2019高考数学二轮复习大题规范天天练第一周星期四函数与导数文

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星期四函数与导数文

2017年____月____日

函数与导数(命题意图：考查函数的极值、单调性、最值及不等式恒成

立等)

(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ax＋xln x的图象在点x＝e(e为

自然对数的底数)处的切线斜率为3.

(1)求实数a的值；

(2)若k∈Z，且k＜对任意x＞1恒成立，求k的最大值.

解 (1)因为f(x)＝ax＋xln x，

所以f′(x)＝a＋ln x＋1.

因为函数f(x)＝ax＋xln x的图象在点x＝e处的切线斜率为3，所以

f′(e)＝3，即a＋ln e＋1＝3，所以a＝1.

(2)由(1)知，f(x)＝x＋xln x，又k＜＝对任意x＞1恒成立，

令g(x)＝，则g′(x)＝，

令h(x)＝x－ln x－2(x＞1)，

则h′(x)＝1－＝＞0，

所以函数h(x)在(1，＋∞)上单调递增.

因为h(3)＝1－ln 3＜0，h(4)＝2－2ln 2＞0，

所以方程h(x)＝0在(1，＋∞)上存在唯一实根x0，且满足x0∈(3，

4).

当1＜x＜x0时，h(x)＜0，即g′(x)＜0；

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当x＞x0时，h(x)＞0，即g′(x)＞0， 所以函数g(x)＝在(1，x0)上单调递减，

在(x0，＋∞)上单调递增，所以[g(x)]min＝g(x0)＝＝＝x0，所以k＜[g(x)]min＝x0∈(3，4)，故整数k的最大值是3.

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/40s8.html