2017年黑龙江省鸡西市虎林高中高考数学模拟试卷(理科)(4月份)(解

2017年黑龙江省鸡西市虎林高中高考数学模拟试卷（理科）（4

月份）

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．设全集U=N*，集合A={1，2，3，5}，B={2，4，6}，则图中的阴影部分表示的集合为（ ）

A．{2} B．{4，6} C．{1，3，5} D．{2，4，6}

2．已知复数z=1﹣i（i是虚数单位），则﹣z2的共轭复数是（ ） A．1﹣3i 3．若

A． B． C．

B．1+3i C．﹣1+3i D．﹣1﹣3i

，则cos（π﹣2α）=（ ） D．

4．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为5，2，则输出的n等于（ ）

第1页（共30页）

A．2 B．3 C．4 D．5

5．已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn=1+2an（n≥2），且a1=2，则S20（ ）

A．219﹣1 B．221﹣2 C．219+1

D．221+2

6．已知圆C：x2+y2=4，点P为直线x+2y﹣9=0上一动点，过点P向圆C引两条切线PA、PB，A、B为切点，则直线AB经过定点（ ） A．

B．

C．（2，0） D．（9，0）

7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

A． B． C． D．

8．设函数

f（x1）＞g（x2）对任意A．

B．

，，若不论x2取何值，

总是恒成立，则a的取值范围为（ ）

C． D．

9．如图，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一条直线上，边B3C3上有10个不同的点P1，P2，…P10，记mi=

（i=1，2，…，10），则m1+m2+…+m10

的值为（ ）

A．180 B． C．45 D．

第2页（共30页）

10．已知函数f（x）是定义在R上的单调函数，且对任意的x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），若动点P（x，y）满足等式f（x2+2x+2）+f（y2+8y+3）=0，则x+y的最大值为（ ） A．2

﹣5 B．﹣5 C．2

+5 D．5

+

+…+

，

11．数列{an}满足a1=，an+1﹣1=an（an﹣1）（n∈N*），且Sn=则Sn的整数部分的所有可能值构成的集合是（ ） A．{0，1，2} B．{0，1，2，3} C．{1，2} D．{0，2} 12．已知函数f（x）=（2x2﹣x﹣1）ex，则方程的根的个数为（ ） A．3

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

B．2

C．5

D．4

（t∈R）

13．某校今年计划招聘女教师x人，男教师y人，若x、y满足学校今年计划招聘教师最多 人． 14．已知函数

= ．

，则该

的两个零点分别为m、n（m＜n），则

15．已知四面体ABCD的每个顶点都在球O的表面上，AB=AC=5，BC=8，AD⊥底面ABC，G为△ABC的重心，且直线DG与底面ABC所成角的正切值为，则球O的表面积为 ．

16．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＞b，a＞c．△ABC的外接圆半径为1，ABC的面积为 ．

三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an=2Sn+1（n∈N*）．

第3页（共30页）

，若边BC上一点D满足BD=2DC，且∠BAD=90°，则△

（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）若bn=（2n﹣1）?an，求数列{bn}的前n项和Tn．

18．如图，已知四棱锥S﹣ABCD中，SA⊥平面ABCD，∠ABC=∠BCD=90°，且SA=AB=BC=2CD，E是边SB的中点． （1）求证：CE∥平面SAD；

（2）求二面角D﹣EC﹣B的余弦值大小；

（3）求三棱锥S﹣ECD与四棱锥E﹣ABCD的体积比．

19．某公司准备将1000万元资金投入到市环保工程建设中，现有甲、乙两个建设项目供选择，若投资甲项目一年后可获得的利润为ξ1（万元）的概率分布列如表所示：

ξ1 P 110 m 120 0.4 170 n 且ξ1的期望E（ξ1）=120；若投资乙项目一年后可获得的利润ξ2（万元）与该项目建设材料的成本有关，在生产的过程中，公司将根据成本情况决定是否受第二和第三季度进行产品的价格调整，两次调整相互独立，且调整的概率分别为p（0＜p＜1）和1﹣p，乙项目产品价格一年内调整次数X（次）与ξ2的关系如表所示：

X（次） ξ2 （1）求m，n的值； （2）求ξ2的分布列；

（3）根据投资回报率的大小请你为公司决策：当p在什么范围时选择投资乙项目，并预测投资乙项目的最大投资回报率是多少？（投资回报率=年均利润/投资总额×100%）

第4页（共30页）

0 41.2 1 117.6 2 204.0 20．如图，曲线Г由曲线C1：

+

=1（a＞b＞0，y≤0）和曲线C2：

﹣

=1（a＞b＞0，y＞0）组成，其中点F1，F2为曲线C1所在圆锥曲线的焦点，点F3，F4为曲线C2所在圆锥曲线的焦点，

（1）若F2（2，0），F3（﹣6，0），求曲线Г的方程；

（2）如图，作直线l平行于曲线C2的渐近线，交曲线C1于点A、B，求证：弦AB的中点M必在曲线C2的另一条渐近线上；

（3）对于（Ⅰ）中的曲线Г，若直线l1过点F4交曲线C1于点C、D，求△CDF1面积的最大值．

21．已知函数f（x）=2x+ax2+bcosx在点（Ⅰ）求a，b的值，并讨论f（x）在

处的切线方程为

上的增减性；

．

．

（Ⅱ）若f（x1）=f（x2），且0＜x1＜x2＜π，求证：（参考公式：

[选修4-4：坐标系与参数方程]

22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为线C2的参数方程为

）

（φ为参数），曲

（a＞b＞0，φ为参数），在以O为极点，x轴的正

半轴为极轴的极坐标系中，射线l：θ=α与C1，C2各有一个交点，当α=0时，这两个交点间的距离为2，当α=

时，这两个交点重合．

（Ⅰ）分别说明C1，C2是什么曲线，并求a与b的值； （Ⅱ）设当α=

时，l与C1，C2的交点分别为A1，B1，当α=﹣

第5页（共30页）

时，l与C1，

C2的交点分别为A2，B2，求直线A1 A2、B1B2的极坐标方程．

[选修4-5：不等式选讲]

23．已知函数f（x）=|x+2|﹣|x﹣2|+m（m∈R）． （Ⅰ）若m=1，求不等式f（x）≥0的解集；

（Ⅱ）若方程f（x）=x有三个实根，求实数m的取值范围．

第6页（共30页）

2017年黑龙江省鸡西市虎林高中高考数学模拟试卷（理

科）（4月份）

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．设全集U=N*，集合A={1，2，3，5}，B={2，4，6}，则图中的阴影部分表示的集合为（ ）

A．{2} B．{4，6} C．{1，3，5} D．{2，4，6} 【考点】Venn图表达集合的关系及运算．

【分析】由韦恩图可知阴影部分表示的集合为（CUA）∩B，根据集合的运算求解即可．

【解答】解：由韦恩图可知阴影部分表示的集合为（CUA）∩B， ∴（CUA）∩B={4，6}． 故选B

2．已知复数z=1﹣i（i是虚数单位），则﹣z2的共轭复数是（ ） A．1﹣3i

B．1+3i C．﹣1+3i D．﹣1﹣3i

【考点】复数代数形式的乘除运算．

【分析】把复数z=1﹣i，代入﹣z2，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，则﹣z2的共轭复数可求． 【解答】解：由复数z=1﹣i， 得﹣z2=

=

第7页（共30页）

，

则﹣z2的共轭复数是：1﹣3i． 故选：A． 3．若

A． B． C．

，则cos（π﹣2α）=（ ） D．

【考点】三角函数的化简求值．

【分析】利用诱导公式和二面角公式化简即可． 【解答】解：由

，可得：sinα=

．

．

∵cos（π﹣2α）=﹣cos2α=﹣（1﹣2sin2α）=2sin2α﹣1=故选D

4．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为5，2，则输出的n等于（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【考点】程序框图．

【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变

量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．

第8页（共30页）

【解答】解：当n=1时，a=当n=2时，a=当n=3时，a=当n=4时，a=

，b=4，满足进行循环的条件，

，b=8满足进行循环的条件， ，b=16满足进行循环的条件， ，b=32不满足进行循环的条件，

故输出的n值为4， 故选C．

5．已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn=1+2an（n≥2），且a1=2，则S20（ ）

A．219﹣1 B．221﹣2 C．219+1 【考点】数列的求和．

D．221+2

【分析】利用递推关系与等比数列的通项公式求和公式即可得出．

an=Sn﹣Sn﹣1=1+2an﹣【解答】解：∵Sn=1+2an（n≥2），且a1=2，∴n≥2时，（1+2an

﹣1

），化为：an=2an﹣1，

∴数列{an}是等比数列，公比与首项都为2． ∴S20=故选：B．

6．已知圆C：x2+y2=4，点P为直线x+2y﹣9=0上一动点，过点P向圆C引两条切线PA、PB，A、B为切点，则直线AB经过定点（ ） A．

B．

C．（2，0） D．（9，0）

=221﹣2．

【考点】直线与圆的位置关系．

【分析】根据题意设P的坐标为P（9﹣2m，m），由切线的性质得点A、B在以OP为直径的圆C上，求出圆C的方程，将两个圆的方程相减求出公共弦AB所在的直线方程，再求出直线AB过的定点坐标．

【解答】解：因为P是直线x+2y﹣9=0的任一点，所以设P（9﹣2m，m）， 因为圆x2+y2=4的两条切线PA、PB，切点分别为A、B， 所以OA⊥PA，OB⊥PB，

第9页（共30页）

则点A、B在以OP为直径的圆上，即AB是圆O和圆C的公共弦， 则圆心C的坐标是（所以圆C的方程是（x﹣又x2+y2=4，②，

②﹣①得，（2m﹣9）x﹣my+4=0，即公共弦AB所在的直线方程是：（2m﹣9）x﹣my+4=0，

即m（2x﹣y）+（﹣9x+4）=0， 由

得x=，y=，

，），且半径的平方是r2=）2+（y﹣）2=

，①

，

所以直线AB恒过定点（，）， 故选A．

7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

A． B． C． D．

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．

【分析】由已知中的三视图，可得该几何体是一个以俯视图左下角的三角形为底面的三棱锥和一个以俯视图右上角的三角形为底面的三棱柱相加的组合体，代入棱锥和棱柱的体积公式，可得答案． 【解答】解：由已知中的三视图，可得：

该几何体是一个以俯视图左下角的三角形为底面的三棱锥和一个以俯视图右上角的三角形为底面的三棱柱相加的组合体，

第10页（共30页）

棱锥和棱柱的底面面积均为：S=故组合体的体积V=Sh+Sh=4故选：A 8．设函数

f（x1）＞g（x2）对任意A．

B．

，，

=，高均为h=3，

，若不论x2取何值，

总是恒成立，则a的取值范围为（ ）

C． D．

【考点】函数恒成立问题．

【分析】利用三角恒等变换化简得g（x）=2sin（x+

min＞g（x2）max=2，即当

）≤2，依题意可得f（x1）

≤x≤时，0＜ax2+2x﹣1＜恒成立，通过分类讨论，

即可求得a的取值范围． 【解答】解：∵函数

，

=

===2sin（x+）≤2，即g（x）max=2，

因为不论x2取何值，f（x1）＞g（x2）对任意所以f（x1）min＞g（x2）max， 即对任意即当

，

＞2恒成立，

总是恒成立，

≤x≤时，0＜ax2+2x﹣1＜恒成立，

﹣=（﹣）2﹣，

1°由ax2+2x﹣1＜得：ax2＜﹣2x，即a＜令h（x）=（﹣）2﹣，

第11页（共30页）

因为≤≤，

所以，当=时，[h（x）]min=﹣，故a＜﹣； 2°由0＜ax2+2x﹣1得：a＞令t（x）=因为≤≤

﹣，

﹣=（﹣1）2﹣1， ，

所以，当x=即=时，t（）=（﹣1）2﹣1=﹣； 当x=

，即=

时，t（

）=（

；

﹣1）2﹣1=﹣

，显然，﹣

＞﹣，

即[t（x）]max=﹣综合1°2°知，﹣故选：D．

，故a＞﹣＜a＜﹣，

9．如图，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一条直线上，边B3C3上有10个不同的点P1，P2，…P10，记mi=

（i=1，2，…，10），则m1+m2+…+m10

的值为（ ）

A．180 B． C．45 D．

【考点】平面向量数量积的运算． 【分析】由题意可得案．

【解答】解：由图可知，∠B2AC3=30°，又∠AC3B3=60°， ∴则

，即

．

，

，然后把mi=

转化为

求得答

第12页（共30页）

∴m1+m2+…+m10=18×10=180． 故选：A．

10．已知函数f（x）是定义在R上的单调函数，且对任意的x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），若动点P（x，y）满足等式f（x2+2x+2）+f（y2+8y+3）=0，则x+y的最大值为（ ） A．2

﹣5 B．﹣5 C．2

+5 D．5

【考点】抽象函数及其应用．

【分析】由条件可令x=y=0，求得f（0）=0，再由f（x）为单调函数且满足的条件，将f（x2+2x+2）+f（y2+8y+3）=0化为f（x2+y2+2x+8y+5）=0=f（0），可得x2+y2+2x+8y+5=0，配方后，再令x=﹣1+2

cosα，y=﹣4+2

sinα2π）（α∈（0，），

运用两角差的余弦公式和余弦函数的值域，即可得到所求最大值． 【解答】解：对任意的x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y）， 令x=0，y=0，都有f（0+0）=f（0）+f（0）?f（0）=0， 动点P（x，y）满足等式f（x2+2x+2）+f（y2+8y+3）=0， 即有f（x2+y2+2x+8y+5）=0=f（0）， 由函数f（x）是定义在R上的单调函数， 可得x2+y2+2x+8y+5=0， 化为（x+1）2+（y+4）2=12， 可令x=﹣1+2则x+y=2=2

cosα，y=﹣4+2

sinα（α∈（0，2π）），

（cosα+sinα）﹣5

）﹣5， ）=1即α=

时，x+y取得最大值2

﹣5，

cos（α﹣

当cos（α﹣故选：A．

11．数列{an}满足a1=，an+1﹣1=an（an﹣1）（n∈N*），且Sn=则Sn的整数部分的所有可能值构成的集合是（ ） A．{0，1，2} B．{0，1，2，3} C．{1，2} D．{0，2}

第13页（共30页）

++…+，

【考点】数列递推式；数列的求和．

【分析】数列{an}满足a1=，an+1﹣1=an（an﹣1）（n∈N*）．可得：an+1﹣an=（an﹣1）2＞0，可得：数列{an}单调递增．可得a2==+

＞1，…+

=（

=﹣

＜1．另一方面：

）+（

﹣

=

，a3=

﹣

﹣，a4=

，

，可得Sn=

）=3﹣

）+…+（

，对n=1，2，3，n≥4，分类讨论即可得出．

【解答】解：∵数列{an}满足a1=，an+1﹣1=an（an﹣1）（n∈N*）． 可得：an+1﹣an=（an﹣1）2＞0，∴an+1＞an，因此数列{an}单调递增． 则a2﹣1=×，可得a2=同理可得：a3=另一方面：∴Sn==（

+﹣

=…+

， ．，

=

＞1，

=

＜1，

，a4=

﹣

）+（﹣）+…+（﹣）=3﹣，

当n=1时，S1=当n=2时，S2=+当n=3时，S3=+

=，其整数部分为0； =1++

，其整数部分为1； =2+

，其整数部分为2；

当n≥4时，Sn=2+1﹣∈（2，3），其整数部分为2．

综上可得：Sn的整数部分的所有可能值构成的集合是{0，1，2}． 故选：A．

12．已知函数f（x）=（2x2﹣x﹣1）ex，则方程的根的个数为（ ） A．3

B．2

C．5

D．4

（t∈R）

【考点】根的存在性及根的个数判断．

第14页（共30页）

【分析】作出函数f（x）的大致图象，分析关于f（x）这一整体的二次方程根的情况，依据根的情况分类讨论．

【解答】解：∵f′（x）=（2x﹣1）（x+2）ex， 且f（﹣2）=

，f（）=﹣

，

f（x）的大致图象如图，

令t=f（x）， 设方程则m1m2=﹣若m1=

的两根为m1，m2，

=f（﹣2）f（），

，有三根；

无根，也有三根，

，m2=﹣

若0＜m1＜当m1＞

有三根，此时m2＜﹣

有1根，此时﹣

＜m2＜0有两根，也有三根，

故选：A．

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13．某校今年计划招聘女教师x人，男教师y人，若x、y满足学校今年计划招聘教师最多 10 人． 【考点】简单线性规划．

，则该

【分析】作出不等式组对应的平面区域，则目标函数为z=x+y，利用线性规划的知识进行求解即可． 【解答】解：设z=x+y，

作出不等式组对应的平面区域如图：

第15页（共30页）

由z=x+y得y=﹣x+z， 平移直线y=﹣x+z，

由图象可知当直线y=﹣x+z经过点A时， 直线y=﹣x+z的截距最大，

此时z最大．但此时z最大值取不到，

由图象当直线经过整点E（5，5）时，z=x+y取得最大值， 代入目标函数z=x+y得z=5+5=10． 即目标函数z=x+y的最大值为10． 故答案为：10．

14．已知函数

= ．

的两个零点分别为m、n（m＜n），则

【考点】定积分；函数零点的判定定理．

【分析】先求出m，n，再利用几何意义求出定积分． 【解答】解：∵函数∴m=﹣1，n=1， ∴故答案为

第16页（共30页）

的两个零点分别为m、n（m＜n），

=．

==．

15．已知四面体ABCD的每个顶点都在球O的表面上，AB=AC=5，BC=8，AD⊥底面ABC，G为△ABC的重心，且直线DG与底面ABC所成角的正切值为，则球O的表面积为 ．

【考点】球的体积和表面积．

【分析】求出△ABC外接圆的直径，利用勾股定理求出球O的半径，即可求出球O的表面积．

【解答】解：由题意，AG=2，AD=1， cos∠BAC=

=﹣

，∴sin∠BAC=

==，

，

∴△ABC外接圆的直径为2r=设球O的半径为R，∴R=∴球O的表面积为故答案为

．

，

16．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＞b，a＞c．△ABC的外接圆半径为1，ABC的面积为 ．

，若边BC上一点D满足BD=2DC，且∠BAD=90°，则△

【考点】正弦定理．

【分析】由已知及正弦定理可求sinA=弦定理可得b=

sin∠2=

sin∠1=

，进而可求A，∠CAD，BD，CD，由正=c，可求sinB=，c=1，即可利用三角

形面积公式计算得解．

【解答】解：∵△ABC的外接圆半径R为1，∴由正弦定理可得：sinA=

，

，

，

∵边BC上一点D满足BD=2DC，

第17页（共30页）

且∠BAD=90°，

∴A=120°，∠CAD=30°， BD=a=

，CD=a=

，

∴如图，由正弦定理可得：，可得：b=sin∠2=sin∠1= =c，

∴△BAC是等腰三角形，底角是30°， ∴sinB=，可得：c=1， ∴S△ABC=故答案为：

．

=

．

三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an=2Sn+1（n∈N*）． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）若bn=（2n﹣1）?an，求数列{bn}的前n项和Tn． 【考点】数列的求和；数列递推式．

【分析】（Ⅰ）当n=1时，a1=2S1+1=2a1+1，解得a1．当n≥2时，an=2Sn+1，an﹣

1=2Sn﹣1+1，两式相减得

an﹣an﹣1=2an，利用等比数列的通项公式即可得出．

，对n分类讨论：当n为偶数时，bn﹣1+bn=2，

（Ⅱ）由（Ⅰ）得

可得Tn；当n为奇数时，n+1为偶数，Tn=Tn+1﹣bn+1．

【解答】解：（Ⅰ）当n=1时，a1=2S1+1=2a1+1，解得a1=﹣1．

第18页（共30页）

当n≥2时，an=2Sn+1，an﹣1=2Sn﹣1+1，两式相减得an﹣an﹣1=2an，化简得an=﹣an

﹣1

，

所以数列{an}是首项为﹣1，公比为﹣1的等比数列， 可得

．

，

；

（Ⅱ）由（Ⅰ）得

当n为偶数时，bn﹣1+bn=2，

当n为奇数时，n+1为偶数，Tn=Tn+1﹣bn+1=（n+1）﹣（2n+1）=﹣n． 所以数列{bn}的前n项和

18．如图，已知四棱锥S﹣ABCD中，SA⊥平面ABCD，∠ABC=∠BCD=90°，且SA=AB=BC=2CD，E是边SB的中点． （1）求证：CE∥平面SAD；

（2）求二面角D﹣EC﹣B的余弦值大小；

（3）求三棱锥S﹣ECD与四棱锥E﹣ABCD的体积比．

．

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；二面角的平面角及求法．

【分析】（1）取SA中点F，连接EF，FD，证明EF∥AB，AB∥CD，推出EF∥CD，FD∥EC，然后证明CE∥面SAD．

（2）以AB，AM，AS所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，求出面BCE的一个法向量，面DEC的一个法向量，利用向量的数量积求解二面角D﹣EC﹣B平面角的余弦值．

（3）连接AC，BD．通过VE﹣ABC=2VE﹣BCD，结合VE﹣ABCD=VE﹣ACD+VE﹣ABC=VE﹣BCD+VE﹣

ABC=3VE﹣BCD，推出

VE﹣ABCD=3VS﹣ECD．得到结果．

第19页（共30页）

【解答】（1）证明：取SA中点F，连接EF，FD，

∵E是边SB的中点， ∴EF∥AB，且

，

又∵∠ABC=∠BCD=90°， ∴AB∥CD， 又∵AB=2CD，即∴EF∥CD，且EF=CD，

∴四边形EFDC为平行四边形， ∴FD∥EC，

又FD?面SAD，CE?面SAD， ∴CE∥面SAD．

（2）解：在底面内过点A作直线AM∥BC，则AB⊥AM，又SA⊥平面ABCD， 以AB，AM，AS所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图．

设AB=2，则A（0，0，0）、B（2，0，0）、C（2，2，0）、D（1，2，0），E（1，0，1）， 则

，

，

，

，

第20页（共30页）

设面BCE的一个法向量为令x=1，则z=1，∴同理可求面

DEC

．

，则即

的一个法向量为，

w，

由图可知，二面角D﹣EC﹣B是钝二面角， 所以其平面角的余弦值为（3）解：连接AC，BD． ∵AB∥CD，且AB=2CD， ∴S△ABC=2S△BCD，

．

∴VE﹣ABC=2VE﹣BCD，

又由S△ACD=S△BCD，得VE﹣ACD=VE﹣BCD，

∴VE﹣ABCD=VE﹣ACD+VE﹣ABC=VE﹣BCD+VE﹣ABC=3VE﹣BCD， ∵E是边SB中点，∴S△SCE=S△BCE， ∴VD﹣SCE=VD﹣BCE，

又VS﹣ECD=VD﹣SCE，VE﹣BCD=VD﹣BCE， ∴VE﹣ABCD=3VS﹣ECD．

即三棱锥S﹣ECD与四棱锥E﹣ABCD的体积比为1：3．

19．某公司准备将1000万元资金投入到市环保工程建设中，现有甲、乙两个建设项目供选择，若投资甲项目一年后可获得的利润为ξ1（万元）的概率分布列如表所示：

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ξ1 P 110 m 120 0.4 170 n 且ξ1的期望E（ξ1）=120；若投资乙项目一年后可获得的利润ξ2（万元）与该项目建设材料的成本有关，在生产的过程中，公司将根据成本情况决定是否受第二和第三季度进行产品的价格调整，两次调整相互独立，且调整的概率分别为p（0＜p＜1）和1﹣p，乙项目产品价格一年内调整次数X（次）与ξ2的关系如表所示：

X（次） ξ2 （1）求m，n的值； （2）求ξ2的分布列；

（3）根据投资回报率的大小请你为公司决策：当p在什么范围时选择投资乙项目，并预测投资乙项目的最大投资回报率是多少？（投资回报率=年均利润/投资总额×100%）

【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列． 【分析】（1）利用概率和为1，期望值列出方程组求解即可．

（2）ξ2的可能取值为41.2，117.6，204.0，求出概率，得到ξ2的分布列； （3）利用期望关系，通关二次函数求解最值即可． 【解答】解：（1）由题意得：得：m=0.5，n=0.1．

204.0，P（ξ2=41.2）=（1﹣p）[1﹣（1﹣p）]=p（2）ξ2的可能取值为41.2，117.6，（1﹣p）

P（ξ2=204.0）=p（1﹣p） 所以ξ2的分布列为

ξ2 P （3）由（2）可得：=﹣10p2+10p+117.6

第22页（共30页）

0 41.2 1 117.6 2 204.0 ，

41.2 p（1﹣p） 117.6 p2+（1﹣p）2 204.0 p（1﹣p）

根据投资回报率的计算办法，如果选择投资乙项目，只需E（ξ1）＜E（ξ2）， 即120＜﹣10p2+10p+117.6，得0.4＜p＜0.6． 因为所以当

，

时，E（ξ2）取到最大值为120.1，

所以预测投资回报率的最大值为12.01%．

20．如图，曲线Г由曲线C1：

+

=1（a＞b＞0，y≤0）和曲线C2：

﹣

=1（a＞b＞0，y＞0）组成，其中点F1，F2为曲线C1所在圆锥曲线的焦点，点F3，F4为曲线C2所在圆锥曲线的焦点，

（1）若F2（2，0），F3（﹣6，0），求曲线Г的方程；

（2）如图，作直线l平行于曲线C2的渐近线，交曲线C1于点A、B，求证：弦AB的中点M必在曲线C2的另一条渐近线上；

（3）对于（Ⅰ）中的曲线Г，若直线l1过点F4交曲线C1于点C、D，求△CDF1面积的最大值．

【考点】曲线与方程．

【分析】（1）由F2（2，0），F3（﹣6，0），可得

，解出即可；

（2）设点A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），设直线l：y=（x﹣m），与椭圆方程联立化为2x2﹣2mx+（m2﹣a2）=0，利用△＞0，根与系数的关系、中点坐标公式，证明即可． （3）由（1）知，曲线

=1（y≤0）F4（6，0）．设直线l1的方程为x=ny+6

第23页（共30页）

（n＞0）．与椭圆方程联立可得（5+4n2）y2+48ny+64=0，利用根与系数的关系、弦长公式、三角形的面积计算公式、基本不等式的性质即可得出． 【解答】（1）解：∵F2（2，0），F3（﹣6，0）， ∴

，

解得，

则曲线Γ的方程为=1（y≤0）和=1（y＞0）．

（2）证明：曲线C2的渐近线为y=±x， 设直线l：y=（x﹣m），代入C1：△=4m2﹣8（m2﹣a2）＞0， 解得﹣

a＜m＜

a．

a．

+

=1，化为2x2﹣2mx+（m2﹣a2）=0，

又由数形结合知a≤m＜

设点A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0）， 则x1+x2=m，x1x2=∴x0=，y0=﹣

，

，

∴y0=﹣x0，即点M在直线y=﹣x上． （3）由（1）知，曲线C1：

=1（y≤0），点F4（6，0）．

设直线l1的方程为x=ny+6（n＞0）． 联立化为（5+4n2）y2+48ny+64=0，

△=（48n）2﹣4×64×（5+4n2）＞0，化为n2＞1． 设C（x3，y3），D（x4，y4）， ∴y3+y4=﹣∴|y3﹣y4|=

，y3y4=

，

第24页（共30页）

．

△CDF1面积S=令t=∴S=值为

＞0，∴n2=t2+1， ≤．

，

，当且仅当t=，即n=

时等号成立，△CDF1面积的最大

21．已知函数f（x）=2x+ax2+bcosx在点（Ⅰ）求a，b的值，并讨论f（x）在

处的切线方程为

上的增减性；

．

．

（Ⅱ）若f（x1）=f（x2），且0＜x1＜x2＜π，求证：（参考公式：

【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．

【分析】（Ⅰ）求导数，利用函数f（x）=2x+ax2+bcosx在点切线方程为上的增减性；

）

处的

b的值，fx），建立方程，求a，利用导数的正负讨论（在

（Ⅱ）令，得，得

，证明sinx0＞0，故f'（x0）＜0，即可得出结论．

【解答】（Ⅰ）解：由题意知f'（x）=2+2ax﹣bsinx，∴解得

故当

，

时，f'（x）为减函数，且

． ，

∴f'（x）＞0，f（x）为增函数．

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（Ⅱ）证明：由f（x1）=f（x2），得所以

两边同除以x1﹣x2，得

， ，

，

所以，

令，得，

得．

因为所

，

以

，

因为，

又，易知，所以，

又x0∈（0，π），所以sinx0＞0，故f'（x0）＜0，得

第26页（共30页）

．

[选修4-4：坐标系与参数方程]

22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为线C2的参数方程为

（φ为参数），曲

（a＞b＞0，φ为参数），在以O为极点，x轴的正

半轴为极轴的极坐标系中，射线l：θ=α与C1，C2各有一个交点，当α=0时，这两个交点间的距离为2，当α=

时，这两个交点重合．

（Ⅰ）分别说明C1，C2是什么曲线，并求a与b的值； （Ⅱ）设当α=

时，l与C1，C2的交点分别为A1，B1，当α=﹣

时，l与C1，

C2的交点分别为A2，B2，求直线A1 A2、B1B2的极坐标方程． 【考点】简单曲线的极坐标方程．

【分析】（Ⅰ） 曲线C1的直角坐标方程为x2+y2=1，C1是以（0，0）为圆心，以1为半径的圆，曲线C2的直角坐标方程为

=1，C2是焦点在x轴上的椭圆．当

时，

α=0时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为（1，0），（a，0），当

射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为（0，1），（0，b），由此能求出a，b． （Ⅱ） C1，C2的普通方程分别为x2+y2=1和C1的交点A1的横坐标为

，当

时，射线l与，当

，与C2的交点B1的横坐标为

时，射线l与C1，C2的交点A2，分别与A1，B1关于x轴对称，由此能求出直线A1 A2 和B1B2的极坐标方程．

【解答】（本题满分10分）【选修4﹣4 坐标系统与参数方程】 解：（Ⅰ）∵曲线C1的参数方程为

（φ为参数），

∴曲线C1的直角坐标方程为x2+y2=1，∴C1是以（0，0）为圆心，以1为半径的圆，

∵曲线C2的参数方程为∴曲线C2的直角坐标方程为

（a＞b＞0，φ为参数），

=1，∴C2是焦点在x轴上的椭圆．

当α=0时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为（1，0），（a，0），

第27页（共30页）

∵这两点间的距离为2，∴a=3… 当

时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为（0，1），（0，b），

∵这两点重合，∴b=1…

（Ⅱ） C1，C2的普通方程分别为x2+y2=1和当

时，解方程组

，

，得A1（

，

…

），即射线l与C1的交点A1

的横坐标为

解方程组

，得B（1

，

），与C2的交点B1的横坐标为

当

时，射线l与C1，C2的交点A2，分别与A1，B1关于x轴对称

因此，直线A1 A2、B1B2垂直于极轴， 故直线A1 A2 和B1B2的极坐标方程分别为

[选修4-5：不等式选讲]

23．已知函数f（x）=|x+2|﹣|x﹣2|+m（m∈R）． （Ⅰ）若m=1，求不等式f（x）≥0的解集；

（Ⅱ）若方程f（x）=x有三个实根，求实数m的取值范围． 【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式． 【分析】（Ⅰ）分x≤﹣2，﹣2＜x＜2，x≥2三种情况求解；

（Ⅱ）由方程f（x）=x可变形为m=x+|x﹣2|﹣|x+2|．令

，

…

作出图象如图所示．根据图象求解．

【解答】解：（Ⅰ）∵m=1时，f（x）=|x+2|﹣|x﹣2|+1． ∴当x≤﹣2时，f（x）=﹣3，不可能非负； 当﹣2＜x＜2时，f（x）=2x+1，由f（x）≥0可解得当x≥2时，f（x）=5＞0恒成立．

第28页（共30页）

，于是；

所以不等式f（x）≥0的解集为．

（Ⅱ）由方程f（x）=x可变形为m=x+|x﹣2|﹣|x+2|．

令

作出图象如图所示．

于是由题意可得﹣2＜m＜2．

第29页（共30页）

2017年5月5日

第30页（共30页）

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