工程电磁场习题解答1

工程电磁场习题解答（1）

1. 真空中两个点电荷q和-pq (0

解：因为0

两点电荷在A 点产生的场强分别为：

q点：E1?

q?pq， -pq点：rE?r 24??0(d?x)24??0x2q?pq??0 224??0(d?x)4??0xd（只能取正值）。

令EA?E1?E2?0，有

解此方程，可得：x?p1?p2. 两同号的点电荷q1=q, q2=3q, 在真空中相距d，问在两点电荷的连线上，在哪一点上，它们各

自产生的电场强度大小、方向均相同。

解：因为q1

E?q4??0r2r

据题意有：

q4??0x2?3q 24??0(d?x)求解方程可得，x=1.37d.

电场强度E的环路定理与电位函数

3. 长直电缆的缆芯与金属外皮为同轴圆柱面。长度L远大于截面尺寸，若缆芯的外半径为R1，外皮的内半径为R2，其间绝缘介质的电容率为ε，试确定其中电场强度与电压的关系。

解 作半径为R的同轴圆柱面，R1

D??? ?E?2?R2??R??R2?R2dR?R2E?dR??ln两柱面间的电压：U12??R ?12??R1R2??R1???2??U122??U12U121,E???

lnR2R1lnR2R12??RRlnR2R14. 圆柱形电容器的柱面之间充满了体密度为ρ的均匀体积电荷，电容率为ε0,内、外柱面的半径分别为R1和R2，施加电压U12。求电容器内电场强度和电位函数的分布。

1

解 设其单位长度柱顶的电荷量为τ，取半径为R (R1

22?????R2?R1????R2?R1??E? ?lE?dS?2?RE??2?R???????R2??2R2??22R2?U12??RE?dR?ln?R?R?2Rln?? 1112??R14??R1??????2??U12??22R?R1?24??R1

R22?lnR1U12??22R2?R1?R4??R1?R?R2? ?R22?lnR1??将式(1-27)代入式(1-26)中，得：E(R)?????(R)?R?R2??E?dR?U12??22R2?R1R?4?ln2?R22?R2

RR4?ln2R1????电位梯度（电场强度）

5. 利用点电荷的电位公式，求解三点电荷q1(4,0,0), q2(0,3,0), q3(4,3,0)在坐标原点的电场强度。

解：空间点P(x，y，z)的电位函数为：??x,y,z??1?q1q2q3?????? 4??0?rrr23??1 一般可得：

??1?x?a??1?y?b??1?z?c????3,????3,????3 ?x?r??y?r??z?r?rrr??q3???q1??q2?1???? ????因此：E??grad???grad?grad?grad??????r?4??0??r1??r2??3?????即：E?14??0???q1?x?4?q2xq3?x?4????q1yq2?y?3?q3?y?4????q1zq2zq3z???3???ex??3??ey??3?3?3?ez ??3333rrrrrrr2r3?????1??r1?12323??????静电场的边界条件

6. 如图所示，由x=0，x=3的两平面所分隔开的区域Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ

中，分别填充相对电容率为εr1，εr2，εr3的三种介质，其中εr3=2εr2=4εr1。已知区域Ⅰ(x＜0)中均匀电场的场强为： ???????E1?Ex1ex?Ey1ey?Ez1ez?8ex?5ey?6ez?V/m?， ??求区域Ⅱ、Ⅲ中的场强E2,E3。

????????解 设E2?Ex2ex?Ey2ey?Ez2ez , E3?Ex3ex?Ey3ey?Ez3ez

第6题图

2

?Dx1?Dx2?Dx3

??0?r1Ex1??0?r2Ex2??0?r3Ex2??0?r1?8??02?r1Ex2??04?r1Ex2

又根据介质分界面上电场强度的切向分量连续，有：

Ex2?4,Ex3?2

于是得：Ey3?Ey2?Ey1?5,Ez3?Ez2?Ez1?6

????????E2?4ex?5ey?6ez?V/m?,E3?2ex?5ey?6ez?V/m?

电介质中的高斯通量定理

7. 一单芯电缆其芯线半径R1=0.5cm，外面金属包皮的内半径R2=2cm，在外加电压的作用下，芯线表面单位长度上的电荷量为τ= 5.56×10-7C/m。若芯线外面紧包一层相对电容率εr1=5的固体电介质，其外半径为R0=1.25cm；而固体介质之外充满相对电容率εr2=2.5的绝缘油。求电缆内电场强度?E的分布以及介质交界面上的极化电荷面密度。

解 根据问题的对称性，在距离芯线轴线为R的各点上电位移矢量 的大小相等，方向为径向。因此，选择与轴线垂直的上下底面S1、S2与半径为R的圆柱面S3共同组成高斯面S，设S1与S2之间距离为单位长度，则根据高斯定理：

???SD?dS??s1??s2??s3?0?0?D?1?2?R???1

第7题图 ??R1?R?R2?,E?D?? ?D?2?R?2??R2?103R1?R?R0,E1??(V/m)

2??r1?0RR???R?R1,E1?4?105(V/m);R?R0,E1?1.6?105(V/m)

4?103R0?R?R2,E2??(V/m)

2??r2?0RR??5R?R0,E2?3.2?105(V/m);R?R?2,E2?2?10(V/m)

?设n为交界面上自介质ε

r1的指向介质ε

??P?P的单位矢量，则r21n1?n为介质ε

r2

r1因极化而进入交界面

??的极化电荷面密度；?P2n??P2?n为介质ε

'因极化而留在交界面上的极化电荷面密度，交界面上

????极化电荷面密度为：??P1n?P2n?P1?n?P2?n

??'?P1n?P2n??D1??0E1???D2??0E2??1.42?10?6C/m2

3

??芯线表面R=R+1处的极化电荷面密度为：?'?P1?n??P1n???D1??0E1???1.42?10?5C/m2

真空中的高斯通量定理

8. 真空中有一球形体积分布的电荷，球的半径为R2，电荷体密度为常数ρ， 球内存在一个半径为R1的球形空腔，两球心距离为a，且a+R1

证 若将球形空腔填满体电荷ρ，则可得出半径为R2的球体内各点的场强

???r2?E2? r2为球心02至场点P的矢径。

3?0R1 O2 R2 O1 第8题图

要保证电荷分布的实际情况不变，则必须单独在半径为R1的球体内再填充体密度为-ρ的体积电荷，两种电荷分布的叠加可使该球体内不带电荷。 单独考虑填充了-ρ的R1球体内，显然有

????r1?E1? r1为球心o1至半径为R1的球体内场点P的矢径。

3?0???????r1?r2????r2?r1? ??因此，取球形空腔内任一点P，它的场强为：E?E1?E2?3?03?03?0????若记o2至o1的矢径为a，其大小为a，则有：r2?r1?a

???a因此球形空腔内任一点处的电场强度E?，其大小、方向均相同。

3?09. 真空中同心球面内均匀分布着体积电荷，电荷体密度为ρ，同心球面内外半径分别为R1和R2。试求球层内外的电场强度。

?解 电荷分布为球对称，E1?0 （R

? R1R2即球层以外，有

qrq4?33E3??E?，而 q?R?R??q3r2134??0R24??0R2??可以看出球层以外的电场分布，同全部电荷量q集中于球心的点电荷的情形一样。

微分形式的高斯定理

10. 若空气中电位函数??x,y,z??律分布？

解 场强的分布：

?cos?xcos?ycos?z，其中ρ,α,β,γ为已知，试问电荷按什么规?0 4

?????E??grad??(?sin?xcos?ycos?zex??cos?xsin?ycos?zey??cos?xcos?ysin?zez)

?0?再利用微分形式的高斯定理divD??，可得电荷分布规律：

??Ex?Ey?Ez?222? ???0?sxco?sycos?z ??x??y??z????????co?????微分形式的电场强度环路定理

????11. 求矢量场A?3y2?2xex?x2ey?2zez的旋度

???ex??解 由直角坐标系中的旋度公式：rotE??x23y?2x?ey??yx2?ez????2x?6y?ez ?z2z泊松方程与拉普拉斯方程

?a2??12. 证明在圆柱坐标系下，函数?1?A??r?r?cos?满足拉普拉氏方程

??证明 由圆柱坐标系中拉普拉斯算子?2的表达式，得：

1????1?1?2?1?2?1??1???r??r?r??r?r2??2?z22?1???a2??A?a2?1???a2?A?a2??????????A??r?r?cos???r2???A?r?r?sin???r?1?r2?cos??r2?1?r?cos??0r?r????????????????

根据运算结果，证明了?1满足拉普拉斯方程。

静电场的边值问题

13. 平行板电容器的极板间距离为d，所加电压U0为已知，一半空间有体电荷均匀分布，电荷密度

为ρ，介质的电荷容率均为ε0。忽略边缘效应，试求电场分布。

解 建立直角坐标系如图所示。由于不考虑边缘效应，电场分布仅与x坐标有关。根据电荷分布d2?1???情况要分作两个区域来考虑。在0

?dx22d2?2?0 在d/2

?2x?Bx?C,?2?Ax?D 分别解得?1??2?02再由给定边界条件确定上面解式中的各待定常数。

题设中给出两极板的电压为U0，因此可设 ?1x?0?0,?2x?d?U0

5

(若设?1x?0?K,?1x?d?K?U0，两者所解得电位函数相差一常数K,但电场强度值相同)。把边界条件代入解式即得?1x?0?C?0,?2x?d?Ad?D?U0。

在x?d2的两侧因电位函数满足不同微分方程，所以把它取作分界面。但从介质分界面考虑，它只是ε1=ε2=ε0的特例。

因此在x?d2处电位函数应满足介质分界面上的连接条件，有：

??1?x??2?x?1x?d2??2，?0x?d2??0x?d2

x?d2对于等二式需要注意到，虽然x?d2区域有体电荷ρ的分布，但x?d2上没有面电荷σ的分布。利用上述条件得：??2dd?dd?B?A?D,??B?A 8?0222?0U0?dU03?d?d2?,B??,D?联立求解得：A? d8?0d8?08?0电位函数：?1?x????2?U03?d??d?x,?0?x??x???? ?d??2?08?2?0???U0?d??d2?d??x??2?x????,?x?d?? ?d8??8?2?0?0??

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