2009年陕西省高考理科数学试卷及答案

2009年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学（必修+选修Ⅱ）(陕西卷) 第Ⅰ卷 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 21．设不等式x?x?0的解集为M，函数f(x)?ln(1?|x|)的定义域为N，则M?N为

（A）[0，1） （B）（0，1） （C）[0，1] （D）（-1，0] 答案：A

解析：不等式x?x?0的解集是?0?x?1?，而函数f(x)?ln(1?|x|)的定义域为

2，故选择A ??1?x?1?，所以M?N的交集是[0，1）

2.已知z是纯虚数,

z?2是实数,那么z等于 1-i（A）2i (B)i (C)-i (D)-2i 答案：D

解析：代入法最简单

3.函数f(x)?2x?4(x?4)的反函数为

121x?2(x?0) (B) f?1(x)?x2?2(x?2) 221212?1?1（C）f(x)?x?4(x?0) (D) f(x)?x?4(x?2) 22（A）f?1(x)?答案：B

解析1：f(x)?2x?4(x?4)?y?2,f?1(x):y?4,x?2.逐一验证，知B正确。 12?1解析2：f(x)?2x?4(x?4)?y?2,f(x)?x?2,x?22

4.过原点且倾斜角为60?的直线被圆学x?y?4y?0所截得的弦长为 22（A）3 （B）2 （C）6 （D）23 答案：D

2解析：x2?y2?4y?0?x2?（y?2）?4，EJL AN?A(0,2),OA=2,A到直线ON的距离是1,?ON=3?弦长23

1的值为 2cos??sin2?1052（A） （B） （C） (D) ?2 3335.若3sin??cos??0,则答案：A

AOBKF解析：3sin??cos??0?cos??0?tan???222131cos??sin?1?tan?10???cos2??sin2?cos2??2sin?cos?1?2tan?3

6.若(1?2x)2009?a0?a1x???a2009x2009(x?R),则

aa1a2?2???2009的值为 2222009（A）2 （B）0 （C）?1 (D) ?2 答案：C

2009?r解析：ar?(?1)rC2009?12009?r?2r则a1,a2Kar都能表示出来，则2009?r于(?1)rC2009，再利用倒序相加法求得。

aa1a2?2???2009等2222009

7.“m?n?0”是“方程mx?ny?1表示焦点在y轴上的椭圆”的 （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充要条件 (D) 既不充分也不必要条件 答案：C

解析：m?n?0说明b?a?0

22?????????8.在?ABC中,M是BC的中点，AM=1,点P在AM上且满足学AP?2PM,则科网????????????PA?(PB?PC)等于 （A）?4444 （B）? （C） (D) 9339答案：A

?????????解析：PA?2PM?P是AM的一个三等分点，延长PM到H，使得MH=MP, ?????????????????????2??????22????4????4PA?(PB?PC)?PA?PH?(?AM)?AM???AM??3399

9．从0，1，2，3，4，5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为 (A)300 (B)216 (C) 180 (D)162 答案：C

解析：分类讨论思想：

第一类：从1，2，3，4，5中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为

4C32A4?72

第二类：取0，此时2和4只能取一个，0还有可能排在首位，组成没有重复数字的四位数的个数为

2143C3C2[A4?A3]?108

共有，180个数

10．若正方体的棱长为2，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为 (A)

2223 (B) (C) (D)

3633答案：B

解析：正方体各个面的中心为顶点的凸多面体是两个全等的正四棱锥，该棱锥的高时正方体

V?2??[?2?2]??2?高的一半，底面面积是正方体一个面面积的一半，

1312122 3?x?y?1?11．若x，y满足约束条件?x?y??1，目标函数z?ax?2y仅在点（1，0）处取得最小

?2x?y?2?值，则a的取值范围是

(A) （?1，2 ） (B) （?4，2 ） (C) (?4,0] (D) (?2,4)

G1答案：B

B1yIF14I1解析：根据图像判断，目标函数需要和x?y?1，2x?y?2平行， 由图像知函数a的取值范围是（?4，2 ）

12．定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意

-2-132101234GxR的x1,x2?(??,0](x1?x2)，有(x2?x1)(f(x2)?f(x1))?0. 则当n?N时,有

*D1SH1C1(A)f(?n)?f(n?1)?f(n?1) (B) f(n?1)?f(?n)?f(n?1)

(C) (C)f(n?1)?f(?n)?f(n?1) (D) f(n?1)?f(n?1)?f(?n) 答案：C

解析：x1,x2?(??,0](x1?x2)?(x2?x1)(f(x2)?f(x1))?0?x2?x1时，f(x2)?f(x1)?f(x)在(??,0]为增函数f(x)为偶函数?f(x)在(0，??]为减函数而n+1>n>n-1>0,?f(n?1)?f(n)?f(n?1)?f(n?1)?f(?n)?f(n?1)

第Ⅱ卷

二、填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上(本大题共4小题，每小题4分，共16分).

13．设等差数列?an?的前n项和为Sn,若a6?S3?12,则lim答案：1

Sn? . n??n2?a6?12?a1?5d?12?a1?2Snn?1Snn?1解析：???S?n(n?1)???lim?lim?1???n2n??n2n??ns?12a?d?12d?2nn??1?3

14．某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有 人。 答案：8

A 15．如图球O的半径为2，圆O1是一小圆，OO?2，A、B 1是圆O1上两点，若A，B两点间的球面距离为答案：

O O1 B 2?，则?AO1B= . 3? 2n?116．设曲线y?x（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为xn,令an?lgxn，(n?N*)在点

则a1?a2???a99的值为 . 答案：-2

解析：点（1，1）在函数y?xn?1(n?N*)的图像上，?（1，1）为切点，y?xn?1的导函数为y'?(n?1)xn?y'|x?1?n?1?切线是：y?1?(n?1)(x?1)令y=0得切点的横坐标：xn?nn?11298991a1?a2?...?a99?lgx1x2...x99?lg??...???lg??22399100100

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共74分）

17．（本小题满分12分）

已知函数f(x)?Asin(?x??),x?R（其中A?0,??0,0????2?2?,?2). 交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为M(32(Ⅰ)求f(x)的解析式；（Ⅱ）当x?[17、解（1）由最低点为M(）的图象与x轴的

,]，求f(x)的值域.

122??2?,?2)得A=2. 3?T?2?2???2 由x轴上相邻的两个交点之间的距离为得=，即T??，??T?2222?2?4?,?2)在图像上的2sin(2???)??2,即sin(??)??1 由点M(3334??11????2k??,k?Z ???2k??故 326又??(0,,故f(x)?2sin(2x?)

266????7??2x??[,] （2）?x?[,],　　　　122636当2x??),?????????7?=，即x?时，f(x)取得最大值2；当2x?? 62666?即x?时，f(x)取得最小值-1，故f(x)的值域为[-1,2] 2A1 C1

18．（本小题满分12分）

如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1中， AB=1，

B1 AC?AA1?3，∠ABC=600.

(Ⅰ)证明：AB?AC； 1（Ⅱ）求二面角A—AC1—B的大小。

18.（本小题满分12分）

解答一（1）证： ?三棱柱ABC?A1B1C1为直三棱柱，

B A C ?AB?AA1

在?ABC中，AB?1,AC?3,?ABC?600,由正弦定理?ACB?30

0??BAC?900即AB?AC

AB?平面ACC1A1,又AC1?平面ACC1A1即AB?AC1

（2）解如图，作AD?AC1交AC1于点D点，连结BD， 由三垂线定理知BD?AC1

??ADB为二面角A?AC1?B的平面角

在Rt?AAC1?AC3?1中，AD?AAAC?3?6 162Rt?BAD中,tanADB=ABAD?63??ADB=arctan63,即二面角A?ACB的大小为arctan61?3解答二（1）证?三棱柱ABC?A1B1C1为直三棱柱，

?AB?AA1，AC?AA1

Rt?ABC，AB?1,AC?3,?ABC?600，

由正弦定理?ACB?300

??BAC?900即AB?AC 如图，建立空间直角坐标系，

则 A(0,0,0),B(1,0,0)C(0,3,0),A1(0,0,3)

????AB??(1,0,0),????AC1?(0,3,3)????AB??????AC1?1*0?0*3?0*(?3)?0 ?AB?AC1(2) 解，如图可取m????AB??(1,0,0)为平面AAC1的法向量 设平面A1BC的法向量为n?(l,m,n)，

则???BC??n?0,????AC????1?n?0,又BC?（?1，3，0） ?????l?3m?0?l?3m,n?m ??3m?3n?0不妨取m?1,则n?(3,1,1)

cos?m,n??m?n3?1?1?0?1?015??

222222m?n5(3)?1?1?1?0?0?二面角A?AC的大小为arccos1?BD19．(本小题满分12分)

15 5 某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用?表示，椐统计，随机变量?的概率分布如下：

? 0 p

(Ⅰ)求a的值和?的数学期望；

1 2 3 a 0.1 0.3 2a （Ⅱ）假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响,求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率。

19题，解（1）由概率分布的性质有0.1+0.3+2a+a=1，解答a=0.2

??的概率分布为

? P 0 0.1 1 0.3 2 0.4 3 0.2 ?E??0*0.1?1*0.3?2*0.4?3*0.2?1.7

（2）设事件A表示“两个月内共被投诉2次”事件A“两个月内有一个月被投诉2次，1表示另外一个月被投诉0次”；事件A2表示“两个月内每月均被投诉12次” 则由事件的独立性得

1P(A1)?C2P(??0)?2*0.4*0.1?0.08P(A2)?[P(??1)]2?0.32?0.09?P(A)?P(A1)?P(A2)?0.08?0.09?0.17

故该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率为0.17 20．（本小题满分12分）

已知函数f(x)?ln(ax?1)?1?x,x?0，其中a?0 1?x???若f(x)在x=1处取得极值，求a的值； ????求f(x)的单调区间；

（Ⅲ）若f(x)的最小值为1，求a的取值范围。

a2ax2?a?220. 解（Ⅰ）f'(x)???, 22ax?1(1?x)(ax?1)(1?x)∵f(x)在x=1处取得极值，∴f'(1)?0,即a?12?a?2?0,解得a?1.

ax2?a?2（Ⅱ）f'(x)?,

(ax?1)(1?x)2∵x?0,a?0, ∴ax?1?0.

①当a?2时，在区间(0,??)上，f'(x)?0,∴f(x)的单调增区间为(0,??). ②当0?a?2时， 由f'(x)?0解得x?2?a2?a,由f'(x)?0解得x?, aa2-a2-a),单调增区间为（，??）. aa∴f(x)的单调减区间为（0，（Ⅲ）当a?2时，由（Ⅱ）①知，f(x)的最小值为f(0)?1;

当0?a?2时，由（Ⅱ）②知，f(x)在x?2?a2?a处取得最小值f()?f(0)?1, aa综上可知，若f(x)得最小值为1，则a的取值范围是[2,??).

21．（本小题满分12分）

y2x2已知双曲线C的方程为2?2?1(a?0,b?0)，离心率

abe?525，顶点到渐近线的距离为。 25（I）求双曲线C的方程；

(II)如图，P是双曲线C上一点，A，B两点在双曲线C的两条渐近线上，且分别位于第一、

????????1二象限，若AP??PB,??[,2]，求?AOB面积的取值范围。

3

21．（本小题满分14分）

y2x2已知双曲线C的方程为2?2?1(a?0,b?0),

ab离心率e?525,顶点到渐近线的距离为. 25（Ⅰ）求双曲线C的方程；

（Ⅱ）如图，P是双曲线C上一点，A,B两点在双曲线C的两条渐近线上，且分别位于第

????????1一，二象限.若AP??PB,??[,2],求△AOB面积的取值范围.

3解答一（Ⅰ）由题意知，双曲线C的顶点(O,a)到渐近线ax?by?0的距离为25 ，5∴aba2?b2?25ab25,即?, 5c5?ab25?a?2,?,?5??c?b?1,?y25?c?x2?1. , 得由?? ∴双曲线C的方程为

?42?a?c?5,?c2?a2?b2???（Ⅱ）由（Ⅰ）知双曲线C的两条渐近线方程为y??2x.

设A(m,2m),B(?n,2n),m?0,n?0.

????????m??n2(m??n),), 由AP??PB得P点的坐标为(1??1??y2(1??n)22?x?1,化简得mn?. 将P点坐标代入44?设∠AOB?2?,?tan(?114??)?2,?tan??,sin??,sin2??. 2225

?又|OA|?5m4|OB|?5n?

?S?AOB?111|OA|?|OB|?sin2??2mn?(??)?1. 22?111记S(?)?(??)?1,??[,2],

2?3189由S'(?)?0得??1,又S(1)=2,S()?,S(2)?,

33418当??1时，△AOB的面积取得最小值2，当??时，△AOB的面积取得最大值

33.8∴△AOB面积的取值范围是[2,].

3解答二（Ⅰ）同解答一

（Ⅱ）设直线AB的方程为y?kx?m,由题意知|k|?2,m?0.

由{

y?kx?mm2m,), 得A点的坐标为(y?2x2?k2?ky?kx?m?m2m,). 由{ 得B点的坐标为(y??2x2?k2?k????????m1?2m1?(?),(?)), 由AP??PB得P点的坐标为(1??2?k2?k1??2?k2?ky24m2(1??)22?x?1得?. 将P点坐标代入244?k?设Q为直线AB与y轴的交点，则Q点的坐标为（0，m）.

S?AOB?S?AOQ?S?BOQ?111|OQ|?|XA|?|OQ|?|x8|?m?(xA?xB) 2221mm14m211?)???(??)?1. =m(222?k2?k24?k2?以下同解答一.

22．（本小题满分12分）

已知数列?xn}满足， x1＝11xn＋1＝,n?N*. 2’1?xn???猜想数列{xn}的单调性，并证明你的结论；

(Ⅱ)证明：|xn?1-xn|≤() 1265n?1。 22题 证（1）由x1?112513 及xn+1?得x2??x4?，x4?21?xn3821由x2?x4?x6猜想：数列?x2n?是递减数列 下面用数学归纳法证明：

（1）当n=1时，已证命题成立 （2）假设当n=k时命题成立，即x2k?x2k?2 易知x2k?0，那么x2k?2?x2k?4?x2k?3?x2k?111 ??1?x2k?11?x2k?3(1?x2k?1)(1?x2k?3) =

x2k?x2k?2?0

(1?x2k)(1?x2k?1)(1?x2k?2)(1?x2k?3)即x2(k?1)?x2(k?1)?2

也就是说，当n=k+1时命题也成立，结合（1）和（2）知，命题成立 （2）当n=1时，xn?1?xn?x2?x1?1，结论成立 6当n?2时，易知0?xn?1?1,?1?xn?1?2,xn?11?

1?xn?12?(1?xn)(1?xn?1)?(1?15)(1?xn?1)?2?xn?1?

1?xn?12?xn?1?xn?xn?xn?111 ??1?xn1?xn?1(1?xn)(1?xn?1)2222n-1xn?xn?1?（）xn?1?xn?2???（）x2?x1555 12n-1?（）65?

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