第十讲 二元一次方程组的应用

第十讲 二元一次方程组的应用

重点分析:

列方程组解决实际问题的方法和步骤与列一元一次方程解决实际问题的方法和步骤一致，一般有“审→找→设→列→解→验→答”七个环节.列方程组解应用题需要多找一些等量关系，列出两个或两个以上的方程． 难点分析：

在运用二元一次方程组解决实际问题时，理解问题、分析数量关系、找出题中隐含的等量关系是难点．

例1.我国古代数学名著《孙子算经》上有这样一道题：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几只？如果假设鸡有x只，兔有y只，请你列出关于x，y的二元一次方程组 ．

思路点拨：此题中涉及到的生活常识：一只鸡有一个头，2只脚；一只兔有一个头，四只脚.此题中的等量关系为：①鸡只数+兔只数=35；②2×鸡只数+4×兔只数=94． 思路点拨：根据鸡只数+兔只数=35，得方程x+y=35； 根据2×鸡只数+4×兔只数=94，得方程2x+4y=94． 即??x?y?35，

?2x?4y?94.方法归纳：本题考查生活常识在数学中的应用，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 易错误区：不要搞错鸡和兔的头、足数量关系．

例2.如图1，在3×3的方阵图中，填写了一些数和代数式（其中每 个代数式都表示一个数），使得每行的3个数、每列的3个数、斜对角的3个数之和均相等．

(1)求x，y的值；

(2)在图2中完成此方阵图．

思路点拨： (1)要求x，y的值，根据表格中的数据，即可找到只含有x，y的行或列，列出方程组即可；(2)根据(1)中求得的x，y的值和每行的3个数、每列的3个数、斜对角的3个数之和均相等的条件即可完成表格的填写．

(1)由题意得??3?4?x?x?y?2y-x，?x?-1，解得?

3-2?2y-x?3?4?x，y?2.??(2)如图.

方法归纳：本题的等量关系比较简单，直接根据题意即可得到方程．

易错误区：列方程时注意未知数是x，y，因此要能够列出关于x，y的方程组，即列出的方程不能含a，b，c．

例3.一个农机服务队有技术员工和辅助员工共15人，技术员工人数是辅助员工人数的2倍.服务队计划对员工发放奖金共计20000元，按“技术员工个人奖金”A元和“辅助员工个人奖金”B元两种标准发放，其中A≥B≥800，并且A，B都是100的整数倍． (1)求该农机服务队中技术员工和辅助员工的人数； (2)求本次奖金发放的具体方案．

思路点拨： (1)题中有两个等量关系：技术员工人数+辅助员工人数=15，技术员工人数=辅助员工人数×2.直接设未知数，列出二元一次方程组求解即可；(2)先由等量关系：技术员工人数×A+辅助员工人数×B=20000，可以得出A与B的一个关系式，又由A≥B≥800，可求出A与B的取值范围，再根据A，B都是100的整数倍，确定方案． 解题过程： (1)设该农机服务队有技术员工x人、辅助员工y人． 则??x?y?15，?x?10,解得?

?x?2y,?y?5.∴该农机服务队有技术员工10人、辅助员工5人. (2)

由10A+5B=20000，得2A+B=4000． ∵A≥B≥800，

∴800≤B≤A≤1600.

又∵A，B都是100的整数倍， ∴?，?A?1500，?A?1400，?A?1600 ? ?

，?B?1200，?B?1000，?B?800∴本次奖金发放的具体方案有3种：

方案一：技术员工每人1600元、辅助员工每人800元； 方案二：技术员工每人1500元、辅助员工每人1000元； 方案三：技术员工每人1400元、辅助员工每人1200元． 方法归纳：列方程组解应用题时，关键是从题目中找到等量关系.题(2)是一个二元不定方程，

需要先找到一个等量关系，用含有一个未知数的代数式去表示另外一个未知数，再转化成不等式求解集．

易错误区：题（2）是列一个二元不定方程求特殊解的题型，只需要列一个方程，不要被题(1)干扰．

例4.有三把扶梯，分别是五步梯、七步梯、九步梯，每攀沿一步阶梯上升的高度是一致的.每把扶梯的扶杆长（即梯长）、顶档宽、底档宽如图，并把横档与扶杆榫合处称作连接点（如点A）．

(1)通过计算，补充填写下表：

(2)一把扶梯的成本由材料费和加工费组成，假定加工费以每个接点1元计算，而材料费中扶杆的单价与横档的单价不相等（材料损耗及其他因素忽略不计）.现已知一把五步梯、七步梯的成本分别是26元、36元，试求出一把九步梯的成本．

思路点拨： (1)根据已知图示可以分别求出七步梯、九步梯的两扶杆总长、横档总长、连接点数.横档总长等于横档的平均长度与步数的积；(2)

设扶杆单价为x元/m，横档单价为y元/m.根据扶梯的成本可以列出方程组，解方程组即可解决问题．

解题过程： (1)七步梯、九步梯的两扶杆总长分别是5m、6m； 横档总长分别是：

1×(0.4+0.6)×7=3.5（m）； 21×(0.5+0.7)×9=5.4（m）；连接点数分别是14个、18个. 2(2)设扶杆单价为x元/m，横档单价为y元/m.

依题意得

∴一把九步梯的成本为6×3+5.4×2+1×18=46.8（元）.

方法归纳：解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解.利用二元一次方程组求解的应用题，一般情况下题中要给出两个等量关系，准确地找到等量关系并用方程组表示出来是解题的关键． 易错误区：本题横档总长的计算是个难点，容易算错，可先算出最短与最长横档的平均长度，再乘以步数即可得到结果． 例5.某通讯器材商?

（1）若商场用6万元同时购进两种不同型号的手机共40部，并恰好将钱用完，请你通过计

算分析进货方案；

（2）在（1）的条件下，求盈利最多的进货方案；

（3）若该商场同时购进三种手机，且购进甲、丙两种型号手机用了3.9万元，预计可获得5000元利润，问：这次经销商共有几种可能的方案？最低成本（进货额）为多少元？ 思路点拨：（1）商场用6万元同时购进两种不同型号的手机有三类不同的方案：①购进甲、乙两种；②购进乙、丙两种；③购进甲、丙两种.然后根据购进的两种手机的部数和=40、购进两种手机用的总费用=6万元这两个等量关系来列出方程组，解方程组即可；（2）根据（1）得出的方案，计算出各方案的盈利额，然后比较哪种盈利较多；（3）根据题意列出方程得出z=

65-3x1，y=11-x的关系式，讨论即可得出方案，再选择成本最低的方案. 25

解题过程： 设甲种型号手机x部，乙种型号手机y部，丙种型号手机z部.

?x?y?40，?x?30，（1）根据题意得：①?解得?

1800x?600y?60000，y?10.??②??x?z?40，?x?20，?y?z?40，?y?-20，解得?③?解得?，，?1800x?1200z?60000?z?20.?600y?1200z?60000?z?60.（不合题意，舍去）.

∴有两种购买方案：甲种型号手机30部，乙种型号手机10部； 甲种型号手机20部，丙种型号手机20部.

（2）方案一盈利：200×30+100×10=7000（元）； 方案二盈利：200×20+120×20=6400（元）.

∴购买甲种型号手机30部，乙种型号手机10部所获盈利最多. （3）由题意建立方程组为由①得z=∵11-

35-3x1，由②×10-①得y=11-x. 251x>0且x，y，z都是自然数，∴x可以是15，5. 5∴这次经销商共有2种可能的方案：

当x=15时，y=8，z=10，1800x+600y+1200z=1800×15+600×8+1200×10=43800（元）； 当x=5时，y=10，z=25，1800x+600y+1200z=1800×5+600×10+1200×25=45000（元）. ∴这次经销商共有2种可能的方案，最低成本（进货额）为43800元. 方法归纳：本题属于方案设计与应用题型，考查了对二元一次方程组的应用以及对分类讨论思想的运用.

易错误区：本题比较复杂，根据已知条件首先要分类讨论，然后在可能的情况下分别列出方程组，解方程组后根据解的情况就可以确定购买方案.

例有一片牧场，草每天都在匀速地生长（即草每天生长的量相等），如果放牧24头牛，则6天吃完牧草；如果放牧21头牛，则8天吃完牧草.设每头牛每天吃草的量是相等的，问： (1)如果放牧16头牛，几天可以吃完牧草？

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