高一一数学校本课程《趣味数学》 - 图文

《趣味数学》目录

第1课时 集合中的趣题—“集合”与“模糊数学?????? 2 第2课时 函数中的趣题— 一份购房合同?????????? 3 第3课时 函数中的趣题—孙悟空大战牛魔王???????? 4 第4课时 三角函数的趣题—直角三角形?????????? 6 第5课时 三角函数的趣题—月平均气温问题???????? 7 第6课时 数列中的趣题—柯克曼女生问题????????? 9 第7课时 数列中的趣题—数列的应用??????????? 11 第8课时 不等式性质应用趣题―两边夹不等式的推广及趣例?? 13 第9课时 不等式性质应用趣题―均值不等式的应用?????? 15 第10课时 立体几何趣题—正多面体拼接构成新多面体面数问题? 16 第11课时 立体几何趣题—球在平面上的投影????????? 19 12课时 解析几何中的趣题―神奇的莫比乌斯圈???????? 21 13课时 解析几何中的趣题―最短途问题??????????? 22 14课时 排列组合中的趣题―抽屉原理???????????? 23 15课时 排列组合中的趣题―摸球游戏???????????? 24 第16课时 概率中的趣题?????????????????? 25 第17课时 简易逻辑中的趣题???????????????? 28 第18课时 解数学题的策略?????????????? 31

1

第1课时 集合中的趣题—— “集合”与“模糊数学”

教学要求：启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造

地解决问题；

教学过程：

一、 情境引入

1965年，美国数学家扎德发表论文《模糊集合》，开辟了一门新的数学分支——模糊数 学。

二、 实例尝试，探求新知

模糊数学是经典集合概念的推广。在经典集合论当中，每一个集合都必须由确定的元素构成，元素对于集合的隶属关系是明确的，这一性质可以用特征函数：

?A?x???1,(x?A)0,(x?A)来描述。扎德将特征函数

?A(x)改成所谓的“隶属函数”

?A(x):0??A(x)?1,，这里A称为“模糊函数”，?A?x?称为x对A的“隶属度”。

?A?x?=1经典集合论要求隶属度只能取0，1二值，模糊集合论则突破了这一限制，

时表示百分之百隶属于A；?A?x?=0时表示不属于A还可以有百分之二十隶属于A，百分之八十不隶属于A??等等，这些模糊集合为对由于外延模糊而导致的事物是非

判断上的上的不确性提供了数学描述。由于集合论是现代数学的重基石,因此,模糊数学的概念对数学产生了广泛的影晌，人们将模糊集合引进数学的各个分支，从而出现了模糊拓扑、模糊群论、模糊测度与积分、模糊图论等等，它们一起形成通常所称的模糊数学， 模糊数学是20世纪数学发展中的新新事物，它在理论上还不够成熟，方法上也未臻统一，它将随着计算机科学的发展而进一步发展。

例1、学校先举办了一次田径运动会，某班有8名同学参加，又举办了一次球类运动会，这个班有12名同学参加，那么这两次运动会这个班共有多少名同学参赛？

⑴如果有5名同学两次运动会都参加了，问这两次运动会这个班共有多少名同学参赛？

⑵如果每一位同学都只参加一次运动会, 问这两次运动会这个班共有多少名同学参赛？

解析：可能有的同学两次运动会都参加了，因此，不能简单地用加法解决这个问题。

（1） 因为这5名同学在统计人数时，计算了两次，所以要减去．8 + 12 – 5 = 15． （2） 8 + 12 = 20.这两次运动会这个班共有20名同学参赛. 三、 本课小结

通过“模糊数学”了解到数学的发展是靠坚忍不拔的意志，实事求是的科学学习

2

态度和勇于创新的精神而进步的。 四、 作业

下列各组对象能否形成集合？（1）高一年级全体男生；（2）高一年级全体高个子男生；（3）所有数学难题；（4）不等式x?2?0的解；

第2课时 函数中的趣题——

一份购房合同

教学要求：能利用一次函数及其图象解决简单的实际问题，发展学生数学应用能力. 教学过程：

一、 情境引入

最早把\函数\（function）这个词用作数学术语的数学家是莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz，1646-1716，德国数学家），但其含义和现在不同，他把函数看成是\像曲线上点的横坐标、纵坐标、切线长度、垂线长度等所有与曲线上的点有关的量\年，瑞士数学家约翰。贝努利（John Bernoulli，1667-1748，欧拉的数学老师）将函数概念公式化，给出了函数的一个定义，同时第一次使用了\变量\这个词。他写到：\变量的函数就是变量和变量以任何方式组成的量。\他的学生，瑞士数学家欧拉（Leonard Euler，1707-1783，被称为历史上最\多产\的数学家）将约翰。贝努利的思想进一步解析化，他在《无限小分析引论》中将函数定义为：\变量的函数是一个由该变量与一些常数以任何方式组成的解析表达式\，欧拉的函数定义在18世纪后期占据了统治地位。 二、 实例尝试，探求新知

例1、陈老师急匆匆的找我看一份合同，是一份下午要签字的购房合同。内容是陈老师购买安居工程集资房72m2,单价为每平方米1000元，一次性国家财政补贴28800元，学校补贴14400元，余款由个人负担。房地产开发公司对教师实行分期付款，每期为一年，等额付款，分付10次，10年后付清，年利率为7.5%, 房地产开发公司要求陈老师每年付款4200元，但陈老师不知这个数是怎样的到的。同学们你们能帮陈老师算一算么？

解析：陈老师说自己到银行咨询，对方说算法是假设每一年付款为a元,那么10年后第一年付款的本利和为1.0759a元，同样的方法算得第二年付款的本利和为1.0758a元、第三年为1.0757a元，?，第十年为a元，然后把这10个本利和加起来等于余额部分按年利率为7.5%计算10年的本利，即1.0759a+1.0758a+1.0757a+?+a

10

=(72×1000-28800-14400)×1.075,解得的a的值即为每年应付的款额。他不能理解的是自己若按时付款，为何每期的付款还要计算利息？我说银行的算法是正确的。但不妨用这种方法来解释：假设你没有履行合同，即没有按年付每期的款额，且10年中一次都不付款，那么第一年应付的款额a元到第10年付款时，你不仅要付本金a元，还要付a元所产生的利息，共为1.0759a元，同样，第二年应付的款额a元到第10年付款时应付金额为1.0758a元，第三年为1.0757a元，?，第十年为a元，而这十年中你一次都没付款，与你应付余款72×1000-28800-14400在10年后一次付清时的本息是相等的。仍得到1.0759a+1.0758a+1.0757a+?+a =(72×1000-28800-14400)×1.07510．用这种方法计算的a值即为你每年应付的款额。

3

例2、经调查得知，若我们把每日租金定价为160元，则可客满；而租金每涨20元，就会失去3位客人。每间住了人的客房每日所需服务、维修等项支出共计40元。我们该如何定价才能赚最多的钱？

解析：日租金360元。虽然比客满价高出200元，因此失去30位客人，但余下的50位客人还是能给我们带来360*50=18000元的收入；扣除50间房的支出40*50=2000元，每日净赚16000元。而客满时净利润只有160*80-40*80=9600元 三、 本课小结

通过本课学习我们认识到，生活是多面的，我们在研究一个问题时，可以多角度、多层次的思考，如若正面不行，亦可利用反面思考 四、 作业

家用冰箱使用的氟化物的释放破坏了大气上层的臭氧层．臭氧含量Q呈指数函数型变化，满足关系式Q?Q0e?0.0025t，其中Q0是臭氧的初始量，t是所经过的时间．

1）随时间的增加，臭氧的含量是增加还是减少？ 2）多少年后将会有一半的臭氧消失？

第3课时 函数中的趣题——

孙悟空大战牛魔王

教学要求：体会数学在实际问题中的应用价值． 教学过程：

一、 故事引入

孙悟空大战牛魔王。牛魔王不是孙悟空的对手，力倦神疲，败阵而逃。可是，牛魔王不简单，他会变。他见悟空紧紧追赶，便随身变成一只白鹤，腾空飞去。悟空一见，立刻变成一只丹凤，紧追上去。牛魔王一想：凤是百鸟之王，我这只白鹤那里斗得过这个丹凤？！他无可奈何，只好飞下山崖，变作一只香獐，装着悠闲的样子，在崖前吃草。悟空心里想：好牛精，你休想混过我老孙的火眼金睛！他马上变作一只饿虎，猛扑过去。牛魔王心慌，赶快变了个狮子，来擒拿饿虎。悟空看得分明，就地一滚，变成一只巨象，撒开长鼻，去卷那头狮子。牛魔王拿出绝招，现出原形，原来是一头大白牛。这白牛两角坚似铁塔，身高八千余丈，力大无穷。他对悟空说：“你还能把我怎样？”只见悟空弯腰躬身，大喝一声“长”！立即身高万丈，手持大铁棒朝牛魔王打去。牛魔王见势不妙，只好复了本象相，急忙逃去。孙悟空与牛魔王杀得惊天动地，惊动了天上的众神，前来帮助围困牛魔王。牛魔王困兽犹斗，又变成一头大白牛，用铁角猛顶托塔天王，被哪吒用火轮烧得大声吼叫，最后被天王用照妖镜照定，动弹不得，只得连声求饶，献出芭蕉扇，扇灭火焰山烈火，唐僧四人翻越山岭，继续往西天取经

二、 实例尝试，探求新知

这段故事很吸引人，而且它和初中代数中所学的函数概念有关。

首先，就从这个“变”字谈起。孙悟空和牛魔王都神通广大，都能变。他们能变

4

飞禽、走兽；大喝一声，身躯能“顶天立地”，也可变成一个小虫儿。当然，这些都是神话，不是真情实事。不过，世界上一切事物的确无有不在变化着的。既然物质在变化，表示它们量的大小的数，自然也要随着而变化了。这就告诉我们，要从变化的观点来研究数和量以及它们之间的关系。

其次，我们再来看一看，是不是所有的量在任何情况下，都始终变化着的呢？不是的。研究问题的某个特定过程中，在一定的范围内，有的数量是保持不变的。或者，虽然它也在变，但变化微小，我们把它看成是不变的。还是用唐僧师徒来做例子。孙悟空的本事最大，能七十二变；唐僧最没用，一点也不会变，所以妖怪一看就认得他。都想吃他的肉。在代数中，把研究某一问题过程中不断变化着的量叫做变量，孙悟空就好象是一个“变量”；把一定范围内保持不变的量叫做常量，唐僧就好象是一个“常量”。 例1、1202年，意大利比萨的数学家斐波那契(约1170年～约1250年)在他所著的《算盘书》里提出了这样一个有趣的问题：假定1对一雌一雄的大兔，每月能生一雌一雄的1对小兔，每对小兔过两个月就能长成大兔。那么，若年初时有1对小兔，按上面的规律繁殖，并且不发生死亡等意外情况，1年后将有多少对兔子？

解析：第一个月时，有小兔1对；第二个月时，小兔还没有长大，因此兔子数仍是1对；第三个月时，小兔已长成大兔，并且生下1对小兔，这时兔子数是2对；第四个月时，原来的兔子又生了1对小兔，但上个月刚生的小兔尚未成熟，这时兔子数是3对；第五个月时，原来的兔子又生了1对小兔，第三个月出生的小兔这时也已长大并且也生了1对小兔，因此共有兔子5对；一直这样推算下去，可以得到下面的表：如果仔细观察，就不难发现其中的规律：从第三个月份起，每个月的兔子对数都

是前两个月的兔子对数之

和。表中兔子对数构成的一列数1，1，2，3，5，8?就称为斐波那契数列。斐波那契数列有很有趣的性质和重要的应用。

例2、某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.

解析：假设果园增种x棵橙子树,果园橙子的总产量为y(个)，依题意，果园共有（100+x）棵树,平均每棵树结（600-5x）个橙子.

y=(100+x)(600-5x) =-5x2+100x+60000. =-5(x-10)^2+60500 即种：100+10=110棵时，产量最高是：60500 三、本课小结

通过本课学习我们知道了，不仅《西游记》和我们的数学还很有关系其实，只要我们留意，到处都充满着数学的原理。 四、作业

某市20名下岗职工在近郊承包50亩土地办农场这些地可种蔬菜、烟叶或小麦，种这几种农作物每亩地所需职工数和产值预测如下表： 作物品种 每亩地所需职工数 每亩地预计产值 蔬菜 1/2 1100元 烟叶 1/3 750元 小麦 1/4 600元

请你设计一个种植方案，使每亩地都种上农作物，20名职工都有工作，且使农作物预计总产值最多。（设工人数）

5

第7课时 数列中的趣题—

数列的应用

教学要求：培养学生的创新精神和创造能力。它要求教师给学生提供研究的问题及背

景，让学生自主探究知识的发生发展过程

教学过程： 一、诗词引入

先由杜甫的诗《绝句》引出课题，每一句都与数有关系。再由一些生活中的例子进一步探索数列的定义及其蕴含的数量关系 二、典例分析 例1、、有一序列图形P1,P2,P3??.已知P1是边长为1的等边三角形，将P1的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉得P2，?..，将Pk-1的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉得Pn试分别求Pn的周长Cn和面积Sn.

解析：这序列图形的边数构成的数列为：3,3?它们的边长构成的数列为：1,13n?1n?14,3?4,?,3?42n?1,?;

133,12,?,13n?1,?.

?Cn??3?4?4??3????3?S19n?1.

S2比S1多3个面积为

S19S19?2的正三角形.即

S2?S1?S3?S2??3,同理，?12,

11

Sn?Sn?1?S19n?1?3?40n?2,累加得：1n?2Sn?S1S1??4?????3??9??34?4??4??????????9??9?3??4???8?3??20??9???S15??4????1?????39??9????n?1??. ??n?1又S1?,所以Sn??.??例2．在［1000，2000］内能被3整除且被4除余1的整数有多少个？

解析：不妨设an?3n,bm?4m?1(m,n?N)*，

则{cp}为{ an }与{ bn }的公共项构成的等差数列 (1000≤cp≤2000) ∵an = bm ,即：3n=4m+1 令n=3 , 则m=2 ∴c1=9且有上式可知：d=12 ∴cp=9+12(p?1) ( p?N*) 由1000≤cn≤2000解得：83712?p?1661112

∴p取84、85、??、166共83项。

三、本课小结

根据数列的定义和前面所学的函数关系，由学生自己通过联想、类比、对比、归纳的方法迁移到新情境中，将新的知识内化到学生原有的认知结构中去。 四、作业

1.一梯形两底边长分别为12cm22cm，将梯形一腰10等分，经过每分点作平行于底边的直线，求这些直线夹在梯形两腰间的线段的长度和.

2.某化工厂生产一种溶液，按市场的要求杂质含量不能超过0.1%.若初时含杂质0.2%，每过滤一次可使杂质减少，问至少过滤多少次才能使产品达到市场的要求

31

12

第8课时 不等式性质应用趣题―

“两边夹不等式”的推广及趣例

教学要求：理解“两边夹不等式”的推广及应用

教学过程：

一、情境引入

大家都熟知等比定理：若等式，如且bcabab?cdab?cd，则

ab?a?cb?d?cd。若将条件中的等式改为不

，那么结论如何呢?课本上有这样一道练习：已知a,b,c,d都是正数，

ab?a?cb?d?cd?ad，则

cd(高中数学第二册(上)(人教版))，在平时的教学过程中，

稍不注意，其丰富的内涵和研究价值便被忽略了。下面为了说明问题的方便，称不等式

?a?cb?d?为两边夹不等式。 当然这个不等式的证明是简单的，而探讨这个

不等式却别有一番风味．对该不等式的探讨是从它的一个简单应用开始的．

二、“两边夹不等式”理解推广 1、两边夹不等式的两种理解

解：（1）实际意义的理解：有同种溶液(如糖水)A、B，已知溶液A的浓度为液B的浓度

cdab，溶

，现将两种溶液混合成溶液C，此时溶液浓度为

ab?a?cb?d?cda?cb?d，由日常生

活经验知道有。

（2）几何意义的理解：由分式联想到直 线的斜率，设

?OA?(b,a)?OB?(d,c)，

则直线OA、(如图1)，则

OB斜率分别是

ab，

cd??OA?OB?(b?d,a?c)，它表示图中的

?OC,显然直线OC的斜率介于OA、OB

ab?a?cb?d?cd的斜率之间，即。

13

???进一步探讨我们还可以得到更多的结论，如OD?OA?2OB?(b?2d,a?2c)得

到不等式

ab?abababa?2cb?2d???a?cb?da?cb?d???cd，仿此还可到几个不等式链：

??cda?3cb?3d3a?c3b?d??????????a?ncb?ndna?cnb?dN?（1）（2）（3）

a?2cb?2d2a?c2b?d???????????????cdcd

ma?ncmb?nd（其中m,n?）

2．两边夹不等式的一个简单应用

练习1、 利用此不等式，可以轻松地证明下面这个经典不等式：已知a,b,m都是正数，且a分析：??b，求证：，?abab?a?mb?mmm。

ab?a?mb?ma?b?1?，由．

3．两个有意义的推广

推论1(等比定理的推广)：已知ain,bi?R(i?1,2,3,?，n)?，若

a1b1?a2b2???anbn，

则

a1b1??i?1nai?bianbn。

?i?1利用两边夹不等式可以容易得到证明，这里从略。

由于分数的分子分母同乘以一个非零实数，分数的值不变，那么将分母各乘以非零实数?1，?2又有什么结论呢?

推论2(一般性推广)：若正数a,b,c,d及非零实数?1，?2满足

ab?ab与

cd的分子

ab?cd，则

?1a??2c?1b??2d?cd

?1a?1bcd证明：?ab?,??2c?2d，

ab?cdab

?1a??2c?1b??2dcd?由两边夹不等式立即得

??

练习2、无限夹数游戏

(1)给你任意两个正分数，你能写出大小介于它们之间的一些数吗?

14

如与

32538371121，与

3122512125，

25与

12等。

依据两边夹不等式可以得到 介于与

3之间， 之间， 之间。

介于与

31介于

25与

三、本节小结：本节主要讲了两边夹不等式几何意义理解及两种推广 。 四、作业：探求“黄金分割数”

在0、l之间用两边夹不等式可以依次写出一些数，写这些数时按以下的规律进行：第一个数为a1?12，此时得到两个区间A1=（0，

2312），B1=(

12,1)在区间B1

内利用两边夹不等式得到第二个数a2=A2=(

12，23；此时a2又将区间B1分成两个区间

3),B2=(

23,1)在区间A2中利用两边夹不等式得到第三个数a=，依此类推，

55?12可以得到数列{an}，数列{an}的极限称为黄金分割数，求此极限。(

n???liman?)

第9课时 不等式性质应用趣题―

均值不等式的应用

教学要求：了解均值不等式在日常生活中的应用

教学过程： 一、情境引入；

日常生活中常用的不等式有：一元一次不等式、一元二次不等式和平均值不等式。前两类不等式的应用与其对应函数及方程的应用如出一辙，而平均值不等式在生产生活中

起到了不容忽视的作用。下面，我主要谈一下均值不等式和均值定理的应用。

15

在生产和建设中，许多与最优化设计相关的实际问题通常可应用平均值不等式来解决。平均值不等式知识在日常生活中的应用，笔者虽未亲身经历，但从电视、报纸等新闻媒体及我们所做的应用题中不难发现，均值不等式和极值定理通常可有如下几方面的极其重要的应用：（表后重点分析“包装罐设计”问题） 实践活动 已知条件 最优方案 解决办法

设计花坛绿地 周长或斜边 面积最大 极值定理一

经营成本 各项费用单价及销售量 成本最低 函数、极值定理二 车船票价设计 航行里程、限载人数、 票价最低 用极值定理二求出 速度、各项费用及相应 最低成本，再由此 比例关系 计算出最低票价

（票价=最低票价+ +平均利润） 例1、包装罐设计问题 1、“白猫”洗衣粉桶

“白猫”洗衣粉桶的形状是等边圆柱（如右图所示）， 若容积一定且底面与侧面厚度一样，问高与底面半径是 什么关系时用料最省（即表面积最小）？ 分析：容积一定=>лr h=V（定值）

=>S=2лr +2лrh=2л(r +rh)= 2л(r +rh/2+rh/2)

≥2л3 (r h) /4 =3 2лV (当且仅当r =rh/2=>h=2r时取等号), ∴应设计为h=d的等边圆柱体. 例2、“易拉罐”问题

圆柱体上下第半径为R,高为h，若体积为定值V,且上下底 厚度为侧面厚度的二倍，问高与底面半径是什么关系时用料最 省（即表面积最小）？

分析：应用均值定理，同理可得h=2d（计算过程请读者自己 写出,本文从略）∴应设计为h=2d的圆柱体.

第10课时 立体几何趣题—— 正多面体拼接构成新多面体面数问题

教学要求： 训练学生空间想象能力，动手动脑能力，提高学习数学兴趣

教学过程： 一、问题提出

在《数学(高二下册)》“立体几何多面体”一节的课堂教学中，老师给出了一道例题：“已知一个正四面体和一个正八面体的棱长都相等，把它们拼接起采，使一个

16

表面重合，所得的新多面体有多少个面?”对于这个问题学生们表现出了极大的兴趣．他们通过直观感知，提出了自己的看法：正四面体和正八面体共12个面，两者各有一个面重叠，因此减少两个面，所以重合之后的新多面体有10个面． 二、故事介绍

教师乘着学生浓厚的兴趣讲了一个与这道例题有关的故事．多年前美国的一次数学竞赛中有这样一道题：一个正三棱锥和一个正四棱锥，所有棱长都相等，问重合一个面后还有几个面?大学教授给这道竞赛题的参考答案是7个面，他们认为正三棱锥和正四棱锥共9个面，两者各有 一个面重叠，减少两个面，所以重合之后还有7个面。但佛罗里达州的一名参赛学生丹尼尔的答案是5个面，与参考答案不合而被判错误，对此丹尼尔一直有所疑惑，于是他动手拼接了符合题意的正三棱锥和正四棱锥实物模型，结果正如他所判断的只有5个面；他将自己的结论和实物模型提交给竞赛组委会，教授们接受了他的想法并改正了这道题的答案。 三、操作确认

故事讲完后学生立刻对丹尼尔的结论进行了激烈地讨论．于是教师建议：请同学们拿出课前分组做出上述两个问题的实物模型，通过自己的操作(模型组合)来确认自己的结论．学生展示大小不一的实物模型．教师让每个组的学生代表在讲台上演示实物模型的组合过程．通过观察、讨论，全班同学明白丹尼尔结论的原因所在．同时也观察到了正四面体和正八面体重合之后新多面体只有七个面，这与学生们在上一节课通过直观感知所得的结论是不一致的。原因在于他们发现在重合过程中正四面体和正八面体另有两个侧面分别拼接成一个面了． 四、思辩论证

老师要求学生利用立体几何的相关知识，对操作实物模型得出的结论进行证明。学生对照实物模型提出了证明思路：将正八面体和正四面体拼接的两个侧面想象成两个半平面拼接成一个平面即表示这两个半平面所构成的二面角为180?．证明如下：如图1，在正八面体AC中，连结AC交平面BE于点O．设正八面体的棱长为1，BF的中点为D，连结AD、CD，易得∠ADC为二面角A―BF―C的平面角。AD=DC=余弦定理得COS132,AC=2AO=21334?14?2,由

?ADC??。

仿上可求得正四面体邻棱所成的二面角?的余弦值为。

3由上可知???ADC?180?，因此新多面体是七面体。

五、问题扩展

理论证明的给出进一步完善了学生对问题的全面理解，同时也激发了学生的多向思维．证明结结束后，立刻就有学生向老师提出了问题： 如果再拼一个同样的正四面

17

体，又有多少个，又有多少个面呢？面对学生的问题，教师立刻利用学生的实物模型进行操作确认，从而发现新多面体的面数并不确定，而是依赖于拼接四面体在八面体上的位置．进一步，当拼接更多的四面体时问题更复杂了，但却激发了学生更大的兴趣．在激烈地争论中，师生的思考一度陷入僵局．余是老师提出能否看看不同情况下新多面体可能新多面体最少面数．这一问题得到了学生的认可，新一轮实物模型的操作确认开始，很快学生得出了结论：当两个正四面体时，新多面体最少为6个面，构成一个六面体(如图2)．

当拼接三个正四面体时，新多面体最少为5个面，构成一个棱台如图(3)．

当拼接四个正四面体时，新多面体最少为4个面构成一个正四面体(如图4)．

18

本节小结：学习数学不要只靠我们的直觉，而要有推理论证检验。

第11课时 立体几何趣题——

球在平面上的投影

教学要求：明白球在不同光照下的投影 教学过程：

放在水平面上的球与水平面切于点A，一束光线投射到球上，那么球的影子的轮廓是什么曲线?切点A与轮廓曲线的关系又是什么?

一、平行光线下球的投影

放在水平面上的半径为R的球与水平面切于点止，与水平面所成角为?(??90?)的太阳光投射到球上，则球在

水平面上的投影是以A为 一个焦点的椭圆．

分析：显然，当太阳光垂直于水平面，即??90?时，

球在水平面上的投影是以为A圆心，R为半径的圆；当

00???900时，球在水平面上的投影是以A为一个焦点的椭圆，如图1．

如图l所示，与球面相切的光线构成一个圆柱面，与球切于圆O，则光线在水平面上的投影，可以看成圆柱面与水平面的交线l1， 设与水平面平行且与球相切的平面?与球相切于点D，与圆柱面的交线为l2；P为l1上的任意一点，经过点P的光线为PP’，(P’，为光线PP’与平面?的交点)，且与球相切于点C，过点D作与光线平行的直线交水平面于点B，连结PB,易知，PB=P'D=P’C，PA=PC,即知PA+PB=PP’, 又PP’

=

2Rsin?2R为一定值，则知点P在以A,B为焦点，长轴长为sin?的椭圆上，

二、点光源下的球的投影

放在水平面上的半径为R的球与水平面切于点A，与水平面距离为h的点光源S(S在球面外)投射到球上，则球在水平面上的投影是以A为一个焦点的圆锥曲线或以A

19

为圆心的圆，且其形状与大小与光源到水平面的距离h及SA与水平面所成角有关． 1．当过点S，球心O的直线与水平面垂时，此时必有h>2R．球在水平面上的投影是以球与水平面的切点为圆心的圆(图略)， 2．当过点S、球心O的直线与水平面不垂直时．

①若h>2R，则球在水平面上的投影是以A为一个焦点的椭圆，如图2．

如图2所示，与球O相切的光线构成一个圆锥面．设切点的集合为圆O3；球O1与圆锥面及水平面都相切，与圆锥面的切点的集合为圆O2，与水平面的切点为B；P为球在水平面的投影线上的任意一点，过P的光线与球

O、O1的切点分别为D，C，则有PC=PB、PD=PA，易知CD为两圆锥

母线之差(为一定值)．即PA+PB=CD(定值)，所以，球在水平面上的投影是以A、B为焦点的椭圆.

②若h=2R,则球在水平面上的投影是以A为焦点的抛物线，如图3．

如图3所示，与球O相切的光线构成一个圆锥面．设切点的集合为圆Ol；

过S、O，A的平面与水平面交于AG；圆Ol所在的平面?与水平面的交线为L；P为球在水平面的投影线上的任意一点，过P与?平行的平面与

圆锥面交于圆O2所以，球在水平面上的投影是以A为焦点，L为准线的抛物线． 3若h<2R，则球在水平面上的投影是以A为一个焦点的双曲线的一支，如图4． ○

如图4所示，与球O相切的光线构成一个圆 锥面．设切点的集合为圆02；球

Ol与圆锥面及

水平面都相切，与圆锥面的切点的集合为圆03， 与水平面的切点为月；户为球在水平面的投影线上的任意一点，过户的光线与球O、Ol的切点分 别为G、打，则有PH二PB、PG二PA，且易知GH为两圆锥母线之和(为一定值)．即PB-PA=CH(定值)，所以，球在水平面上的投影是以A,B为焦点的双曲线的一支．

20

第三个人说：“我们四人之中有两人是说谎族的。” 第四个人说：“我是诚实族的。” 试问第四个人是否真的是诚实族的？

解析：我们可以从题设条件出发，通过分析找出解题的突破口，依据一个人所讲的话非真即假，并辅之以反证法，对各种情形逐一推理、判断，使问题获解。 由第一个人的回答可得出如下判断：

①四个人中一定有诚实族的人；②第一人是说谎族的。(因为如果四个人全是说谎族的，那么谁也不会说“我们四个人全都是说谎族的”。） 由第二、第三人的回答可得出如下判断： ③第二人是说谎族的。

因为如果他说真话，则第二、第三和第四人应是诚实族的，但第二和第三人的回答相矛盾，故第二人必是说谎族的。

对第三人，若是说谎族的，则由①、②和③知，第四人必是诚实族的；若是诚实族的，即他说真话，则第三、第四两人必是诚实族的。 因此第四人是诚实族的。

第18课时 解数学题的策略

新课程改革的一个落脚点就是要培养学生解决问题的能力。在课堂上，学生是自主学习锻炼能力的主体，教师不是知识的灌输者，而是学习过程的组织者、参与者和引导者，那么，如何引导才能达到培养学生能力的目的？

31

教师心中要有明确的目标。本文认为，从引导学生培养解决问题的策略这个角度入手是一种有效的做法，因为，策略是哲学层次的东西，可以说是能力的能力。

一、好心态优先的策略。沉着冷静，从容镇定，战略上藐视问题，战术上重视问题，胆大心细，有大将风度，才会令解题者左右逢源，妙计叠出，否则只会“逻辑乱套，直觉失效，没有题感，死得很惨”。

例1、用长度分别为2、3、4、5、6（单位：cm）的5根细木棍围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为多少？ A、8

cm2 B、6

cm2 C、3

cm2 D、20 cm2（06年全国卷Ⅰ，11）

【解析】：对于绝大部分考生来说，这是一道难度较大的选择题，因为你去安排各边的长度时，组合的可能有许多，因此面对命题者用此题“把关”，不少考生选择放弃思考。其实由题设知道，这个三角形的周长是定值20，周长是定值的三角形在高或底趋向于零时其形状趋向于一条直线，其面积趋向于零，因此对于直觉比较好的学生来说，会意识到只有当三角形的形状趋向于最“饱满”时面积最大，也就是说，形状接近于正三角形时面积最大，故三边长应该为7、7、6，因此易知最大面积为6 cm2，选B。

二、定义域优先的策略。在解函数题时，这一条极其重要。如判断函数的奇偶性，先看定义域是否关于原点对称；对变量进行换元，要记住“换元必换域”的口诀，比如令sinx+cosx=t，必须随即写上新变量t的取值范围；复合函数的内层函数的值域是外层函数的定义域，等等。 例2、求函数y=lg(x2+2x)的单调区间。

32

【解析】：注意先考虑定义域。

三、定义法优先的策略。定义是知识的生长点，用定义法解题是回归本源的高明方法。波利亚解题法中就有“回到定义去”的重要提醒句。

例3、已知椭圆9x2+25y2=225内有一点A（1，1），右焦点F，请在椭圆上找一点P，使∣PA∣+

∣PF∣最小。

【解析】：先把∣PF∣转化为P点到右准线的距离就好办了。

四、范围优先的策略。在三角函数这个内容里面，有一句口诀叫做“求角先求函数值，总要优先定范围”。

例4、已知3sin2x+2sin2y-2sinx=0，求cos2x+cos2y的取值范围

五、特情优先的策略。命题者出于考查严谨性的考虑，一般都有意识地在题目中设置一些特殊情况作为问题的一个小分支，这个小分支本身并不难，但要求解题者不要漏掉。比如：分母为零吗？二次项系数为零吗？等比数列的公比为1吗？直线方程的斜率存在吗？斜率为零吗？直线方程中截距为零吗？集合问题中考虑集合为空集的情形了吗？所给的集合是点集还是数集？端点值能够取到吗?求数列通项公式时，第一项是否不符合通项公式而需要单列呢？解题时要做到“先为不可胜而待敌之可胜” ，就要养成特情优先的良好习惯。

例5、某国际旅行社共有11名翻译人员，其中5人只会英语，4人只会日语，另有2人既会英语又会日语。现在从这11名翻译人员中选4人担任英语翻译，4人担任日语翻译，共有多少种不同的选派方法？

33

六、间接法优先的策略。间接法体现了思维的灵活性，所谓“间接法”有两层意思，一是从反面考虑问题，二是从侧面考虑问题。凡有关“至多、至少”问题，使用从反面考虑问题的间接法，一般都比较简便，这一点在解决有关概率统计问题时尤其明显，在解有关排列组合问题上也是如此，原因是可以避免繁杂的分类讨论；此外， 解小题（填空题或者选择题），优先使用从侧面考虑问题的间接法，是赢得时间的重要策略，这里就不赘述了。 例6、ax2+2x+1=0至少有一个负的实根的充要条件是（ ） A、0﹤a≤1。B、a﹤1。C、a≤1。D、0﹤a≤1或a﹤0。

【解析】：此题如果用直接法求解，花10分钟也未必解决得了。如果由选项看出，0和1是两个关键数字，以0代入，符合要求，排除A、D；再以1代入，得x=-1符合要求，所以选C。

七、易处优先的策略。解决任何问题，都不免会碰到困难，人们的一个策略就是先易后难，逐步解决。体现在对待数学问题的态度上，当然也是如此。数学解答题，常常是一设多问，难度逐渐加大，解答时候就应该遵循这个顺序，这本身就是一个“热身”的过程；另外，有些问题看起来比较复杂，我们可以先解答一个类似的但比较简单的问题，以期从中受到启发进而找到思路，这叫“稚化策略”。 至于解答一份完整的数学试卷，就更应该先易后难了。

例7、函数f（x）=︱x-i︱的最小值为（ ）

A、190 B、171 C、90 D、45 （06年全国卷Ⅱ，12）

34

【解析】：在解此题时，若你直觉足够好，能直接意识到取1~19的中间值（平均值）10时f（x）取到最小值，那当然就简单了；若你直觉欠好，可用“稚化策略”，先把问题稚化为求f（x）=︱x-i︱=︱x-1︱+︱x-2︱+︱x-3︱的最小值，你就会豁然开朗了。

35

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/3ztr.html