黄冈市2013高三5月冲刺卷数学（理）含答案3

黄冈市2013届高三5月冲刺卷

数学（理）试题

（考试时间：1 2 0分钟试卷分数：1 5 0分）

注意事项

1．答题前将密封线内的项目及座号填写清楚．

2．请把第I卷中每小题你认为正确选项的代号填涂在答卷中选择题答案栏内．

第I卷

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的） 1．已知集合A?{x|x?2,n?N},B?{x|x?2n,n?N}，则下列不正确的是

A．A?B

B．A?B?A

C．B?(eZA)?? D．A?B?B

n**2．已知复数z?cos

A．-1

2?2?3（i为虚数单位），则z的虚部为 ?isin33B．0

C．i

D．l

3．若实数a?

A．x=0

?e11dx．则函数f(x)?asinx?cosx的图像的一条对称轴方程为 x3??5?B．x?? C．? D．x??

4444．甲乙丙3位同学选修课程，从4门课程中选。甲选修2门，乙丙各选修3门，则不同的选

修方案共有 A．36种 B．48种 C．96种 D．1 92种

?????????5．已知不共线向量a,b,a?2,b?3,a.(b?a)?1,则b?a

A．3

B．22

C．7 D．23 6．若f(n)?关系

n2?1?n,g(n)?n?n2?1,?(n)?1,n?N*，则f(n),g(n),?(n)的大小2nA．f(n)?g(n)??(n) C．g(n)??(n)?f(n)

B．f(n)??(n)?g(n) D．g(n)?f(n)??(n)

7．从一个正方体中截去部分几何体，得到的几何体三视图如下，则此几何体的体积是（ ） A．64

122 3188C．

3B．

D．

47 68．执行如图所示的程序框图，若输出a= 341，判断框内应填写（ ） A．k<4? B．k<5? C．k<6? D．k<7?

?x?0?9．若A为不等式组?y?0所示的平面区域，则当a从-2连续变化到1

?y?x?2?时，动直线x+y=a扫过A中的那部分区域面积为（ ） A．2 B．1

C．

3 4 D．

7 410．已知过抛物线y2 =2px（p>0）的焦点F的直线x－my+m=0与抛物线交

于A，B两点，且△OAB（O为坐标原点）的面积为22，则m6+ m4

的值为（ ）www.12999.com A．1 B． 2

C．2

D．4

????????11．平行四边形ABCD中，AB·BD=0，沿BD折成直二面角A一BD－C，且4AB2 +2BD2 =1，

则三棱锥A－BCD的外接球的表面积为（ ） A．

?2 B．

?4 C．

?48 D．2? 2412．已知R上的函数y=f（x），其周期为2，且x∈（-1,1]时f（x）=1+x2，函数g（x）

?1?sin?x(x?0)?=?1，则函数h（x）=f（x）－g（x）在区间[-5,5]上的零点的个数为（ ） 1?,(x?0)??x A．11

B．10

C．9

D．8

第Ⅱ卷

本卷分为必做题和选做题两部分，13—21题为必做题，22、23、24为选考题。

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．(x4?)10的展开式中常数项的值是 （数字作答）；

14．已知f(x)?x3?f'()x2?x,f(x)的图像在点(,f())处的切线斜率

是 ；

15．△ABC中，sin2A?sin2B?2sin2C，则∠C最大值为_ ；

16．下列若干命题中，正确命题的序号是 。

①“a=3”是直线ax+2y+2a=0和直线3x+（a一l）y一a+7 =0平行的充分不必要条件； ②△ABC中，若acosA=bcos B，则该三角形形状为等腰三角形；

14232323 ③两条异面直线在同一平面内的投影可能是两条互相垂直的直线；

④对于命题P:?x?R使得x2?x?1?0，则?p:?x?R,均有x2?x?1?0． 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、或演算步骤）

17．（12分）已知等差数列{an}中，首项a1=1，公差d为整数，且满足a1?3?a3,a2?5?a4,数列{bn}满足bn?

1前{bn}项和为Sn．

an.an?1（1）求数列{an}的通项公式an；

（2）若S2为Sl，Sm(m?N*)的等比中项，求正整数m的值．

18．（12分）为了保养汽车，维护汽车性能，汽车保养一般都在购车的4S店进行，某地大众

汽车4S店售后服务部设有一个服务窗口专门接待保养预约。假设车主预约保养登记所需的时间互相独立，且都是整数分钟，对以往车主预约登记所需的时间统计结果如下：

1 2 3 4 5 登记所需时间（分） 频率 0．1 0．4 0．3 0．1

从第—个车主开始预约登记时计时（用频率估计概率）， （l）估计第三个车主恰好等待4分钟开始登记的概率：

（2）X表示至第2分钟末已登记完的车主人数，求X的分布列及数学期望．

19．（12分）如图所示，四面体ABCD中，AB⊥BD、AC⊥CD且AD =3．BD=CD=2． （1）求证：AD⊥BC；

（2）求二面角B—AC—D的余弦值．

0．1

x2y220．（12分）若椭圆2?2?1(a?b?0)的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆的离心率为2：

ab2．

?（1）过点C（-1,0）且以向量a?(1,k)(k?0)为方向向量的直线l交椭圆于不同两点A、

????????B，若AC?2CB，则当△OAB的面积最大时，求椭圆的方程。

?????????（2）设M，N为椭圆上的两个动点，OM?ON，过原点O作直线MN的垂线OD，垂

足为D，求点D的轨迹方程．

x32

21．（12分）已知函数f（x）=1n（2ax+1）+－x－2ax（a∈R）．

3

（1）若y=f（x）在[4，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围；

(1?x)3b1（2）当a=?时，方程f（1－x）=， ?有实根，求实数b的最大值．

3x2

【选考题】

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分，做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑． 22．（10分）选修4－1：几何证明选讲

如图，△ABC内接于⊙O，AB =AC，直线MN切⊙O于点C，弦BD∥MN，AC与BD相交

于点E． （1）求证：△ABE≌△ACD； （2）若AB =6，BC =4，求AE．

23．（10分）选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为

?2t?x?2??2（t 为参数）。在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以??y?3?2t??2原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为??23sin?。

（1）求圆C的直角坐标方程；

（2）设圆C与直线l交于点A，B，若点P的坐标为（2，3），求|PA|+|PB|．

24．（10分）选修4－5，不等式选讲

已知函数f（x）=|x+l|，g（x）=2|x|+a． （1）当a=0时，解不等式f（x）≥g（x）； （2）若存在x∈R，使得f（x）≥g（x）成立，求实数a的取值范围．

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参考答案

一、选择题答案

1 题号 答案

B

2 C

3 B

4 C

5 A

6 B

7 C

8 C

9 D

10 C

11 A

12 C

二、 13. 45 14. -1

15. 600 16. （1）（3）（4） 三、解答题

17．解：

?a?3?a1?2d,35（1）由题意，得?1解得< d <．

22?a1?d?5?a1?3d,

又d∈Z，∴d = 2．∴an=1+(n－1)?2=2n－1． ????????????????4分 11111（2）∵bn??(?)， ?an?an?1(2n?1)(2n?1)22n?12n?111111111n∴Sn?[(1?)?(?)?????(． 10分 ?)]?(1?)?23352n?12n?122n?12n?1∵S1?2212m，S2?，Sm?，S2为S1，Sm(m∈N?)的等比中项， 352m?12m?2?1∴S?SmS1，即????， 解得m=12．????????????????12分

532m?1??18．解：设Y表示车主登记所需的时间，用频率估计概率，Y的分布如下： Y 1 2 3 4 P 0.1 0.4 0.3 0.1 5 0.1 （1）A表示事件“第三个车主恰好等待4分钟开始登记”，则事件A对应三种情形：

（1）第一个车主登记所需时间为1分钟，且第二个车主登记所需的时间为3分钟； （2）第一个车主登记所需的时间为3分钟，且第二个车主登记所需的时间为1分钟； （3）第一个和第二个车主登记所需的时间均为2分钟。

所以P(A)?P(Y?1)P(Y?3)?P(Y?3)P(Y?1)?P(Y?2)P(Y?2)

?0.1?0.3?0.3?0.1?0.4?0.4?0.22????????????????6分

（2）X所有可能的取值为：0,1,2.X=0对应第一个车主登记所需的时间超过2分钟，所

以P(X?0)?P(Y?2)?0.5；X=1对应第一个车主登记所需的时间为1分钟且 第二个车主登记所需时间超过1分钟，或第一个车主登记所需的时间为2分钟， 所以P(X?1)?P(Y?1)P(Y?1)?P(Y?2)0.1?0.9?0.4?0.49；X=2对应两个 车主登记所需的时间均为1分钟，所以P(X?2)?P(Y?1)P(Y?1)?0.1?0.1?0.01；

????????????????10分

所以X的分布列为

X P 0 0.5 1 0.49 2 0.01

EX?0?0.5?1?0.49?2?0.01?0.51.????????????????12分

19．

（1）证明 作AH⊥平面BCD于H，连接BH、CH、DH，

易知四边形BHCD是正方形，且AH＝1，以D为原 点，以DB所在直线为x轴，DC所在直线为y轴， 以垂直于DB，DC的直线为z轴，建立空间直角坐 标系，如图所示，则B(2,0,0)，C(0,2,0)，D?0,0,0?A(2,2,1)，

????????????→

所以BC＝??2,2,0?，DC＝?0,2,0?AC???2,0,?1?，DA??2,2,1?????????????4分

→→因此BC·DA＝?4?4?0，所以AD⊥BC.????????????????????????????????6分

→→

（2）解：设平面ABC的法向量为n1＝(x，y，z)，则由n1⊥BC知：n1·BC＝?2x?2y?0

→→

同理由n1⊥AC知：n1·AC＝?2x?z?0，

?????????????????????????????????2分?

?2?， 可取n1＝?1,1，同理，可求得平面ACD的一个法向量为n2??1,0,2?????????????????10分

1?4n1·n2∴cos〈n1，n2〉＝＝?|n1||n2|6?5即二面角B—AC—D的余弦值为20．解：

（1）?e?30 630????????????????????????????????12分 621?b2?a2，设椭圆的方程为x2?2y2?a2 22依题意，直线l的方程为：y?k(x?1)

由??y?k(x?1)22222,(1?2k)x?4kx?2k?a?0 222?x?2y?a4k2设A(x1,y1),B(x2,y2)?x1?x2?? 21?2k?????????AC?2CB?x1?2x2??3

?3?2k2x???11?2k2?? …………………………4分 2?x??3?2k2?1?2k2??S?ABC?3k1k3332y1?y2?x1?x2?(k?0)???

122221?2k242k?k当且仅当k??232 时，S?ABC取最大值242x2y2此时A(1，?2)?a?5?椭圆方程为??1 ……………………6分

552（2）设点D的坐标为(x0，y0)．

当y0?0时，由OD?MN知，直线MN的斜率为?x0，所以直线MN的方程为y02x0x0x0y??(x?x0)?y0，或y?kx?m，其中k??，m?y0?．

y0y0y0点M(x1,y1)N(x2,y2)的坐标满足方程组?2222?y?kx?m，222?x?2y?a．222

得x?2(kx?m)?a，整理得(1?2k)x?4kmx?2m?a?0，

2m2?a24km于是x1?x2??，x1x2?． 221?2k1?2k?y1y2?(kx1?m)(kx2?m)?k2x1x2?km(x1?x2)?m2

2m2?a2?4kmm2?a2k22． ?k·?km·?m?2221?2k1?2k1?2k2?????????3m2?a2?a2k2由OM?ON知x1x2?y1y2?0．??0，

1?2k22xx12200?3m?a(1?k)将k??，m?y0?代入上式，整理得x0?y0?a2．…10分

3y0y0222当y0?0时，直线MN的方程为x?x0， M(x1,y1)N(x2,y2)的坐标满足方程组

2?x?x0，a2?x0所以x1?x2?x0，y1，． ?22??222?x?2y?a．2?????????a2?x02?0， 由OM?ON知x1x2?y1y2?0，即x0?22解得x0?12a． ………………11分 312a．www.12999.com 31综上，点D的轨迹方程为 x2?y2?a2………………12分

322这时，点D的坐标仍满足x0?y0? 21．解：

（1）因为函数f(x)在?4,???上为增函数，所以f'?x??在?4,???上恒成立。 ①当a?0时，f'22x?2ax?1?4ax?4a?2???????2ax?1?0

?x??x(x?2)?0在?4,???上恒成立，所以f(x)在?4,???上为增

函数，故a?0符合题意。

②当a?0时，由函数f(x)的定义域可知，必须有2ax?1?0在?4,???上恒成立， 故只能a?0，所以2ax2??1?4a?x?4a2?2?0在?4,???上恒成立。 ..（4分） 令函数g?x??2ax2??1?4a?x?4a2?2，其对称轴为x?1?所以1?????1，因为a?0， 4a1?1，要使g?x??0在?4,???上恒成立，只要g?4??0即可，即4ag?4???4a2?16a?2?0，所以

4?32 24?324?32，因为a?0，所以?a?220?a?综上所述，a的取值范围为?0,?4?32?? ???????????????? （6分） 2??3?1?x??b可化为1b2（2）当a??，方程f(1?x)?lnx??1?x???1?x??。问题转

3x2x化为b?xlnx?x?1?x??x?1?x??xlnx?x2?x3在?0,???上有解，即求函数

2y?xlnx?x2?x3的值

则h?x??'h?x??lnx?x?x2(x?0) （10分）

?2x?1??1?x?，所以当0?x?1时，h'x?0，函数hx在1?1?2x?????xx?0,1?上为增函数，当x?1时，h'?x??0，函数h?x?在?1,???上为减函数，因此

h?x??h?1??0。而x?0，所以b?x?h?x??0，因此当x?1时，b取到最大值0。

???????????????? 12分 22．（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲

解:（Ⅰ）在ΔABE和ΔACD中，

∵AB?AC ∠ABE=∠ACD………………2分

又，∠BAE=∠EDC ∵BD//MN ∴∠EDC=∠DCN ∵直线是圆的切线，∴∠DCN=∠CAD ∴∠BAE=∠CAD

∴ΔABE?ΔACD（角、边、角） ????????????????5分 （Ⅱ）∵∠EBC=∠BCM ∠BCM=∠BDC ∴∠EBC=∠BDC=∠BAC BC=CD=4

又 ∠BEC=∠BAC+∠ABE=∠EBC+∠ABE=∠ABC=∠ACB

∴ BC=BE=4 ????????????????8分 设AE=x，易证 ΔABE∽ΔDEC

DEDC4??xAB62∴4?x?x(6?x)3∴

?DE?2x又 AE?EC?BE?ED3EC?6?x

x?10????????????????10分

3

23．（Ⅰ）由??23sin?得x2?(y?3)2?3 ????????????????4分 （Ⅱ）将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得(2?22222t)?(t)?3， 22即t?22t?1?0由于??0，故可设t1,t2是上述方程的两实根， 所以?1?t?t2?22?故由上式及t的几何意义得：

??t1?t2?1|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2=22。 ????????????????10分

24．解：x?1?2x?x2?2x?1?4x2??1?x?1 3所以解集为??,1? ????????????????5分 （1）即?x?R，使得x?1?2x?a成立，令h(x)?x?1?2x，则a?h(x)max

?1??3??1?x,x?0? h(x)??3x?1,?1?x?0，Www.12999.com

?x?1,x??1?所以a????,1?。 ????????????????10分

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