(完整word版)圆锥曲线综合训练题(分专题,含答案),推荐文档

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圆锥曲线40个专题969页word推荐度：
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圆锥曲线综合训练题

一、求轨迹方程：

1、（1）已知双曲线1C 与椭圆2C ：22

13649

x y +=有公共的焦点，并且双曲线的离心率1e 与椭圆的

离心率2e 之比为7

3，求双曲线1C 的方程．

（2）以抛物线2

8y x =上的点M 与定点(6,0)A 为端点的线段MA 的中点为P ，求P 点的轨迹方程．（1）解：1C 的焦点坐标为(0,13).±2137e =

由1273

e e =得1133e =设双曲线的方程为22221(,0)y x a b a b -=>则2

222

139a b a b a ?+=??+=?

? 解得229,4a b == 双曲线的方程为22194y x -= （2）解：设点00(,),(,)M x y P x y ，则00

x x y y +?

=????=??，∴00262x x y y =-??=?．

代入2008y x =得：2

412y x =-．此即为点P 的轨迹方程． 2、（1）ABC ?的底边16=BC ，AC 和AB 两边上中线长之和为30，建立适当的坐标系求此三

角形重心G 的轨迹和顶点A 的轨迹．（2）△ABC 中，B(-5,0),C(5,0),且sinC-sinB=5

sinA,求点A

的轨迹方程．

解：（1）以BC 所在的直线为x 轴，BC 中点为原点建立直角坐标系．设G 点坐标为()y x ，，由20=+GB GC ，知G 点的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆，且除去轴上两点．因10=a ，8=c ，

有6=b ，故其方程为

()01361002

2≠=+y y x ．设()y x A ，，()y x G ''，，则()013610022≠'='+'y y x ． ①由题意有???

????='='33

y x x ，代入①，得A 的轨迹方程为()0132490022≠=+y y x ，其轨迹是椭圆（除去x 轴上两点）．

（2）分析：由于sinA 、sinB 、sinC 的关系为一次齐次式，两边乘以2R （R 为外接圆半径），可转化为边长的关系．解：sinC-sinB=

53sinA 2RsinC-2RsinB=5

·2RsinA ∴BC AC AB 5

- 即6=-AC AB （*）

∴点A 的轨迹为双曲线的右支（去掉顶点） ∵2a=6，2c=10 ∴a=3， c=5， b=4

所求轨迹方程为

116

2=-y x （x>3）点评：要注意利用定义直接解题，这里由（*）式直接用定义说明了轨迹（双曲线右支）

3、如图，两束光线从点M （-4，1）分别射向直线y = -2上两点P （x 1，y 1）和Q （x 2，y 2）后，

反射光线恰好通过椭圆C ：12222=+b

y a x （a >b >0）的两焦点，已知椭圆的离心率为21

，且

x 2-x 1=5

，求椭圆C 的方程.

解：设a =2k ，c =k ，k ≠0，则b =3k ，其椭圆的方程为13422

22=-k

y k x . 由题设条件得：114)

2(120x x k ----=--+， ①

24)

2(120x x k ----=--+， ②

x 2-x 1=5

， ③

由①、②、③解得：k =1，x 1=5

-，x 2=-1，所求椭圆C 的方程为13422=+y x . 4、在面积为1的PMN ?中，2

tan =M ，2tan -=N ，建立适当的坐标系，求出以M 、N 为

∴所求椭圆方程为

1542

2=+y

x 解：以MN 的中点为原点，MN 所在直线为x 轴建立直角坐标系，设),(y x P ．

则?

???

?????==+-=-.

1,21,2cy c x y

c x y

∴???????===233435c c y c x 且即

（1）求线段PQ 的中点的轨迹方程；（2）设∠POQ 的平分线交PQ 于点R （O 为原点），求点R 的轨迹方程．解：（1）设线段PQ 的中点坐标为M （x ，y ），由Q （4，0）可得点P （2x -4，2y ），代入圆的方程x 2+y 2=4可得（2x -4）2+（2y ）2=4，整理可得所求轨迹为（x -2）2+y 2=1. （2）设点R （x ，y ），P （m ，n ），由已知|OP |=2，|OQ |=4，∴2

||||=OQ OP ，由角平分线性质可得

||||||||RQ PR OQ OP ==21，又∵点R 在线段PQ 上，∴|PR |=2

|RQ |，∴点R 分有向线段PQ 的比为21，由定比分点坐标公式可得?

????

??????

=+?+=+=+?+=3

22110213422

11421n n y m m x ，即???????=-=232

43y n x m ，∴点P 的坐标为??? ??-23 ,243y x ，代入圆的方程x 2+y 2=4可得4232432

2=??

??+??? ??-y x ，即234??? ??-x +y 2=916（y ≠0）. ∴点R 的轨迹方程为2

34??

? ??

-x +y 2=916（y ≠0）.

6、已知动圆过定点()1,0，且与直线1x =-相切.(1) 求动圆的圆心轨迹C 的方程；(2) 是否存在

直线l ，使l 过点（0，1），并与轨迹C 交于,P Q 两点，且满足

0OP OQ ?=uu u v uuu v ？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由. 解：（1）如图，设M 为动圆圆心， F ()1,0，过点M 作直线1x =-的垂线，垂足为N ，由题

意知：MF MN =，即动点M 到定点F 与定直线1x =-的距离相等，由抛物线的定义知，点M 的轨迹为抛物线，其中()1,0F 为焦点，1x =-为准线， ∴ 动点R 的轨迹方程为x y 42

（2）由题可设直线l 的方程为(1)(0)x k y k =-≠，

由2

(1)

4x k y y x

=-??

=?得2

440y ky k -+=

△2

16160k =->，11k k <->或

设),(11y x P ，),(22y x Q ，则124y y k +=，124y y k =

由0OP OQ ?=u u u r u u u r ，即 ()11,OP x y =u u u r ，()22,OQ x y =u u u r

，于是12120x x y y +=，

即()()21212110k y y y y --+=，222

1212(1)()0k y y k y y k +-++=，

222

4(1)40k k k k k +-+=g ，解得4k =-或0k =（舍去），

又41k =-<-， ∴ 直线l 存在，其方程为440x y +-=

7、设双曲线y a

x 222

31-=的两个焦点分别为F F 12、，离心率为2.（I ）求此双曲线的渐近线l l 12、的方程；（II ）若A 、B 分别为l l 12、上的点，且2512||||AB F F =，求线段AB 的中点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；（III ）过点N ()10，能否作出直线l ，使l 与双曲线交于P 、Q

两点，且OP OQ →→

=·0.若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.

解：（I ）Θe c a =∴=2422

，

Θc a a c 2

312=+∴==，，

∴-

=双曲线方程为y x 2

1，渐近线方程为y x =±3

3 4分

（II ）设A x y B x y ()()1122，，，，AB 的中点()

M x y ，

[

]

Θ25525

21010

333

22333

3331012121221221122121212121212122

122

||||||||()()()()

()

()AB F F AB F F c x x y y y x y x x x x y y y y y x x y y x x y y x x =∴=

=?=∴-+-==

=-=+=+∴+=--=+∴

+++????

?=又，，，， ∴+=+=3213210075325

22()()y x x y ，即

则M 的轨迹是中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长为103，短轴长为103

的椭圆.（9分）（III ）假设存在满足条件的直线l

设l y k x l P x y Q x y ：，与双曲线交于，、，=-()()()11122

[]ΘOP OQ x x y y x x k x x x x k x x x x i →→=∴+=∴+--=∴+-++=·00

110

101212122121221212()()()()由得则，y k x y x k x k x k x x k k x x k k ii =--=???

?--+-=+=-=--()()()

13131633063133

2222212221222由（i ）（ii ）得k 230+= ∴k 不存在，即不存在满足条件的直线l .

8、设M 是椭圆22

1124

x y C +=上的一点，P 、Q 、T 分别为M 关于y 轴、原点、x 轴的对称点，N 为椭圆C 上异于M 的另一点，且MN ⊥MQ ，QN 与PT 的交点为E ，当M 沿椭圆C 运动时，求动点E 的轨迹方程．

解：设点的坐标112211(,),(,)(0),(,),M x y N x y x y E x y ≠

则111111(,),(,),(,),P x y Q x y T x y ----……1分

112

1,(1)

4 1.(2)124

x y x y ?+=????+=??L L L L L L L L ………3分由（1）－（2）可得1.3MN QN k k ?=-…6分又

MN ⊥MQ ，111,,MN MQ MN x k k k y ?=-=-所以11

.3QN y

k x =直线QN 的方程为1111()3y y x x y x =+-，又直线PT 的方程为11.x y x y =-

从而得1111

,.22

x x y y ==-所以112,2.x x y y ==-代入（1）可得2

21(0),3

x y xy +=≠此即为所求的轨迹方程. 9、已知：直线L 过原点，抛物线C 的顶点在原点，焦点在x 轴正半轴上。若点A （-1，0）和点B （0，8）关于L 的对称点都在C 上，求直线L 和抛物线C 的方程．

分析：曲线的形状已知，可以用待定系数法．设出它们的方程，L ：y=kx(k≠0),C:y 2=2px(p>0). 设A 、B 关于L 的对称点分别为A /、B /，则利用对称性可求得它们的坐标分别为：A /

（12,11222+-+-k k k k ），B /（1

)1(8,116222+-+k k k k ）。因为A /、B /均在抛物线上，代入，消去p ，得：k 2-k-1=0.解得：k=

251+,p=552.所以直线L 的方程为：y=251+x,抛物线C 的方程为y 2=5

4x. 10、已知椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x 的左、右焦点分别是F 1（－c ，0）、F 2（c ，0），Q 是椭圆

外的动点，满足.2||1a F =点P 是线段F 1Q 与该椭圆的交点，点T 在线段F 2Q 上，并且满足

.0||,022≠=?TF TF （Ⅰ）设x 为点P 的横坐标，证明x a

a F +

=||1；（Ⅱ）求点T 的轨迹C 的方程；（Ⅲ）试问：在点T 的轨迹C 上，是否存在点M ，使△F 1MF 2的面积S=.2b 若存在，

求∠F 1MF 2的正切值；若不存在，请说明理由. （Ⅰ）证法一：设点P 的坐标为).,(y x

由P ),(y x 在椭圆上，得

)()()(||22

222

1x a

a x

a b b c x y c x F +=-++=++=

由0,>+-≥+

≥a c x a c a a x 知，所以 .||1x a

a F +=………………………3分证法二：设点P 的坐标为).,(y x 记,||,||2211r F r F ==

则.)(,)(222221y c x r y c x r ++=++=

由.||,4,211222121x a c

a r F cx r r a r r +

===-=+得证法三：设点P 的坐标为).,(y x 椭圆的左准线方程为.0=+

x a

a 由椭圆第二定义得a c c

a x F =+|

|||2

1，即.||||||2

1x a c a c a x a c P F +=+=

由0,>+-≥+

-≥a c x a c a a x 知，所以.||1x a

a F +=…………………………3分（Ⅱ）解法一：设点T 的坐标为).,(y x

当0||=PT 时，点（a ，0）和点（－a ，0）在轨迹上.

当|0||0|2≠≠TF PT 且时，由0||||2=?TF PT ，得2TF PT ⊥. 又||||2PF =，所以T 为线段F 2Q 的中点. 在△QF 1F 2中，a F ==

||2

||1，所以有.222a y x =+ 综上所述，点T 的轨迹C 的方程是.2

a y x =+…………………………7分解法二：设点T 的坐标为).,(y x 当0||=PT 时，点（a ，0）和点（－a ，0）在轨迹上. 当|0||0|2≠≠TF PT 且时，由02=?TF PT ，得2TF PT ⊥.

又||||2PF =，所以T 为线段F 2Q 的中点.

设点Q 的坐标为（y x '',），则???

???'=+'=

,2y y c

x x 因此?

?='-='.2,

2y y c x x ①

由a Q F 2||1=得.4)(2

a y c x ='++' ② 将①代入②，可得.2

a y x =+

综上所述，点T 的轨迹C 的方程是.2

a y x =+……………………7分

（Ⅲ）解法一：C 上存在点M （00,y x ）使S=2b 的充要条件是

?????=?=+.||22

20b y c a y x 由③得a y ≤||0，由④得.||20c b y ≤

所以，当c

b a 2≥时，存在点M ，使S=2b ；当c

b a 2

<时，不存在满足条件的点M.………………………11分

当c

b a 2

≥时，),(),,(002001y x c MF y x c MF --=---=，

由2

2220

22021b c a y c x MF MF =-=+-=?， 212121cos ||||MF F MF MF MF ∠?=?，

22121sin ||||2

b MF F MF MF S =∠?=

，得.2tan 21=∠MF F 解法二：C 上存在点M （00,y x ）使S=2b 的充要条件是

?????=?=+.||22

022020b y c a y x 由④得.||20c b y ≤ 上式代入③得.0))((22242

20≥+-=-=c b a c b a c

b a x 于是，当c

b a 2≥时，存在点M ，使S=2b ；当c

b a 2

<时，不存在满足条件的点M.………………………11分

当c

b a 2

≥时，记c x y k k c x y k k M F M F -==+==00200121,，

由,2||21a F F <知?<∠9021MF F ，所以.2|1|tan 2

12121=+-=∠k k k k MF F …………14分

11、设抛物线2

:x y C =的焦点为F ，动点P 在直线02:=--y x l 上运动，过P 作抛物线C 的

两条切线PA 、PB ，且与抛物线C 分别相切于A 、B 两点.（1）求△APB 的重心G 的轨迹方程；（2）证明∠PFA=∠PFB.

解：（1）设切点A 、B 坐标分别为))((,(),(012

1120x x x x x x ≠和，

∴切线AP 的方程为：;022

00=--x y x x

切线BP 的方程为：;022

11=--x y x x 解得P 点的坐标为：101

0,2

x x y x x x P P =+=

所以△APB 的重心G 的坐标为 P P

G x x x x x =++=

10，

43)(332

1021010212

010p

P P G y x x x x x x x x x y y y y -=-+=++=++=

所以2

43G G p x y y +-=，由点P 在直线l 上运动，从而得到重心G 的轨迹方程为：

).24(3

,02)43(22+-==-+--x x y x y x 即

③ ④

（2）方法1：因为).4

1,(),41,2(

),41,(2

1110102

00-=-+=-=x x x x x x x x 由于P 点在抛物线外，则.0||≠

∴||41)1)(1(||||cos 102

010010FP x x x x x x x x FA FP AFP +

=--+?+==∠

同理有||41)1)(1(||||cos 102

110110FP x x x x x x x x FB FP BFP +

=--+?+==

∠ ∴∠AFP=∠PFB.

方法2：①当,0,0,,0000101==≠=y x x x x x 则不妨设由于时所以P 点坐标为)0,2

(

x ，则P 点到直线AF 的距离为：,4141

:;2||1

2111x x x y BF x d -=

-=的方程而直线

即.04

)41(1121

=+--x y x x x

所以P 点到直线BF 的距离为：2||412|

|)41()()4

1(|42)41(|1211

212

1221112

2x x x x x x x x x d =++=+-+-=

所以d 1=d 2，即得∠AFP=∠PFB.

②当001≠x x 时，直线AF 的方程：,04

1)41(),0(041

41002002

0=+-----

=-x y x x x x x x y 即直线BF 的方程：,04

1)41(),0(041

411121121=+-----

=-x y x x x x x x y 即所以P 点到直线AF 的距离为：

2||41)

41)(2|)4

1(|41)2)(41(|1020201020

2200120102

01x x x x x x x x x x x x x x d -=++-=+-+-+-=，同理可得到P

点到直线BF 的距离2

|012x x d -=，因此由d 1=d 2，可得到∠AFP=∠PFB. 二、中点弦问题：

12、已知椭圆1222=+y x ，（1）求过点??

? ??2121，P 且被P 平分的弦所在直线的方程；（2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；（3）过()12，A 引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；（4）

椭圆上有两点P 、Q ，O 为原点，且有直线OP 、OQ 斜率满足2

-=?OQ OP k k ，求线段PQ 中

点M 的轨迹方程．

分析：此题中四问都跟弦中点有关，因此可考虑设弦端坐标的方法．

解：设弦两端点分别为()11y x M ，，()22y x N ，，线段MN 的中点()y x R ，，则

??????

?=+=+=+=+④

，③

，②

，①，y y y x x x y x y x 2222222

1212

22121 ①－②得()()()()022*******=-++-+y y y y x x x x ．由题意知21x x ≠，则上式两端同除以21x x -，有

()()022*******=-+++x x y y y y x x ，

将③④代入得022

1=--+x x y y y

x ．⑤

（1）将21=

x ，2

=y 代入⑤，得212121

-=--x x y y ，故所求直线方程为： 0342=-+y x ． ⑥ 将⑥代入椭圆方程2222=+y x 得041662

=--y y ，04

16436>??-=?符合题意，

0342=-+y x 为所求．

（2）将22

1=--x x y y 代入⑤得所求轨迹方程为： 04=+y x ．（椭圆内部分）

（3）将2

12121--=--x y x x y y 代入⑤得所求轨迹方程为： 02222

2=--+y x y x ．（椭圆内部分）

（4）由①＋②得：

()

2212

221=+++y y x x ， ⑦，将③④平方并整理得 212222124x x x x x -=+， ⑧， 2122

22124y y y y y -=+， ⑨

将⑧⑨代入⑦得：

()

2244

242122

12=-+-y y y x x x ， ⑩ 再将212121x x y y -=代入⑩式得： 221242212

212=??

? ??--+-x x y x x x ，即

122

=+y x ．

此即为所求轨迹方程．当然，此题除了设弦端坐标的方法，还可用其它方法解决． 13、椭圆C:

1(0)x y a b a b +=>>的两个焦点为F 1,F 2,点P 在椭圆C 上，且11212414

,||,||.

PF F F PF PF ⊥==（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若直线l 过圆x 2+y 2+4x-2y=0的圆心M ，交椭圆C 于,A B 两点，且A 、B 关于点M 对称，求直线l 的方程.

解法一：(Ⅰ)因为点P 在椭圆C 上，所以6221=+=PF PF a ，a=3. 在Rt △PF 1F 2中，,522

2221=-=

PF PF F F 故椭圆的半焦距c =5,

从而b 2=a 2－c 2=4,所以椭圆C 的方程为4

2y x +＝1. (Ⅱ)设A ，B 的坐标分别为（x 1,y 1）、（x 2,y 2）. 由圆的方程为（x +2）2+(y －1)2=5,所以圆心M 的坐标为（－2，1）. 从而可设直线l 的方程为 y =k (x +2)+1, 代入椭圆C 的方程得（4+9k 2）x 2+(36k 2+18k )x +36k 2+36k －27=0.

因为A ，B 关于点M 对称.所以.29491822

221-=++-=+k k k x x 解得9

=k ，所以直线l 的方程为,1)2(9

++=

x y 即8x -9y +25=0. (经检验，符合题意) 解法二：(Ⅰ)同解法一.

(Ⅱ)已知圆的方程为（x +2）2+(y －1)2=5,所以圆心M 的坐标为（－2，1）. 设A ，B 的坐标分别为（x 1,y 1）,(x 2,y 2).由题意x 1≠x 2且

,14

121=+y

①

,14

222=+y

②

①-②得

.04

)

)((9))((21212121=+-++-y y y y x x x x ③

因为A 、B 关于点M 对称，所以x 1+ x 2=－4, y 1+ y 2=2, 代入③得

2121x x y y --＝98，即直线l 的斜率为9

8，

所以直线l 的方程为y －1＝

（x+2），即8x －9y +25=0.(经检验，所求直线方程符合题意. 14、已知椭圆22

221(0)y x a b a b

+=>>

的一个焦点1(0,F -

，对应的准线方程为y =.（1）

求椭圆的方程；（2）直线l 与椭圆交于不同的两点M 、N ，且线段MN 恰被点13,22P ??

- ???

平分，

求直线l 的方程.

解：（1

）由2

222.c a

c a b c ?-=-??-=??

?=+?

3,1a b ==

即椭圆的方程为2

1.9

y x +=

（2）易知直线l 的斜率一定存在，设l ：313,.2222k y k x y kx ?

?-=+=++ ??

?即

设M （x 1, y 1），N （x 2, y 2），由2

23,221.

9k y kx y x ?

=++????+=?? 得2222

327(9)(3)0.424k k x k k x k +++++-= ∵x 1、x 2为上述方程的两根，则222

327(3)4(9)042

4k k k k k ??

?=+-+?+-> ???

①

∴2

122

3.9k k x x k ++=-+

∵MN 的中点为13,22P ??

- ???

，∴1212 1.2x x ??+=?-=- ??? ∴223 1.9k k k +-=-+

∴2239k k k +=+，解得k =3.

代入①中，229927184(99)180424??

?=-+?+-=> ???

∴直线l ：y =3x +3符合要求.

15、设12,F F 分别是椭圆C ：22

221(0)x y a b a b

+=>>的左右焦点，(1)设椭圆C

上的点到12,F F 两点距离之和等于4，写出椭圆C 的方程和焦点坐标；(2)设K 是（1）中所得椭圆上的动点，求线段1KF 的中点B 的轨迹方程；(3)设点P 是椭圆C 上的任意一点，过原点的直线L 与

椭圆相交于M ，N 两点，当直线PM ，PN 的斜率都存在，并记为,PM PN k K 试探究PM

k K ?

的值是否与点P 及直线L 有关，并证明你的结论. 解：（1

）由于点2

在椭圆上，2

21b +=2a =4, 椭圆C 的方程为

143

x y +=焦点坐标分别为（-1，0），（1，0）

（2）设1KF 的中点为B （x, y ）则点(21,2)K x y + 把K 的坐标代入椭圆221

x y +=中得

(21)(2)143

x y ++=线段1KF 的中点B 的轨迹方程为2

21()1

y x ++=

（3）过原点的直线L 与椭圆相交的两点M ，N 关于坐标原点对称设

0000(,)(,),(,)

M x y N x y p x y --,,M N P 在椭圆上，应满足椭圆方程，得

2222

00222211x y x y a b a b

+=+=，0

PM PN y y y y k K x x x x -+=

PN k K ?=22

00022000y y y y y y x x x x x x -+-?=-+-=2

2b a

故：PM PN k K ?的值与点P 的位置无关，同时与直线L 无关

16、已知椭圆的一个焦点为)22,0(1-F ，对应的准线为429-=y ，离心率e 满足3

,,32e 成

等比数列．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）是否存在直线l ，使l 与椭圆交于不同的两点B A ,，且线

段AB 恰好被直线2

-=x 平分？若存在，求出直线l 的倾斜角α的取值范围；若不存在，说明

理由．

解： (Ⅰ)由题意知，9

34322

=?=

e ，所以322=e ．设椭圆上任意一点P 的坐标为),(y x ，则由椭圆的第二定义得，

224

29)22(2

+++y y x ，化简得1922=+y x ，故所求椭圆方程为1922

=+y x ．（Ⅱ）设),(),,(2211y x B y x A ，AB 中点),(00y x M ，依题意有

???

????

+=-=+=22

122

10210y y y x x x ，可得??

?=+-=+0212121y y y x x ．若直线l 存在，则点M 必在椭圆内，故19

)21(2

02<+-y

，解得023*******<<-<

????=+=+

)2(19)1(19

2222

121y x y x )1()2(-得，09

)

)(())((1212

1212=+-++-y y y y x x x x ，故0121212122)1(9)(9y y y x x x x y y k AB -?-=++-=--=，所以AB

k y 29

0=，

则有029

233233290<<-<<

AB k k 或，解得33-<>

AB AB k k 或，

故存在直线l 满足条件，其倾斜角)3

2,2()2,3(

ππ

πα?∈．三、定义与最值：

17、已知F 是椭圆225945x y +=的左焦点，P 是此椭圆上的动点，A(1,1)是一定点．

（1）求3

PA PF +

的最小值，并求点P 的坐标；（2）求PA PF +的最大值和最小值．

解:(1)由椭圆的第二定义转化知32PA PF +

的最小值是2

11，此时P )1,556(-

； (2)依题意，由椭圆的第二定义知)(6)6(22PF PA PF PA PF PA -+=-+=+

∵222=

≤-AF PF PA ∴222≤-≤-PF PA

∴)(26262=+≤+≤-三点共线时取、、当且仅当F A P PF PA 18、设F 1、F 2分别是椭圆2

214x y +=的左、右焦点，若P 是该椭圆上的一个动点，

（Ⅰ）求12PF PF ?u u u r u u u r

的最大值和最小值;（Ⅱ）求21PF PF ?的最大值和最小值．

解：易知2,1,a b c ===

12(0),0).F F

设P （x, y ）

，则2222

2121(,),)313(38).44x PF PF x y x y x y x x ?=-?-=+-=+--=-u u u r u u u r

因为[2,2]x ∈-，故当x =0，即点P 为椭圆短轴端点时，21PF PF ?u u u r u u u r

有最小值-2.

当2x =±，即点P 为椭圆长轴端点时，21PF PF ?u u u r u u u r

有最大值1.

、若双曲线过点

，其渐近线方程为y =.（I ）求双曲线的方程; （II ）已知A )2,3(，)0,3(B ,在双曲线上求一点P ,使PB PA 3

的值最小．

解：（Ⅰ）12y x 2

=-（II ）)2,3(P ,最小值为333-

20、以椭圆

1222

=+y

x 的焦点为焦点，过直线09=+-y x l ：上一点M 作椭圆，要使所作椭圆的长轴最短，点M 应在何处？并求出此时的椭圆方程．

分析：椭圆的焦点容易求出，按照椭圆的定义，本题实际上就是要在已知直线上找一点，使该点

到直线同侧的两已知点（即两焦点）的距离之和最小，只须利用对称就可解决．

解：如图所示，椭圆

122

2=+y x 的焦点为()031，-F ，()032，F ．点1F 关于直线09=+-y x l ：的对称点F 的坐标为（－9，6），直线2FF 的方程为032=-+y x ．

解方程组?

??=+-=-+090

32y x y x 得交点M 的坐标为（－5，4）．此时21MF MF +最小．

所求椭圆的长轴：562221==+=FF MF MF a ，∴53=a ，又3=c ，

∴()

363532

2222=-=-=c a b ．因此，所求椭圆的方程为136

4522=+y x ． 21、已知动点P 与双曲线22x －3

y =1的两个焦点F 1、F 2的距离之和为6．

（Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）若1PF ?2PF =3，求⊿PF 1F 2的面积；（Ⅲ）若已知D(0,3)，M 、N 在轨迹C 上且DM =

DN ，求实数的取值范围．

解：①92x +42y =1；②2；③[5

,5]

22、 E 、F 是椭圆22

24x y +=的左、右焦点，l 是椭圆的右准线，点P l ∈，过点E 的直线交

椭圆于A 、B 两点.（1）当AE AF ⊥时，求AEF ?的面积；（2）当3AB =时，求AF BF +的大小；（3）求EPF ∠的最大值．

解：（1）22

41282AEF m n S mn m n ?+=??==?+=?

（2）因4

AE AF AB AF BF BE BF ?+=??++=?

+=??，则 5.AF BF +=

（3）设(22,)(0)P t t > ()tan EPF tan EPM FPM ∠=∠-∠

32232222223

(

(1t ?=÷+==≤，当6t =3

303

tan EPF EPF ∠=

?∠=o 23、已知定点)1,0(A 、)1,0(-B 、)0,1(C ，动点P 满足：2

||?→

??→??→?=?PC k BP AP .（1）求动点

P 的轨迹方程，并说明方程表示的图形；（2）当2=k 时，求||?→

??→?+BP AP 的最大值和最小值．

解：(1)设动点P 的坐标为),(y x ，

则)1,(-=?→?y x AP ，)1,(+=?→?y x BP ，),1(y x PC -=?→

∵2

||?→

??→??→?=?PC k BP AP ，∴[]

222)1(1y x k y x +-=-+，

即 012)1()1(2

2=--+-+-k kx y k x k .

若1=k ，则方程为1=x ，表示过点)0,1(且平行于y 轴的直线.

若1≠k ，则方程为2

22)11()1(k

y k k x -=+-+

，表示以)0,1(k

-为圆心，以为半径

|1|1k -的圆. (2)当2=k 时，方程化为1)2(2

2=+-y x .

)2,2()1,()1,(y x y x y x BP AP =++-=+?→

??→

∴2

22||y x BP AP +=+?→

??→

?. 又∵1)2(2

=+-y x ，

∴ 令θθsin ,cos 2=+=y x ，则

θcos 4522||22+=+=+?→

??→

?y x BP AP

∴当1cos =θ时，||?→

??→

?+BP AP 的最大值为6，当1cos -=θ时，最小值为2.

24、点A 、B 分别是以双曲线

162x 120

=-y 的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆C 长轴的左、右端点，点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆C 上，且位于x 轴上方，0=? （1）求椭圆C

的的方程；（2）求点P 的坐标；（3）设M 是椭圆长轴AB 上的一点，点M 到直线AP 的距离等于|MB|，求椭圆上的点到M 的距离d 的最小值．

解（1）已知双曲线实半轴a 1=4，虚半轴b 1=25，半焦距c 1=62016=+， ∴椭圆的长半轴a 2=c 1=6，椭圆的半焦距c 2=a 1=4，椭圆的短半轴2b =204622=

-，

∴所求的椭圆方程为

+362x 120

=y （2）由已知)0,6(-A ,)0,4(F ，设点P 的坐标为),(y x ，则

),,4(),,6(y x y x -=+=由已知得

P x

213620(6)(4)0x y x x y ?+=?

?+-+=?

则018922

=-+x x ，解之得623-==x x 或，

由于y>0，所以只能取23=x ，于是325=y ，所以点P 的坐标为??

??325,

239分（3）直线063:=+-y x AP ，设点M 是)0,(m ，则点M 到直线AP 的距离是2

+m ，于

是62

-=+m m ，又∵点M 在椭圆的长轴上，即 66≤≤-m 2m ∴= ∴当2=m 时，椭圆上的点到)0,2(M 的距离

22222549

(2)4420()15992

x d x y x x x =-+=-++-

=-+ 又66x -≤≤ ∴当2

=x 时，d 取最小值15

25、已知在平面直角坐标系xoy 中，向量32),1,0(的面积为OFP ?=，

且,OF FP t OM j ?==+uu u r uu r uuu r u r r .（I

）设4t θ<<求向量OF 与FP 的夹角uu v uu v 的取值范围；（II ）

设以原点O 为中心，对称轴在坐标轴上，以F 为右焦点的椭圆经过点M ，且

||,)13(,||2OP c t c OF 当-==取最小值时，求椭圆的方程.

解：（1）由3

4sin cos ,sin 34||||,sin ||||2

132θθθ

θt FP OF FP OF ==???=由得，

得.34tan t

=θ…………………………………………………………………3分

],0[3

tan 1344πθθ∈<<∴<<ΘΘt ∴夹角θ的取值范围是（

4π

π）

………………………………………………………………6分（2）).0,(),,(),,(0000c y c x y x P =-则设

2000000(,)(,0)()1)1||||2OFP OF FP x c y c x c c t c x S OF y y ?∴?=-?=-==∴==?==u u u r u u u r

u u u r

…………………………………………………………………………………………8分

||OP ∴=u u u r 分

∴当且仅当)32,32(,,62||,2,3

43±===

c c

c 此时取最小值时即 )3,2()1,0()32,32(33

=+=

∴OM 或)1,2()1,0()32,32(3

3-=+-=OM …………12分椭圆长轴12,48)03()22()03()22(222222==∴=-+++-+-=b a a 或2

1,217117

1)01()22()01()22(222222+=

∴+=--+++--+-=b a a 故所求椭圆方程为

112162

2=+y x .或12

17922=+++y x …………14分 26、已知点)1,0(F ，一动圆过点F 且与圆8)1(2

=++y x 内切．

（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹C 的方程；（Ⅱ）设点)0,(a A ，点P 为曲线C 上任一点，求点A 到点P 距离的最大值)(a d ；

（Ⅲ）在10<

所以点M 的轨迹C 是以E 、F 为焦点，长轴长为22的椭圆，其方程为12

=+y x ．（Ⅱ）设),(y x P ，则2222)()(||2

222222++--=-+-=+-=a ax x x a x y a x PA

22)(22+++-=a a x ，令22)()(22+++-=a a x x f ，]1,1[-∈x ，所以，

当1-<-a ，即1>a 时)(x f 在]1,1[-上是减函数，[]2

max )1()1()(+=-=a f x f ；

当11≤-≤-a ，即11≤≤-a 时，)(x f 在],1[a --上是增函数，在]1,[a -上是减函数，则

[]22)()(2max +==

a a f x f ；

当1>-a ，即1-

max )1()1()(-==a f x f ．

所以，???

????>+≤≤-+-<-=1,111,221,

1)(2

a a a a a a a d ．

（Ⅲ）当10<

21a a S -=

,2222+=a S ,（12分）若正数m 满足条件，则)22()1(2212

2+≤-a m a a ，即)

1(4)1(22

2+-≥a a a m ，

22222

)1(8)1(+-≥a a a m ，令2

222)

1(8)1()(+-=a a a a f ，设12+=a t ，则)2,1(∈t ，12

-=t a ，于是641

431411328123818)2)(1()(2

2222+??? ??--=??? ??-+-=???

? ??-+-=--=t t t t t t t t t a f ，所以，当431=t ，即)2,1(34∈=t 时，641

)]([max =a f ，

即6412

≥m ，8

1≥m ．所以，m 存在最小值81．

27、已知点M （-2，0），N （2，0），动点P 满足条件|PM |-|PN |=22. 记动点P 的轨迹为W . （1）求W 的方程；（2）若A 、B 是W 上的不同两点，O 是坐标原点，求OB OA ?的最小值．（1）由|PM |-|PN |=22知动点P 的轨迹是以M ，N 为焦点的双曲线的右支，实半轴长a =2.

又半焦距c =2，故虚半轴长b =.222=-c

所以W 的方程为12

2=-y x ，x ≥2. （2）设A 、B 的坐标分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2）.

当AB ⊥x 轴时，x 1=x 2，y 1=y 2，从而·

=x 1x 2+y 1y 2=.221

1=-y x 当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y =kx +m ，与W 的方程联立，消去y 得（1-k 2）x 2-2kmx -m 2-2=0，

故x 1+x 2=2

12k

-，x 1x 2=1222-+k m ，所以·=x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+（kx 1+m ）（kx 2+m ）=（1+k 2）x 1x 2+km （x 1+x 2）+m 2

=.142122121)2)(1(2

222

222222-+=-+=+-+-++k k k m k m k k m k 又因为x 1x 2>0，所以k 2-1>0，从而OA ·

OB >2. 综上，当AB ⊥x 轴时，OA ·

OB 取得最小值2. 28、一束光线从点)0,1(1-F 出发，经直线032:=+-y x l 上一点P 反射后，恰好穿过点

)0,1(2F ．（Ⅰ）求点1F 关于直线l 的对称点1F '的坐标；（Ⅱ）求以1F 、2F 为焦点且过点P 的椭圆C 的方程；（Ⅲ）设直线l 与椭圆C 的两条准线分别交于A 、B 两点，点Q 为线段AB 上的动点，求点Q 到2F 的距离与到椭圆C 右准线的距离之比的最小值，并求取得最小值时点Q 的

坐标．

解：（Ⅰ）设1F '的坐标为),(n m ，则

211-=+m n 且032

212=+--?n

m ．……2分解得52,59=-=n m ，因此，点 1F '的坐标为)5

,59(-． …………………4分

（Ⅱ）11PF F P ='Θ，根据椭圆定义，

得||||||22121F F PF F P a '=+'=22)05

()159(22=-+--=

，……………5分 2=∴a ，112=-=b ．

∴所求椭圆方程为12

=+y x ． ………………………………7分（Ⅲ）22

a Θ，∴椭圆的准线方程为2±=x ． …………………………8分设点Q 的坐标为)32,(+t t )22(<<-t ,1d 表示点Q 到2F 的距离，2d 表示点Q 到椭圆的

右准线的距离．则10105)32()1(2221++=++-=

t t t t d ，22-=t d ．

2221)2(225210105-++?=-++=t t t t t t d d ， ……………………………10分令

2)2(2

2)(-++=

t t t t f )22(<<-t ，则)

(t f 在

=t 时取得最小

值． ………………………………13分

因此，

21d d 最小值＝22)34(5=-?f ，此时点Q 的坐标为)3

1,34(-．…………14分

注：)(t f 的最小值还可以用判别式法、换元法等其它方法求得．

29、设F 是椭圆)0(1:22

22>>=+b a b

y a x C 的左焦点，直线l 为其左准线，直线l 与x 轴交于点

P ，线段MN 为椭圆的长轴，已知：.||2||,8||MF PM MN ==且（1）求椭圆C 的标准方程；

（2）若过点P 的直线与椭圆相交于不同两点A 、B 求证：∠AFM=∠BFN ；（3）求三角形ABF 面积的最大值．

解（1）48||=∴=a MN Θ

(12

0132)(2||2||22222=-==∴==?=+--=-=c a b c e c e e c a a c a MF PM 舍去或即得又Θ1

121622=+∴y x 椭圆的标准方程为………………………（文6分，理4分）

（2）当AB 的斜率为0时，显然.0=∠=∠BFN AFM 满足题意

当AB 的斜率不为0时，设),(),,(2211y x B y x A ，AB 方程为,8-=my x 代入椭圆方程

整理得

014448)43(22=+-+my y m 则

431444

348),43(1444)48(22122122+=

?+=

++?-=?m y y m m

y y m m

662222112211-+

-=+++=+∴my y my y x y x y k k BF

AF 0)6)(6()(62212121=--+-=my my y y y my .,0BFN AFM k k BF AF ∠=∠=+∴从而

综上可知：恒有BFN AFM ∠=∠.………………………………（9分）

（3）

434

72||||212212+-=-?=-=???m m y y PF S S S PAF

PBF ABF

316

32724

4372

)4(3472222

2=?≤

-=+--=m m m m

当且仅当

328

1643222=

-m m m 即（此时适合△＞0的条件）取得等号.

三角形ABF 面积的最大值是.33………………………………（13分）

四、弦长及面积：

30、已知双曲线的方程为2

y x -=，设F 1、F 2分别是其左、右焦点．(1)若斜率为1且过F 1 的

直线l 交双曲线于A 、B 两点，求线段AB 的长；(2)若P 是该双曲线左支上的一点，且1260F PF ∠=o

，

求12F PF ?的面积S ．

解：（1）AB ：2y x =+，代入22

y x -=并整理得22470x x --=

设1122()()A x y B x y ，，，则12127

2,2x x x x +==-

6AB ∴===

（2）设21,PF m PF n ==，则m n -=2

在12F PF ?中，由余弦定理有2

162cos602m n mn m n mn mn =+-=-+-o

12mn ∴

=11sin 601222S mn ∴=

=?=o 31、已知椭圆142

2=+y x 及直线m x y +=．（1）当m 为何值时，直线与椭圆有公共点？（2）

若直线被椭圆截得的弦长为5

2，求直线的方程．

解：（1）把直线方程m x y +=代入椭圆方程142

2=+y x 得 ()1422=++m x x ，

即

012522=-++m mx x ．

()()

20161542222

≥+-=-??-=?m m m ，

解

得

25≤≤-

m ．（2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为1x ，2x ，由（1）得5

221m

x x -=+，51221-=m x x ．

根据弦长公式得：5102514521122

=-?-??

??-?+m m ．解得0=m ．方程为x y =． 32、已知长轴为12，短轴长为6，焦点在x 轴上的椭圆，过它对的左焦点1F 作倾斜解为3

的直线交椭圆于A ，B 两点，求弦AB 的长．

分析：可以利用弦长公式]4))[(1(1212

212

x x x x k x x k AB -++=-+=求得，

也可以利用椭圆定义及余弦定理，还可以利用焦点半径来求．

解：(法1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解．

2121x x k AB -+=]4))[(1(212212x x x x k -++=．因为6=a ，3=b ，所以33=c ．因

为焦点在x 轴上，

所以椭圆方程为

362

2=+y x ，左焦点)0,33(-F ，从而直线方程为93+=x y ．由直线方程与椭圆方程联立得：0836372132

=?++x x ．设1x ，2x 为方程两根，所以

37221-

=+x x ，

83621?=

x x ，

=k ，从而

48]4))[(1(1212212212=

-++=-+=x x x x k x x k AB ． (法2)利用椭圆的定义及余弦定理求解．

由题意可知椭圆方程为19

362

2=+y x ，设m AF =1，n BF =1，则m AF -=122，n BF -=122．在

1F AF ?中，

cos

22112

212122π

F F AF F F AF AF -+=，即

362336)12(22???-?+=-m m m ；

所以3

46-=m ．同理在21F BF ?中，用余弦定理得346+=n ，所以1348

=+=n m AB ．

(法3)利用焦半径求解．

先根据直线与椭圆联立的方程0836372132

=?++x x 求出方程的两根1x ，2x ，它们分别是A ，

B 的横坐标．

再根据焦半径11ex a AF +=，21ex a BF +=，从而求出11BF AF AB +=．

33、设双曲线方程22

221(0)x y b a a b

-=>>的半焦距为c ，直线l 过(,0),(0,)a b 两点，已知原点到直线

．（1）求双曲线的离心率；（2）经过该双曲线的右焦点且斜率为2的直线m 被双曲线截得的弦长为15，求双曲线的方程．

解：（1

）2222222222b a b a c a a c a e e >?>?->?>?>?………………………2分

直线l 的方程为1x y

a b +=，即0bx ay ab +-=，由原点到直线l

得

ab d c =

=，即222416()3a c a c -=，…………………………………4分两边同时除以4a 得2416(1)3e e -=，整理得42316160e e -+=，解得24

e =或…5分

又e >2e = ……………………………………………6分

（2）由（1）知道2e =即2c a =，所以设双曲线的方程为22

2213x y a a

又由题意得直线m 方程为2(2)y x a =-，代入双曲线方程得 ……………………7分

22234(2)3x x a a --=，整理得2216190x ax a -+=…………………………………8分

记直线m 与双曲线的交点为1122(,),(,)A x y B x y ，则有2121216,19x x a x x a +== …9分

∴123015AB x a -= ∴1

a =………………………………………………………………………………11分

∴所求双曲线方程为22

11344

x y -

=…………………………………………………12分 34、已知ABC △的顶点A B ，在椭圆22

34x y +=上，C 在直线2l y x =+：上，且AB l ∥．（Ⅰ）当AB 边通过坐标原点O 时，求AB 的长及ABC △的面积；

（Ⅱ）当90ABC ∠=o

，且斜边AC 的长最大时，求AB 所在直线的方程．解：（Ⅰ）因为AB l ∥，且AB 边通过点(00)，，所以AB 所在直线的方程为y x =．

设A B ，两点坐标分别为1122()()x y x y ，，

，．由22

34x y y x

?+=?

=?，得1x =±

．所以12AB x =-=．

又因为AB 边上的高h 等于原点到直线l

的距离．所以h =

ABC S AB h =

=g △．（Ⅱ）设AB 所在直线的方程为y x m =+，由2234x y y x m

?+=?=+?，得22

46340x mx m ++-=．

因为A B ，在椭圆上，所以2

12640m ?=-+>．

设A B ，两点坐标分别为1122()()x y x y ，，，，则1232

x x +=-，212344m x x -=，

所以122

AB x =-=．又因为BC 的长等于点(0)m ，到直线l

的距离，即

BC =22222

210(1)11AC AB BC m m m =+=--+=-++．

所以当1m =-时，AC 边最长，（这时12640?=-+>）

此时AB 所在直线的方程为1y x =-．

35、梯形ABCD 的底边AB 在

y 轴上，原点O 为AB 的中点

，

|||2,AB CD AC BD =

=-⊥M 为CD 的中点.（Ⅰ）求点M 的轨迹方程；

（Ⅱ）过M 作AB 的垂线，垂足为N ，若存在正常数0λ，使0MP PN λ=uuu v uu u v

，且P 点到A 、B 的距离和为定值，求点P 的轨迹E 的方程；（Ⅲ）过1(0,)2

的直线与轨迹E 交于P 、Q 两点，求OPQ ?面积的最大值．

解：（Ⅰ）设点M 的坐标为M (x, y )(x ≠0)，

则(,1(,1C x y D x y -+

又

(0,A B 由AC ⊥BD

有0AC BD =u u u r u u u r

g ，即

(,1)(,1)0x y x y -+=g ，

∴x 2+y 2=1（x ≠0）. ………………………（4分）

（Ⅱ）设P （x, y ），则()0(1),M x y λ+，代入M 的轨迹方程有2

0(1)1(0).x y x λ++=≠

即

1(0)12()10

x y x λ+=≠+，∴P 的轨迹为椭圆（除去长轴的两个端点）.

要P 到A 、B 的距离之和为定值，则以A 、B 为焦点，故1212

(1)0λ-

=+. ∴0 2.λ= 从而所求P 的轨迹方程为9x 2+y 2=1(x≠0). ………………………9分（Ⅲ）易知l 的斜率存在，设方程为1.2

y kx =+ 联立9x 2+y 2=1，有223

(9)0.4k x kx ++-=

设P (x 1, y 1), Q (x 2, y 2)，则1212

223

,.94(9)

k x x x x k k -+=-

=++ 21x x ∴-==令29t

k =+，则21x x -=

且9.t ≥ 211122OPQ S x x ?∴=?-==119,0.9

t t ≥∴<≤Q

所以当119

t =

，即9,t =也即0k =时，OPQ ?．…… 14分

五、范围问题:

36、直线y ＝ax ＋1与双曲线3x 2－y 2＝1相交于A 、B 两点．(1) 当a 为何值时，A 、B 两点在双

曲线的同一支上？当a 为何值时，A 、B 两点分别在双曲线的两支上？(2) 当a 为何值时，以AB 为直径的圆过原点？

解： (1) 联立?????=-+=1

312

2y x ax y ? (3－a 2)x 2－2ax －2＝0 ① 显然a 2≠3，否则方程①只有一解，于是直线与双曲线至多一个交点．

若交点A 、B 在双曲线同支上，则方程①满足：

消去

???

??>->-+=?03

0)3(84222a a a ???

???>-<<<-3366a a a 或 ?

a ∈(－6，－3)∪(3，6)

若A 、B 分别在双曲线的两支上，则有：

???

??<->-+03

0)3(842

22a a a ?a ∈(－3，3) (2) 若以AB 为直径的圆过点O ，则OA ⊥OB ，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)由于x 1＋x 2＝2

32a a

-，x 1x 2

＝

-a a

． ∴y 1y 2＝(ax 1＋1)(ax 2＋1)＝a (x 1＋x 2)＋a 2x 1x 2＋1 ＝a 2·

322-a ＋a ·2

32a a

-＋1＝1 ∵OA ⊥OB ∴x 1x 2＋y 1y 2＝0 ∴

-a ＋1?a ＝±1 此时△＞0，符合要求． 37、已知圆C ：（x -1）2+y 2=r 2 （r >1），设M 为圆C 与x 轴负半轴的交点，过M 作圆C 的弦MN ，并使它的中点P 恰好落在y 轴上．（1）当r =2时，求满足条件的P 点的坐标；（2）当r ∈（1，+∞）时，求点N 的轨迹G 的方程；（3）过点P （0，2）的直线l 与（2）中轨迹G 相

交于两个不同的点E 、F ，若·

CF >0，求直线l 的斜率的取值范围．解：(1)由已知得，r =2时，可求得M 点的坐标为M （-1，0）. 设P （0，b ），则由k CP ·k MP =-1（或用勾股定理）得：b 2=1. ∴b =±1即点P 坐标为（0，±1）. （2）设N 坐标为（x ，y ），由已知得，在圆方程中令y =0，求得M 点的坐标为（1-r ，0）. 设P （0，b ），则由k CP ·k MP =-1（或用勾股定理）得：r =b 2+1.

∵点P 为线段MN 的中点，∴x =r -1=b 2，y =2b ，又r >1.∴点N 的轨迹方程为y 2=4x （x >0）. （3）由题意知直线l 的斜率存在且不等于0. 设直线l 的方程为y =kx +2，E （x 1，y 1），F （x 2，y 2）， x 1>0， x 2>0.

由???=+=x

y kx y 422，得k 2x 2+（4k -4）x +4=0，由?=-32k +16>0，得k <21且k ≠0.

x 1+x 2=2

44k

->0，x 1x 2=24k >0，得k <1. ∵·>0，∴（x 1-1）（x 2-1）+y 1y 2>0. ∴（k 2+1） x 1x 2+（2k -1）（x 1+x 2）+5>0.得k 2+12k >0. ∴k >0或k <-12. ∴0

或k <-12.

38、已知椭圆13

2=+

y x C ：，试确定m 的取值范围，使得对于直线m x y l +=4：，椭圆C 上有不同的两点关于该直线对称．

分析：若设椭圆上A ，B 两点关于直线l 对称，则已知条件等价于：(1)直线l AB ⊥；(2)弦AB 的中点M 在l 上．

利用上述条件建立m 的不等式即可求得m 的取值范围．

解：(法1)设椭圆上),(11y x A ，),(22y x B 两点关于直线l 对称，直线AB 与l 交于),(00y x M 点． ∵l 的斜率4=l k ，∴设直线AB 的方程为n x y +-=41

．由方程组???????

=++-=,134,41

22y

x n x y 消去y 得 0481681322=-+-n nx x ①。∴13821n x x =

+．于是13

42210n

x x x =+=，13

124100n

n x y =

+-=，即点M 的坐标为)1312,134(n n ．∵点M 在直线m x y +=4上，∴m n

n +?=13

44．解得

m n 4

-=． ②

将式②代入式①得04816926132

2=-++m mx x ③

∵A ，B 是椭圆上的两点，∴0)48169(134)26(2

2>-?-=?m m ．解得13

13213132<<-m ． (法2)同解法1得出m n 413-=，∴m m x -=-=)4

(1340，

m m m m x y 34

)(414134100-=--?-=--=，即M 点坐标为)3,(m m --．

∵A ，B 为椭圆上的两点，∴M 点在椭圆的内部，∴

)3(4)(2

2<-+-m m ．解得13

13213132<<-m ．

(法3)设),(11y x A ，),(22y x B 是椭圆上关于l 对称的两点，直线AB 与l 的交点M 的坐标为),(00y x ．

∵A ，B 在椭圆上，∴1342

1=+y x ，

2=+y

x ．两式相减得0))((4))((321212121=-++-+y y y y x x x x ，

即0)(24)(23210210=-?+-?y y y x x x ．∴)(432100212

x x y x x x y y ≠-=--．又∵直线l AB ⊥，∴1-=?l AB k k ，∴14430

0-=?-y x

，即003x y = ①。

又M 点在直线l 上，∴m x y +=004 ②。由①，②得M 点的坐标为)3,(m m --．以下同

解法2.

说明：涉及椭圆上两点A ，B 关于直线l 恒对称，求有关参数的取值范围问题，可以采用列参数满足的不等式：

(1)利用直线AB 与椭圆恒有两个交点，通过直线方程与椭圆方程组成的方程组，消元后得到的一

元二次方程的判别式0>?，建立参数方程．

(2)利用弦AB 的中点),(00y x M 在椭圆内部，满足12

020<+b

a x ，将0x ，0y 利用参数表示，建

立参数不等式．

39、已知抛物线y 2=2px (p≠0)上存在关于直线x+y=1对称的相异两点，求p 的取值范围.

分析：解决本题的关键是找到关于p 的不等式。

设抛物线上关于直线x+y=1对称的两点是M(x 1,y 1)、N(x 2,y 2)，设直线MN 的方程为y=x+b.代入抛物线方程，得：x 2+(2b-2p)x+b 2=0.则x 1+x 2=2p-2b,y 1+y 2=( x 1+x 2)+2b=2p.则MN 的中点P 的坐标为 (p-b,p).因为点P 在直线x+y=1上，所以2p- b=1，即b=2p-1。

又?=(2b-2p)2-4b 2=4p 2-8bp>0,将b=2p-1代入得:4p 2-8p(2p-1)>0,3p 2-2p<0.解得：

40、已知圆2

:9O x y +=

（I ）若直线l 过点)2,1(，且与圆O 交于两点R 、S ，RS 27，

求直线l 的方程；（II ）过圆O 上一动点M 作平行于x 轴的直线m ，设直线m 与y 轴的交点为N ，

若向量OQ OM ON =+uuu v uuu v uuu v

，求动点Q 的轨迹方程；（Ⅲ）若直线n :380l x y +-=，点A 在直线n 上，圆O 上存在点B ，且30OAB ∠=?(O 为坐标原点)，求点A 的横坐标的取值范围. 解：（Ⅰ）①当直线l 垂直于x 轴时，则此时直线方程为1=x ，满足题意.

②若直线l 不垂直于x 轴，设其方程为()12-=-x k y ，即02=+--k y kx

设圆心到此直线的距离为d ，则2

167193d ??

=-= ? ???

∴1|2|12++-=k k ，34k =，故所求直线方程为3450x y -+=，综上所述，所求直线为3450x y -+=或1=x

（Ⅱ）设点M ()00,y x ，Q ()y x ,，则N ()0,0y ∵OQ OM ON =+u u u r u u u u r u u u r

，

∴()()00,,2x y x y = 即x x =0，20y y = 又∵22

00169

x y +=，∴221649y x +=,由已知，直线m //ox 轴，所以，0y ≠，∴Q 点的轨迹方程是22

1649

y x +=(0y ≠) . （Ⅲ）依题意点n A ∈，设0

08(,)3

x A x -．过点A 作圆O 的切线，切点为M ，则30OAM OAB ∠∠=?≥．从而

1sin 302

OAM ∠?=≥sin ，即

||130||2OM OA ?=≥sin ，就是2264||4(||)9OA OM =≤，2

200864()39

x x -+≤,20

0580x x -≤,解得08

[0,]5

x ∈．

41、已知△P AQ 顶点P （-3，0），点A 在y 轴上，点Q 在x 轴正半轴上，0=?，2=.（1）当点A 在y 轴上移动时，求动点M 的轨迹E 的方程；（2）设直线l ：y =k （x +1）与轨迹E 交于B 、C 两点，点D （1，0），若∠BDC 为钝角，求k 的取值范围. 解:（1）OM =（x ，y ），=（0，a ），=（b ，0）（b >0），则=（3，a ），=（b ，-a ）

，又·=0，∴a 2=3b ①，又∵=（x -b ，y ），=（b ，-a ），=2，∴???-==a y b

x 23 ②，

由①②得y 2=4x （x ≠0）. 即M 的轨迹的方程为y 2=4x ，x ≠0.

（2）设=（x 1，y 1），=（x 2，y 2），=（x 1-1，y 1），=（x 2-1，

y 2），·=||·||cos ∠BDC ，∵∠BDC 为钝角，∴cos ∠BDC 0|

|||

∴·

<0，x 1x 2-（x 1+x 2）+1+y 1y 2<0 ③. 由???+==)

1(4x k y x y 消去y ，得k 2x 2+（2k 2-4）x +k 2

=0（k ≠0），则x 1+x 2=22

24k k -，x 1x 2=1 ④，y 1y 2=k 2

（x 1+1）（x 2+1）= k 2［x 1x 2+（x 1+x 2）+1］ ⑤，④⑤代入③，得k 2<2

?22-

（k ≠0），满足△>0. ∴22-

（k ≠0）.

42、给定抛物线C ：y 2=4x ，F 是C 的焦点，过点F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点，记O 为坐标

原点.（1）求·的值；（2）设=λ，当三角形OAB 的面积S ∈［2，5］，求λ的

取值范围.

（1）根据抛物线方程y 2=4x ，可得F （1，0），

设直线l 的方程为x =my +1，将其与C 的方程联立，消去x 得y 2-4my -4=0，设A ，B 的坐标分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2）（y 1>0>y 2）.

则y 1y 2=-4.因为22

21214,4x y x y ==，所以x 1x 2=

.116

221=y y 故=?x 1x 2+y 1y 2=-3.

（2）因为λ=所以（1-x 1，-y 1）=λ（x 2-1，y 2）. 即??

?=--=-②

① 12121y y x x λλλ，又,4121x y =③ 22

24x y =， ④

由②、③、④消去y 1，y 2后，得x 1=λ2x 2，将其代入①注意到λ>0，解得x 2=λ1

. 从而可得y 2=λ

，y 1=λ2.故三角形OAB 的面积S =

|OF |·|y 1-y 2|=λ

λ1

+， O A B

x y

A O B

① ②

③ 因为λλ1+≥2恒成立. 所以只要解λ

λ1

+≤5即可，解得253-≤λ≤25

3+.

43、已知动圆过定点P （1，0），且与定直线1:-=x l 相切，点C 在l 上. （1）求动圆圆心的轨迹M 的方程；（2）设过点P ，且斜率为－3的直线与曲线M 相交于A ，B 两点.（i ）问：△ABC

能否为正三角形？若能，求点C 的坐标；若不能，说明理由；（ii ）当△ABC 为钝角三角形时，

求这种点C 的纵坐标的取值范围.

讲解本例主要考查直线、圆与抛物线的基本概念及位置关系，是解析几何中的存在性问题. （1）由曲线M 是以点P 为焦点，直线l 为准线的抛物线，知曲线M 的方程为x y 42=.

（2）（i ）由题意得，直线AB 的方程为?????=--=--=,

4),

1(3),1(32

x y x y x y 由消y 得 .3,3

,03103212===+-x x x x 解出

于是, A 点和B 点的坐标分别为A )33

2,31(，B （3，32-）

，.3

162||21=++=x x AB 假设存在点C （－1，y ），使△ABC 为正三角形，则|BC|=|AB|且|AC|=|AB|，即有

???

????=-++=+++2

2222

2)316()3

2()131()316()32()13(y y 由①－②得,)3

32()34()32(4222

-+=++y y

14-

=y 解得

因为9314-=y 不符合①，所以由①，②组成的方程组无解.

故知直线l 上不存在点C ，使得△ABC 是正三角形.

（ii ）设C （－1，y ）使△ABC 成钝角三角形，

由.32,

1),1(3=??

?-=--=y x x y 得即当点C 的坐标是（－1，32）时，三点A ，B ，C 共线，故32≠y . 22223

349

28)3

32()3

11(||y y y AC +-=-+--=，

22223428)32()13(||y y y BC ++=+++=，

256

)316(||22==AB .

(i) 当222||||||AB AC BC +>，即9

256

334928342822+

+->++y y y y ，即CAB y ∠>,39

时为钝角.

(ii) 当222||||||AB BC AC +>，即9

256

342833492822+

++>+-y y y y ，即CBA y ∠-<时33

10为钝角.

(iii)当222||||||BC AC AB +>，即

2234283

349289256y y y y

++++->，即0)32(,03433422<+<++y y y . 该不等式无解，所以∠ACB 不可能为钝角.

故当△ABC 为钝角三角形时，点C 的纵坐标y 的取值范围是)32(9

323

310≠>-

44、在Rt △ABC 中，∠CBA=90°，AB=2，AC=

。DO ⊥AB 于O 点，OA=OB ，DO=2，曲线

E 过C 点，动点P 在E 上运动，且保持| PA |+| PB |的值不变.（1）建立适当的坐标系，求曲线E 的方程；（2）过D 点的直线L 与曲线E 相交于不同的两点M 、N 且M 在D 、N 之间，设

λ=DN

，

试确定实数λ的取值范围．

讲解: （1）建立平面直角坐标系, 如图所示 . ∵| PA |+| PB |=| CA |+| CB | y

22)2

(22222=++ ∴动点P 的轨迹是椭圆 . x

∵.1,1,2===c b a

∴曲线E 的方程是 12

=+y x . （2）设直线L 的方程为 2+=kx y , 代入曲线E 的方程222

=+y x ，得 068)12(2

=+++kx x k

设M 1（),(),

221,1y x N y x , 则

????

+=+-=+>?+-=?.126,128,06)12(4)8(2212212k x x k k x x k k ① ②

2- (3，32-)

x y 42=

i) L 与y 轴重合时，3

||||==

DN DM λ ii) L 与y 轴不重合时，

由①得 .2

又∵2

1x x x x x x DN DM

N D M D =--==λ, ∵,012<>x x

∴0＜λ＜1 ,

∴21

2)(1221212

21++=++=?+λ

λx x x x x x x x .

∵

)

12(332)

12(664)(222

k k x x x x +=+=?+

而,232

k ∴.8)1

2(362<+

)

12(33242<+<

k ∴ 316214<++<λλ, 3

12<+<λλ,

.131,3101,21,10<

???

<+>+<<λλλλλλ∴λ的取值范围是??

???1,31 . 45、已知平面上一定点(1,0)C -和一定直线: 4.l x =-Ｐ为该平面上一动点，作,PQ l ⊥垂足为Q ，

0)2()2(=-?+→

→

PC PQ PC PQ .(1) 问点Ｐ在什么曲线上？并求出该曲线方程；（2）点Ｏ是坐标原

点，A B 、两点在点Ｐ的轨迹上，若1,OA OB λλ+=

+（）OC uu v uu u v uu v

求λ的取值范围．解:(1)由(2)(2)0PQ PC PQ PC +?-=u u u r u u u r u u u r u u u r ,得: 22

40PQ PC -=u u u r u u u r ,………（2分）

设(,)P x y ,则2

(4)4(1)0x x y ??+-++=??,化简得: 22

143x y +=,………（4分）

点P 在椭圆上,其方程为22

143

x y +=.………（6分） (2)设11(,)A x y 、22(,)B x y ，由(1)OA OB OC λλ+=+u u u r u u u r u u u r

得：0CA CB λ+=u u u r u u u r r ，所以，A 、B 、C

三点共线.且0λ>,得:1122(1,)(1,)0x y x y λ+++=,即: 12

1x x y y λλλ=---??=-?…（8分）

因为

11143

x y +=,所以222(1)()143x y λλλ----+= ①………（9分）

又因为2222143x y +=,所以22

222()()43

x y λλλ+= ②………（10分）

由①-②得: 2222(1)(1)14x λλλλ+++=- ,化简得: 2352x λ

-=,………（12分）

因为222x -≤≤,所以35222λ

--≤≤.

解得: 133λ≤≤所以λ的取值范围为1,33??

????

. ………（1４分）

六、定值、定点、定直线

46、过y 2=x 上一点A （4，2）作倾斜角互补的两条直线AB 、AC 交抛物线于B 、C 两点.求证：直线BC 的斜率是定值.

分析：（1）点A 为定点，点B 、C 为动点，因直线AB 、AC 的倾斜角互补，所以k AB 与k AC 相反，故可用“k 参数”法，设AB 的斜率为k ，写出直线AB 的方程，将AB 的方程与抛物线方程联立，因A 为已知交点，则方程有一根已知故用韦达定理容易解出点B 坐标，同理可得点C 坐标，再求BC 斜率。

（2）因点B 、C 在抛物线上移动，也可用“点参数”法，设B （x 1,y 1）,C(x 2,y 2),因x 1=y 12,x 2=y 22,即可设B （y 12,y 1）,C(y 22,y 2)。再考虑k AB =-k AC 得参数y 1,y 2的关系。解法1：设AB 的斜率为k ，则AC 的斜率为-k AB ：y-2=k(x-4),与y 2=x 联立得： y-2=k(y 2-4),即ky 2-y-4k+2=0 ∵y=2是此方程的一解，∴2y B=

y k k B 21,24-=

+- x B =y B 2=

,44122

k k k +-∴B ???

? ??-+-k k k k k 21,44122

∵k AC =-k,以-k 代替k 代入B 点坐标得C ????

?-+++k k k k k 21,44122 ∴k BC =4144144121212

2-=+--

++--

k k

k k k k k k

k k 为定值解法2：设B （y 12,y 1）,C(y 22,y 2)，则k BC =

2121

y y y y y y +=

∵k AB =2

42,214222221121+=

--=+=--y y y k y y y AB 由题意，k AB =-k AC ∴

4,21212121-=++-=+y y y y 则则k BC =4

-为定值。点评：解法1运算量较大，但其方法是一种基本方法，因k 的变化而造成了一系列的变化，最终求出BC 的斜率为定值；解法2利用点B ，C 在抛物线上设点，形成含两个参数y 1,y 2的问题，用整体思想解题，运算量较小。

47、已知A ，B 分别是直线y ＝x 和y ＝－x 上的两个动点，线段AB 的长为

，D 是AB 的中

点．（1）求动点D 的轨迹C 的方程；（2）若过点(1,0)的直线l 与曲线C 交于不同两点P 、Q ，

① 当|PQ |＝3时，求直线l 的方程；② 设点E (m ，0)是x 轴上一点，求当PE u u u v ·

QE uu u

v 恒为定值时E 点的坐标及定值．

解：(1)设D (x ，y )，A (a ，a )，B (b ，－b ),∵ D 是AB 的中点， ∴x ＝2

a b

+，y ＝2a b -，

∵ |AB |＝

∴(a －b )2＋(a ＋b )2＝12，∴(2y )2＋(2x )2＝12∴点D 的轨迹C 的方程为x 2＋y 2＝3. (2) ①当直线l 与x 轴垂直时，P (1

，Q (1

，此时|PQ |＝

当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)，由于|PQ |＝3，所以圆心C 到直线l

，

，解得k

＝.故直线l 的方程为y

＝(x －1). ②当直线l 的斜率存在时，设其斜率为k ，则l 的方程为y ＝k (x －1)，由消去y 得(k 2＋1)x 2－2k 2x ＋k 2－3＝0，

设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)则由韦达定理得x 1＋x 2＝2221k k +，x 1x 2＝223

k k -+，

则PE u u u r

＝(m －x 1，－y 1)，QE u u u r ＝(m －x 2，－y 2)，

∴PE u u u r ·

QE u u u

r ＝(m －x 1)(m －x 2)＋y 1y 2＝m 2－m (x 1＋x 2)＋x 1x 2＋y 1y 2 ＝m 2－m (x 1＋x 2)＋x 1x 2＋k 2(x 1－1)(x 2－1) ＝m 2－

2221mk k +＋2231k k -+＋k 2

(2231k k -+－2221

k k +＋1)＝2222(21)31m m k m k --+-+

要使上式为定值须2221

m m m ---＝1，解得m ＝1，∴PE u u u r ·

QE u u u r 为定值－2，当直线l 的斜率不存在时P (1

，Q (1

，

由E (1，0)可得PE u u u r ＝(0

，QE u u u r ＝(0

，∴PE u u u r ·QE u u u

r ＝－2，

综上所述当E (1，0)时，PE u u u r ·

QE u u u

r 为定值－2. 48、垂直于x 轴的直线交双曲线222

2=-y x 于M 、N 不同两点，A 1、A 2分别为双曲线的左顶

点和右顶点，设直线A 1M 与A 2N 交于点P （x 0，y 0）（Ⅰ）证明：;22

020为定值y x +（Ⅱ）过P

作斜率为0

2y x -

的直线l ，原点到直线l 的距离为d ，求d 的最小值. 解（Ⅰ）证明：)0,2(),0,2(),,(),,(211111A A y x N y x M ---Θ则设

)2(2

111++=

∴x x y y M A 的方程为直线 ①

直线A 2N 的方程为)2(2

11---=

x x y y ②……4分

①×②，得)2(2

1212

---=

x x y y

分

为定值的交点与是直线即822),(2

2),2(2

,222020210022222121ΛΛΘΘ=+∴=+--=∴=-y x N A M A y x P y x x y y x

（Ⅱ）02222),(2002

02000

00=-+=+--

=-y y x x y x x x y x y y l 整理得结合的方程为

2020

12222

42y y y

x d +=+=

于是……10分 112

≥+=∴≤+∴≤∴=+y d y y y x Θ 当1,1,12

00取最小值时d y y =±=……12分

49、如图，在平面直角坐标系xOy 中，过定点C （0，p ）作直线与抛物线22(0)x py p =>相交于

A 、

B 两点.

（1）若点N 是点C 关于坐标原点O 的对称点，求ANB ?面积的最小值；

（2）是否存在垂直y 轴的直线l ，使得l 被以AC 为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出l 的方程；若不存在，说明理由．解法一：（1）依题意，点N 的坐标为N （0，-p ），可设A （x 1, y 1），B （x 2, y 2），直线AB 的方程为

y kx p =+，与

x 2=2py

联立得22,

x py y kx p ?=?=+? 消去y 得22220.x pkx p --= 由韦达定理得212122,2.x x pk x x p +==-于是

2121212121

2||||()42

ABN BCN ACN S S S p x x p x x p x x x x ???=+=

?-=-=+-222224822,p p k p p k =+=+

∴当k =0时，2min ()22.ABN S p ?=

（2）假设满足条件的直线l 存在，其方程为y=a , AC 的中点为O '，l 与以AC 为直径的圆相

交于点P 、Q ，PQ 的中点为H ，则,O H PQ O ''⊥点的坐标为11,.2

x y p +??

∵2222111111

||||(),222O P AC x y p y p '=

=+-=+ 1

|||2|,22

y p O H a a y p +'=-=-- ∴22222211111||||||())(2)(),442p PH O P O H y p a y p a y a p a ?

?''=-=+---=-+- ??

∴2

1||(2||)4().2p PQ PH a y a p a ??

??==-+- ???????

令02p a -=，得2p a =，此时|PQ |=p 为定值，故满足条件的直线l 存在，其方程为2p

y =，即

抛物线的通径所在的直线. 解法二：（1）前同解法一，再由弦长公式得

222222222121212||2||1()414821 2.

AB k x x k x x x x k p k p p k k =+-=+?+-=+?+=+?+又由点到直线的距离公式得2

1d k =

+，从而，

2222211||21222221ABN S d AB p k k p k k

??=?+?+?=++，

（2）假设满足条件的直线l 存在，其方程为y=a ，则以AC 为直径的圆的方程为

11(0)()()()0x x x y p y y --+--=，将直线方程y=a 代入得211()()0,x x x a p a y -+--= 则21114()()4().2p x a p a y a y a p a ???

??=---=-

+- ???????

设直线l 与以AC 为直径的圆的交点为P （x 3, y 3），Q （x 4, y 4），则有

3411||||4()2().22p p PQ x x a y a p a a y a p a ?????

?=-=-+-=-+- ? ?????????

令0,22p p a a -==得，此时|PQ |=p 为定值，故满足条件的直线l 存在，其方程为2

y =，即抛物

线的通径所在的直线.

50、已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b

-=>>的离心率为3，右准线方程为3

x =（Ⅰ）求双

曲线C 的方程；（Ⅱ）设直线l 是圆22

:2O x y +=上动点0000(,)(0)P x y x y ≠处的切线，l 与双曲线C 交于不同的两点,A B ，证明AOB ∠的大小为定值.

【解法1】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力．

（Ⅰ）由题意，得23

33a c

c a

?=????=??，解得1,3a c ==， ∴222

2b c a =-=，∴所求双曲线C 的方程为2212

y x -=. （Ⅱ）点()()0000,0P x y x y ≠在圆22

2x y +=上，

圆在点()00,P x y 处的切线方程为()0000

y y x x y -=--，

化简得00

2x x y y +=.由2

0122

y x x x y y ?-=???+=?及22002x y +=得()222000344820x x x x x --+-=， ∵切线l 与双曲线C 交于不同的两点A 、B ，且2

002x <<，

∴20340x -≠，且()()

222

00016434820x x x ?=--->，

设A 、B 两点的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，则2

121222

00482,3434

x x x x x x x x -+==--， ∵cos OA OB AOB OA OB

?∠=?u u u r u u u r

u u u r u u u r ，且()()1212120102201

22OA OB x x y y x x x x x x y ?=+=+--u u u r u u u r ，

()2

1201201220

1422x x x x x x x x x ??=+

-++??- N O

C B

y x O '

()222200002222

000082828143423434x x x x x x x x ?

?--??=+-+----??

002200828203434

x x x x --==-=--.∴ AOB ∠的大小为90?.

【解法2】（Ⅰ）同解法1.

（Ⅱ）点()()0000,0P x y x y ≠在圆2

2x y +=上，

圆在点()00,P x y 处的切线方程为()0000

y y x x y -=--，

化简得002x x y y +=.由2

012

y x x x y y ?-=???+=?及22002x y +=得()222

000344820x x x x x --+-= ①()222

000348820x y y x x ---+= ②∵切线l 与双曲线C 交于不同的两点A 、B ，且

002x <<，∴20

340x -≠，设A 、B 两点的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，则2200121222

008228,3434

x x x x y y x x --==--，∴12120OA OB x x y y ?=+=u u u r u u u r ，∴ AOB ∠的大小为90?

.（∵22

002x y +=且000x y ≠，∴220002,02x y <<<<，从而当20340x -≠时，方程①和方程

②的判别式均大于零）. 51、（1）若A 、B 是抛物线y 2=2Px(p>0)上的点,且∠AOB=90°（O 为原点）．求证：直线AB 过定点．（2）已知抛物线24y x =的焦点为F ， A 、B 为抛物线上的两个动点．（Ⅰ）如果直线AB 过抛物线焦点，判断坐标原点O 与以线段AB 为直径的圆的位置关系，并给出证明；（Ⅱ）如果4OA OB ?=-uu v uu u v

（O 为坐标原点），证明直线AB 必过一定点，并求出该定点． (1)证明：设OA ：y=kx ，代入y 2=2px 得k 2x 2=2px 则k p y k p x 2,22==

∴)2,2(2k p

p A 同理由OB ：y=-

x 可得B(2pk 2,-2pk) 2

22111112222k k k

k k k k

k pk k p pk k p k AB -=-=-+=-+= ∴)2(12:2

pk x k

k pk y AB --=

令x=2p 得y=0，说明AB 恒过定点（2p ，0） (2)解：（Ⅰ）∵焦点F 为（1，0），过点F 的直线AB 的方程可设为1x ty =+，代入抛物线24y x =

得：2440y ty --=，1122(,),(,)A x y B x y 设，则有124y y =-，

2212

12 1.

y y x x ==g 12121430OA OB x x y y ∴=+=-=-

（Ⅱ）设直线AB 的方程为2

,4x ty b y x =+=代入抛物线消去x ，得

21122440.(,),(,)y ty b A x y B x y --=设，则124y y t += ，124.y y b =- 2212121212121212()()()OA OB x x y y ty b ty b y y t y y bt y y b y y ?=+=+++=++++u u u r u u u r

=b b b b bt bt 44442

-=-++-．

令244, 2.b b b -=-∴=，∴直线AB 过定点（2，0）．…………………13分

52、已知椭圆22

22:1(0)x y C a b a b

+=>>上存在一点P 到椭圆左焦点的距离与到椭圆右准线的距

离相等．（I ）求椭圆的离心率e 的取值范围；（II ）若椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1，求椭圆C 的方程；（Ⅲ）若直线:l y kx m =+与（II ）中所述椭圆C 相交于A 、

B 两点（A 、B 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆经过椭圆的右顶点2A ，求证：直线l 过定点，并求出该定点坐标．

解:（Ⅰ）设点P 的坐标为(,)P x y ，则|PF |=a ex +，∴a ex +=2

a x c

-，整理得：2()()a a c x c a c -=+，

而x a ≤，∴2()

()

a a c a c a c -≤+211e ≤<

（II ）3,1a c a c +=-=，3,1,22

===∴b c a ，

∴椭圆的方程为22

143

x y +=．（Ⅲ）设2222(,),(,)A x y B x y ，联立22,

1,43

y kx m x y =+??

=??

得222

(34)84(3)0k x mkx m +++-=．

则222222122

21226416(34)(3)0,3408,344(3)

.34m k k m k m mk x x k m x x k ?

?=-+->+-?

+=-?+?

?-?=

?+?

V f 即又2222

122212122

3(4)()()()34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k

-=++-+-+=-， ∵椭圆的右顶点为222(2,0),,A AA BA ⊥，

2212(2)(2)0,x x y y ∴--+=1212122()40,y y x x x x ∴+-++=

222222

3(4)4(3)1640,343434m k m mk k k k

--∴+++=-++22

71640,m mk k ∴++=

解

得：1222,7

k m k m =-=-

，且均满足22

340k m +->，当12m k =-时，l 的方程为(2)y k x =-，直线过定点()2,0，与已知矛盾．当227k m =-

时，l 的方程为2()7y k x =-，直线过定点2,07?? ???， ∴直线l 过定点，定点坐标为2,07??

???

．

53、已知椭圆E 的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过()2,0A -、()2,0B 、31,2C ??

???

三

点．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）若直线l ：()1y k x =-（0k ≠）与椭圆E 交于M 、N 两点，

证明直线AM 与直线BN 的交点在一条定直线上．（Ⅰ）解法一：当椭圆E 的焦点在x 轴上时，设其方程为

1x y a b +=（0a b >>），则2a =，又点31,2C ?? ???在椭圆E 上，得

2219

124b

+=．解得23b =． ∴椭圆E 的方程为22

143

x y +=．当椭圆E 的焦点在y 轴上时，设其方程为

221x y b a +=（0a b >>），则2b =，又点31,2C ?? ???

在椭圆E 上，得22

19124a +=．解得2

3a =，这与a b >矛盾．综上可知，椭圆E 的方程为

143

x y +=． ……4分解法二：设椭圆方程为22

1mx ny +=（0,0m n >>），将()2,0A -、()2,0B 、31,2C ?? ???代入

椭圆E 的方程，得41,9 1.4m m n =??

?+=??解得14m =，13n =．∴椭圆E 的方程为22143x y +=．（Ⅱ）证法一：将直线l ：()1y k x =-代入椭圆E 的方程22143x y +=并整理，得()()2222348430k x k x k +-+-=，设直线l 与椭圆E 的交点()11,M x y ，()22,N x y ，

由根与系数的关系，得2122834k x x k +=+，()2

122

4334k x x k -=+． ……8分直线AM 的方程为：()1122y y x x =++，它与直线4x =的交点坐标为1164,2y P x ?? ?+??，同理可求

得直线BN 与直线4x =的交点坐标为2224,

2y Q x ?

?-?

． ……10分下面证明P 、Q 两点重合，即证明P 、Q 两点的纵坐标相等：

∵()111y k x =-，()221y k x =-， ∴

()()()()()()

122112

1212612212622222k x x k x x y y x x x x ----+-=

+-+- ()()()()()()

2222

121212128340283434225802222k k k k k k x x x x x x x x ??

--+??++-++????????===+-+-．

因此结论成立．

综上可知，直线AM 与直线BN 的交点在直线4x =上． ……14分

证法二：将直线l ：()1y k x =-，代入椭圆E 的方程22

143

x y +=并整理，得()()2222348430k x k x k +-+-=， ……6分

设直线l 与椭圆E 的交点()11,M x y ，()22,N x y ，

由根与系数的关系，得2

122834k x x k +=+，()2122

4334k x x k

-=+． ……8分直线AM 的方程为：()1

122y y x x =++，即()()11122

k x y x x -=++．

直线BN 的方程为：()2222y y x x =--，即()()22122k x y x x -=--． ……10分由直线AM 与直线BN 的方程消去y ，得 ()()()1212212121212222342233424x x x x x x x x x x x x x x x -++??-+?

?==+-++-

()22222222222222

8324462443434344846423434k k k x x k k k k k x x k k ??-??+-+??-+ ?++??+????===+-+-+++． ∴直线AM 与直线BN 的交点在直线4x =上． ……14分

证法三：将直线l ：()1y k x =-，代入椭圆方程22

143

x y +=并整理，得()()2222348430k x k x k +-+-=， ……6分设直线l 与椭圆E 的交点()1

,M x y ，()2

,N x y ，

由根与系数的关系，得2

122834k x x k +=+，()2122

4334k x x k -=+． ……8分消去2k 得，()1212258x x x x =+-． ……10分

直线AM 的方程为：()1122y y x x =++，即()()11122