2019届高三一轮复习理科数学专题卷 专题五 导数及其应用

2019届高三一轮复习理科数学专题卷

专题五 导数及其应用

考点13：导数的概念及运算（1,2题）

考点14：导数的应用（3-11题，13-15题，17-22题） 考点15：定积分的计算（12题，16题）

考试时间：120分钟 满分：150分

说明：请将选择题正确答案填写在答题卡上，主观题写在答题纸上

第I卷（选择题）

一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。）

1.【来源】2017-2018年河北武邑中学高二理周考 考点13 易 函数f?x??sinx的导数是（ ）

2A.2sinx B.2sin2x C.2cosx D.sin2x 2．【来源】2017-2018年河北武邑中学高二理周考 考点13 易 已知f?x??12x?cosx，f'?x?为f?x?的导函数，则f'?x?的图像是（ ） 4

3.【2017课标II，理11】 考点14 易

2x?1f(x)?(x?ax?1)ex??2若是函数的极值点，则f(x)的极小值为（ ）

A.?1 B.?2e C.5e D.1 4．【来源】2017届湖北孝感市高三理上学期第一次统考 考点14 中难 若曲线y?ln?x?a?的一条切线为y?ex?b，其中a,b为正实数，则a?围是（ ） A.??3?3e的取值范b?2?2e??,??? B.?e,??? C.?2,??? D.?2,e? ?e2?5．【来源】2017届福建闽侯县三中高三上期中 考点14 难

已知函数y?x的图象在点(x0,x0)处的切线为l，若l也与函数y?lnx，x?(0,1)的图象相切，则x0必满足（ ）

22A．0?x0?211?x0?2 D．2?x0?3 B．?x0?1 C．2226．【来源】2017届河北磁县一中高三11月月考 考点14 易

已知函数f?x?的导数为f′?x?，且?x?1?f?x??xf′?x??0对x?R恒成立，则下列函数在实数集内一定是增函数的为（ ）

A.f?x? B.xf?x? C.exf?x? D.xexf?x?

7．【来源】2017届江西抚州市七校高三上学期联考 考点14 易 已知函数f?x?与f'?x?的图象如图所示，则函数g?x??f?x?的递减区间为（ ） xe

A.?0,4? B.???,1?,?,4? C.?0,?4?3????4?? D.?0,1?,?4,??? 3?8．【来源】2017届山东省青州市高三10月段测 考点14中难

定义在R上的函数f(x)满足：f'(x)?1?f(x)，f(0)?6，f'(x)是f(x)的导函数，则不等式ef(x)?e?5（其中e为自然对数的底数）的解集为（ ） A．(0,??) B．(??,0)C．(??,0)xx(3,??)

(1,??) D．(3,??)

9.【2017课标3，理11】考点14 难

2x?1?x?1f(x)?x?2x?a(e?e)有唯一零点，则a=（ ）

已知函数

1A．2

?

1B．3

1C．2

D．1

10．【来源】2017届河南中原名校高三理上质检三 考点14 难 已知函数f?x?的定义域为R,f'?x?为函数f?x?的导函数，当x??0,???时，

2sinxcosx?f'?x0?x?R，f??x??f?x??cos2x?1.则下列说法一定正确的??且

是（ ） A.

1?4?5?f???6?3?2???f????4?3?? ? B.

1?4?5?f???6?3?4???f???4??3?3?f??4?? ?C

3?4???1f?????3?2?3?f???4?? ? D.

1?2?3?????f??? 4??3?11．【来源】2017届辽宁沈阳二中高三理上学期期中 考点14 中难 已知函数 f?x??x2?ax?alnx?a?R?,g?x???x3?52x?2x?6,g?x?在?1,4?上的2最大值为 b，当x??1,???时，f?x??b恒成立，则a的取值范围是（ ） A.a?2 B.a?1 C.a??1 D.a?0 12．【来源】2017届辽宁盘锦高级中学高三11月月考 考点15 中难 已知a?0，b?0，

f'(x)为f(x)的导函数，若f(x)?lnx，且211dx?2f'(a)?b?1，则a?b的最小值为（ ） 1x3299A．42 B．22 C． D．?22 22b?b第Ⅱ卷（非选择题）

二.填空题（每题5分，共20分） 13．【来源】2017届广东省仲元中学高三9月月考 考点14易 已知函数f(x)?lnx?4xx，求曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线方程____________

14．【来源】2017届广西陆川县中学高三8月月考 考点14 中难

若函数f(x)?x?e?ax在R上存在单调递增区间，则实数a的取值范围是 . 15．【来源】2017届湖北襄阳四中高三七月周考二 考点14 中难

若函数f(x)?x2?lnx?1在其定义域内的一个子区间(a?1,a?1)内存在极值，则实数a的取值范围 ． 16．【来源】2015-2016新疆哈密地区二中高二下期末考试 考点15易

如图，阴影部分的面积是_________．

212

三.解答题（共70分） 17．（本题满分10分）

【来源】2017届四川遂宁等四市高三一诊联考 考点14 易

已知函数f?x??aex?x?a?R?，其中e为自然对数的底数，e?2.71828…． （Ⅰ）判断函数f?x?的单调性，并说明理由；

（Ⅱ）若x??1,2?，不等式f?x?≥e?x恒成立，求a的取值范围． 18．（本题满分12分）

【来源】2017届河南百校联盟高三文11月质监 考点14 中难 已知函数f?x??e?ax，（a?0）.

x（Ⅰ）记f?x?的极小值为g(a)，求g(a)的最大值；

（Ⅱ）若对任意实数x恒有f?x??0，求f?a?的取值范围. 19．（本题满分12分）

【来源】2017届河北唐山市高三理上学期期末 考点14中难 已知函数f?x??lnxax??,g?x??x?lnx??1?. x2??（1）求y?f?x?的最大值；

（2）当a??0,?时，函数y?g?x?,x??0,e?有最小值. 记g?x?的最小值为h?a?，

e求函数h?a?的值域.

20．（本题满分12分）

【来源】2017-2018学年江苏南通海安县实验中学高二上学期期中 考点14中难 已知函数f(x)?x?x?ce2?2x?1?????(c?R).

（1）若f(x)是在定义域内的增函数，求c的取值范围；

（2）若函数F(x)?f(x)?f'(x)?5（其中f'(x)为f(x)的导函数）存在三个零点，求c2的取值范围. 21．（本题满分12分）

【来源】2017届四川自贡市高三一诊考试 考点14中难

1已知函数f?x??f'?1?ex?1?f?0?x?x2?f'?x??是f?x?的导数，e为自然对数的底数），

21g?x??x2?ax?b?a?R ， b?R?.

2（Ⅰ）求f?x?的解析式及极值；

（Ⅱ）若f?x??g?x?，求

22.（本题满分12分）

2xxf(x)?ae?(a?2)e?x.

【2017课标1，理21】已知函数

b?a?1?2的最大值.

（1）讨论f(x)的单调性；

（2）若f(x)有两个零点，求a的取值范围.

参考答案

1．D 【解

析

2】由题意得，函数的导数为

f????x(si??xn)?x2?s?xin. x(?sxinx)2sin2．A

1x?sinx， 211所以f???x??(?x)?sin(?x)??[x?sinx]??f?(x)，所以函数f??x?为奇函数，即

22??1函数的图象关于原点对称，当x?时，f?()???1?0，当x?2时，f??x??0恒

224【解析】由题意得，f??x??成立，故选A.

3．【答案】A 【解析】

4．C

?1?e2?【解析】设切点为(x0,y0)，则有?x0?e?b?ae?2，?b?0,?a?，

e?ln(x?a)?ex?b00?a?e1?a??2，故选C. b?2a225．D

【解析】函数y?x的导数y'?2x，y?x在点(x0,x0)处的切线斜率为k?2x0，切线方程为y?x0?2x0?x?x0?，设切线与y?lnx相交的切点为?m,lnm?，（0?m?1），由

22y?lnx的导数为y'?2111可得2x0?，切线方程为y?lnm??x?m?，令x?0，可xmm得y?lnm?1??x0，由0?m?1可得x0?112，且x0?1，解得x0?1由m?，可得

2x022,x0?ln?2x0??1?0，令f?x??x2?ln?2x??1,

x?1,f'?x??2x?且f01?0,f?x?在x?1递增， x2则有x03?1?0，?ln?2x0??1?0的根

?2??2?ln22?1?0,f?3??3?ln2x??2,3?，故选D.

6．D 【解析】

设F?x??xexf?x?，则F′?x???x?1?exf?x??xexf′?x??ex??x????x?1?f?x??xf′?. 且ex?0.∴F′?x?1?f?x??xf′?x??0对x?R恒成立，?x??0,∴F?x?在R上递增. 7．D

【解析】g??x??f??x?ex?f?x?ex?e?x2?f??x??f?x?，令g??x??0即f??x??f?x??0,由图xe可得x??0,1???4,???，故函数单调减区间为?0,1?,?4,???，故选D. 8．A

gx）?e（fx）?e，（x?R），【解析】设（

g（?x）?ex（fx）?exf（?x）?ex?ex[（fx）?f（?x）?1]，f（'x）＞1?（fx），在定义域上单调递增， ?（fx）?f（?x）?1＞0，?g（?x）＞0，?y?g（x）xxex（fx）＞ex?5，?g（x）＞5，

又

g0）（?e0（f0）?e0?6?1?5，?g（x）＞（g0），?x＞0，∴不等式的解集为. （0，??）9．【答案】C

【解析】函数的零点满足x2?2x??a?ex?1?e?x?1?，

x?1设g?x??ex?1?e?x?1，则g??x??e?e?x?1?ex?1?1ex?1e2?x?1??1?， x?1e当g??x??0时，x?1，当x?1时，g??x??0，函数g?x? 单调递减，

?x??0，函数g?x? 单调递增，

?1??2，

当x?1时，g?当x?1时，函数取得最小值g2设h?x??x?2x ，当x?1时，函数取得最小值?1 ，

10．B

【解析】令F?x??sin2x?f?x?，则F'?x??sin2x?f'?x?.因为当x??0,???时，，即sin22sinxcosx?f'?x??0x?f'?x?，所以F'?x??sin2x?f'?x??0，所以

2F?x??sinx?f?x?在x??0,???上单调递增.又?x?R，f??x??f?x??cos2x?1，

所以f??x??f?x??2sinx，

2所以,

2 ，故

F?xs??2i?n?x?为奇f函数x，所以F?x??sinx?f?x?在R上单调递增，所以

?5?F???611．B

??4??F?????31?.即??4??5?f???6?3?4???f????4?3??，故选B. ?【解析】g(x)??3x?5x?2??(x?2)(3x?1)，所以g(x)在[1,2]上是增函数，[2,4]上是减函数g(x)?g(2)?0,f(x)?0在x?[1,??)上恒成立， 由x?[1,??)知，

'2x2在x?[1,??)，时恒成立，令x?lnx?0，所以f(x)?0恒成立等价于a?x?lnxx2x(x?1)?2lnxh(x)?,x?[1,??)，有h'(x)??0，所以h(x)在[1,??)上是增

x?lnx(x?lnx)2函数，有h(x)?h(1)?1，所以a?1. 12．C

【解析】∵f??x??b11b11?1?b???，，∴f??a??，∵b?3dx?b???211x2x2b2xa??b?b111???dx?2fa?b?1，∴?1?b?2?1b?1，∴3x22b2a221??1，∵a?0，b?0，∴a2b21?5a2b5a2b9，当?a?b???a?b????2????????2ba2?a2b?22ba2a2b213且?即a?3,b?时??1，

2baa2b2等号成立，故选C. 13．3x?y?7?0 【解析】f?x????lnx?3x2，所以k?f?(1)??3f,(1?)，切线方程为

y?4??3(x?1),即3x?y?7?0

14．a?2ln2?2

【解析】因为函数f(x)?x?e?ax，所以f?(x)?2x?e?a，因为f(x)?x?e?axx在R上存在单调递增区间，所以f?(x)?2x?e?a?0，即a?2x?e有解，令

2xx2xxxxx，则g??x??2?e，则g??x??2?e?0?x?ln2，所以当x?ln2时，g?x??2x?e当x?n当x?nl2时，l2时，g??x??2?ex?0；g??x??2?ex?0，g?x?max?2ln2?2，所以a?2ln2?2. 15．[1,)

3214x2?111??0，【解析】函数的定义域为(0,??)，令f?(x)?2x?解得x?或x??2x2x22（不在定义域内舍），所以要使函数在子区间(a?1,a?1)内存在极值等价于

??a?1?0133??(a?1,a?1)?(0,??)，即?a?1?1，解得1?a?，答案为[1,)．

?2222?1?a?1??2?16．

32 32【解析】由题意得，直线y?2x与抛物线y?3?x，解得交点分别为(?3,?6)和(1,2)，

2抛物线y?3?x与x轴负半轴交点(?3,0)，设阴影部分的面积为S，则

S??(3?x2?2x)dx??003?3?310?3(3?x2)dx

??2xdx??(3?x2)dx?532?23?9?23?． 3317．（Ⅰ）理由见解析；（Ⅱ）

?1?1 ??,???2e??e?

【解析】（Ⅰ）由题可知，f?x??aex?x，则f??x??aex?1， （i）当a≤0时，f??x?＜0，函数f?x??aex?x为R上的减函数， （ii）当a＞0时，令aex?1?0，得x??lna，

② x????,?lna?，则f??x?＜0，此时函数f?x?为单调递减函数；

②若x???lna,???，则f??x?＞0，此时函数f?x?为单调递增函数．………………(4分) （Ⅱ）由题意，问题等价于x??1,2?，不等式aex?x≥e?x恒成立， 1?xex即x??1,2?，a≥2x恒成立，

e1?xex令g?x??2x，则问题等价于a不小于函数g?x?在?1,2?上的最大值．………………(6分)

e由g??x???1?xe?ex?2x?21?xexe2x??e4x??1?x?ex?2，

e2x当x??1,2?时，g??x?＜0，所以函数g?x?在?1,2?上单调递减，……………………………(8分)

所以函数g?x?在x??1,2?的最大值为g?1??11?， 2ee故x??1,2?，不等式f?x?≥e?x恒成立，实数a的取值范围为?分)

?1?e2??．…………(10,????e?1e218．（Ⅰ）g?a?max?1（Ⅱ）f?a?的取值范围是1,e?e??.

?【解析】（Ⅰ）函数f?x?的定义域是???,???，f'?x??e?a.在定义域上单调递增。

xf'?x??0，得x?lna，所以f?x?的单调区间是?lna,???，函数f?x?在x?lna处取

极小值，

g(a)?f(x)极小值?f(lna)?elna?alna?a?alna .

g'?a??1??1?lna???lna，当0?a?1时，g'?a??0，g?a?在?0,1?上单调递增；

当a?1时，g'?a??0，g?a?在?1,???上单调递减.

所以a?1是函数g?a?在?0,???上唯一的极大值点，也是最大值点，所以

g?a?max?g?1??1.

…………………………………………………………………………………………………………………………………….(6分)

（Ⅱ）当x?0时，a?0，ex?ax?0恒成立.

ex当x?0时，f?x??0，即e?ax?0，即a?.

xxxexexx?exe?x?1??令h?x??，x??0,???，h'?x??，

x2x2x当0?x?1时，h'?x??0，当h'?x??0，故h?x?的最小值为h?1??e， 所以a?e，故实数a的取值范围是?0,e?.

f?a??ea?a2，a??0,e?，f'?a??ea?2a，由上面可知ea?2a?0恒成立,

故f?a?在?0,e?上单调递增，所以f?0??1?f?e??e?e，

e2即

f?a?e的取值范围是

?1,e?e2??. ………………………………………………………………(12分)

19．（1）；（2）[?1ee,?1]. 21－lnx

【解析】（1）f′(x)＝（x＞0）， 2

x

当x∈(0，e)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增； 当x∈(e，＋∞)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减， 所以当x＝e时，f(x)取得最大值f(e)＝（2）g′(x)＝lnx－ax＝x(①当a＝

1

. ………………………………………(3分) e

lnx

－a)，由（1）及x∈(0，e]得： x

1lnx 时，－a≤0，g′(x)≤0，g(x)单调递减， ex

当x＝e时，g(x)取得最小值g(e)＝h(a)＝－②当a∈[0，

e

. .....................(5分) 2

1 1

)，f(1)＝0≤a，f(e)＝＞a， ee

所以存在t∈[1，e)，g′(t)＝0且lnt＝at，

当x∈(0，t)时，g′(x)＜0，g(x)单调递减，当x∈(t，e]时，g′(x)＞0，g(x)单调递增，

所以g(x)的最小值为g(t)＝h(a). ...................................(7分)

t lnt

令h(a)＝G(t)＝－t，

2

lnt－1 e

因为G′(t)＝＜0，所以G(t)在[1，e)单调递减，此时G(t)∈(－，－1]. ...(11

22分)

综上，h(a)∈[－

e

，－1]. ...........................................(12分) 2

20．（1）(??,?]（2）(0,125?6e) 22?2xf(x)?x?x?ce(c?R)， 【解析】（1）因为

?2xf'(x)?2x?1?2cef(x)R所以函数的定义域为，且，

?2xf'(x)?02x?1?2ce由得

1c?(2x?1)e2x?0即2对于一切实数都成立.

1g(x)?(2x?1)e2x2xg'(x)?2xe2再令，则，令g'(x)?0得x?0.

而当x?0时g'(x)?0，当x?0时g'(x)?0，

所以当x?0时g(x)取得极小值也是最小值，即

g(x)min?g(0)??12.

1(??,?]2. ……………………………………(6分) 所以c的取值范围是

?2xf'(x)?2x?1?2ce（2）由（1）知，所以由F(x)?0得

x2?x?ce?2x?(2x?1?2ce?2x)?57c?(x2?x?)e2x2，整理得2.

7h(x)?(x2?x?)e2x22x2xh'(x)?2(x?2x?3)e?2(x?3)(x?1)e2令，则，

令h'(x)?0，解得x??3或x?1. 列表得：

5?6eh(x)x??3由表可知当时，取得极大值2； 3

?e2

当x?1时，h(x)取得极小值2.

x2?x?7?02x2，e?0，所以此时h(x)?0.

又当x??3时，

535h(x)?(0,e?6)h(x)?(?e2,e?6)222因此当x??3时，；当?3?x?1时，；

35h(x)?(?e2,??)(0,e?6)22当x?1时，；因此满足条件c的取值范围是. ……（12分）

1e21．（Ⅰ）f?x??ex?x?x2；f(x)的极大值为f(0)?1，无极小值；（Ⅱ）.

24【解析】（Ⅰ）由已知得f'?x??f'?1?ex?1?f?0??x， 令x?1，得f'?1??f'?1??f?0??1， 即f?0??1 又f?0??f'?1?e，∴f'?1??e，

1从而f?x??ex?x?x2

2∴f'?x??ex?x?1，

又f'?x??ex?x?1在R上递增，且f'?0??0， ∴当x?0时，f'?x??0；x?0时，f'?x??0，

故x?0为极大值点，且f(0)?1 …………………………………………(4分) （Ⅱ）f?x??12x?ax?b?h?x??ex??a?1?x?b?0得h'?x??ex??a?1?， 2① 当a?1?0时，h'?x??0?y?h?x?在x?R上单调递增，x???时，

h?x?→??与h?x??0相矛盾； ……………………………………………(5分)

(x)?0?x?ln(a?1)，h'?x??0?x?ln?a?1?得：当②当a?1?0时， h?x?ln?a?1?时，h?x?min??a?1???a?1?ln?a?1??b?0，

即?a?1???a?1?ln?a?1??b，

∴?a?1?b??a?1???a?1?ln?a?1?，?a?1?0? 令F?x??x2?x2lnx?x?0?，则

22F'?xnx， ???x1?2l?∴F'?x??0?0?x?e，F'?x??0?x?e， 当x?e时，F?x?max?即当a?e?1，b?∴

e， 2ee时，?a?1?b的最大值为， …………………………(11分) 224?a?1?b的最大值为e. …………………………(12分)

222.

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