湖北省2013届高三5月高考模拟及答题适应性考试数学（文）试题A卷

湖北省2013届高三5月高考模拟及答题适应性考试

数学（文）试题A卷

本试题卷共5页，共22题．满分150分．考试用时120分钟．

★祝考试顺利★

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．用统一提供的2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑．

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用统一提供的2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．答在试题卷、草稿纸上无效．

3．填空题和解答题的作答：用统一提供的签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内．答在试题卷、草稿纸上无效．

4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用统一提供的2B铅笔涂黑．考生应根据自己选做的题目准确填涂题号，不得多选．答题答在答题卡上对应的答题区域内，答在试题卷、草稿纸上无效．

5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的．

1．设集合A?x?3?x?1，B?xlog2x?1，则A?B等于

A．??3,0???0,1? B．??1,0???0,1? C．??2,1? D．??2,0???0,1? 2．已知???0,2??，复数z?????cos??isin?，则z=

cos??isin?A．1 B．cos4? C．sin4? D．tan4?

开始 输入p 3．某程序框图如图所示，若输入的p为24，则输出的n,S 的值分别为

A．n?4,S?30 B．n?4,S?45

C．n?5,S?30 D．n?5,S?45

4．已知指数函数f?x??axn?1，S?0 S?p 是 否 S=S+3n 输出n，S 结束 n?n?1 ?a?0,a?1?、对数函数g?x??logbx?b?0,b?1?和幂函数

1如果f?x1??g?x2??h?x3??4，那么，x1? h?x??xc?c?Q?的图象都经过点P(,2)，2x2?x3?

A．

7653 B． C． D． 6542y 5．函数y?f?x?的图象如图所示，则导函 数y?f?(x)的图象的大致形状是

y x y y x O C．

x O y=f(x) y y?f??x?x O y?f??x?A．

O y?f??x?O

y?f??x?x B． D．

6．设m,n是两条不同的直线，?,?是两个不同的平面，给出下列条件，能得到m??的是

A．???,m?? B．m??,??? C．m?n,n?? D．m//n,n?? 7．如图，已知三棱锥的俯视图是边长为2的正 三角形，侧视图是有一直角边长为2的直角 三角形，则该三棱锥的正视图可能为

2 1 A．

1 2

1 B．

1

2

1

C．

1

2

1

2 1 D．

俯视图

侧视图

2 2

?8．如图，在?OAB中，?AOB?120，OA?2，OB?1， B C 、D分别是线段OB和AB的中点，那么OD?AC? A．?2 B．?331 C．? D．

422C O D A 9．甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6小时，假定它们在一昼夜的时间段中随机地到达，

则这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率是

1397 B． C． D．

281616x2y2310．已知椭圆C：2?2?1（a>b>0）的离心率为，过右焦点F且斜率为k（k>0）的

ab2A．

直线与C相交于A、B两点．若AF?3FB，则k =

A．1 B．2 C．3 D．2

二、填空题：本大题共5小题，每小题7分，共35分，请将答案填在答题卡对应题号的

位置上．

11．若命题“存在实数x，使x2+ax+1<0”的否定是真命题，则实数a的取值范围为 ． 12．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示： ?

② ① ③

按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为 （用n表示）． 13．已知直线l在x轴、y轴上的截距分别是a和b?a?0,b?0?，

频率 且经过点M?1,4?，则a?b的最小值为 ． 14．某校高三年级有500名同学，将他们的身高（单 位：cm）数据绘制成频率分布直方图（如图）， 现用分层抽样的方法选取x名学生参加某项课 外活动，已知从身高在[160,170)的学生中选取

9人，则x= ．

组距 0.035 0.020 0.010 0.005 15．已知数列?an?是等差数列，首项a1?39，公差d??2，前n项和为Sn；数列?bn?是

等比数列，首项b1?5，公比q?2，前n项和为Tn.如果从第m项开始，对所有的

O 140 150 160 170 180 190 身高/cm

n?N?都有Tm?Sn，则m? ．

16．已知函数f?x??3sin2x?cos2x，x?R，给出以下说法：

①函数f?x?的图像的对称轴是x?k??②点P(?3,k?Z；

7?,0)是函数f?x?的图像的一个对称中心； 121?③函数f?x?在区间[,?]上的最大值是；

22?④将函数f?x?的图像向右平移个单位，得到函数g?x??sin2x?3cos2x的图象．

12其中正确说法的序号是 ． 17．某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染指数量P mg/L与时间t h

间的关系为P?P0e?kt．如果在前5个小时消除了10%的污染物，则10小时后还剩

__________%的污染物．

三、解答题：本大题共5小题，共65分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18．(本小题满分12分) 在?ABC中，边a、b、c分别是角A、B、C的对边，且满足bcosC?(3a?c)cosB．

（Ⅰ）求cosB；

????????（Ⅱ）若BC?BA?4，b?42，求边a，c的值．

19．（本小题满分12分）

为了了解甲、乙两名同学的数学学习情况，对他们的7次数学测试成绩（满分100分）进行统计，作出如下的茎叶图，其中x,y处的数字模糊不清．已知甲同学成绩的中位数是83，乙同学成绩的平均分是86分． （Ⅰ）求x和y的值；

（Ⅱ）现从成绩在［90，100］之间的试卷中随机抽取两份进行分析，求恰抽到一份甲

同学试卷的概率．

1

如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直于底面，∠ACB=90°，AC=BC=2AA1，D是棱AA1

C1 B1 的中点．

（Ⅰ）求异面直线DC1和BB1所成的角；

A1

（Ⅱ）证明：平面BDC1⊥平面BDC．

20．（本小题满分13分）

21．（本小题满分14分）

D C A B

已知直角坐标平面内一动点P到点F(2,0)的距离与直线x??2的距离相等． （Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；

（Ⅱ）过点M(m,0)（m?0）作斜率为3的直线与曲线C相交于A,B两点，若?AFB为钝角，求实数m的取值范围；

（Ⅲ）过点M(m,0)（m?0）作直线与曲线C相交于A,B两点，问：是否存在一条

垂直于x轴的直线与以线段AB为直径的圆始终相切？若存在，求出m的值；若

不存在，请说明理由．

22．(本大题满分14分)

若函数f?x?满足：在定义域内存在实数x0，使f?x0?k??f?x0??f?k?(k为常数)，

则称“f（x）关于k可线性分解”．

（Ⅰ）函数f?x??2x?x2是否关于1可线性分解?请说明理由；

（Ⅱ）已知函数g?x??lnx?ax?1?a?0?关于a可线性分解，求a的取值范围；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当a取最小整数时，求g?x?的单调区间，并证明不等式：

?1?2?3???n?2?en?n?1??n?N??．

．

文科数学试题参考答案及评分细则

一、选择题：

1．D 2．A 3．C 4．D 5．D 6．D 7．C 8．B 9．C

二、填空题：

11．[?2,2] 12．6n?2 13．9 14．30 15．7 16．②④

三、解答题：

18．解:（Ⅰ）由正弦定理和bcosC?(3a?c)cosB，得

sinBcosC?(3sinA?sinC)cosB， 化简，得sinBcosC?sinCcosB?3sinAcosB，

即sin（B?C）?3sinAcosB， 故sinA?3sinAcosB．

因为sinA≠0，

所以cosB=1． ?????????????????????6（Ⅱ）因为???3分 BC????BA???4，

所以BC?BA?|BC|?|BA|?cosB?4．

所以???BC?????BA??12，即ac?12． ①

cosB=a2?c2?b2又因为2ac?13， 整理，得a2?c2?40． ②

联立①② ??a2?c2?40,，

?ac?12,

10．B 17．81

解得??a?2,?a?6,或? ?????????????????????12分

?c?6,?c?2.

19．解:（Ⅰ）?甲同学成绩的中位数是83，

?x?3．

?乙同学的平均分是86分，

1?(78?83?83?80?y?90?91?96)?86， 7?y?1．??????????? 6分

（Ⅱ）甲同学成绩在［90，100］之间的试卷有二份，分别记为a1，a2， 乙同学成绩在［90，100］之间的试卷有三份，分别记为b1，b2，b3， “从这五份试卷中随机抽取两份试卷”的所有可能结果为：

?a1,a2?，?a1,b1?，?a1,b2?，?a1,b3?，?a2,b1?,?a2,b2?，?a2,b3?，?b1,b2?，?b1,b3?，?b2,b3?，共有10种情况．

记“从成绩在［90，100］之间的试卷中随机抽取两份，恰抽到一份甲同学试卷”为事件M，则事件M包含的基本事件为：

?a1,b1?，?a1,b2?，?a1,b3?，?a2,b1?,?a2,b2?，?a2,b3?，共有6种情况．

则P(M)?63?， 1053．????????????????????12分 5答：从成绩在［90，100］之间的试卷中随机抽取两份进行分析，恰抽到一份甲同学试卷的概率为

20．解:（Ⅰ）由题设知AA1//BB1，

所以异面直线DC1和BB1所成的角为?A1DC1． 因为侧棱垂直底面，

A1

C1

B1

??DA1C1?90．

1

又AC=BC=2AA1，D是棱AA1的中点，

???DA1C1 是等腰直角三角形．

C A B

??A1DC1?45?．

21．解：（Ⅰ）由抛物线的定义，知所求P点的轨迹是以F(2,0)为焦点，直线x??2为准

线的抛物线．其方程为y?2px，其中

2

p?2，p?4． 2所以，动点P的轨迹C的方程为y2?8x．???????????????4分 （Ⅱ）由题意知，直线AB的方程为y?3(x?m)． 代入y2?8x，得3x2?(6m?8)x?3m2?0． 设A(x1,y1),B(x2,y2)，则x1?x2?6m?8,x1x2?m2． 3??AFB为钝角，?FA?FB?0．

又FA?(x1?2,y1)，FB?(x2?2,y2)，

?(x1?2)(x2?2)?y1y2?0．

2即x1x2?2(x1?x2)?4?3[x1x2?m(x1?x2)?m]?0， ?4x1x2?(2?3m)(x1?x2)?4?3m2?0．

2因此3m?36m?4?0， 18?42118?421??m?．

3318?42118?421综上，实数m的取值范围是(,2)?(2,)．???????8分

332（Ⅲ）设过点M的直线方程为x??y?m，代入y?8x，得

y2?8?y?8m?0．设A(x1,y1),B(x2,y2)，则y1?y2?8?，y1y2??8m．

2于是x1?x2??(y1?y2)?2m?8??2m． ?AB的中点坐标为(4?2?m,4?)．

又AB?(x1?x2)2?(y1?y2)2?(1??2)(y1?y2)2

(1??2)(64?2?32m)．

?(1??2)[(y1?y2)2?4y1y2]?(1??2)(64?2?32m)．

设存在直线x?x0满足条件，则2|4?2?m?x0|?222222化简，得(16?8x0)??8m?m?x0?2mx0?0．

所以，(16?8x0)??8m?m?x0?2mx0?0对任意的?恒成立，

?16?8x0?0,所以?解得x0??2，m?2． 22?8m?m?x0?2mx0?0.所以，当m?2时，存在直线x??2与以线段AB为直径的圆始终相切．??13分

22．解：（Ⅰ）函数f?x??2x?x2的定义域是R，若是关于1可线性分解，

则定义域内存在实数x0，使得f?x0?1??f?x0??f?1?．

构造函数h?x??f?x?1??f?x??f?1??2x?1??x?1??2x?x2?2?1

2?22x?1?x?1．

∵h?0???1，h?1??2且h?x?在??1,1?上是连续的， ∴h?x?在??1,1?上至少存在一个零点．

即存在x0???1,1?，使f?x0?1??f?x0??f?1?． ??????????? 4分 另解：函数f?x??2x?x2关于1可线性分解，

由f?x?1??f?x??f?1?，得2x?1??x?1??2x?x2?3．

2??即2??2x?2．

作函数g?x??2与h?x???2x?2的图象，

xx由图象可以看出，存在x0?R，使2??2x?2，

即f?x0?1??f?x0??f?1?)成立．???????????????? 4分 （Ⅱ）g?x?的定义域为?0,???．

由已知，存在x0?0，使g?x0?a??g?x0??g?a?． 即ln?x0?a??a?x0?a??1?lnx0?ax0?1?lna?a2?1． 整理，得ln?x0?a??lnx0?lna?1，即ln?x0?a??ln(ax0e)．

xa． ae?11a?0且a?0，得a?． 由x0?eae?1∴a?x0?ax0e，所以x0?

∴a的取值范围是?,???． ???????????????? 10分 （Ⅲ）由（Ⅱ）知，a =1，g?x??lnx?x?1，g?(x)?

?1?e??11?x?1?． xx

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