个尖头形代表10，在古巴比伦的记数系统中，人们使用的标记方法和

我们当今使用的方法相同，最右边的数字代表个位，然后是十位，百位，根据符号记数的方法，右下面符号表示一个两位数，则这个两位数是 ．

【解析】依题意可得，有两个尖头表示20102=?，有5个丁头表示15?，故这个两位数为25

10．（2020贵州黔西南）（3分）如图，是一个运算程序的示意图，若开始输入x 的值为625，则第2020次输出的结果为 1 ．

【分析】依次求出每次输出的结果，根据结果得出规律，即可得出答案．

【解答】解：当x ＝625时，15x ＝125， 当x ＝125时，15x ＝25， 当x ＝25时，15x ＝5， 当x ＝5时，15x ＝1， 当x ＝1时，x +4＝5，

当x ＝5时，15x ＝1， …

依此类推，以5，1循环，

（2020﹣2）÷2＝1010，

即输出的结果是1，

故答案为：1

11．（2020贵州黔西南）（3分）如图图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有3个菱形，第②个图形中一共有7个菱形，第③个图形中一共有13个菱形，…，按此规律排列下去，第⑦个图形中菱形的个数为 57 ．

【解答】解：第①个图形中一共有3个菱形，即2+1×1＝3；

第②个图形中一共有7个菱形，即3+2×2＝7；

第③个图形中一共有13个菱形，即4+3×3＝13；

…，

按此规律排列下去，

所以第⑦个图形中菱形的个数为：8+7×7＝57．

故答案为：57．

12．（2020齐齐哈尔）（（3分）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形①沿x轴正半轴滚动并且按一定规律变换，每次变换后得到的图形仍是等腰直角三角形．第一次滚动后点A1（0，2）变换到点A2（6，0），得到等腰直角三角形②；第二次滚动后点A2变换到点A3（6，0），得到等腰直角三角形③；第三次滚动后点A3变换到点A4（10，4√2），得到等腰直角三角形④；第四次滚动后点A4变换到点A5（10+12√2，0），得到等腰直角三角形⑤；依此规律…，则第2020个等腰直角三角形的面积是22020．

【解答】解：∵点A1（0，2），

∴第1个等腰直角三角形的面积=1

2

×2×2=2，

∵A2（6，0），

∴第2个等腰直角三角形的边长为

√2

=2√2，

∴第2个等腰直角三角形的面积=1

2

×2√2×2√2=4＝22，

∵A4（10，4√2），

∴第3个等腰直角三角形的边长为10﹣6＝4，

∴第3个等腰直角三角形的面积=12×4×4=8＝23，

…

则第2020个等腰直角三角形的面积是22020；

故答案为：22020（形式可以不同，正确即得分）．

13.(2020甘肃定西）已知5y x =+，当x 分别取1，2，3，…，2020时，所对应y 值的总和是_________.

答案：2032

14．（2020辽宁抚顺）（3分）如图，四边形ABCD 是矩形，延长DA 到点E ，使AE ＝DA ，连接EB ，点F 1是CD 的中点，连接EF 1，BF 1，得到△EF 1B ；点F 2是CF 1的中点，连接EF 2，BF 2，得到△EF 2B ；点F 3是CF 2的中点，连接EF 3，BF 3，得到△EF 3B ；…；按照此规律继续进行下去，若矩形ABCD 的面积等于2，则△EF n B 的面积为 ．（用含正整数n 的式子表示）

解：∵AE ＝DA ，点F 1是CD 的中点，矩形ABCD 的面积等于2，

∴△EF 1D 和△EAB 的面积都等于1，

∵点F 2是CF 1的中点，

∴△EF 1F 2的面积等于，

同理可得△EF n ﹣1F n 的面积为，

∵△BCF n 的面积为2×÷2＝，

∴△EF n B 的面积为2+1﹣1﹣﹣…﹣﹣＝2﹣（1﹣）＝．

故答案为：．

15．（2020内蒙古呼和浩特）（3分）“书法艺术课”开课后，某同学买了一包纸练习软笔书法，且每逢星期几写几张，即每星期一写1张，每星期二写2张，……，每星期日写7张，若该同学从某年的5月1日开始练习，到5月30日练习完后累积写完的宣纸总数过120张，则可算得5月1日到5月28日他共用宣纸张数为 112 ，并可推断出5月30日应该是星期几 五、六、日 ．

解：∵5月1日～5月30日共30天，包括四个完整的星期， ∴5月1日～5月28日写的张数为：4×

＝112，

若5月30日为星期一，所写张数为112+7+1＝120， 若5月30日为星期二，所写张数为112+1+2＜120， 若5月30日为星期三，所写张数为112+2+3＜120， 若5月30日为星期四，所写张数为112+3+4＜120， 若5月30日为星期五，所写张数为112+4+5＞120， 若5月30日为星期六，所写张数为112+5+6＞120， 若5月30日为星期日，所写张数为112+6+7＞120， 故5月30日可能为星期五、六、日． 故答案为：112；五、六、日．

16．（2020黑龙江龙东）（3分）如图，直线AM 的解析式为1y x =+与x 轴交于点M ，与y 轴交于点A ，以OA 为边作正方形ABCO ，点B 坐标为(1,1)．过点B 作1EO MA ⊥交MA 于点E ，交x 轴于点1O ，过点1O 作x 轴的垂线交MA 于点1A ，以11O A 为边作正方形1111O A B C ，点1B 的坐标为(5,3)．过点1B 作12E O MA ⊥交MA 于1E ，交x 轴于点2O ，过点2O 作x 轴的垂线交MA 于点2A ．以22O A 为边作正方形2222O A B C ．?．则点2020B 的坐标 2020231?-，20203 ．

解：点B 坐标为(1,1)，

11OA AB BC CO CO ∴=====，

1(2,3)A ，111111123AO A B B C C O ∴====，

1(5,3)B ∴，2(8,9)A ∴，

222222239A O A B B C C O ∴====，2(17,9)B ∴，

同理可得4(53,27)B ，5(161,81)B ，

?

由上可知，(231,3)Bn n n ?-，

∴当2020n =时，(2320201,32020)Bn ?-． 故答案为：2020(231?-，20203)．

17．（2020黑龙江牡丹江）（3分）一列数1，5，11，19?按此规律排列，第7个数是( )

A ．37

B ．41

C ．55

D ．71

解：1121=?-，

5231=?-，

11341=?-，

19451=?-， ?

第n 个数为(1)1n n +-，

则第7个数是：55．

故选：C ．

18．（2020四川遂宁）（4分）如图所示，将形状大小完全相同的“?”按照一定规律摆成下

列图形，第1幅图中“?”的个数为a1，第2幅图中“?”的个数为a2，第3幅图中“?”

的个数为a3，…，以此类推，若2

a1+

2

a2

+

2

a3

+?+

2

a n

=

n

2020

．（n为正整数），则n

的值为4039．

【解答】解：由图形知a1＝1×2，a2＝2×3，a3＝3×4，∴a n＝n（n+1），

∵2

a1+

2

a2

+

2

a3

+?+

2

a n

=

n

2020

，

∴2

1×2+

2

2×3

+

2

3×4

+?+

2

n(n+1)

=

n

2020

，

∴2×（1?1

2

+12?13+13?14+??+1n?1n+1）=n

2020，

∴2×（1?

1

n+1）=

n

2020，

1?

1

n+1

=n

4040，解得n＝4039，

经检验：n＝4039是分式方程的解，

故答案为：4039．

19．（2020广西南宁）（3分）如图，某校礼堂的座位分为四个区域，前区一共有8排，其中第1排共有20个座位（含左、右区域），往后每排增加两个座位，前区最后一排与后区各排的座位数相同，后区一共有10排，则该礼堂的座位总数是556个．

解：因为前区一共有8排，其中第1排共有20个座位（含左、右区域），

往后每排增加两个座位，

所以前区最后一排座位数为：20+2（8﹣1）＝34，

所以前区座位数为：（20+34）×8÷2＝216，

以为前区最后一排与后区各排的座位数相同，后区一共有10排，

所以后区的座位数为：10×34＝340，

所以该礼堂的座位总数是216+340＝556个．故答案为：556个．

20．（3分）（2020?常德）阅读理解：对于x3﹣（n2+1）x+n这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：

x3﹣（n2+1）x+n＝x3﹣n2x﹣x+n＝x（x2﹣n2）﹣（x﹣n）＝x（x﹣n）（x+n）﹣（x﹣n）＝（x﹣n）（x2+nx﹣1）．

理解运用：如果x3﹣（n2+1）x+n＝0，那么（x﹣n）（x2+nx﹣1）＝0，即有x﹣n＝0或x2+nx﹣1＝0，

因此，方程x﹣n＝0和x2+nx﹣1＝0的所有解就是方程x3﹣（n2+1）x+n＝0的解．解决问题：求方程x3﹣5x+2＝0的解为x＝2或x＝﹣1+√2或x＝﹣1?√2．

【解答】解：∵x3﹣5x+2＝0，

∴x3﹣4x﹣x+2＝0，∴x（x2﹣4）﹣（x﹣2）＝0，

∴x（x+2）（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，

则（x﹣2）[x（x+2）﹣1]＝0，即（x﹣2）（x2+2x﹣1）＝0，

∴x﹣2＝0或x2+2x﹣1＝0，解得x＝2或x＝﹣1±√2，

故答案为：x＝2或x＝﹣1+√2或x＝﹣1?√2．

21．（3分）（2020?徐州）如图，∠MON＝30°，在OM上截取OA1=√3．过点A1作A1B1⊥OM，交ON于点B1，以点B1为圆心，B1O为半径画弧，交OM于点A2；过点A2作A2B2⊥OM，交ON于点B2，以点B2为圆心，B2O为半径画弧，交OM于点A3；按此规律，所得线段A20B20的长等于219．

【解答】解：∵B1O＝B1A1，B1A1⊥OA2，∴OA1＝A1A2，

∵B2A2⊥OM，B1A1⊥OM，∴B1A1∥B2A2，

∴B1A1=1

2A2B2，∴A2B2＝2A1B1，

同法可得A 3B 3＝2A 2B 2＝22?A 1B 1，…，

由此规律可得A 20B 20＝219?A 1B 1，

∵A 1B 1＝OA 1?tan30°=√3×√33=1， ∴A 20B 20＝219，

故答案为219．

22．（2020山西）（3分）如图是一组有规律的图案，它们是由边长相等的正三角形组合而成，第1个图案有4个三角形，第2个图案有7个三角形，第3个图案有10个三角形…按此规律摆下去，第n 个图案有 （3n +1） 个三角形（用含n 的代数式表示）．

【分析】根据图形的变化发现规律，即可用含n 的代数式表示．

解：第1个图案有4个三角形，即4＝3×1+1

第2个图案有7个三角形，即7＝3×2+1

第3个图案有10个三角形，即10＝3×3+1

…

按此规律摆下去，

第n 个图案有（3n +1）个三角形．

故答案为：（3n +1）．

23.（2020东莞）如图，等腰12Rt OA A ?，1121OA A A ==，以2OA 为直角边作23Rt OA A ?，再以3OA 为直角边作34Rt OA A ?，以此规律作等腰89Rt OA A ?，则89OA A ?的面积是_________.

答案：64（或62）

24．（2020四川自贡）（4分）如图，直线y =?√3x +b 与y 轴交于点A ，与双曲线y =k x 在第三象限交于B 、C 两点，且AB ?AC ＝16．下列等边三角形△OD 1E 1，△E 1D 2E 2，△E 2D 3E 3，…

的边OE1，E1E2，E2E3，…在x轴上，顶点D1，D2，D3，…在该双曲线第一象限的分支上，则k＝4√3，前25个等边三角形的周长之和为60．

【解答】解：设直线y=?√3x+b与x轴交于点D，作BE⊥y轴于E，CF⊥y轴于F．∵y=?√3x+b，

∴当y＝0时，x=√3

3b，即点D的坐标为（

√3

3

b，0），

当x＝0时，y＝b，即A点坐标为（0，b），

∴OA＝﹣b，OD=?√3

3b．

∵在Rt△AOD中，tan∠ADO=OA

OD

=√3，

∴∠ADO＝60°．

∵直线y=?√3x+b与双曲线y=k

x在第三象限交于B、C两点，

∴?√3x+b=k x，

整理得，?√3x2+bx﹣k＝0，

由韦达定理得：x1x2=√3

3k，即EB?FC=√3

3k，

∵EB

AB

=cos60°=12，∴AB＝2EB，

同理可得：AC＝2FC，

∴AB?AC＝（2EB）（2FC）＝4EB?FC=4√3

3k＝16，

解得：k＝4√3．

由题意可以假设D1（m，m√3），∴m2?√3=4√3，

∴m＝2

∴OE1＝4，即第一个三角形的周长为12，

设D2（4+n，√3n），

∵（4+n）?√3n＝4√3，

解得n＝2√2?2，

∴E1E2＝4√2?4，即第二个三角形的周长为12√2?12，

设D3（4√2+a，√3a），

由题意（4√2+a）?√3a＝4√3，

解得a＝2√3?2√2，即第三个三角形的周长为12√3?12√2，

…，

∴第四个三角形的周长为12√4?12√3，

∴前25个等边三角形的周长之和12+12√2?12+12√3?12√2+12√4?12√3+?+12√25?12√24=12√25=60，

故答案为4√3，60．

25．（3分）（2020?怀化）如图，△OB1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…，△A n﹣1B n A n，都是一

边在x轴上的等边三角形，点B1，B2，B3，…，B n都在反比例函数y=√3

x（x＞0）的图象上，点A1，A2，A3，…，A n，都在x轴上，则A n的坐标为（2√n，0）．

解：如图，过点B1作B1C⊥x轴于点C，过点B2作B2D⊥x轴于点D，过点B3作B3E⊥

x轴于点E，

∵△OA1B1为等边三角形，

∴∠B1OC＝60°，OC＝A1C，

∴B1C=√3OC，

设OC的长度为t，则B1的坐标为（t，√3t），

把B1（t，√3t）代入y=√3

x得t?√3t=√3，解得t＝1或t＝﹣1（舍去），

∴OA1＝2OC＝2，

∴A1（2，0），

设A1D的长度为m，同理得到B2D=√3m，则B2的坐标表示为（2+m，√3m），

把B2（2+m，√3m）代入y=√3

x得（2+m）×√3m=√3，解得m=√2?1或m=?√2?1（舍去），

∴A1D=√2?1，A1A2=2√2?2，OA2=2+2√2?2=2√2，

∴A2（2√2，0）

设A2E的长度为n，同理，B3E为√3n，B3的坐标表示为（2√2+n，√3n），

把B3（2√2+n，√3n）代入y=√3

x得（2√2+n）?√3n=√3，

∴A2E=√3?√2，A2A3=2√3?2√2，OA3=2√2+2√3?2√2=2√3，

∴A3（2√3，0），

综上可得：A n（2√n，0），

故答案为：(2√n，0)．

26．（2020青海）（2分）对于任意两个不相等的数a，b，定义一种新运算“⊕”如下：a⊕b ＝，如：3⊕2＝＝，那么12⊕4＝．

解：12⊕4＝＝．故答案为：．

27．（2020青海）（4分）观察下列各式的规律：

①1×3﹣22＝3﹣4＝﹣1；②2×4﹣32＝8﹣9＝﹣1；③3×5﹣42＝15﹣16＝﹣1． 请按以上规律写出第4个算式 4×6﹣52＝24﹣25＝﹣1 ．

用含有字母的式子表示第n 个算式为 n （n +2）﹣（n +1）2＝﹣1 ．

解：④4×6﹣52＝24﹣25＝﹣1．

第n 个算式为：n （n +2）﹣（n +1）2＝﹣1．

故答案为：4×6﹣52＝24﹣25＝﹣1；n （n +2）﹣（n +1）2＝﹣1．

28．（2020山东滨州）（5分）观察下列各式：123a =，235a =，3107a =，4159a =，52611

a =，?，根据其中的规律可得n a = 21

(1)21

n n n ++-+ （用含n 的式子表示）． 【解答】解：由分析可得21

(1)21

n n n a n ++-=+． 故答案为：21

(1)21

n n n ++-+． 29．（2020山东泰安）（4分）如表被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．表中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，…，我们把第一个数记为a 1，第二个数记为a 2，第三个数记为a 3，…，第n 个数记为a n ，则a 4+a 200＝ 20110 ．

解：观察“杨辉三角”可知第n 个数记为a n ＝（1+2+…+n ）=12n （n +1），

则a 4+a 200=12×4×（4+1）+12×200×（200+1）＝20110． 故答案为：20110．

30．（2020海南）（4分）海南黎锦有着悠久的历史，已被列入世界非物质文化遗产名录．如图是黎锦上的图案，每个图案都是由相同菱形构成的，若按照第1个图至第4个图中的规律编织图案，则第5个图中有 41 个菱形，第n 个图中有 2n 2﹣2n +1 个菱形（用含n 的代数式表示）．

解：∵第1个图中菱形的个数1＝12+02，

第2个图中菱形的个数5＝22+12，

第3个图中菱形的个数13＝32+22，

第4个图中菱形的个数25＝42+32，

∴第5个图中菱形的个数为52+42＝41，

第n 个图中菱形的个数为n 2+（n ﹣1）2＝n 2+n 2﹣2n +1＝2n 2﹣2n +1，

故答案为：41，2n 2﹣2n +1．

三、解答题

31.（2020长沙）我们不妨约定：若某函数图像上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称之为“H 函数”，其图像上关于原点对称的两点叫做一对“H 点”，根据该约定，完成下列各题

（1）在下列关于x 的函数中，是“H 函数”的，请在相应题目后面的括号中打“√”，不是“H 函数”的打“×”

①2y x =（ ） ①m y (m 0)x

=≠（ ） ①31y x =-（ ） （2）若点()1,A m 与点(),4B n -关于x “H 函数” ()20y ax bx c a =++≠的一对“H 点”，且

该函数的对称轴始终位于直线2x =的右侧，求,,a b c 的值域或取值范围；

（3）若关于x 的“H 函数” 223y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数）同时满足下列两个条件：

①0a b c ++=，①(2)(23)0c b a c b a +-++<，求该H 函数截x 轴得到的线段长度的取值范围．

【答案】（1）√；√；×；（2）-1＜a ＜0，b=4，0＜c ＜0；（3）2＜12x x -＜． 解：（1）①2y x =是 “H 函数”①m y (m 0)x

=

≠是 “H 函数”①31y x =-不是 “H 函数”； 故答案为：√；√；×；

（2）①A,B 是“H 点”

①A,B 关于原点对称，

①m=4,n=1

①A(1,4），B （-1，-4）

代入223y ax bx c =++ 得44a b c a b c ++=??-+=-?

解得40b a c =??+=?

又①该函数的对称轴始终位于直线2x =的右侧，

①-

2b a

＞2 ①-42a ＞2 ①-1＜a ＜0

①a+c=0

①0＜c ＜0，

综上，-1＜a ＜0，b=4，0＜c ＜0；

（3）①223y ax bx c =++是“H 函数”

①设H 点为（p,q ）和（-p,-q ）,

代入得222323ap bp c q ap bp c q

?++=?-+=-? 解得ap 2+3c=0,2bp=q

①p 2＞0

①a,c 异号，

①ac ＜0

①a+b+c=0

①b=-a -c ，

①(2)(23)0c b a c b a +-++<

①(2)(23)0c a c a c a c a -----+< ①(2)(2)0c a c a -+<

①c 2＜4a 2 ①2

2c a

＜4 ①-2＜

c a

＜2 ①-2＜c a

＜0 设t=c a ，则-2＜t ＜0 设函数与x 轴的交点为（x 1,0）（x 2,0） ①x 1, x 2是方程223ax bx c ++=0的两根

①12x x -=

= 又①-2＜t ＜0

①2＜12x x -＜．

32.（2020山东青岛）实际问题：

某商场为鼓励消费，设计了投资活动．方案如下：根据不同的消费金额，每次抽奖时可以从

100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取2张、3张、4张、…等若干张奖券，奖券的面值金额之和即为优惠金额．某顾客获得了一次抽取5张奖券的机会，小明想知道该顾客共有多少种不同的优惠金额？

问题建模：

从1，2，3，…，n （n 为整数，且3n ≥）这n 个整数中任取()1a a n <<个整数，这a 个整数之和共有多少种不同的结果？

模型探究：

我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，从中找出解决问题的方法．

探究一：

（1）从1，2，3这3个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？ 表①

如表①，所取的2个整数之和可以为3，4，5，也就是从3到5的连续整数，其中最小是3，最大是5，所以共有3种不同的结果．

（2）从1，2，3，4这4个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？ 表①

如表①，所取的2个整数之和可以为3，4，5，6，7，也就是从3到7的连续整数，其中最小是3，最大是7，所以共有5种不同的结果．

（3）从1，2，3，4，5这5个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有______种不同的结果．

（4）从1，2，3，…，n （n 为整数，且3n ≥）这n 个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有______种不同的结果．

探究二：

（1）从1，2，3，4这4个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有______种不同的结果． （2）从1，2，3，…，n （n 为整数，且4n ≥）这n 个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有______种不同的结果．

探究三：

从1，2，3，…，n （n 为整数，且5n ≥）这n 个整数中任取4个整数，这4个整数之和共有______种不同的结果．

归纳结论：

从1，2，3，…，n （n 为整数，且3n ≥）这n 个整数中任取()1a a n <<个整数，这a 个整数之和共有______种不同的结果．

问题解决：

从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取5张奖券，共有______种不同的优惠金额．

拓展延伸：

（1）从1，2，3，…，36这36个整数中任取多少个整数，使得取出的这些整数之和共有204种不同的结果？（写出解答过程）

（2）从3，4，5，…，3n +（n 为整数，且2n ≥）这()1n +个整数中任取()11a a n <<+个整数，这a 个整数之和共有______种不同的结果．

解：探究一：

（3）如下表：

所取的2个整数之和可以为3，4，5，6，7，8，9也就是从3到9的连续整数，其中最小是

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