备战中考2011年全国各地试题训练山东济南-解析版

2011年山东省济南市中考数学试卷

一．选择题：本题共15小题，每小题3分，共45分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的的．） 1、（2011?济南）3×（﹣4）的值是（ ） A、﹣12 B、﹣7 C、﹣1 D、12 考点：有理数的乘法。 专题：计算题。

分析：本题涉及有理数的乘法，先乘除，算完之后看负号的个数，偶数个，结果为正，奇数个，结果为负． 解答：解：3×（﹣4）=﹣12． 故选A．

点评：本题考查了有理数的乘法，属于基础题，解题时要熟记有理数的乘法法则：先乘除，算完算完之后看负号的个数，偶数个，结果为正，奇数个，结果为负． 2、（2011?济南）如图，桌子上放着一个长方体的茶叶盒和一个圆柱形的水杯，则它的主视图是（ ）

A、 B、 C、

D、

考点：简单几何体的三视图。

分析：找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中． 解答：解：正方体的主视图是正方形，而圆柱的主视图是矩形， 故选B．

点评：本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图，考查了学生细心观察能力，属于基础题． 3、（2011?济南）“山东半岛蓝色经济区”规划主体区包括的海域面积共159500平方公里．159500用科学记数法表示为（ ）

23 45

A、1595×10 B、159.5×10 C、15.95×10 D、1.595×10 考点：科学记数法—表示较大的数。

n

分析：科学记数法的表示形式为a×10的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

5

解答：解：159 500=1.595×10． 故选D．

n

点评：此题主要考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 4、（2011?济南）某校九年级一班体育委员在一次体育课上记录了六位同学托排球的个数分别为37，25，30，35，28，25，这组数据的中位数为（ ） A、25 B、28 C、29 D、32.5 考点：中位数。 专题：计算题。

分析：先把数据按从小到大排列：25，25，28，30，35，37，最中间两个数分别28和30，计算它们的平均数即可．

解答：解：把数据按从小到大排列：25，25，28，30，35，37，

共有6个数，最中间两个数的平均数=（28+30）÷2=29， 所以这组数据的中位数为29． 故选C．

点评：本题考查了中位数的概念：把一组数据按从小到大排列，最中间那个数（或最中间两个数的平均数）叫这组数据的中位数；也考查了平均数的计算方法． 5、（2011?济南）下列运算正确的是（ ）

﹣3236236 623

A、a?a=a B、（a）=a C、a÷a=a D、2=﹣6

考点：同底数幂的除法；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方；负整数指数幂。

分析：根据同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘；同底数幂相除，底数不变指数相减；有理数的负整数指数次幂等于正整数指数次幂的倒数，对各选项计算后利用排除法求解．

232+35

解答：解：A、应为a?a=a=a，故本选项错误；

232×36

B、（a）=a=a，正确；

626﹣24

C、应为a÷a=a=a，故本选项错误；

﹣3

D、应为2=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。，故本选项错误． 故选B． 点评：本题主要考查了幂的运算性质以及负整数指数幂的运算，熟练掌握各运算性质并灵活运用是解题的关键． 6、（2011?济南）不等式组错误！未找到引用源。的解集是（ ） A、x＞﹣2 B、x＜1 C、﹣2＜x＜1 D、x＜﹣2 考点：解一元一次不等式组；不等式的性质；解一元一次不等式。 专题：计算题。 分析：根据不等式的性质求出不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集即可．

解答：解：错误！未找到引用源。， 由①得：x＜1， 由②得：x＞﹣2，

∴不等式组的解集是﹣2＜x＜1． 故选C．

点评：本题主要考查对解一元一次不等式，解一元一次不等式组，不等式的性质等知识点的理解和掌握，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解此题的关键． 7、（2011?济南）如图，菱形ABCD的周长是16，∠A=60°，则对角线BD的长度为（ ）

A、2 B、2错误！未找到引用源。 C、4 D、4错误！未找到引用源。 考点：菱形的性质。

分析：由菱形ABCD的周长是16，即可求得AB=AD=4，又由∠A=60°，即可证得△ABD是等边三角形，则可求得对角线BD的长度． 解答：解：∵菱形ABCD的周长是16， ∴AB=AD=CD=BC=4， ∵∠A=60°，

∴△ABD是等边三角形， ∴AB=AD=BD=4．

∴对角线BD的长度为4． 故选C．

点评：此题考查了菱形的性质与等边三角形的判定与性质．此题难度不大，解题的关键是注

意数形结合思想的应用． 8、（2011?济南）化简：错误！未找到引用源。﹣错误！未找到引用源。的结果是（ ） A、m+n B、m﹣n C、n﹣m D、﹣m﹣n 考点：分式的加减法。

分析：本题需先把分母进行整理，再合并即分子分母进行约分．即可求出所要求的结果． 解答：解：错误！未找到引用源。﹣错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。 =m+n． 故选A． 点评：本题主要考查了分式的加减法运算，在解题时要注意运算顺序和结果的符号是本题的关键． 9、（2011?济南）某校为举办“庆祝建党90周年”的活动，从全校1400名学生中随机调查了280名学生，其中有80人希望举办文艺演出，据此估计该学校希望举办文艺演出的学生人数为（ ） A、1120 B、400 C、280 D、80 考点：用样本估计总体。 专题：计算题。 分析：先求出在随机调查的280名学生中希望举办文艺演出的学生所占的百分比，再用全校的人数乘以这个百分比数即可得到答案．

解答：解：由题意知从全校1400名学生中随机调查了280名学生，其中有80人希望举办文艺演出，

∴希望举办文艺演出的学生所占的百分比为：80÷280=错误！未找到引用源。， ∴该学校希望举办文艺演出的学生人数为：1400×错误！未找到引用源。=400人． 故选B．

点评：本题考查了用样本估计总体的知识，一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确． 10、（2011?济南）一次函数y=（k﹣2）x+3的图象如图所示，则k的取值范围是（ ）

A、k＞2 B、k＜2 C、k＞3 D、k＜3 考点：一次函数图象与系数的关系。 专题：探究型。

分析：先根据一次函数的图象得到关于k的不等式，求出k的取值范围即可． 解答：解：一次函数的图象过二、四象限可知，k﹣2＜0， 解得k＜2． 故选B．

点评：本题考查的是一次函数的性质，即一次函数y=kx+b（k≠0）中，当k＜0时，函数的图象过二、四象限． 11、（2011?济南）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，下列结论不一定正确的是（ ）

A、AC=BD

B、∠OBC=∠OCB

C、S△AOB=S△DOC

D、

∠BCD=∠BDC

考点：等腰梯形的性质。

分析：由四边形ABCD是等腰梯形，AD∥BC，根据等腰梯形的对角线相等，即可证得AC=BD，又由△ABC≌△DCB与△AOB≌△DOC，证得B与C正确，利用排除法即可求得答案．

解答：解：∵四边形ABCD是等腰梯形，AD∥BC， ∴AB=CD，AC=BD，故A正确； ∵∠ABC=∠DCB，BC=CB， ∴△ABC≌△DCB（SAS）， ∴∠OBC=∠OCB，故B正确； ∴∠ABO=∠DCO， ∵∠AOB=∠DOC，

∴△AOB≌△DOC（AAS）， ∴S△AOB=S△DOC，故C正确． 利用排除法，即可得D错误． 故选D． 点评：此题考查了等腰梯形的性质与全等三角形的判定与性质．解此题的关键是注意数形结合思想的应用与排除法的应用． 12、（2011?济南）如图，O为原点，点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（0，4），⊙D过A、B、O三点，点C为错误！未找到引用源。上一点（不与O、A两点重合），则cosC的值为（ ）

A、错误！未找到引用源。 B、错误！未找到引用源。 C、错误！未找到引用源。 D、错误！未找到引用源。

考点：圆周角定理；坐标与图形性质；勾股定理；锐角三角函数的定义。 专题：计算题。

分析：连接AB，利用圆周角定理得∠C=∠ABO，将问题转化到Rt△ABO中，利用锐角三角函数定义求解．

解答：解：如图，连接AB， 由圆周角定理，得∠C=∠ABO，

在Rt△ABO中，OA=3，OB=4，由勾股定理，得AB=5，

∴cosC=cos∠ABO=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。． 故选D．

点评：本题考查了圆周角定理，坐标与图形的性质，勾股定理及锐角三角函数的定义．关键是运用圆周角定理将所求角转化到直角三角形中解题． 13、（2011?济南）竖直向上发射的小球的高度h（m）关于运动时间t（s）的函数表达式为

h=at+bt，其图象如图所示，若小球在发射后第2秒与第6秒时的高度相等，则下列时刻中小球的高度最高的是（ ）

2

A、第3秒 B、第3.5秒 C、第4.2秒 D、第6.5秒 考点：二次函数的应用。 专题：数形结合。

2

分析：根据题中已知条件求出函数h=at+bt的对称轴t=4，四个选项中的时间越接近4小球就越高．

解答：解：由题意可知：h（2）=h（6）， 即4a+2b=36a+6b， 解得b=﹣8a，

2

函数h=at+bt的对称轴t=﹣错误！未找到引用源。=4， 故在t=4s时，小球的高度最高，

题中给的四个数据只有C第4.2秒最接近4秒， 故在第4.2秒时小球最高 故选C．

点评：本题主要考查了二次函数的实际应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键，属于中档题． 14、（2011?济南）观察下列各式：

2222

（1）1=1；（2）2+3+4=3；（3）3+4+5+6+7=5；（4）4+5+6+7+8+9+10=7… 请你根据观察得到的规律判断下列各式正确的是（ ）

22

A、1005+1006+1007+…+3016=2011 B、1005+1006+1007+…+3017=2011

22

C、1006+1007+1008+…+3016=2011 D、1007+1008+1009+…+3017=2011 考点：规律型：数字的变化类。 专题：应用题。

2

分析：根据已知条件找出数字规律a+（a+1）+（a+2）+…+（a+n）=（a+n﹣a+1），依次判断各个式子即可得出结果．

222

解答：解：根据（1）1=1；（2）2+3+4=3；（3）3+4+5+6+7=5；（4）4+5+6+7+8+9+10=7*7

2

可得出：a+（a+1）+（a+2）+…+（a+n）=（a+n﹣a+1）， 依次判断各选项，只有C符合要求， 故选C．

点评：本题主要考查了根据已知条件寻找数字规律，难度适中． 15、（2011?济南）如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC＞BC，分别以△ABC的边AB、BC、CA为一边向△ABC外作正方形ABDE、BCMN、CAFG，连接EF、GM、ND，设△AEF、△BND、△CGM的面积分别为S1、S2、S3，则下列结论正确的是（ ）

A、S1=S2=S3 B、S1=S2＜S3 C、S1=S3＜S2 考点：解直角三角形；三角形的面积。

D、S2=S3＜S1

分析：设直角三角形的三边分别为a、b、c，分别表示出三角形的面积比较即可． 解答：解：设三角形的三边长分别为a、b、c，

∵分别以△ABC的边AB、BC、CA为一边向△ABC外作正方形ABDE、BCMN、CAFG， ∴S1=S2=S3=错误！未找到引用源。． 故选A． 点评：本题考查了解直角三角形及三角形的面积的知识，解题的关键是了解三角形的三边与正方形的边长的关系．

二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 16、（2011?济南）﹣19的绝对值是 19 ． 考点：绝对值。 专题：计算题。

分析：直接根据绝对值的性质进行解答即可． 解答：解：∵﹣19＜0， ∴|﹣19|=19． 故答案为：19．

点评：本题考查的是绝对值的性质，用到的知识点为：负数的绝对值是它的相反数．

22

17、（2011?济南）因式分解：a﹣6a+9= （a﹣3）． 考点：因式分解-运用公式法。

2

分析：本题是一个二次三项式，且a和9分别是a和3的平方，6a是它们二者积的两倍，符合完全平方公式的结构特点，因此可用完全平方公式进行因式分解．

22

解答：解：a﹣6a+9=（a﹣3）．

点评：本题主要考查利用完全平方公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键．

2

18、（2011?济南）方程x﹣2x=0的解为 x1=0，x2=2 ． 考点：解一元二次方程-因式分解法；解一元一次方程。 专题：计算题。

分析：把方程的左边分解因式得x（x﹣2）=0，得到x=0或 x﹣2=0，求出方程的解即可．

2

解答：解：x﹣2x=0， x（x﹣2）=0， x=0或 x﹣2=0， x1=0 或x2=2． 点评：本题主要考查对解一元二次方程﹣因式分解法，解一元一次方程等知识点的理解和掌握，把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键． 19、（2011?济南）如图，直线l与直线a、b分别交与点A、B，a∥b，若∠1=70°，则∠2= 110 °．

考点：平行线的性质。

分析：首先由a∥b，∠1=70°，根据两直线平行，同位角相等，即可求得∠3的度数，又由邻补角的定义，即可求得∠2的度数．

解答：解：

∵a∥b，∠1=70°，

∴∠3=∠1=70°， ∵∠2+∠3=180°， ∴∠2=110°． 故答案为：110．

点评：此题考查了平行线的性质与邻补角的定义．注意两直线平行，同位角相等． 20、（2011?济南）如图，矩形ABCD的边AB与y轴平行，顶点A的坐标为（1，2），点B与点D在反比例函数y=错误！未找到引用源。（x＞0）的图象上，则点C的坐标为 （3，6） ．

考点：反比例函数图象上点的坐标特征。 专题：探究型。

分析：设B、D两点的坐标分别为（1，y）、（x，2），再根据点B与点D在反比例函数y=错误！未找到引用源。（x＞0）的图象上求出xy的值，进而可得出C的坐标． 解答：解：∵四边形ABCD是矩形，顶点A的坐标为（1，2）， ∴设B、D两点的坐标分别为（1，y）、（x，2），

∵点B与点D在反比例函数y=错误！未找到引用源。（x＞0）的图象上， ∴y=6，x=3，

∴点C的坐标为（3，6）． 故答案为：（3，6）．

点评：本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数中k=xy为定值是解答此题的关键． 21、（2011?济南）如图，△ABC为等边三角形，AB=6，动点O在△ABC的边上从点A出发沿着A→C→B→A的路线匀速运动一周，速度为1个长度单位每秒，以O为圆心、错误！未找到引用源。为半径的圆在运动过程中与△ABC的边第二次相切时是出发后第 4 秒．

考点：直线与圆的位置关系；等边三角形的性质。 专题：动点型。

分析：若以O为圆心、错误！未找到引用源。为半径的圆在运动过程中与△ABC的边第二次相切，即为当点O在AC上，且和BC边相切的情况．作OD⊥BC于D，则OD=错误！未找到引用源。，利用解直角三角形的知识，进一步求得OC=2，从而求得OA的长，进一步求得运动时间．

解答：解：根据题意，则作OD⊥BC于D，则OD=错误！未找到引用源。． 在直角三角形OCD中，∠C=60°，OD=错误！未找到引用源。， ∴OC=2，

∴OA=6﹣2=4，

∴以O为圆心、错误！未找到引用源。为半径的圆在运动过程中与△ABC的边第二次相切

时是出发后第4秒． 故答案为：4．

点评：此题考查了直线和圆相切时数量之间的关系，能够正确分析出以O为圆心、错误！未找到引用源。为半径的圆在运动过程中与△ABC的边第二次相切时的位置．

三、解答题（本大题共7小题，满分57分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

2

22、（2011?济南）（1）计算：（a+b）（a﹣b）+2b．

（2）解方程：错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。． 考点：解分式方程；整式的混合运算。 分析：（1）先用平方差公式求出：（a+b）（a﹣b），再合并即可； （2）观察可得最简公分母是x（x+3），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．

222

解答：解：（1）原式=a﹣b+2b， 22=a+b；

（2）方程的两边同乘x（x+3），得 2x=x+3， 解得x=3．

检验：当x=3时，x（x+3）=18≠0． ∴原方程的解为：x=3．

点评：本题考查了整式的混合运算以及分式方程的解法，注：（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根． 23、（2011?济南）（1）如图1，△ABC中，∠A=60°，∠B：∠C=1：5，求∠B的度数． （2）如图2，点M为正方形ABCD对角线BD上一点，分别连接AM、CM．求证：AM=CM．

考点：正方形的性质；三角形内角和定理；全等三角形的判定与性质。 专题：证明题。 分析：（1）由三角形的内角和定理以及已知条件可求得∠B；

（2）根据正方形的性质，得AB=CB，∠ABM=∠CBM，则△ABM≌△CBM，则AM=CM． 解答：解：（1）∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A=60°， ∴∠B+∠C=180°﹣60°=120°， ∵∠B：∠C=1：5， ∴∠B+5∠B=120°， ∴∠B=20°；

（2）∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=CB，∠ABM=∠CBM，

∵BM是公共边， ∴△ABM≌△CBM， ∴AM=CM．

点评：本题考查了全等三角形的判定和性质、正方形的性质以及三角形的内角和定理，是基础知识要熟练掌握． 24、（2011?济南）某小学在6月1日组织师生共110人到趵突泉公园游览，趵突泉公园规定：成人票价每位40元，学生票价每位20元．该学校购票共花费2400元，在这次游览活动中，教师和学生各有多少人？

考点：二元一次方程组的应用。

分析：用二元一次方程组解决问题的关键是找到2个合适的等量关系．①教师人数+学生人数=110人，②教师的总票钱+学生的总票钱2400元．根据题意列出方程组，解得答案． 解答：解：设在这次游览活动中，教师有x人，学生各有y人，由题意得： 错误！未找到引用源。，

解得：错误！未找到引用源。，

答：在这次游览活动中，教师有10人，学生各有100人．

点评：此题主要考查了二元一次方程组的应用，解题关键是弄清题意，合适的等量关系，列出方程组． 25、（2011?济南）飞飞和欣欣两位同学到某文具专卖店购买文具，恰好赶上“店庆购物送礼”活动，该文具店设置了A、B、C、D四种型号的钢笔作为赠品，购物者可随机抽取一支，抽到每种型号钢笔的可能性相同．

（1）飞飞购物后，获赠A型号钢笔的概率是多少？

（2）飞飞和欣欣购物后，两人获赠的钢笔型号相同的概率是多少？ 考点：列表法与树状图法。 专题：应用题。 分析：（1）由于文具店设置了A、B、C、D四种型号的钢笔作为赠品，购物者可随机抽取一支，抽到每种型号钢笔的可能性相同，由此即可求出获赠A型号钢笔的概率；

（2）首先利用树状图可以求出所有可能的情况和获赠的钢笔型号相同的情况，然后利用概率的定义即可解决问题． 解答：解：（1）依题意得

飞飞获获赠A型号钢笔的概率为错误！未找到引用源。；

（2）依题意列树状图如下：

从树状图可以知道所有可能的结果有16种，符合条件的有4种， P（钢笔型号相同）=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。． 点评：此题主要考查了利用树状图求概率，解题的关键是会根据题意列出树状图或表格求出所以可能的结果和符合要求的情况，然后利用概率的定义即可解决问题． 26、（2011?济南）（1）如图1，△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，AC=m，延长CB至点D，使BD=AB．

①求∠D的度数； ②求tan75°的值．

（2）如图2，点M的坐标为（2，0），直线MN与y轴的正半轴交于点N，∠OMN=75°．求直线MN的函数表达式．

考点：解直角三角形；待定系数法求一次函数解析式。 专题：综合题。 分析：（1）在直角三角形中利用角和边之间的关系求角的度数及边长即可； （2）分别求得点M和N的坐标，利用待定系数法求函数的解析式即可． 解答：解：（1）①∵BD=AB， ∴∠D=∠BAD，

∴∠ABC=D+∠BAD=2∠D=30°， ∴∠D=15°， ②∵∠C=90°， ∴∠CAD=90°﹣∠D=90°﹣15°=75°， ∵∠ABC=30°，AC=m，

∴BD=AB=2m，BC=错误！未找到引用源。m， ∴cd=cb+bd=（2+错误！未找到引用源。）m， ∴tan∠CAD=2+错误！未找到引用源。， ∴tan75°=2+错误！未找到引用源。；

（2）∵点M的坐标为（2，0），∠OMN=75°，∠MON=90°， ∴ON=OM?tan∠OMN=4+2错误！未找到引用源。， ∴点N的坐标为（0，4+2错误！未找到引用源。）， 设直线MN的函数表达式为y=kx+b， ∴错误！未找到引用源。， 解得：错误！未找到引用源。， ∴直线MN的函数表达式为y=（﹣2﹣错误！未找到引用源。）x+4+2错误！未找到引用源。． 点评：本题考查了解直角三角形及待定系数法求函数的解析式的知识，解题的关键是选择正确的边角关系解直角三角形． 27、（2011?济南）如图，矩形OABC中，点O为原点，点A的坐标为（0，8），点C的坐

2

标为（6，0）．抛物线y=﹣错误！未找到引用源。x+bx+c经过A、C两点，与AB边交于点D．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）点P为线段BC上一个动点（不与点C重合），点Q为线段AC上一个动点，AQ=CP，连接PQ，设CP=m，△CPQ的面积为S．

①求S关于m的函数表达式，并求出m为何值时，S取得最大值；

2

②当S最大时，在抛物线y=﹣错误！未找到引用源。x+bx+c的对称轴l上若存在点F，使△FDQ为直角三角形，请直接写出所有符合条件的F的坐标；若不存在，请说明理由．

考点：二次函数综合题。

专题：代数几何综合题；数形结合。

2

分析：（1）将A、C两点坐标代入抛物线y=﹣错误！未找到引用源。x+bx+c，即可求得抛物线的解析式；

（2）①先用m 表示出QE的长度，进而求出三角形的面积S关于m的函数，化简为顶点式，便可求出S的最大值；

②直接写出满足条件的F点的坐标即可，注意不要漏写．

2

解答：解：（1）将A、C两点坐标代入抛物线y=﹣错误！未找到引用源。x+bx+c，错误！未找到引用源。，

解得错误！未找到引用源。，

2

∴抛物线的解析式为y=﹣错误！未找到引用源。x+错误！未找到引用源。x+8；

（2）①∵OA=8，OC=6

∴AC=错误！未找到引用源。=10，

过点Q作QE⊥BC与E点，则sin∠ACB=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。，

∴错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。， ∴QE=错误！未找到引用源。（10﹣m），

∴S=错误！未找到引用源。?CP?QE=错误！未找到引用源。m×错误！未找到引用源。（10

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﹣m）=错误！未找到引用源。m+3m=错误！未找到引用源。（m﹣5）+错误！未找到引用源。，

∴当m=5时，S取最大值；

②在抛物线对称轴l上存在点F，使△FDQ为直角三角形， 满足条件的点F共有四个，坐标分别为 F1（错误！未找到引用源。，8），F2（错误！未找到引用源。，4），F3（错误！未找到引用源。，6+2错误！未找到引用源。），F4（错误！未找到引用源。，6﹣2错误！未找到引用源。）， 点评：本题是二次函数的综合题，其中涉及的到的知识点有抛物线的公式的求法抛物线的最值等知识点，是各地中考的热点和难点，，解题时注意数形结合数学思想的运用，同学们要加强训练，属于中档题． 28、（2011?济南）如图，点C为线段AB上任意一点（不与A、B重合），分别以AC、BC

为一腰在AB的同侧作等腰△ACD和等腰△BCE，CA=CD，CB=CE，∠ACD与∠BCE都是锐角且∠ACD=∠BCE，连接AE交CD于点M，连接BD交CE于点N，AE与BD交于点P，连接PC．

（1）求证：△ACE≌△DCB；

（2）请你判断△AMC与△DMP的形状有何关系并说明理由； （3）求证：∠APC=∠BPC．

考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质。 分析：（1）证明∠ACE=∠DCB，根据“SAS”证明全等；

（2）由（1）得∠CAM=∠PDM，又∠AMC=∠DMP，所以两个三角形相似；

（3）由（2）得对应边成比例，转证△AMD∽△CMP，得∠APC=∠ADC；同理，∠BPC=∠BEC．在两个等腰三角形中，顶角相等，则底角相等． 解答：（1）证明：∵∠ACD=∠BCE， ∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE， ∴∠ACE=∠DCB， 又∵CA=CD，CE=CB， ∴△ACE≌△DCB． （2）△AMC∽△DMP． 理由：∵△ACE≌△DCB， ∴∠CAE=∠CDB， 又∵∠AMC=∠DMP， ∴△AMC∽△DMP．

（3）∵△AMC∽△DMP， ∴MA：MD=MC：MP． 又∵∠DMA=∠PMC， ∴△AMD∽△CMP， ∴∠ADC=∠APC． 同理∠BEC=∠BPC． ∵CA=CD，CB=CE，

∴∠ADC=错误！未找到引用源。（180°﹣∠ACD）， ∠BEC=错误！未找到引用源。（180°﹣∠BCE）． ∵∠ACD=∠BCE， ∴∠ADC=∠BEC， ∴∠APC=∠BPC．

点评：此题考查相似（包括全等）三角形的判定和性质，综合性较强，第三问难度较大．

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