随机过程习题

一．填空题（每空2分，共20分） 1．设随机变量X服从参数为?的泊松分布，则X的特征函数为e?(eit-1)。 2．设随机过程X(t)=Acos(? t+?),-?

3．强度为λ的泊松过程的点间间距是相互独立的随机变量，且服从均值为

?4．设?Wn,n?1?是与泊松过程?X(t),t?0?对应的一个等待时间序列，则Wn服从?分布。 5．袋中放有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球，取后放回，对每一个确定的t?t?,对应随机变量X(t)??3t??e,如果t时取得红球如果t时取得白球，则 这个随机过程的状态空间?12?2?t,t,?;e,e??。 ?33? 6．设马氏链的一步转移概率矩阵P=(pij)，n步转移矩阵P7．设?Xn,n?0(n)(n)nP?P，二者之间的关系为。 ?(p(n))ij?为马氏链，状态空间I，初始概率pi?P(X0=i)，绝对概率pj(n)?P?Xn?j?，

i?I(n)n步转移概率p(n)ij，三者之间的关系为pj(n)??pi?pij。

(n)8．在马氏链?Xn,n?0?中，记 fij?PXv?j,1?v?n-1,Xn?jX0?i,n?1,

??fij??fij(n)，若fii?1，称状态i为非常返的。

n=1?9．非周期的正常返状态称为遍历态。 10．状态i常返的充要条件为?pn=0?(n)ii??。 三．计算题（每题10分，共50分）

?cos?t H (H)=p(T)=1.抛掷一枚硬币的试验，定义一随机过程：X(t)=? ,t?(-?,+?)，设pt T ?

1

1，2求（1）?X(t),t?(??,??)?的样本函数集合；（2）一维分布函数F(x;0),F(x;1)。 解：（1）样本函数集合为?cos?t,t?,t?(-?,+?)； （2）当t=0时，P?X(0)=0??P?X(0)=1??1， 2?0?0x<0x<-1??11?? 故F(x;0)=?0?x<1；同理F(x;1)=??1?x<1

?2x?1?2x?1???1?12.设顾客以每分钟2人的速率到达，顾客流为泊松流，求在2分钟内到达的顾客不超过3人的概率。 (4)k-4e，则解：设?N(t),t?0?是顾客到达数的泊松过程，??2，故P?N(2)=k??k!P?N(2)?3??P?N(2)=0?+P?N(2)=1?+P?N(2)=2?+P?N(2)=3??e-4?4e-4?8e-4?32-471-4e?e33 3.设明天是否有雨仅与今天的天气有关，而与过去的天气无关。又设今天下雨而明天也下雨的概率为?，而今天无雨明天有雨的概率为?；规定有雨天气为状态0，无雨天气为状态1。设

??0.7,??0.4，求今天有雨且第四天仍有雨的概率。

解：由题设条件，得一步转移概率矩阵为P=??p00?p10p01??0.70.3????，于是p11?0.40.6???P(2)?0.610.39??0.57490.4251?(4)(2)(2)?PP=??，四步转移概率矩阵为P?PP??0.56680.4332?，从而得到今0.520.48????(4)天有雨且第四天仍有雨的概率为P00?0.5749。

4.一质点在1,2,3三个点上作随机游动，1和3是两个反射壁，当质点处于2时，下一时刻处于1,2,3是等可能的。写出一步转移概率矩阵，判断此链是否具有遍历性，若有，求出极限分布。

?010??13?111?(2)2?1?， P?P??9解：一步转移概率矩阵P=?1?333??3??010???

137913?1?9?,13??13由p(2)ij>0知，此链有遍历性；设极限分布?=??1,?2,?3?，??1???1?13?2??方程组??3?1????2?23???????1???23?1?31535152

?1?2?15.设有四个状态I=?0，1，2，3?的马氏链，它的一步转移概率矩阵P=?2?1?4??0（１）画出状态转移图；

（２）对状态进行分类；

（３）对状态空间I进行分解。 解：（1）图略；

1112200140400??0?? 1?4?1?? （2）p33?1,而p30，p31，p32均为零，所以状态3构成一个闭集，它是吸收态，记C1=?3?；0，1两个状态互通，且它们不能到达其它状态，它们构成一个闭集，记C2=?0，1?，且它们都是正常返非周期状态；由于状态2可达C1，C2中的状态，而C1，C2中的状态不可能达到它，故状态2为非常返态，记D=?2?。

（3）状态空间I可分解为：E=D?C1?C2

3、（10分）某商店顾客的到来服从强度为4人每小时的Poisson过程，已知商店9：00开门，试求：

（1）在开门半小时中，无顾客到来的概率；

（2）若已知开门半小时中无顾客到来，那么在未来半小时中，仍无顾客到来的概率。

二、（12分）设随机过程{X(t,?),???t???}只有两条样本函数

X(t,?1)?2cost，X(t,ω2)??2cost,???t??? 且P(?1)?0.8，P(?2)?0.2，分别求：

π（1）一维分布函数F(0;x)和F(;x)；

4?（2）二维分布函数F(0,;x,y)

4

3

四、（12分）设在[0, t)时段内乘客到达某售票处的数目为一强度是??2.5（人/分）的泊松过程，试求：

（1）在5分钟内有10位乘客到达售票处的概率；

（2）第10位乘客在5分钟内到达售票处的概率； （3）相邻两乘客到达售票处的平均时间间隔。 七、（16分）已知齐次马氏链{X(n),n?0,1,2,?}的状态空间为E?{1,2,3}，状态转移矩阵为

?1??31P???2??0?1314341??3?1? 4?1??4? （1）画出概率转移图；

(4) （2）求二步转移矩阵及转移概率p13； （3）此链是否为遍历的，试求其平稳分布。

1、（10分）有随机过程{?(t)，-?

?(t)=B sin(? t+?+?), 其中A，B，?，?为实常数，?均匀分布于[0，2?]，

试求R??(s,t)

4

1、（15分）设随机过程X(t)?R?t?C，t?(0,?)，C为常数，R服从[0,1]区间上的均匀分布。 （1） 求X(t)的一维概率密度和一维分布函数； （2） 求X(t)的均值函数、相关函数和协方差函数。 2、（15分）设?W(t),???t???是参数为?2的维纳过程，R~N(1,4)是正态分布随机变量；且对任意的???t??，W(t)与R均独立。令X(t)?W(t)?R，求随机过程?X(t),???t???的均值函数、相关函数和协方差函数。 3、（10分）设到达某商场的顾客人数是一个泊松过程，平均每小时有180人，即??180；且每个顾客的消费额是服从参数为s的指数分布。求一天内（8个小时）商场营业额的数学期望与方差。 4、（15分）设马尔可夫链的转移概率矩阵为： ?0.30.70???P??00.20.8? ?0.700.3???（1） 求两步转移概率矩阵P(2)及当初始分布为 P{X0?1}?1,P{X0?2}?P{X0?3}?0 时，经两步转移后处于状态2的概率。 （2） 求马尔可夫链的平稳分布。 5

5、（15分）设马尔可夫链的状态空间I?{1,2,3,4,5}，转移概率矩阵为： ?0.30.40.300???00??0.60.40P??01000? ??000.30.7??0?00010???求状态的分类、各常返闭集的平稳分布及各状态的平均返回时间。 6、（15分）设?N(t),t?0?是参数为?的泊松过程，计算E?N(t)N(t?s)?。 7、（15分）考虑一个从底层启动上升的电梯。以Ni记在i第层进入电梯的人数。假定Ni相互独立，且Ni是均值为?i的泊松变量。在第i层进入的各个人相互独立地以概率pij在第j层离开电梯，?pij?1。令Oj＝在第j层j?i离开电梯的人数。 （1） 计算E(Oj) （2） Oj的分布是什么 （3） Oj与Ok的联合分布是什么. 6

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