2016届黄冈市4月高三调考理科数学答案

2016年黄冈市高三适应性考试

数学答案（理科）

一、BDDCA BCCCA CD

2513二、13． ? 14．2 15． 16．

225三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

?a2?a1?d?517．解：（1）设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则?

a?a?4d?111?5???a1?32 ? 1 ?an?3?(n?1)?2?n …………（3分）

d?2??数列{bn}的前n项和Sn?n2?2n?1=(n?1)2

当n=1时，b1?S1?4，

当n≥2时，bn?Sn?Sn?1?(n?1)2?n2?2n?1，对b1=4不成立，

n?1?4,所以，数列{bn}的通项公式为bn?? …………6分

2n?1,n≥2?（2）n=1时，T1?n≥2时，所以 Tn?11?， b1b220111?11????? ， bnbn?1(2n?1)(2n?3)2?2n?12n?3??1111111111111n?16n?1?(????L??)??(?)???20257792n?12n?320252n?32010n?1520(2n?3)n=1仍然适合上式， …………10分 综上，Tn?6n?1 ………… 12分

20(2n?3)18．解（Ⅰ）证明：Q四边形ABCD是菱形， ?BD?AC．

QAE?平面ABCD,BD?平面ABCD

?BD?AE．

QACIAE?A,

∴BD?平面ACFE． -------------------5分

（Ⅱ）解：以O为原点，OA，OB为x，y轴正向，z轴过O且平行于CF，建立空间直角坐

1

uuur标系，则B(0,3,0)，D(0,?3,0)，E(1,0,2)，F(?1,0,a)(a?0)，OF???1,0,a? ---6分 设平面EBD的法向量为n?(x,y,z)，

uuur???n?OB?0?3y?0r则有?uuu，即?令z?1，则n?(?2,0,1) -------------------8分

x?2z?0????n?OE?0

uuuruuur|OF?n||2?a|21由题意得sin45o?|cos?OF,n?|?uuu，解得a?3或?． ??r23|OF||n|a2?15由a?0，得a?3 -------------------10分

????????OF?(?1,0,3),BE?(1,?3,2),??????????1?65 cosOF,BE??4108即所求的异面直线所成的角余弦值为 19．解：（Ⅰ）如表： 喜欢动画片 不喜欢动画片 合计

2

5 ---------------------12分 4喜欢头上长“草”的造型 不喜欢头上长“草”的造型 合计 30 5 35

9 6 15 39 11 50 --------------------3分

50×(30×6－9×5) 2

K=

39×11×35×15

=

4050

= 4.046 > 3．841 1001

所以有95℅以上的把握认为被调查者喜欢头上长“草”的造型和自身喜欢动画片有关． -----------------6分 （Ⅱ）由频率分布直方图知抽到喜欢头上长“草”的频率为

群中抽取一名喜欢头上长“草”的概率为由题意知X~B?3,

3 1 2 27189441343 P 1000100010001000 -------------9分

7217363E(X)?np?3??, D(X)?np(1?p)?3???．-----------12分

10101010100710710，将频率视为概率，即从人

．

?7??，从而X的分布列为： ?10?0 X 2

20．解：（Ⅰ）由题意，以椭圆C的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆的方程为

(x?c)2?y2?a2，

∴圆心到直线x?y?1?0的距离d?c?1?a（*）------------------------------------1分 2∵椭圆C的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，

∴b?c,a?2c， 代入（*）式得b?c?1， ∴a?2b?2，

x2?y2?1. 故所求椭圆方程为……………………………………………………4分 2

（Ⅱ）由题意知直线l的斜率存在，设直线l方程为y?k(x?2)，设P?x0,y0?，

将直线方程代入椭圆方程得：(1?2k2)x2?8k2x?8k2?2?0，

1． 28k28k2?2,xx?设S(x1,y1),T(x2,y2)，则x1?x2?， ----------------------6分

1?2k2121?2k24k∴y1?y2?k(x1?x2?4)?? 21?2kuuruuuruuur由OS?OT?tOP，得tx0?x1?x2,ty0?y1?y2

∴??64k4?4(1?2k2)(8k2?2)?0，解得k2?uuruuuruuur当t?0时，直线l为x轴，则椭圆上任意一点P满足OS?OT?tOP，符合题意；

?8k2tx???01?2k2当t?0时，?

?4k?ty?0?1?2k2?18k21?4k∴x0??，y0??．------------------------------------------------------------9分 2t1?2k2t1?2k32k416k2将上式代入椭圆方程得：??1，

222222t1?2kt1?2k????1616k2整理得： t?=是k2的递增函数， 211?2k?2k21由k2?知，0?t2?4，所以t?(?2,0)U(0,2)，

2综上可得t?(?2,2)． ----------------------------------------------------------------12分 21．解：(Ⅰ) 由题意知：函数f(x)的定义域为(?1,??)，且

21(2ax?1)(1?x)?2(ax2?x)x(x?2a?3)，

f?(x)???1?x(1?x)3(1?x)3①当2a?3≤?1时，即a≤1时

若x?0，则f?(x)?0；若?1?x?0，则f?(x)?0

此时f(x)在区间(0,??)上单调递增,在区间 (?1,0)上单调递减. ②当?1?2a?3?0,即1?a?32时

若?1?x?2a?3或x?0，则f?(x)?0； 若2a?3?x?0，则f?(x)?0,

此时f(x)在区间(?1,2a?3)，(0,??)上单调递增,在区间(2a?3,0)上单调递减．

3③当2a-3=0时a?时，f?(x)≥0，故此时f(x)在区间(?1,??)上单调递增．

2

3

3?a≤2时 2若?1?x?0或x?2a?3，则f?(x)?0，若0?x?2a?3，则f?(x)?0,

所以，此时f(x)在区间(?1,0),(2a?3,??)上单调递增,在区间上(0,2a?3)单调递减．

-----------------------6分

?1?11（Ⅱ）显然g(x)?g??，设?(x)?lng?x??(x?)ln(1?x)?xlnx，则?(x)??()，因此?(x)xx?x?在(0,??)上的最大值等于其在(0,1]上的最大值． --------------------------7分 ④当2a?3?0时，即

111)ln(1?x)?(x?)??lnx?1， 2x1?xx111设h(x)?(1?2)ln(1?x)?(x?)??lnx?1，

xx1?x2x2?x22(1?x)[ln(1?x)?](1?x)2，

h?(x)?x3(1?x)2??(x)?(1?由(Ⅰ)知，当a?2时，f(x)在区间(0,1]单调递减，所以

f(x)?ln(1?x)?2x2?x(1?x)2?f(0)?0,h?(x)?0,

所以函数h(x)在区间(0,1]单调递减，于是h(x)≥h(1)?0， 从而函数?(x)在区间(0,1]单调递增，进而?(x)≤?(1)?2ln2， 因为?(x)?lng(x)

所以函数g(x)的最大值等于4． --------------------------------------------12分

请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号． 22．解析：（Ⅰ）连接OD，可得?ODA??OAD??DAC，

∴OD//AE ..............3分 又AE?DE，∴OD?DE，又OD为半径，∴DE是圆O的切线；..............5分

（Ⅱ）过D作AB?DH于点H，连接BC，则有?HOD??CAB，

OHAC2...............7分 ?cos?CAB??ODAB5

设OD?5x，则AB?10x,OH?2x，∴AH?7x ...............8分

由?AED??AHD可得AE?AH?7x，又由?AEF~ ? DOF，

AFAE7 可得...............10分 ??．DFDO5

cos?HOD?

23．解析：（Ⅰ）由??2sin?，???0,2??，可得?2?2?sin?， ...............1分 所以曲线C的普通方程为x2?y2?2y?0（或x2??y?1??1）， ...............3分

2 4

??x?3t?3,因为直线l的参数方程为?（t为参数，t?R），

??y??3t?2消去t得直线l的普通方程为3x?y?5?0； ...............5分 （Ⅱ）因为曲线Cx2?(y?1)2?1是以G(0,1)为圆心，1为半径的圆，

因为点D在曲线C上，所以可设点D?cos?,1?sin??????0,2???， ...............7分

3cos??sin??42????2?sin????， ...............8分

3??所以点D到直线l的距离为d?因为???0,2??，所以当??

?

时，dmin?1， ...............9分 6

?33?此时D点的坐标为?． ...............10分 ?2,2????

24．解析：（Ⅰ）因为f(x)?f(x?5)?x?3-x?2≤(x?3)?(x?2)?5， 当且仅当x≤?2时等号成立，

所以m?1≤5，解得?4≤m≤6； ...............5分

f?ab?（Ⅱ）证明：要证

|ab?3|b?b??f??，即证??3， |a|?a?|a|a只需证|ab?3|?|b?3a|， 即证(ab?3)2?(b?3a)2，

又(ab?3)2?(b?3a)2?a2b2?9a2?b2?9?(a2?1)(b2?9)，|a|?1, |b|?3， 所以(a2?1)(b2?9)?0， 所以(ab?3)2?(b?3a)2，

故原不等式成立． ...............10分

命题人：黄冈中学 张淑春 张卫兵

上海交大 汪辉松

审题人：黄冈中学 周永林 黄州区一中 杨安胜 黄冈教科院 丁明忠

5

1．【答案】B

1??【解析】由于A??x|?≤x≤3?，AIB??0,1,2?，所以AIB中有3个元素，故选B．

2??2．【答案】D

?a2?1?0【解析】因为复数z?(a?1)?(a?1)i为纯虚数,所以?，即a=1，所以

?a?1?022(1?i)2(1?i)a?i20161?i20161?1????1?i，故选D． =

1?i1?i(1?i)(1?i)21?i3．【答案】D

【解析】已知函数f(x)可导，则“f?(x0)?0”是“x0是函数f(x)极值点”的必要不充分条件，故选D． 4．【答案】C

72【解析】基本事件总数C9?C9?36

因为这9个数的和为45，而且取出的7个数之和为35，所以平均数为5的事件个数相当于从1与9；2与8；3与7；4与6这4组数中去掉一组数的个数，即共4个基本事件个数，所以取出七个数的平均数是5的概率为5．【答案】A

41=，故选C． 369uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur1uuuruuuruuur3uuur【解析】BD?AD?AB?AC?CD?AB?AC?AB?AB?AC?AB，故选A．

226．【答案】B

c2a2?b2?b??b??4?2?1?【解析】由题意知tan??tan,所以e?2?????,4?,所以

aa26a3?a??3?2?23?e???3,2??，故选B． ??7．【答案】C

??????【解析】f(x)?a?b?cos2x?sin2x?3cos??2x??cos2x?3sin2x?2sin?2x??,易

6???2?知只有C选项正确． 8．【答案】C

?x?y?1≥0?【解析】作出不等式组?x?y?4≤0对应的平面区域如图：

?y≥m? 6

由z=2x+y得y??2x?z，

平移直线y??2x?z，由图象可知：

当直线y??2x?z经过点A时，直线的截距最大，此时z最大，

?x?y?4?0?x?4?m由?，解得?，即A(4?m,m)，此时z?2(4?m)?m?8?m，

y?my?m??当直线y??2x?z经过点B时，直线的截距最小，此时z最小，

?x?y?1?0?x?m?1由?，解得?，即B(m?1,m)，此时z?2(m?1)?m?3m?2，

y?my?m?? 因为目标函数z=2x+y的最大值是最小值的差为2，所以8?m?3m?2?2，即m=2．故选C．9．【答案】C

【解析】由于程序中根据k的取值，产生的T值也不同

由题意知，在循环体中，当k?2n(n?N*)时，T=n；当k?4n+1(n?N)时，T=-n-1；当k?4n+3(n?N)时，T=n+1；

故可将程序中的k值从小到大，每四个分为一组，即(1,2,3,4)，(5,6,7,8) 而且每组的4个数中，偶数值乘以

12累加至S，但两个奇数对应的T值相互抵消，即

1S?(2?4?6?8)?10，故选C．

210．【答案】A

【解析】f??x??lnx?2ax?1，若函数f?x??x(lnx?ax)有极值，则函数f??x??lnx?2ax?1有零点，即方程lnx?2ax?1有解，从而函数y?lnx与y?2ax?1图象有公共点，下考虑直线y?2ax?1与曲线y?lnx相切的情况： 设切点P(x0,2ax0?1)，∴y?|x?x0?得a?11?1??2a，即x0?，∴P?,0?代入曲线y?lnx中，解x02a?2a?11，结合图象可知，当a?时，f?(x)?0有唯一零点，且恒有f?(0)≤0，此时f(x)227

1时，函数y?lnx与y?2ax?1图象有交公共点，且在公共点两侧f?(x)异2号，此时f(x)有极值点，故选A 无极值点；当a?11．【答案】C

【解析】由题意可知几何体的形状是放倒的圆柱，底面半径为1，高为2，左侧与一个底面半径为1，高为1的半圆锥组成的组合体．几何体的表面积为：111（11+2）?2??1?2+??12+??12+??1?2+?2?1=+1，故选C

222212．【答案】D 【解析】f(x)?1?t?1 2x?1①当t?1?0，即t??1时，f(x)?1，此时f(a),f(b),f(c)都为1，能构成一个正三角形的三边长，满足题意．

②当t?1?0，即t??1时，f(x)在R上单调递增， ∴?t?f(x)?1，由，f(x)为“可构造

1三角形函数”得?2t≥1??1?t≤?．

2③当t?1?0，即t??1时，f(x)在R上单调递减，∴1?f(x)??t，由f(x)为“可构造三角形函数”得2≥?t??2≤t??1．

1综上，?2≤t≤?，故选D．

2二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 113．【答案】?

2?xx【解析】由题意知f(?x)?f(x)?(9?1)??k9?xx(9??1)k对9于x?R恒成立，而(9?x?1)?9?kx?(9x?1)?9kx?9?2k?1?x?1，于是2k?1?0，得k??． 14．【答案】2

mnmnmnm?n(ax)m?Cn【解析】(1+ax)5(1?2x)4展开式的通项可以写成C5, 4(?2x)?C5C4a(?2)x1202011120202C4a(?2)2?C1所以x2的系数为C55C4a(?2)?C5C4a(?2)??16,即10a?40a?24??16,

解得a?2. 15. 【答案】?????25 两边同时乘以AB,???????516．【答案】

?2 1???AB?AO?AB23 22

【解析】∵M在抛物线y=2px（p＞0）上，M到抛物线焦点的距离为P.

?p?∴M点的坐标为?,p?；

?2? 8

x2y2设双曲线方程为2?2?1?a?0,b?0?，A(x1,y1),B(x2,y2)， ab则x1?x2?p,y1?y2?2p ?x12y12??1?p(x1?x2)2p(y1?y2)?a2b2??0， 由?2两式相减，并将上式代入得222abxy?2?2?1?b2?a2 2222kAB?y1?y2?b?c?a?e?1?3x1?x22a2 2a2229

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