江苏省东海高级中学数学考前猜题三

江苏省东海高级中学数学考前猜题三

一、填空题

1、已知函数ln 1()()ln 1

x f x x e x -=>+，若()()1f m f n +=，则()f m n ?的最小值为5

7.

2、ABC ?的面积为1，,AB a AC b == ，P 为ABC ?内一点，且1536

BP b a =-

，则BCP ?的

面积为2

1.

3、当θ

取遍所有值时，直线cos sin 4)4

x y π

θθθ?+?=+所围成的图形面积为π16．

4、定义函数()[[]]f x x x =，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如：[1.5]1[ 1.3]2=-=-，，当

*

[0)()x n n N ∈∈，时，设函数()f x 的值域为A ，记集合A 中的元素个数为n a ，则式子90n a n

+的最

小值为 13 ．

5、在数列{}n a 中，如果存在正整数T ，使得m T m a a +=对于任意的正整数m 均成立，那么就称数列{}n a 为周期数列，其中

T

叫数列{}n a 的周期。已知数列

11{}||(2,)n n n n x x x x n n N +-=-≥∈满足，如果121,(,0)x x a a R a ==∈≠，当数列{}n x 的周期最

小时，该数列前2010项的和是1340.

6、在圆中有结论“如图，AB 是圆O 的直径，直线AC ，BD 是圆O 过A 、B 的切线，P 是圆O 上任意一点，CD 是过P 的切线，则有PO 2＝PC ·PD ．”类比到椭圆：“AB 是椭圆的长轴，O 是椭圆中的中心，F 1，F 2是椭圆的焦点，直线AC ，BD 是椭圆过A 、B 的切线，P 是椭圆上任意一点，CD 是过P 的切线，则有PF 1·PF 2＝PC ·PD ．

7、如图，A ，B ，C 是直线l 上三点，P 是直线l 外一点，已知AB ＝BC ＝a ，∠APB ＝90°，∠BPC

＝45°，记∠PBA ＝θ，则PA PC ? ＝24

5

a -.（用a 表示）

8、已知{}n a 是递减等比数列，5,2312=+=a a a ，则(

)*

+∈+???++N n a a a a a a n n 13221的取值

范围是32

[83

，）.

9、04222

2=-+++a ax y x 和04142

22=+--+b by y x 恰有三条公切线，若R b R a ∈∈,，

且0≠ab ，则2211b

a +的最小值为 1 . 10、函数y=f (x)是定义在R 上的增函数，函数(2010)y f x =-的图象关于点（2010，0）对称.若实

数x ，y 满足不等式22(6)(824)0f x x f y y -+-+<，则22

x y +的取值范围是46（，）

. 11、设直线3x ＋4y －5＝0与圆C 1: 42

2=+y x 交于A , B 两点, 若圆C 2的圆心在线段AB 上, 且圆C 2与圆C 1相切, 切点在圆C 1的劣弧⌒

AB 上, 则圆C 2的半径的最大值___1_____.

12、数列{}n a 满足222

11211,n n a a a a a +===+++ n 记S ，若2130

n n

t S S +-≤对任意*n N ∈恒成立，则正整数t 的最小值为 25 .

13、已知a = 110tan ，求 50tan 时，同学甲利用两角差的正切公式求得：a

a 31350tan +-=

；

同学乙利用二倍角公式及诱导公式得a

a 2150tan 2

-=

；根据上述信息可估算a 是介于32--和两

个连续整数之间.

14、已知(),()f x g x 都是定义在R 上的函数，且满足以下条件：

①()()(0,0);x

f x a

g x a a =?>≠②()0;g x ≠③()()()()f x g x f x g x ''?>?， 若

(1)(1)5(1)(1)2f f g g -+=-，则log 1a x >成立的x 的取值范围是1

(0,)2

． 15、点),(y x P 是圆1)1(2

2

=-+y x 上任意一点，若点P 的坐标满足不等式0≥++m y x ，则实数m 的取值范围是 ),12[∞+-.

16、线段C ：)20(2≤≤+=x x y 两端分别为M 、N ，且x NA ⊥轴于点A ．把线段OA 分成n 等份，以每一段为边作矩形，使与x 轴平行的边一个端点在C 上，另一端点在C 的下方（如右图），设

这n 个矩形的面积之和为n S ，则=n S 26n

-．

17、ABC ?的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且

3c o s c o s ,t a n ()

5

a B

b A

c A B -=-则的最大值是3

4. 18、如图，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1，2，3，4，5，6的横纵坐标

分别对应数列{}*

()n a n N ∈的前12项，如下表所示：

按如此规律下去，则200920102011a a a ++= 1005 ．

19、设关于x 的不等式组2230

|1|2x ax a x ?++-

解集为A ，Z 为整数集，且A Z 共有两个元素，则实

数a 的取值范围为7(,3]5

.

20、已知实数y x ,满足0

5030x y x y y -≤??+-≥??-≤?

, 若不等式

x

y

x x axy y ≥+-2

222恒成立，则实数a 的取值范

P

B A

C l θ 45°

围是]122,(--∞．

21、已知△ABC 三边,,a b c 的长都是整数，且a b c ≤≤，如果b m =（m N *

∈），则这样的三角形

共有(1)2

m m +个（用m 表示）．

二、解答题

1、已知平面直角坐标系xoy 中O 是坐标原点，)0,8(),32,6(B A ，圆C 是OAB ?的外接圆，过点（2，6）的直线l 被圆所截得的弦长为34. （1）求圆C 的方程及直线l 的方程；

（2）设圆N 的方程1)sin 7()cos 74(2

2

=-+--θθy x ，)(R ∈θ，过圆N 上任意一点P 作圆

C 的两条切线PF PE ,，切点为F E ,，求CE CF ?

的最大值.

解：(1)因为)0,8(),32,6(B A ，所以OAB ?为以OB 为斜边的直角三角形， 所以圆C ：16)4(2

2

=+-y x

①斜率不存在时，l ：2=x 被圆截得弦长为34，所以l ：2=x 适合

②斜率存在时，设l ：)2(6-=-x k y 即026=-+-k y kx

因为被圆截得弦长为34，所以圆心到直线距离为2,所以

212642

=+-+k

k k

34-=∴k 02634),2(3

4

6:=-+--=-∴y x x y l 即

综上，l ：2=x 或02634=-+y x （2）解：设2ECF a ∠=，则

2||||cos 216cos 232cos 16CE CF CE CF ααα===- ．

在Rt PCE △中，4

cos ||||

x PC PC α==，由圆的几何性质得 ||||1716PC MC -=-=≥，所以3

2

cos ≤α，

由此可得9

16

-≤? ，则CF CE ?的最大值为169-.

2、已知椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的左、右焦点分别为F 1、F 2，短轴两个端点为A 、B ，且四边

形F 1AF 2B 是边长为2的正方形。

（1）求椭圆的方程；

（2）若C 、D 分别是椭圆长的左、右端点，动点M 满足MD ⊥CD ，连接CM ，交椭圆于点P 。证

明：OM OP ?

为定值。

（3）在（2）的条件下，试问x 轴上是否存异于点C 的定点Q ，使得以MP 为直径的圆恒过直线DP 、MQ 的交点，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由。 解：（1）2

2

2

2

2,,,2a b c a b c b ===+∴=

∴椭圆方程为22

142

x y += ………………4分 （2）011(2,0),(2,0),(2,),(,),C D M y P x y -设

110(,),(2,)OP x y OM y ==

则

直线CM ：0001

(2),442

y y y x y x y =

+=+即，代入椭圆方程2224,x y += 得2222

00011(1)40822

y x y x y +++-= ………………6分

220001112220004(8)2(8)8(2),,888y y y x x y y y y ---∴=-∴=+++ ，200

2

2002(8)8(,)88

y y OP y y -∴=-++ ………8分 2220002220004(8)8432

4888

y y y OP OM y y y -+∴?=-+==+++ （定值） …………10分

（3）设存在(,0),Q m MQ DP ⊥满足条件则 ………………11分

2000220048(2,),(,)88y y

MQ m y DP y y =--=-++ ………………12分

则由2200

2

200480(2)0,88

y y MQ DP m y y ?=---=++ 得从而得m=0 ∴存在Q （0，0）满足条件 ………………14分

3、已知函数)(3ln )(R a ax x a x f ∈--=． （Ⅰ）当1a =时，求函数)(x f 的单调区间；

（Ⅱ）若函数)(x f y =的图像在点))2(,2(f 处的切线的倾斜角为?45，问：m 在什么范围取值时，

对于任意的[]2,1∈t ，函数??

?

?

??++=)('2)(23x f m x x x g 在区间)3,(t 上总存在极值？ （Ⅲ）当2=a 时，设函数32)2()(-+--=x

e

p x p x h ，若在区间[]e ,1上至少存在一个0x ，使得

)()(00x f x h >成立，试求实数p 的取值范围．

解：（Ι）由知：

)0()

1()('>-=x x x a x f 0,()011,a f x =∞当时函数的单调增区间是（，），单调减区间是（＋）；

（Ⅱ）由x

x f x x x f a a x f 2

2)(',32ln 2)(,2,12)('-=-+-=∴-=?=-=，

32322()'()(2)2,'()3(4)2,22m m g x x x f x x x x g x x m x ??

=++=++-=++-????

故

'()0(),3'(3)0.g t g x t g ?

在区间（）上总存在极值，解得37

9.3m -<<-

所以当[]37

,91,2,3m t --∈在（）内取值时，对于任意的函数

32()'(),32m g x x x f x t ??

=++????

在区间（）上总存在极值。

（Ⅲ）.32ln 2)(,2--=∴=x x x f a

22()()()(2)32ln 232ln p e p e

F x h x f x p x x x px x x x x +=-=--

--++=---令 ①当[][]20,1,0,2ln 0.1,p e

p x e px x e x x

≤∈-≤--<时由得所以，在上不存在0,x 使得

00()();h x f x >成立 ②当22

220'(),px x p e

p F x x

-++>=时， [][][]21,,220,0,'()01,,()1,x e e x px p F x e F x e ∈∴-≥+>> 在上恒成立故在上单调递增。

max ()() 4.p

F x F e pe e

∴==-

- 故只要40,p pe e -->，解得24.1e p e >-所以p 的取值范围是24,1e e ??

+∞ ?-??

.

4、对于函数12(),(),()f x f x h x ，如果存在实数,a b 使得12()()()h x a f x b f x =?+?，那么称()h x 为12(),()f x f x 的生成函数．

（Ⅰ）下面给出两组函数，()h x 是否分别为12(),()f x f x 的生成函数？并说明理由；

第一组：12()sin ,()cos ,()sin()3

f x x f x x h x x π

===+

；

第二组：1)(,1)(,)(22221+-=++=-=x x x h x x x f x x x f ； （Ⅱ）设1221

2

()l o g ,()

l o g ,2

,1f x x f

x x a b =

===，生成函数()h x ．若不等式23()

2()0h x h x t ++<在[2,4]x ∈上有解，求实数t 的取值范围；

（Ⅲ）设121

(),()(110)f x x f x x x

==≤≤，

取1,0a b =>，生成函数()h x 使()h x b ≥ 恒成立，求b 的取值范围．

解：（Ⅰ）① 设sin cos sin()3

a x

b x x π

+=+，

即1sin cos sin 2a x b x x x +=，

取1,2a b ==，所以()h x 是12(),()f x f x 的生成函数．……………………2分

② 设222()(1)1a x x b x x x x ++++=-+，即22

()()1a b x a b x b x x ++++=-+， 则??

?

??=-=+=+111b b a b a ，该方程组无解．所以()h x 不是12(),()f x f x 的生成函数．………4分 （Ⅱ）122122

()2()()2log log log h x f x f x x x x =+=+=…………………………5分

若不等式2

3()2()0h x h x t ++<在[2,4]x ∈上有解，

23()2()0h x h x t ++<，即22223()2()3log 2log t h x h x x x <--=--……7分

设2log s x =，则[1,2]s ∈，2

2

223log 2log 32y x x s s =--=--，……9分

max 5y =-，故，5t <-．………………………………………………………10分

（Ⅲ）由题意，得()(110)b

h x x x x

=+

≤≤ 1?

[1,10]，则)(x h 在],1[b 上递减，在]10,[b 上递增，

则min h h ==

110

b

?≤≤????，得14b ≤≤ …………12分

2?

1≤，则)(x h 在]10,1[上递增，则min (1)1h h b ==+，

所以1

1b b

?≤??

+≥??，得01b <≤．………………………………………………14分

3?

10≥，则)(x h 在]10,1[上递减，则min

(10)1010b h h ==+

，故10

1010b

b

?≥?

?+≥??

，无解 综上可知，0 4.b <≤………………………………………………………16分

5、在R 上定义运算?：bc b q c p q p 4))((3

1

+---=?(b 、R c ∈是常数)，已知

c x x f 2)(21-=，b x x f 2)(2-=，)()()(21x f x f x f ?=．

①如果函数)(x f 在1=x 处有极值3

4

-

，试确定b 、c 的值； ②求曲线)(x f y =上斜率为c 的切线与该曲线的公共点；

③记|)(|)(/

x f x g =（11≤≤-x ）的最大值为M ，若k M ≥对任意的b 、c 恒成立，试求k 的取值范围．（参考公式：2

3

2

3

)2)((43b x b x b bx x -+=+-）

解：①依题意bc cx bx x x f +++-=2

331)(，解??

???

=-=0

)1(34)1(/f f 得??

?-==11c b 或???=-=31c b 。若???-==11c b ，13

1

)(23--+-=x x x x f ，0)1(12)(22/≤--=-+-=x x x x f

)(x f 在R 上单调递减，在1=x 处无极值；若??

?=-=31c b ，3331)(2

3-+--=x x x x f ，)3)(1(32)(2/+--=+--=x x x x x f ，直接讨论知，)(x f 在1=x 处有极大值，所以???=-=3

1

c b 为

所求．

②解c t f =)(/

得0=t 或b t 2=，切点分别为) , 0(bc 、)3

43 , 2(3

b b

c b +

，相应的切线为

bc cx y +=或334b bc cx y ++=。解bc cx bx x bc cx +++-=+2331

得0=x 或b x 3=；解

bc cx bx x b bc cx +++-=++2333

1

34即043323=+-b bx x 得b x -=或b x 2=。综合可知，

0=b 时，斜率为c 的切线只有一条，与曲线的公共点只有)0 , 0(，0≠b 时，斜率为c 的切线有两

条，与曲线的公共点分别为) , 0(bc 、)4 , 3(bc b 和)334 , 2(3bc b b +、)3

4 , (3b b -．

③|)(|)(2

2

c b b x x g ++--=。若1||>b ，则)(/

x f 在]1 , 1[-是单调函数，

{}

{}|21| , |21||)1(| , |)1(|max //c b c b f f M +--++-=-=，因为)1(/f 与)1(/-f 之差的绝对

值4|4||)1()1(|/

/

>=--b f f ，所以2>M 。

若1||≤b ，)(/

x f 在]1 , 1[-∈=b x 取极值，则{

}

|)(| , |)1(| , |)1(|max /

//b f f f M -=，

2

//)1()1()( b f b f =±-。若

1<≤-b ，

)

()1()1(///b f f f ≤-≤，

{

}

2///

/)1(21|)()1(|21|)(| , |)1(|max -=-≥=b b f f b f f M 2

1

>；

若10≤≤b ，)()1()1(/

//b f f f ≤≤-，{

}

|)(| , |)1(|max /

/b f f M -=/

/1|(1)()|2f f b ≥

-- 211(1)22b =+≥。当0=b ，21=c 时，|2

1||)(|)(2/+-==x x f x g 在]1 , 1[-上的最大值21

=M 。

所以，k 的取值范围是]2

1 , (-∞． 6、已知函数)(1

)(2

x

x a a a a x f ---=

，其中0>a 且1≠a ． ⑴分别判断)(x f 在) , (∞+-∞上的单调性；

⑵比较1)1(-f 与2)2(-f 、2)2(-f 与3)3(-f 的大小，由此归纳出一个更一般的结论，并证明；

⑶比较1)1(f 与2)2(f 、2)2(f 与3

)

3(f 的大小，由此归纳出一个更一般的结论，并证明．

解：⑴a a a a a x f x

x ln )(1)(2/

-+-=，若10<

2

<-a a ，0ln x f ；若1>a ，则

01

2

>-a a

，0ln >a ，所以0)(/>x f ，因此，任意0>a 且1≠a ，都有0)(/>x f ，)(x f 在) , (∞+-∞上的单调递增．

⑵直接计算知01)1(=-f ，22)2(1

-+=--a a f ，23)3(22-+=--a a f ，根据基本不等

式021

>-+-a

a ，所以1)1(2)2(->-f f ，又因为

)1()(])()[()2()2(1212121122++-=--+=-+--+------a a a a a a a a a a a a 0)1()1(1

12>++-=-a a a a

，所以2)2(3)3(->-f f ． 假设0>?x ，x x f x x f ->+-+)()1()1(。记])([)]1()1([)(x x f x x f x g --+-+=

111)]()[(1

1112-++=------+---+a a a a a a a a a x x x x x x ，a a a a x g x x ln 1)(1/

+-=-+。与⑴类似地讨

论知，对0>?x 和0>?a 且1≠a 都有0)(/

>x g ，)(x g 在) , 0[∞+上的单调递增，0)0(=g ，所以0)0()(=>g x g ，即0>?x ，x x f x x f ->+-+)()1()1(．

⑶11)1(=f ，)(212)2(1

-+=a a f ，

313)3(22-++=a a f ，根据基本不等式1

)1(1)(212)2(1

f a a f =

>+=-，012)(]2)2([3)3(2)2(3)3(212>-=->--a a f f f f ，所以1

)

1(2)2(3)3(f f f >

>． 假设0>?x ，x x f x x f )(1)1(>

++。记x x f x g )()(=，0>x ，2

//)()()(x x f x xf x g -= 1)(ln )(22---+?--a a a a a a x x a x x x x ，设1)

(ln )()(2---+=--a a a a a a x x h x x x x ，则0)0(=h 且1ln )()(22/

--=-a a a a x x h x x ，类似⑴的讨论知01

ln )()(2

2/>--=-a a a a x x h x x ，从而0)0()(=>h x h ，0)(/>x g ，)(x g 在+R 上单调增加，所以0>?x ，

x

x f x x f )

(1)1(>

++． 7、定义：),()(,,),,0(,ln ),(a

x

x F x f R y x x xy y x F =∈+∞∈+=（其中0≠a ）。 （1）求)(x f 的单调区间；

（2）若2

1

)(-

N n ∈，在区间)](',1[n f 上总存在k 个正数

421,,,a a a ，使∑=≥k

i i a f 1

2010)('成立，试求k 的最小值。

解：（1）2

1()ln (0)f x x x x a

=+>，则2212()x a f x x a x ax +'=+=

①当0a >时，()0f x '>对(0,)x ∈+∞恒成立，()f x 在(0,)+∞上递增

②当0a <时，令()0f x '=

，则2

x =

， ………3分

(0,2x ∈时，()0f x '>，()f x

为增函数；()2

x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 为减函数.

综上，0a >时，()f x 增区间为(0,)+∞；0a <时，()f x

增区间为)

，减区间为

()2

+∞. ………………………………………5分

（2）由（1）知0a >时，()f x 在(0,)+∞递增，

且1x =时，1(1)0,f a =>则11

(1),()22

f f x >-∴<-不恒成立，故0a <.……7分

又()f x 的极大值即()f x

最大值21f a =+ 1()2f x <- 恒成立，只须[]max 1

()2f x <-

∴0<

，即01<< ∴20a -<< ………9分 （3）当1a =时，2

()ln f x x x =+，1()2f x x x

'=+

令()()g x f x '=，则21

()2g x x

'=- ………11分

当[1,)x ∈+∞时，()0g x '> ∴1

()2f x x x

'=+在[1,)+∞上是增函数

当*

n N ∈

时，1()2f n n n

'=+>∴()f x '在[1,()]f n '上是增函数 ……13分

当1n =时，(1)3f '=∴当[1,(1)],1,2,3,,i a f i k '∈= 时，19

()((1))(3)3

i f a f f f ''''≤==

则为使得k 最小，需19(),1,2,3,,3i f a i k '== ，

则1920103

k ≥，又*

k N ∈，所以min 318k =, 当1n >时，()(1)f n f ''>，∴当[1,()],1,2,3,,i a f n i k '∈= 时，

1()(())(2)i f a f f n f n n ''''≤=+则为使得k 最小，需1

()(2),1,2,3,,i f a f n i k n

''=+= ，

则1(2)2010f n k n '+?≥，又119(2)(3)3

f n f n ''+>=又*

k N ∈，所以min 318k <

当318k <时，对1n =时，不存在k 个正数，使得

1

()2010k

i

i f a ='≥∑,所以，min

318k

=…16分

8、设函数sin (),()cos sin x x

f x

g x x x x x +=

=-.

（1）求证：当(0,]x π∈时，()0g x <；（4分）

（2）存在(0,]x π∈，使得a x f <)(成立，求a 的取值范围；（6分）

（3）若()cos sin (1)g bx bx bx b x b ≤-≥-对(0,]x π∈恒成立，求b 的取值范围．（6分） 解（1）因为当(]π,0∈x 时，0sin cos sin cos )('≤-=--=x x x x x x x g ，

所以)(x g 在(]π,0上单调递减， …………3分 又0)0(=g ，所以当(]π,0∈x 时，0)(

(2) 因为x x x x x x f sin 1sin )(+

=+=，所以2

sin cos )('x x

x x x f -=， 由(1)知，当(]π,0∈x 时，0sin cos <-x x x ，所以0)('，从而1>a …………10分

（3）由x b bx bx bx g sin cos )(-≤)1(-≥b 得x b bx sin sin ≥)1(-≥b 对(]π,0∈x 恒成立， ①当1,0,1-=b 时，不等式显然成立 ………………………………………11分

②当1>b 时，因为(]πb bx ,0∈，所以取(]ππ

,00∈=

b

x ，则有00sin 0sin x b bx <=，从而时

不等式不恒成立 …………………………………………12分 ③当10<

x

x h sin )(=在(]π,0上单调递减，而π≤<

bx

bx

x x sin sin <

， ∴x b bx sin sin >成立 …………………………14分 ④当01<<-b 时，当(]π,0∈x 时，π≤<-

bx

bx bx x x sin )sin(sin =

--<，∴x b bx sin sin <不成立， 综上所述，当1-=b 或10≤≤b 时，有()cos sin (1)

g bx bx bx b x b ≤-≥-对(0,]x π∈ 恒成立．…………………………………………………………………………………………16分

9、对于各项均为整数的数列{}n a ，如果i a i +(i =1，2，3，…)都为完全平方数，则称数列{}n a 具有“P 性质”；若将数列{}n a 交换项的位置，得到一个新数列，这个新数列具有“P 性质”，则称数列

{}n a 具有“变换P 性质”．例如:数列1、2、3交换项的位置，得到数列3、2、1具有“P 性质” （1）设数列{}n a 的通项公式为1-=n a n ，且具有“变换P 性质”，若数列}{n a 的项数为m ，且

2≥m ，求m 的最小值；

（2）试判断数列1，2，3，4，5和数列1，2，3，…，11是否具有“变换P 性质”，具有此性质的数列请写出相应的数列{}n b ，不具有此性质的说明理由；

（3）设等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，且36324S a =-，请给出首项1a 的一个值，使数列{}n S 具有“P 性质” ,并证明你的结论；

（4）对于有限项数列A ：1，2，3，…，n ，某人已经验证当2

*

[12,](5,)n m m m N ∈≥∈时，数列A 具有“变换P 性质”，试证明：当2

2

[1,(2)]n m m ∈++时，数列A 也具有“变换P 性质”． 解：（1）当2m =时，数列{}n a 为0，1，交换位置只能得到数列1，0不具备“P 性质”；当3

m =

时，数列{}n a 为0，1，2，变换位置后得到数列0，2，1满足2

2i a i +=，所以数列{}n a 具有“变

换P 性质”，故m 的最小值为3；

（2）数列1，2，3，4，5具有“变换P 性质”，数列{}n b 为3，2，1，5，4.

数列1，2，3，，…，11不具有“变换P 性质”，因为11和4都只有与5的和才能构成完全平方数 ， 所以数列1，2，3，，…，11不具有“变换P 性质” （3）10a =,证明如下：

设等差数列{}n a 的公差为d ,则由36324S a =-得，113331524,2a d a d d +=+-∴=，

故221(1)

,2n i n n S na d n n S i i -=+=-∴+= ，所以当10a =时，数列{}n S 具有“P 性质”.

（4）设2, 121n m j j m =+≤≤+， 注意到22

(2)()44m m j m j +-+=+-，

令441h m j =+--， 由于121,5,4412212j m m h m j m ≤≤+≥=+--≥+≥所以，

又222222

44142(2)60,,[12,]m h m m j m m m h m h m -=--++≥-+=--><∈所以即.

因为当2

[12,](5)n m m ∈≥时，数列{}n a 具有“变换P 性质”.

所以1，2，…，441m j +--可以排列成123,,,,h a a a a ，使得(1,2,,)i a i i h += 都是平方数； 另外，2

44,441,,m j m j m j +-+-++ 可以按相反顺序，即排列为2

,,441,m j m j ++-+

44m j +-，使得2222

(44)()(2),(441)(1)(2)m j m j m m j m j m +-++=++-+++-=+, 22,()(44)(2)m j m j m +++-=+ ,

所以1，2，…，441m j +--，2

44,441,,m j m j m j +-+-++ 可以排列成123,,,,h a a a a ，

2,,441,m j m j ++-+ 44m j +-满足22

(1,2,,)i a i i i m j +==+ 都是平方数.

即当22

[1,(2)]n m m ∈++时，数列A 也具有“变换P 性质”． 10、已知{}n a 为等差数列，且0≠n a ，公差0d ≠.

（1）试证：212111a a d a a =-；0122

222

1231232C C C d a a a a a a -+=

；01233333312341234

6C C C C d a a a a a a a a -+-=；（3分） （2）根据（1）中的几个等式，试归纳出更一般的结论，并用数学归纳法证明.（7分）

解：（1）略………………………………………………………3分

（2）结论：n

n n n n n n n n a a a d n a C a C a C a C 2111

1

1321211101)!1()1(---+----=-+-+-………………5分 证：①当4,3,2=n 时，等式成立，

②假设当k n =时，k

k k k k k k k k a a a d k a C a C a C a C 2111

1

1321211101)!1()1(---+----=-+-+-成立， 那么当1+=k n 时，因为21111

-----+=k k i k i k

C C C ，所以

1

23221

10)1(++-+-+-k k

k k k k k a C a C a C a C 1

112211113112120111101)1()()1(+--+----+------++-+-+++-=k k k k k k k k k k k k k k k a C a C C a C C a C C a C --+-+-=--+---))1((111321211101k k k k k k k a C a C a C a C ))1((1

111421311201+--+----+-+-k k k k k k k a C a C a C a C

k k a a a d k 211)!1(--=k k a a a d k 321)!1(---)()!1(11211a a a a a d k k k k --=+- 121!+=k k k a a a a d k ， 所以，当1+=k n 时，结论也成立．

综合①②知，n

n n n n n n n n a a a d n a C a C a C a C 211111321

211101)!1()1(---+----=-+-+-对2≥n 都成立……10分 11、设n N ∈，且0n >，试分别用数学归纳法和二项式定理求1235112222n -+++++ 被31除

所得的余数.

解：当n N ∈，且0n >时，1235112222n -+++++ 被31除所得的余数是0。 （1）数学归纳法：

①1n =时，12341222231++++=，被31除所得余数为0。 ②设n k =时，1235112222k -+++++ ，被31除所得余数为0。 当1n k =+时，

1235(1)1

12222

k +-+++++ 123541

2

3

51

551

52

53

54

1222212222

(22

2

2

2

)

k k k k k k k +-++++=+++++=++++++++++

123515234122222(12222)k k -=++++++++++

12351512222231k k -=++++++?

可知上式被31除所得余数为0。

综合①②可得，当n N ∈，且0n >时，1235112222n -+++++ 被31除所得的余数是0。

（Ⅱ）二项式定理： 式子1

2

3

51

12222

n -+++++ 表示的意义是首项为1公比为2的等比数列，项数为5n 的和，故

512351

1212222

32112

n

n n --+++++==-- (311)1n =+-

011222210(31313131313131)1n n n k n k n n n

n n n n n n n C C C C C C C -----=++++-

01122221313131313131n n n k n k n n n n n n n n C C C C C C -----=+++

由于以上多项式每一项都有因数31，故12351

12222n -+++++ 能被31整除，

即1

2

3

51

12222

n -+++++ 被31除所得的余数是0。