2014-2015年东北三省三校高三下学期第一次联合模拟考试数学（理

2014-2015年东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省

实验中学）高三下学期第一次联合模拟考试数学（理）试题

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1、已知集合???x?2?x?1?，??xx2?2x?0，则???（ ）

A．?x0?x?1? B．?x0?x?1? C．?x?1?x?1? D．?x?2?x?1? 2、复数A．2??2?i?（ ）

1?2i2?i B．1?i C．i D．?i

??3、点??1,1?到抛物线y?ax2准线的距离为2，则a的值为（ ） A．

111111 B．? C．或? D．?或 4441212124、设Sn是公差不为零的等差数列?an?的前n项和，且a1?0，若S5?S9，则当Sn最大时，n?（ ） A．6 B．7 C．10 D．9

5、执行如图所示的程序框图，要使输出的S值小于1，则输入的t值不能是下面的（ ）

A．2012 B．2013 C．2014 D．2015 6、下列命题中正确命题的个数是（ ）

①对于命题p:?x?R，使得x2?x?1?0，则?p:?x?R，均有x2?x?1?0 ②p是q的必要不充分条件，则?p是?q的充分不必要条件 ③命题“若x?y，则sinx?siny”的逆否命题为真命题

④“m??1”是“直线l1:mx??2m?1?y?1?0与直线l2:3x?my?3?0垂直”的充要条件

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7、如图，网格纸上小正方形的边长为1，若粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ） A．6 B．8 C．10 D．12

8、设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为?，焦点F到一条渐近线的距离为d，若F??3d，

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则双曲线离心率的取值范围是（ ）

??A．1,2?? B．?2,?? C．?1,3? D．?3,??

?x?y?2?0??2?x?29、不等式组?表示的点集记为?，不等式组?表示的点集记为?，在?中任2?0?y?4?y?x???取一点?，则???的概率为（ ） A．

9797 B． C． D．

16163232n1??10、设二项式?x??（n???）展开式的二项式系数和与各项系数和分别为an，bn，则

2??a1?a2?????an?（ ）

b1?b2?????bnA．2n?1?3 B．2?2n?1?1? C．2n?1 D．1

1511、已知数列?an?满足an?n3?n2?3?m，若数列的最小项为1，则m的值为（ ）

341111 B． C．? D．? 4343?12x?1?x?0??12、已知函数f?x???2，若函数F?x??f?x??kx有且只有两个零点，则k的取值范

??ln?1?x??x?0??A．

围为（ ）

?1??1?A．?0,1? B．?0,? C．?,1? D．?1,???

?2??2?二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）

13、向量a，b满足a?1，b?2，a?b?2a?b，则向量a与b的夹角为 ．

??C??120，14、三棱柱??C??1?1C1各顶点都在一个球面上，侧棱与底面垂直，C??C??23，

??????1?4，则这个球的表面积为 ．

15、某校高一开设4门选修课，有4名同学，每人只选一门，恰有2门课程没有同学选修，共有 种不同选课方案（用数字作答）．

16、已知函数y?sin??x????2cos??x???（0????）的图象关于直线x?1对称，则

sin?2? ．

三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17、（本小题满分12分）已知???C的面积为2，且满足0?????C?4，设??和?C的夹角为?． ?1?求?的取值范围；

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?2?求函数f????2sin2???????3cos2?的取值范围． ?4??

18、（本小题满分12分）为调查市民对汽车品牌的认可度，在秋季车展上，从有意购车的500名市民中，随机抽样100名市民，按年龄情况进行统计的频率分布表1和频率分布直方图2．

?1?频率分布表中的①②位置应填什么数？并补全频率分布直方图，再根据频率分布直方图估计这500名市民的平均年龄；

?2?在抽出的100名市民中，按分层抽样法抽取20人参加宣传活动，从这20人中选取2名市民担任主要发言人，设这2名市民中“年龄低于30岁”的人数为?，求?的分布列及数学期望． 19、（本小题满分12分）如图，四棱锥????CD的底面是边长为1的正方形，???底面??CD，

?、F分别为??、?C的中点．

???求证：?F//平面??D；

????若???2，试问在线段?F上是否存在点Q，使得二面角Q????D的余弦值为

5？若存在，确定点Q的位置；若不存在，请说明理由． 5

x2y220、（本小题满分12分）已知椭圆2?2?1（a?b?0）的左、右焦点为F1、F2，点?2,2在

ab椭圆上，且?F2与x轴垂直．

???1?求椭圆的方程；

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?2?过?作直线与椭圆交于另外一点?，求????面积的最大值．

21、（本小题满分12分）已知a是实常数，函数f?x??xlnx?ax2．

?1?若曲线y?f?x?在x?1处的切线过点??0,?2?，求实数a的值；

， ?2?若f?x?有两个极值点x1，x2（x1?x2）???求证：?2?a?0；

????求证：f?x2??f?x1???2．

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22、（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，在???C中，???C?90，以??为直径的圆?交?C于点?，点D是?C边的中点，连接?D交圆?于点?．

???求证：D?是圆?的切线；

11????求证：D???C?D???C?D????．

23、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

已知曲线C的极坐标方程是??2cos?，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，

?3x?t?m??2建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是?（t为参数）．

1?y?t??2???求曲线C的直角坐标方程与直线l的普通方程；

????设点??m,0?，若直线l与曲线C交于?，?两点，且??????1，求实数m的值．

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24、（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数f?x??2x?1?x?2．

???解不等式f?x??0；

????若?x0?R，使得f?x0??2m2?4m，求实数m的取值范围．

东北三省三校2015年三校第一次联合模拟考试理科数学试题

参考答案

一．选择题：

1.B 2.C 3.C 4.B 5.A 6.B 7.C 8.A 9.A 10.C 11.B 12.C 二．填空题：

13. 900 14. 64? 15. 84 16. ?4 5三．解答题： 17.解：

，B，C的对边分别为a，b，c， （Ⅰ）设△ABC中角A则由已知：

1bcsin??2，0?bccos??4， ??4分 2,)． ??6分 42??π???π?（Ⅱ）f(?)?2sin2?????3cos2???1?cos??2????3cos2?

?2???4??可得tan??1，所以：??[??π???(1?sin2?)?3cos2??sin2??3cos2??1?2sin?2????1． ??8分

3??????2?π?????[,)，?2???[,)，∴2≤2sin?2????1≤3．

423633??5ππ

即当??时，f(?)max?3；当??时，f(?)min?2．

124

所以：函数f(?)的取值范围是[2,3] ??12分

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18.解：（1）由表知：①，②分别填35

频率 组距0.090.080.07,0.300.补全频率分布直方图如下: ??2分

0.06 0.05 0.04 0.03 ??3分 0.02 0.01

20 25 30 35 40 45 50 年龄(岁)

1(45?0.05?55?0.2?65?0.35?75?0.3?85?0.1)?33.5（岁） ?6分 2(2)由表知:抽取的20人中,年龄低于30岁的有5人,X的可能取值为0,1,2

平均年龄估值为: P(X?0)?2C15C20221?380

11C5C1515P(X?1)??238C20C522P(X?2)?2?C20382

??9分

X的分布列为

X

P

1

21 3815 382 38 ??10分 期望E(X)?0?211521?1??2??（人） ??12分 383838219.证明: (Ⅰ)取PD中点M, 连接MF,MA, 在△CPD中, F为

11PC的中点, ?MF//DC,正方形ABCD中E为AB中点,?AE//DC,

22 ?AE//MF 故：EFMA为平行四边形 ?EF//AM ??2分

又?EF?平面PAD,AM?平面PAD ?EF//平面PAD ??z4分 (Ⅱ) 如图：以点A为坐标原点建立空间直角坐标系:

111P(0,0,2),B(0,1,0),C(1,1,0),E(0,,0),F(,,1)

222由题易知平面PAD的法向量为n?(0,1,0)， ??6分 假设存在Q满足条件：设EQ??EF,EF?(,0,1),Q(12?1,,?) ,??[0,1] 22Q?1AP?(0,0,2),AQ?(,,?),设平面PAQ的法向量为m?(x,y,z),

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yx1??x?y??z?0??m?(1,??,0) ??10分 2?2??z?0? cos?m,n??解得：??m?nmn???1??2 由已知：

?1??2?5 51 所以：满足条件的Q存在，是EF中点。 ??12分 2b220.（1）有已知：c?2，?2 ?a?22,b2?4

ax2y2 故椭圆方程为??1 ??4分

84 (2)当AB斜率不存在时：S?AOB?1?22?2?22 ??6分 2?2? 当AB斜率存在时:设其方程为：y?2?k?x?2??k? ???2?? 由???y?kx?(2?2k)??x?2y=822得2k?1x?4?2?2?2?2kkx?2??2?2k?2?8?0

由已知：??16?2?2k?22k?8?2k?1????22?2?2k?2?4?

?? ?82k?2???0

即：k??2 2 ??8分

AB?1?k?

222?2k?22k?12O到直线AB的距离：d?2?2k1?k2 ?S?ABC?14 ??10分 ABd?22?222k?1k??2?2k2?1?2 2?2k2?1??1,2??2?4?2,???

?0,2?

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???2,0?2k2?1??此时 S?AOB?(0,22]

综上所求：当AB斜率不存在或斜率为零时：?A0B面积取最大值为22 ??12分 21.解(1)由已知:f(x)?lnx?1?2ax/(x?0) ,切点P(1,a) 1 分

切线方程:y?a?(2a?1)(x?1) ,把(0,?2) 代入得:a?1 (2)(Ⅰ)依题意:f(x)?0 有两个不等实根x1,x2 设g(x)?lnx?2ax?1 则:g/(x)?//3 分

(x1?x2)

1?2a(x?0) x ①当a?0 时: g(x)?0 ,所以g(x) 是增函数,不符合题意; ?5分 ②当a?0 时:由g(x)?0得:x?? 列表如下:

/1?0 2a?1 2a0 极大值

x g/(x) g(x)

依题意:g(?(0,?1) 2a?

(?1,??) 2a?

↗ ↘

111)?ln(?)?0 ,解得:??a?0 2a2a21 综上所求: ??a?0得证; ?8分

2(Ⅱ)由(Ⅰ)知:f(x),f(x) 变化如下:

/x f/(x) f(x)

(0,x1) ?

↘

x1

0

(x1,x2)

+ ↗

x2

0

(x2,??)

?

↘

由表可知:f(x) 在[x1,x2] 上为增函数,所以:f(x2)?f(x1) ?10分 又f(1)?g(1)?2a?1?0 , 故x1?(0,1)

/?1?lnx11 ,f(x1)?x1lnx1?ax12??(x1lnx1?x1)(0?x1?1) 2211设h(x)?(xlnx?x)(0?x?1) ,则h/(x)?lnx?0 成立,所以h(x)单调递减,

2211故:h(x)?h(1)?? ,也就是f(x1)??

221综上所证: f(x2)?f(x1)??成立. ?12分

2由(Ⅰ)知:ax1?22.选修4-1: 几何证明选讲 证明：（Ⅰ）连结OE.

∵点D是BC的中点，点O是AB的中点，

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∴OD//?1AC，∴?A??BOD,?AEO??EOD. 2AFOMDCE∵OA?OE，∴?A??AEO，∴?BOD??EOD. ?3分 在?EOD和?BOD中，∵OE?OB，?EOD??BOD，OD?OD，

∴?EOD≌?BOD，∴?OED??OBD?90，即OE?ED.

?B∵E是圆O上一点，∴DE是圆O的切线. ??5分 （Ⅱ）延长DO交圆O于点F.

∵?EOD≌?BOD，∴DE?DB.∵点D是BC的中点，∴BC?2DB.

∵DE,DB是圆O的切线，∴DE?DB.∴DE?BC?DE?2DB?2DE2. ?7分 ∵AC?2OD,AB?2OF，

∴DM?AC?DM?AB?DM?(AC?AB)?DM?(2OD?2OF)?2DM?DF. ∵DE是圆O的切线，DF是圆O的割线，

∴DE?DM?DF，∴DE?BC?DM?AC?DM?AB ??10分

223.选修4-4: 坐标系与参数方程

解：（Ⅰ）由??2cos?，得：??2?cos?，∴x?y?2x，即(x?1)?y?1， ∴曲线C的直角坐标方程为(x?1)?y?1. ?3分

2222222?3x?t?m??2由?，得x?3y?m，即x?3y?m?0， ?y?1t?2?∴直线的普通方程为x?3y?m?0. ??5分

?322x?t?m???31???222（Ⅱ）将?代入(x?1)?y?1，得：?t?m?1???t??1，

???2??2??y?1t?2?整理得：t?3(m?1)t?m?2m?0，

由??0，即3(m?1)?4(m?2m)?0，解得：?1?m?3.

设t1,t2是上述方程的两实根，则t1?t2??3(m?1),t1t2?m?2m， ?8分 又直线过点P(m,0)，由上式及的几何意义得

22222|PA|?|PB|?|t1t2|?|m2?2m|?1，解得：m?1或m?1?2，都符合?1?m?3，

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因此实数m的值为或1?2或1?2. ??10分

24.选修4-5: 不等式选讲

解：（Ⅰ）当x??2时，f(x)?|2x?1|?|x?2|?1?2x?x?2??x?3，

f(x)?0，即?x?3?0，解得x?3，又x??2，∴x??2；

1时，f(x)?|2x?1|?|x?2|?1?2x?x?2??3x?1， 2111f(x)?0，即?3x?1?0，解得x??，又?2?x?，∴?2?x??；

3231当x?时，f(x)?|2x?1|?|x?2|?2x?1?x?2?x?3，

21f(x)?0，即x?3?0，解得x?3，又x?，∴x?3. ?3分

2当?2?x?综上，不等式f(x)?0的解集为???,???(3,??). ??5分

??1?3????x?3,x??2?51?1??（Ⅱ）f(x)?|2x?1|?|x?2|???3x?1,?2?x?，∴f(x)min?f????. ?8分

22?2??1?x?3,x??2?∵?x0?R，使得f(x0)?2m?4m，∴4m?2m?f(x)min??225， 2整理得：4m?8m?5?0，解得：?215?m?， 22因此m的取值范围是???15?,?. ??10分 ?22?第 10 页 共 10 页

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