广义系统的能观能控性

第三章 广义系统的能控性和能观性

能控性和能观性是从控制和观测角度表征系统结构的两个基本特性。自卡尔罗(R.E.Kalman)

在20世纪60时代初，引入这两个概念以来，已经证明了他们对于系统控制和系统估计问题的研究具有基本的重要性。在正常系统中，能控性问题是研究系统的内部状态能否由控制输入

完全影响的问题，而能观性问题是研究系统的输入和输出是否完全反映系统状态的问题。

本章将正常系统中的能控性和能观性概念推广到广义系统，较为系统地讨论广义系统的能控性和能观性的基本概念和基本属性，主要包括能达、能控和能观的定义、判据及规范型，系统的结构分解以及实现问题。如同在正常系统中一样，它们刻画了广义系统的结构性质，并因此构成了广义系统设计的理论基础。

3.1 能达性

在状态空间方法中，一个系统的状态向量完全刻画了系统的运动，因而简单地说，要掌握系统的运动规律，只要把握其所有状态就可以了。

一个状态能达性：对连续时间线性时变系统 x?A(t)x?B(t)u,t?J和指定初始时刻

t0?J，如果存在一个时刻,以t1?J,t1?t0及一个无约束的容许控制u(t),t?[t0,t1],使系统状态由x(t0)?0转移到x(t1)?xf，则称非零状态xf在时刻t0为能达,当然还有系统完全、

不完全、一致完全能达的相关定义。

在第二章中，给出了状态向量x(t)的表达式，由此可知，x(t)?Rn,属于某一线性空间。那么，x(t)所能取到的最大集合是什么？在正常系统中，这个集合是整个Rn空间，那么在广义系统中如何呢？由此产生了广义系统的能达集的概念。

考虑正则的广义系统

Ex(t)?Ax(t)?Bu(t) (3.1.1a)

y(t)?Cx(t) (3.1.1b)

其中，x(t)?Rn,u(t)?Rm和y(t)?Rl分别为状态、输入和输出向量；E,A?Rn?n,

B?Rn?m,C?Rl?n皆为定常矩阵；E为奇异矩阵，且假定degdet(sE?A)?r 下面利用广义系统(3.1.1)的第一种受限等价形式来分析广义系统的能达性。 不妨假设广义系统(3.1.1)具有如下特殊形式

?1(t)?A1x1(t)?B1u(t),y1(t)?C1x1(t) (3.1.2a) x

Nx)?2x(t)?2(t t (3.1.2b) C2x()y(t)?C1x1(t)?C2x2(t) (3.1.2c)

2Bu()t,2y(?t)2其中，x1(t)?Rr，x2(t)?Rn?r。

下面的讨论同样适用于式(3.1.1)的任意一般情形。首先给出能达集的概念。 定义3.1.1 对于R空间中的一点w，如果存在时间T?0，初始状态x1(0)?Rr,

?1u(t)?Chp，使x(T)??n?x1(T)???w，则称广义系统(3.1.1)在点w能达。所有这样的w x(T)?2?形成的集合称为能达集，并记为? (英文中reachable的第一个字母)。

这里，只给出了初始状态x1(0)，而没有x2(0)，原因是在时刻T(T?0)时，x2(0)对广义系统的状态没有影响。记

?NB2??ImB2,NB2,?,Nh?1B2 (3.1.3a)

??w??Rr??NB2??? ?1? w1?Rr,w2??NB2?? (3.1.3b)

??w2????

下面的结果给出了广义系统(3.1.1)的能达集。

定理3.1.1 广义系统(3.1.1)的能达集??Rr??NB2?。

证明 显然??Rr??NB2?。所以只需证明Rr??NB2???。对任一

?w1?rr?w??R??NB2?，w1?R,w2??NB2? ，假设 ?2?w2?B2z0?NB2z1??Nh?1B2zh?1

这里，z0,z1,?,zh?1?Rm。对任意时间T?0，取x1(0)?e?A1Tw1，并取u(t)为

t?T?0, ?u(t)???z?(t?T)z???1(t?T)h?1z,t?T

01h?1?(h?1)!??1则u(t)?Ch，u(i)(T)??zi，i?0,1,?,h?1，而且有 px1(T)?ex1(0)?ee所以?AT1AT?AT11w1?w1，x2(T)???NiB2u(i)(T)?w2

i?0T?w1??w1??x1(T)?r，由??????w?的任意性知R??NB2???。 ????2??w2??x2(T)?因此Rr??NB2???。

由定理3.1.1知，广义系统中的能达集?是线性空间Rn的一个子集，且当?NB2?是

Rr的真子集时，?也是Rn的真子集，而不是整个Rn空间，这与正常系统不同。同时可以看出，当E非奇异时，广义系统变为正常系统，?NB2??Rr，即??Rn，所以广义系统的能达集是正常系统的能达集的自然推广。

特别地，如果考虑由初始条件x1(0)?0确定的能达集?(0)，则有如下结果。 定理3.1.2 记?A1B1??ImB1,A1B1,?,A1r?1B1，则

???(0)??A1B1???NB2? (3.1.4)

进而，如果考虑由初始条件x1(0)?0确定的能达集?[x1(0)]，有如下推论。 推论3.1.1 记

??x??H[x1(0)]???1? x1?eA1tx1(0)?Rr,x2?0?Rn?r? (3.1.5)

??x2??则

?[x1(0)]??(0)?H[x1(0)] (3.1.6)

3.2 能控性

(1)能控性定义及判据 (2)R-能控性及判据

(3)脉冲能控性及判据(区别于正常系统的一个重要特征) (4)能控性的相关结论

在正常系统中，与能达性相关的概念是能控性。能控性刻画了系统输入对系统的状态(也就是对系统的运动)的支配程度，并且，由它(与能观性一起)引出的一些概念，如能稳和能检测等，构成了系统的极点配置、镇定问题、状态观测器、动态补偿器以及最优控制等一系列综合问题的基础。因此能控性在正常系统中扮演着重要角色。同样地，能控性在广义系统中也起着相似的作

用，并且由于广义系统的运动模式的多样性，出现了各种能控性的概念，这些概念中有些是正常系统中相关概念的自然推广，有些则是广义系统不同于正常系统的固有特性。本节将详细讨论广义系统的能控性问题。

3.2.1 能控性定义及判据

从物理直观的含义讲，如果广义系统的每一个状态变量的运动完全由输入来影响和控制，能由状态空间的任意的初始点达到任意位置，则称广义系统是(状态)能控的。下面给出其严格的定义。仍以第一种受限等价形式来分析广义系统的能控性，即假设广义系统(3.1.1)具有式(3.1.2)的特殊形式。

定义3.2.1 对于广义系统(3.1.1)，如果对任意的w?Rn，x(0)?Rn及时间??0，

?10?t??，存在容许输入u(t)?Ch，使x(?)??p?x1(?)?则称广义系统(3.1.1)是能控的，??w，x(?)?2?或称(E,A,B)是能控的。

在线性系统理论中，关于能达性和能控性，我们得到结论：对连续时间线性时不变系统，能控性和能达性等价；对离散时间线性时不变系统和线性时变系统，若系统矩阵为非奇异，则能控性和能达性等价；对连续时间线性时变系统，能控性和能达性一般为不等价。

在广义系统中，当广义系统(3.1.1)能控时，广义系统状态可充满整个Rn空间，即能达集??Rn。因此，如果广义系统的某一状态能控，那么它必能达。

先来看一下,线性系统能控性判据。考虑如下线性系统

?(t)?Ax(t)?Bu(t) xy(t)?Cx(t)

其中，x(t)?Rn为状态；u(t)?Rm为控制输入；A?Rn?n,B?Rn?m,C?Rp?n为定常矩阵。

对于上述系统，下面的命题等价： (1) (A,B)能控。

(2) rank[BAB?An?1B]?n。 (3) rank[sI?AB]?n，?s?C。 下面的定理给出了广义系统能控性的判据。

定理3.2.1 下述结论成立。

(1) 慢子系统(3.1.2a)能控的充要条件是

rank[sE?AB]?n，?s?C (3.2.1)

(2) 下面的几个命题等价：

(a) 快子系统(3.1.2b)是能控的。 (b) rank[B2(c) rank[NNB2?Nh?1B2]?n?r。

B2]?n?r。

(d) rank[EB]?n。 (3) 下面的几个命题等价：

(a) 广义系统(3.1.1)是能控的。 (b) 慢子系统和快子系统都是能控的。 (c) rank[B1A1B1?A1r?1B1]?r与rank[B2NB2?Nh?1B2]?n?r同时成立。

(d) rank?sE?AB??n,?s?C与rank[EB]?n同时成立。 证明 (1) 慢子系统(3.1.2a)显然是一个正常系统，其能控的充要条件是

rank?sI?A1又

B1??r，?s?R

sI?A10B1??sE-AB??rank ?rank ?rank[sI?A1B1] ?n?r ?0?sN?IB2??所以rank?sI?A1B1??r等价于式(3.2.1)成立。于是结论(1)成立。

(2) (a)?(b)。由快子系统的解

h?1i?0x2(t)???NiB2u(i)(t)?[B2?u(t)??u?(t)?h?1? NB2?NB2]?????(h?1)?(t)??u及能控性定义知，命题(a)与(b)等价。

(b)?(c)。将(N,B2)看成一个正常系统，则(b)成立等价于(N,B2)能控，进而又等价于

rank?sI?NB2??n?r，?s?C

因为N是幂零矩阵，则当s?0时(sI?N)非奇异，即上式恒成立。所以上式等价于

rank??N则命题(b)与(c)等价。

(c)?(d)。由于

B2??rank?NB2??n?r

?Irank?EB??rank?r?0所以命题(c)与(d)等价。

0NB1??r?rank?NB2??B2?

(3) (a)?(b)。假设命题(a)成立。由定义知，对任意??0,x1(0)?Rr及w1?Rr,

?w1??1，使w2?Rn?r，存在输入u(t)?Chx(?)?w?p?w?，即x1(?)?w1, x2(?)?w2。则命

?2?题(b)成立。

反之，若命题(b)成立，则由(2)得

?A1B1??Rr，?NB2??Rn?r

于是能达集

?[x1(0)]??(0)?H[x1(0)]??A1B1???NB2??H[x1(0)]?Rn

于是广义系统(3.1.1)是能控的，即命题(a)成立。

命题(b)和(c)以及(d)显然是等价的。

从这个定理我们看到，能控性用系统矩阵刻画了广义系统的结构特征。下面用一个例子来演示广义系统的能控性。

例3.2.1 考虑如下广义系统

?1??x1??1??100??x?001??x?2???x2???1?u ??????????3??000????x???x3????1??显然其慢子系统和快子系统分别为

?1?x1?u x?2??x2??1??01??x???x???1?u ?00??x????3??3???于是

?01??1?A1?1, B1?1, N??, B??2?1?, r?1

00????容易得

rank?sI?A1B1??1?r，rank?B2?11?NB2?????2?n?r

10??由定理3.2.1知该广义系统能控。

在第二章中曾指出，当分析广义系统的结构与性质时，经常对广义系统作受限等价变换，使其更便于研究。下面利用广义系统的第一种受限等价形式来说明：广义系统的受限等价变换不改变广义系的能控性。

假设存在非奇异矩阵P和Q，使广义系统(3.1.1)受限等价于广义系统(3.1.2)，且简记式(3.1.2)为

??Ax?Bu (3.2.2a) Ex y?Cx (3.2.2b)

其中，PEQ?E,PAQ?A,PB?B,CQ?C,Q?1x?x。

定理3.2.2 广义系统(3.1.1)和广义系统(3.2.2)具有相同的能控性。

（此定理的证明主要是从能控性的定义出发的）

证明 设广义系统(3.1.1)能控。对任意的w?Rn,x(0)?Rn，存在w?Rn及x(0)?Rn满足

w?Q?1w，x(0)?Q?1x(0)

因为广义系统(3.1.1)能控，所以对任意??0及Q?1x(0)，存在容许输入u(t),0?t??，使x(?)?w，因此

w?Q?1w?Q?1x(?)?x(?)

由w?Rn知，广义系统(3.2.2)能控。反之亦然。

3.2.2 R?能控性定义及判据

第一节介绍了能达集?，下面讨论定义在?上的能控性。

能控性定义:对于广义系统(3.1.1)，如果对任意的w?Rn，x(0)?Rn及时间??0，

?10?t??，存在容许输入u(t)?Ch，使x(?)??p?x1(?)?则称广义系统(3.1.1)是能控的，?w，??x2(?)?或称(E,A,B)是能控的。

?1定义3.2.2 对任一w??，x1(0)?Rr及时间??0，存在容许输入u(t)?Ch， p0?t??，使x(?)?w，则称广义系统(3.1.1) (或(E,A,B))是R?能控的。

简言之，若广义系统在?上能控，则称广义系统是R-能控的。

定理3.2.3 广义系统(3.1.1)R?能控等价于其慢子系统能控。 利用定理3.2.1中(3)的证明方法，容易证明这个结论。

3.2.3 脉冲能控性定义及判据

脉冲行为是广义系统区别于正常系统的一个重要特征，脉冲的出现往往导致系统不能正常运行或损坏，因此必须想办法消除脉冲。而脉冲能控是广义系统消除脉冲的重要条件。下面将讨论广义系统的脉冲能控性问题。

?1考虑广义系统(3.1.1)，由第二章运动分析理论知，当u(t)?Ch时，解x1(t)不含脉冲，p

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/401f.html