03 第三节 数量积 向量积 混合积

第三节 数量积 向量积 混合积

分布图示

★ 两向量的数量积

★ 例1 ★ 例4

★ 向量积概念的引入 ★ 向量积的运算

★ 例6 ★ 例9

★ 向量的混合积

★ 例11

★ 例7 ★ 例10

★ 例8

★ 数量积的运算 ★ 例2 ★ 例5

★ 向量积的定义

★ 例3

★ 混合积的几何意义 ★ 例12 ★ 例13

★ 内容小结 ★ 课堂练习

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内容要点

一、两向量的数量积：

定义1设有向量a、它们的夹角为?，乘积|a||b|cos?称为向量a与b的数量积（或b，称为内积、点积），记为a?b，即

????a?b?|a||b|cos?????????.

根据数量积的定义，可以推得：

?????? （1） a?b?|b|Prjba?|a|Prjab;

（2） a?a?|a|;

??????（3） 设a、b为两非零向量，则 a?b的充分必要条件是 a?b?0.

???2数量积满足下列运算规律：

????（1）交换律 a?b?b?a;

（2）分配律 （3）结合律

???????(a?b)?c?a?c?b?c; ???????(a?b)?(?a)?b?a?(?b),（?为实数）.

二、两向量的向量积

???定义2 若由向量a与b所确定的一个向量c满足下列条件：

??????（1）c的方向既垂直于a又垂直于b, c的指向按右手规则从a转向b来确定（图

7-3-5）；

??????（2）c的模 |c|?|a||b|sin?，(其中?为a与b的夹角)， ???则称向量c为向量a与b的向量积（或称外积、叉积），记为

???c?a?b.

根据向量积的定义，即可推得

???（1）a?a?0；

??????（2）设a、b为两非零向量，则 a//b的充分必要条件是 a?b?0.

向量积满足下列运算规律:

????（1）a?b??b?a;

???????（2）分配律 (a?b)?c?a?c?b?c;

（3）结合律 ?(a?b)?(?a)?b?a?(?b),（?为实数）. 三、向量的混合积

??????例题选讲

两向量的数量积

??例1(E01) 已知a?{1,1,?4},b?{1,?2,2}, 求

??????(1) a?b; (2) a与b的夹角?; (3) a与b上的投影.

解 (1) (2) cos????a?b?1?1?1?(?2)?(?4)?2??9.

axbx?ayby?azbz2ax?2ay?2az2bx?2by?2bz??12, ???3?4.

(3)

?????a?b??a?b?|b|Prjba,?Prjba????3.

|a| 例2

?证明向量c??????与向量(a?c)b?(b?c)a垂直.

???????????????证 [(a?c)b?(b?c)a]?c?[(a?c)b?c?(b?c)a?c]?(b?c)[a?c?a?c]?0,

????????[(a?c)b?(b?c)a]?c.

??????

例3 (E02) 试用向量方法证明三角形的余弦定理.

证 如图所示(见系统演示), 设在?ABC中, ?BCA??,|CB|?a,|CA|?b,|AB|?c,

?????????现要证c?a?b?2abcos?.记CB?a,AB?c,CA?b,则有c?a?b,222从而

???2????????2??????2|c|?c?c?(a?b)?(a?b)?a?a?b?b?2a?b?|a|?|b|?2|a|?|b|cos?.

由|a|?a,|b|?b,|c|?c,即得c2?a2?b2?2abcos?.

??????????例4 (E03) 设a?3b与7a?5b垂直, a?4b与7a?2b垂直, 求a与b之间的

???夹角?.

解 a?3b?7a?5b所以(a?3b)?(7a?5b)?0,即7|a|2?15|b|2?16a?b?0 (1)

????又a?4b?7a?2b????所以(a?4b)?(7a?2b)?0????????????

??2??2即7|a|?8|b|?30a?b?0 (2)

???联立方程(1), (2)得 |a|2?|b|2?2a?b

??所以 cos?a,b??????????a?b ， ??a,b???3.|a||b|

例5 (E04) 设液体流过平面S上面积为A的一个区域, 液体在这区域上各点处的流速均为(常向量) v. 设n为垂直于S的单位向量(图7-3-3a), 计算单位时间内经过这区域流向n所指一方的液体的质量P (液体的密度为?).

?解 如图(见系统演示)，单位时间内流过这区域的液体组成一个底面积为A、斜高为|v|的斜柱体,这柱体的斜高与底面的垂线的夹角就是v与n的夹角?,所以这柱体的高为?|v|cos?,体积为

???A|v|cos??Av?n

?

??从而，单位时间内经过这区域流向n所指一方的液体的质量为P??Av?n.

两向量的向量积

????????例6 (E05) 求与a?3i?2j?4k,b?i?j?2k都垂直的单位向量.

?i?jayby?kazbz?i?31?j?21?k4?2??解 c?a?b?axbx??????10j?5k,

??|c|?10?522?55,

???c?2?1??j?k??c????????. |c|5??5

例7 (E06) 在顶点为A(1,?1,2),B(5,?6,2)和C(1,3,?1)的三角形中, 求AC边上的高BD. 解 AC??0,4,?3?,AB??4,?5,0?,三角形ABC的面积为

??1S?|AC?AB|?22115?12?162222???252,

又S?所以

122??|AC|?|BD|,|AC|??12?5?|BD|,4?(?3)2?5,

25从而|BD|?5.

???例8 设向量m,n,p两两垂直, 伏隔右手规则, 且

???m?4, n?2, p?3,

计算(m?n)?p.

解 |m?n|?|m||n|sinm(,n)?4?2?1?8, 依题意知m?n与p同向,

?????????????(m?n,p)?0, (m?n)?p?|m?n|?|p|cos??8?3?24.

?????????????

例9 (E07) 设刚体以等角速度?绕l轴旋转, 计算刚体上一点M的线速度.

?解 刚体绕l轴旋转时，我们可以用在l轴上的一个向量?表示角速度，它的大小等于角速度的大小，它的方向由右手规则写出: 即右手握住l轴,当右手的四个手指的转向与刚体

?的旋转方向一致时，大拇指的指向就是?的方向，如图，设点M至旋转轴l的距离为a,再在l轴上任取一点O作向量r?OM并以?表示?与r的夹角，则a?|r|sin?.设线速度为v,那么由物理学上线速度与角速度的关系可知, v的大小为

????|v|?|?|a?|?||r|sin?;

?v????????的方向垂直于通过M点与l轴的平面，即v垂直于?与r;

????又v的指向是使?,r,v符合右手规则. 因此有 v???r.

例10 利用向量积证明三角形正弦定理.

证 设?ABC的三个内角为?,?,?,三边长为a,b,c, 如图(见系统演示).

???????????因为AB?AC?CB，所以AB??(AC?CB)?AB?AC?AB?CB?AB, ????????故AC?AB?CB?AB?0,即AC?AB??CB?AB.

??????

两边取模同理可证

????AC?AB?CB?AB,即bcsin??acsin?,故

asin??bsin?.

bsin??csin?.

因此

asin??bsin??csin?,三角形正弦定理得证.

向量的混合积

?????????例11 (E08) 已知(a?b)?c?2, 计算[(a?b)?(b?c)]?(c?a).

解 [(a?b)?(b?c)]?(c?a)?[a?b?a?c?b?b?b?c]?(c?a)

?????????????(a?b)?c?(a?c)?c?(b?b)?c?(b?c)?c?0????????????????

?0 ?0

?????????????(a?b)?a?(a?c)?a?(b?b)?a?(b?c)?a?0 ?0 ?0

????(a?b)?c????2(a?b)?c?4.

例12 (E09) 已知空间内不在同一平面上的四点

A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),C(x3,y3,z3),D(x4,y4,z4)

求四面体的体积.

由立体几何知，四面体的体积等于以向量、、为棱的平行六面体的体积的六分之一:

解

?AB?AC?ADV?16?[AB?AC?AD],

?AB??x2?x1,y2?y1,z2?z1???AC??x3?x1,y3?y1,z3?z1?. ?AD??x?x,y?y,z?z?414141?x2?x1x3?x1x4?x1y2?y1y3?y1y4?y1z2?z1z3?z1. 式中正负号的选择必须和行列式的符号一致 z4?z1?V??16

???????????????例13 已知a?i,b?j?2k,c?2i?2j?k, 求一单位向量?, 使??c, 且?与a,b此

同时共面.

????解 设所求向量??{x,y,z}.依题意|?|?1,??c,?与a,b共面，可得

???x?y?z?1

222 (1)

??c?0,即2x?2y?z?0 (2)

?|a?b??z0?2xy01?|?0,即10??2y?z?0 (3)

将式(1)式(2)与式(3)联立解得

x?23或??23,y?13或?,z??32?3?123或,

32所以 ????,,??

?33?21

课堂练习

????1.已知向量a?0,b?0, 证明

???2?2??22|a?b|?|a|?|b|?(a?b).

??????????2.已知a,b,c两两垂直, 且|a|?1,|b|?2,|c|?3,求s?a?b?c的长度与它和

???a,b,c的夹角.

x?y?z?1

222 (1)

??c?0,即2x?2y?z?0 (2)

?|a?b??z0?2xy01?|?0,即10??2y?z?0 (3)

将式(1)式(2)与式(3)联立解得

x?23或??23,y?13或?,z??32?3?123或,

32所以 ????,,??

?33?21

课堂练习

????1.已知向量a?0,b?0, 证明

???2?2??22|a?b|?|a|?|b|?(a?b).

??????????2.已知a,b,c两两垂直, 且|a|?1,|b|?2,|c|?3,求s?a?b?c的长度与它和

???a,b,c的夹角.

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