2019届高三一轮复习理科数学专题卷 专题五 导数及其应用
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2019届高三一轮复习理科数学专题卷
专题五 导数及其应用
考点13:导数的概念及运算(1,2题)
考点14:导数的应用(3-11题,13-15题,17-22题) 考点15:定积分的计算(12题,16题)
考试时间:120分钟 满分:150分
说明:请将选择题正确答案填写在答题卡上,主观题写在答题纸上
第I卷(选择题)
一、选择题(本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是最符合题目要求的。)
1.【来源】2017-2018年河北武邑中学高二理周考 考点13 易 函数f?x??sinx的导数是( )
2A.2sinx B.2sin2x C.2cosx D.sin2x 2.【来源】2017-2018年河北武邑中学高二理周考 考点13 易 已知f?x??12x?cosx,f'?x?为f?x?的导函数,则f'?x?的图像是( ) 4
3.【2017课标II,理11】 考点14 易
2x?1f(x)?(x?ax?1)ex??2若是函数的极值点,则f(x)的极小值为( )
A.?1 B.?2e C.5e D.1 4.【来源】2017届湖北孝感市高三理上学期第一次统考 考点14 中难 若曲线y?ln?x?a?的一条切线为y?ex?b,其中a,b为正实数,则a?围是( ) A.??3?3e的取值范b?2?2e??,??? B.?e,??? C.?2,??? D.?2,e? ?e2?5.【来源】2017届福建闽侯县三中高三上期中 考点14 难
已知函数y?x的图象在点(x0,x0)处的切线为l,若l也与函数y?lnx,x?(0,1)的图象相切,则x0必满足( )
22A.0?x0?211?x0?2 D.2?x0?3 B.?x0?1 C.2226.【来源】2017届河北磁县一中高三11月月考 考点14 易
已知函数f?x?的导数为f′?x?,且?x?1?f?x??xf′?x??0对x?R恒成立,则下列函数在实数集内一定是增函数的为( )
A.f?x? B.xf?x? C.exf?x? D.xexf?x?
7.【来源】2017届江西抚州市七校高三上学期联考 考点14 易 已知函数f?x?与f'?x?的图象如图所示,则函数g?x??f?x?的递减区间为( ) xe
A.?0,4? B.???,1?,?,4? C.?0,?4?3????4?? D.?0,1?,?4,??? 3?8.【来源】2017届山东省青州市高三10月段测 考点14中难
定义在R上的函数f(x)满足:f'(x)?1?f(x),f(0)?6,f'(x)是f(x)的导函数,则不等式ef(x)?e?5(其中e为自然对数的底数)的解集为( ) A.(0,??) B.(??,0)C.(??,0)xx(3,??)
(1,??) D.(3,??)
9.【2017课标3,理11】考点14 难
2x?1?x?1f(x)?x?2x?a(e?e)有唯一零点,则a=( )
已知函数
1A.2
?
1B.3
1C.2
D.1
10.【来源】2017届河南中原名校高三理上质检三 考点14 难 已知函数f?x?的定义域为R,f'?x?为函数f?x?的导函数,当x??0,???时,
2sinxcosx?f'?x0?x?R,f??x??f?x??cos2x?1.则下列说法一定正确的??且
是( ) A.
1?4?5?f???6?3?2???f????4?3?? ? B.
1?4?5?f???6?3?4???f???4??3?3?f??4?? ?C
3?4???1f?????3?2?3?f???4?? ? D.
1?2?3?????f??? 4??3?11.【来源】2017届辽宁沈阳二中高三理上学期期中 考点14 中难 已知函数 f?x??x2?ax?alnx?a?R?,g?x???x3?52x?2x?6,g?x?在?1,4?上的2最大值为 b,当x??1,???时,f?x??b恒成立,则a的取值范围是( ) A.a?2 B.a?1 C.a??1 D.a?0 12.【来源】2017届辽宁盘锦高级中学高三11月月考 考点15 中难 已知a?0,b?0,
f'(x)为f(x)的导函数,若f(x)?lnx,且211dx?2f'(a)?b?1,则a?b的最小值为( ) 1x3299A.42 B.22 C. D.?22 22b?b第Ⅱ卷(非选择题)
二.填空题(每题5分,共20分) 13.【来源】2017届广东省仲元中学高三9月月考 考点14易 已知函数f(x)?lnx?4xx,求曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线方程____________
14.【来源】2017届广西陆川县中学高三8月月考 考点14 中难
若函数f(x)?x?e?ax在R上存在单调递增区间,则实数a的取值范围是 . 15.【来源】2017届湖北襄阳四中高三七月周考二 考点14 中难
若函数f(x)?x2?lnx?1在其定义域内的一个子区间(a?1,a?1)内存在极值,则实数a的取值范围 . 16.【来源】2015-2016新疆哈密地区二中高二下期末考试 考点15易
如图,阴影部分的面积是_________.
212
三.解答题(共70分) 17.(本题满分10分)
【来源】2017届四川遂宁等四市高三一诊联考 考点14 易
已知函数f?x??aex?x?a?R?,其中e为自然对数的底数,e?2.71828…. (Ⅰ)判断函数f?x?的单调性,并说明理由;
(Ⅱ)若x??1,2?,不等式f?x?≥e?x恒成立,求a的取值范围. 18.(本题满分12分)
【来源】2017届河南百校联盟高三文11月质监 考点14 中难 已知函数f?x??e?ax,(a?0).
x(Ⅰ)记f?x?的极小值为g(a),求g(a)的最大值;
(Ⅱ)若对任意实数x恒有f?x??0,求f?a?的取值范围. 19.(本题满分12分)
【来源】2017届河北唐山市高三理上学期期末 考点14中难 已知函数f?x??lnxax??,g?x??x?lnx??1?. x2??(1)求y?f?x?的最大值;
(2)当a??0,?时,函数y?g?x?,x??0,e?有最小值. 记g?x?的最小值为h?a?,
e求函数h?a?的值域.
20.(本题满分12分)
【来源】2017-2018学年江苏南通海安县实验中学高二上学期期中 考点14中难 已知函数f(x)?x?x?ce2?2x?1?????(c?R).
(1)若f(x)是在定义域内的增函数,求c的取值范围;
(2)若函数F(x)?f(x)?f'(x)?5(其中f'(x)为f(x)的导函数)存在三个零点,求c2的取值范围. 21.(本题满分12分)
【来源】2017届四川自贡市高三一诊考试 考点14中难
1已知函数f?x??f'?1?ex?1?f?0?x?x2?f'?x??是f?x?的导数,e为自然对数的底数),
21g?x??x2?ax?b?a?R , b?R?.
2(Ⅰ)求f?x?的解析式及极值;
(Ⅱ)若f?x??g?x?,求
22.(本题满分12分)
2xxf(x)?ae?(a?2)e?x.
【2017课标1,理21】已知函数
b?a?1?2的最大值.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.
参考答案
1.D 【解
析
2】由题意得,函数的导数为
f????x(si??xn)?x2?s?xin. x(?sxinx)2sin2.A
1x?sinx, 211所以f???x??(?x)?sin(?x)??[x?sinx]??f?(x),所以函数f??x?为奇函数,即
22??1函数的图象关于原点对称,当x?时,f?()???1?0,当x?2时,f??x??0恒
224【解析】由题意得,f??x??成立,故选A.
3.【答案】A 【解析】
4.C
?1?e2?【解析】设切点为(x0,y0),则有?x0?e?b?ae?2,?b?0,?a?,
e?ln(x?a)?ex?b00?a?e1?a??2,故选C. b?2a225.D
【解析】函数y?x的导数y'?2x,y?x在点(x0,x0)处的切线斜率为k?2x0,切线方程为y?x0?2x0?x?x0?,设切线与y?lnx相交的切点为?m,lnm?,(0?m?1),由
22y?lnx的导数为y'?2111可得2x0?,切线方程为y?lnm??x?m?,令x?0,可xmm得y?lnm?1??x0,由0?m?1可得x0?112,且x0?1,解得x0?1由m?,可得
2x022,x0?ln?2x0??1?0,令f?x??x2?ln?2x??1,
x?1,f'?x??2x?且f01?0,f?x?在x?1递增, x2则有x03?1?0,?ln?2x0??1?0的根
?2??2?ln22?1?0,f?3??3?ln2x??2,3?,故选D.
6.D 【解析】
设F?x??xexf?x?,则F′?x???x?1?exf?x??xexf′?x??ex??x????x?1?f?x??xf′?. 且ex?0.∴F′?x?1?f?x??xf′?x??0对x?R恒成立,?x??0,∴F?x?在R上递增. 7.D
【解析】g??x??f??x?ex?f?x?ex?e?x2?f??x??f?x?,令g??x??0即f??x??f?x??0,由图xe可得x??0,1???4,???,故函数单调减区间为?0,1?,?4,???,故选D. 8.A
gx)?e(fx)?e,(x?R),【解析】设(
g(?x)?ex(fx)?exf(?x)?ex?ex[(fx)?f(?x)?1],f('x)>1?(fx),在定义域上单调递增, ?(fx)?f(?x)?1>0,?g(?x)>0,?y?g(x)xxex(fx)>ex?5,?g(x)>5,
又
g0)(?e0(f0)?e0?6?1?5,?g(x)>(g0),?x>0,∴不等式的解集为. (0,??)9.【答案】C
【解析】函数的零点满足x2?2x??a?ex?1?e?x?1?,
x?1设g?x??ex?1?e?x?1,则g??x??e?e?x?1?ex?1?1ex?1e2?x?1??1?, x?1e当g??x??0时,x?1,当x?1时,g??x??0,函数g?x? 单调递减,
?x??0,函数g?x? 单调递增,
?1??2,
当x?1时,g?当x?1时,函数取得最小值g2设h?x??x?2x ,当x?1时,函数取得最小值?1 ,
10.B
【解析】令F?x??sin2x?f?x?,则F'?x??sin2x?f'?x?.因为当x??0,???时,,即sin22sinxcosx?f'?x??0x?f'?x?,所以F'?x??sin2x?f'?x??0,所以
2F?x??sinx?f?x?在x??0,???上单调递增.又?x?R,f??x??f?x??cos2x?1,
所以f??x??f?x??2sinx,
2所以,
2 ,故
F?xs??2i?n?x?为奇f函数x,所以F?x??sinx?f?x?在R上单调递增,所以
?5?F???611.B
??4??F?????31?.即??4??5?f???6?3?4???f????4?3??,故选B. ?【解析】g(x)??3x?5x?2??(x?2)(3x?1),所以g(x)在[1,2]上是增函数,[2,4]上是减函数g(x)?g(2)?0,f(x)?0在x?[1,??)上恒成立, 由x?[1,??)知,
'2x2在x?[1,??),时恒成立,令x?lnx?0,所以f(x)?0恒成立等价于a?x?lnxx2x(x?1)?2lnxh(x)?,x?[1,??),有h'(x)??0,所以h(x)在[1,??)上是增
x?lnx(x?lnx)2函数,有h(x)?h(1)?1,所以a?1. 12.C
【解析】∵f??x??b11b11?1?b???,,∴f??a??,∵b?3dx?b???211x2x2b2xa??b?b111???dx?2fa?b?1,∴?1?b?2?1b?1,∴3x22b2a221??1,∵a?0,b?0,∴a2b21?5a2b5a2b9,当?a?b???a?b????2????????2ba2?a2b?22ba2a2b213且?即a?3,b?时??1,
2baa2b2等号成立,故选C. 13.3x?y?7?0 【解析】f?x????lnx?3x2,所以k?f?(1)??3f,(1?),切线方程为
y?4??3(x?1),即3x?y?7?0
14.a?2ln2?2
【解析】因为函数f(x)?x?e?ax,所以f?(x)?2x?e?a,因为f(x)?x?e?axx在R上存在单调递增区间,所以f?(x)?2x?e?a?0,即a?2x?e有解,令
2xx2xxxxx,则g??x??2?e,则g??x??2?e?0?x?ln2,所以当x?ln2时,g?x??2x?e当x?n当x?nl2时,l2时,g??x??2?ex?0;g??x??2?ex?0,g?x?max?2ln2?2,所以a?2ln2?2. 15.[1,)
3214x2?111??0,【解析】函数的定义域为(0,??),令f?(x)?2x?解得x?或x??2x2x22(不在定义域内舍),所以要使函数在子区间(a?1,a?1)内存在极值等价于
??a?1?0133??(a?1,a?1)?(0,??),即?a?1?1,解得1?a?,答案为[1,).
?2222?1?a?1??2?16.
32 32【解析】由题意得,直线y?2x与抛物线y?3?x,解得交点分别为(?3,?6)和(1,2),
2抛物线y?3?x与x轴负半轴交点(?3,0),设阴影部分的面积为S,则
S??(3?x2?2x)dx??003?3?310?3(3?x2)dx
??2xdx??(3?x2)dx?532?23?9?23?. 3317.(Ⅰ)理由见解析;(Ⅱ)
?1?1 ??,???2e??e?
【解析】(Ⅰ)由题可知,f?x??aex?x,则f??x??aex?1, (i)当a≤0时,f??x?<0,函数f?x??aex?x为R上的减函数, (ii)当a>0时,令aex?1?0,得x??lna,
② x????,?lna?,则f??x?<0,此时函数f?x?为单调递减函数;
②若x???lna,???,则f??x?>0,此时函数f?x?为单调递增函数.………………(4分) (Ⅱ)由题意,问题等价于x??1,2?,不等式aex?x≥e?x恒成立, 1?xex即x??1,2?,a≥2x恒成立,
e1?xex令g?x??2x,则问题等价于a不小于函数g?x?在?1,2?上的最大值.………………(6分)
e由g??x???1?xe?ex?2x?21?xexe2x??e4x??1?x?ex?2,
e2x当x??1,2?时,g??x?<0,所以函数g?x?在?1,2?上单调递减,……………………………(8分)
所以函数g?x?在x??1,2?的最大值为g?1??11?, 2ee故x??1,2?,不等式f?x?≥e?x恒成立,实数a的取值范围为?分)
?1?e2??.…………(10,????e?1e218.(Ⅰ)g?a?max?1(Ⅱ)f?a?的取值范围是1,e?e??.
?【解析】(Ⅰ)函数f?x?的定义域是???,???,f'?x??e?a.在定义域上单调递增。
xf'?x??0,得x?lna,所以f?x?的单调区间是?lna,???,函数f?x?在x?lna处取
极小值,
g(a)?f(x)极小值?f(lna)?elna?alna?a?alna .
g'?a??1??1?lna???lna,当0?a?1时,g'?a??0,g?a?在?0,1?上单调递增;
当a?1时,g'?a??0,g?a?在?1,???上单调递减.
所以a?1是函数g?a?在?0,???上唯一的极大值点,也是最大值点,所以
g?a?max?g?1??1.
…………………………………………………………………………………………………………………………………….(6分)
(Ⅱ)当x?0时,a?0,ex?ax?0恒成立.
ex当x?0时,f?x??0,即e?ax?0,即a?.
xxxexexx?exe?x?1??令h?x??,x??0,???,h'?x??,
x2x2x当0?x?1时,h'?x??0,当h'?x??0,故h?x?的最小值为h?1??e, 所以a?e,故实数a的取值范围是?0,e?.
f?a??ea?a2,a??0,e?,f'?a??ea?2a,由上面可知ea?2a?0恒成立,
故f?a?在?0,e?上单调递增,所以f?0??1?f?e??e?e,
e2即
f?a?e的取值范围是
?1,e?e2??. ………………………………………………………………(12分)
19.(1);(2)[?1ee,?1]. 21-lnx
【解析】(1)f′(x)=(x>0), 2
x
当x∈(0,e)时,f′(x)>0,f(x)单调递增; 当x∈(e,+∞)时,f′(x)<0,f(x)单调递减, 所以当x=e时,f(x)取得最大值f(e)=(2)g′(x)=lnx-ax=x(①当a=
1
. ………………………………………(3分) e
lnx
-a),由(1)及x∈(0,e]得: x
1lnx 时,-a≤0,g′(x)≤0,g(x)单调递减, ex
当x=e时,g(x)取得最小值g(e)=h(a)=-②当a∈[0,
e
. .....................(5分) 2
1 1
),f(1)=0≤a,f(e)=>a, ee
所以存在t∈[1,e),g′(t)=0且lnt=at,
当x∈(0,t)时,g′(x)<0,g(x)单调递减,当x∈(t,e]时,g′(x)>0,g(x)单调递增,
所以g(x)的最小值为g(t)=h(a). ...................................(7分)
t lnt
令h(a)=G(t)=-t,
2
lnt-1 e
因为G′(t)=<0,所以G(t)在[1,e)单调递减,此时G(t)∈(-,-1]. ...(11
22分)
综上,h(a)∈[-
e
,-1]. ...........................................(12分) 2
20.(1)(??,?](2)(0,125?6e) 22?2xf(x)?x?x?ce(c?R), 【解析】(1)因为
?2xf'(x)?2x?1?2cef(x)R所以函数的定义域为,且,
?2xf'(x)?02x?1?2ce由得
1c?(2x?1)e2x?0即2对于一切实数都成立.
1g(x)?(2x?1)e2x2xg'(x)?2xe2再令,则,令g'(x)?0得x?0.
而当x?0时g'(x)?0,当x?0时g'(x)?0,
所以当x?0时g(x)取得极小值也是最小值,即
g(x)min?g(0)??12.
1(??,?]2. ……………………………………(6分) 所以c的取值范围是
?2xf'(x)?2x?1?2ce(2)由(1)知,所以由F(x)?0得
x2?x?ce?2x?(2x?1?2ce?2x)?57c?(x2?x?)e2x2,整理得2.
7h(x)?(x2?x?)e2x22x2xh'(x)?2(x?2x?3)e?2(x?3)(x?1)e2令,则,
令h'(x)?0,解得x??3或x?1. 列表得:
5?6eh(x)x??3由表可知当时,取得极大值2; 3
?e2
当x?1时,h(x)取得极小值2.
x2?x?7?02x2,e?0,所以此时h(x)?0.
又当x??3时,
535h(x)?(0,e?6)h(x)?(?e2,e?6)222因此当x??3时,;当?3?x?1时,;
35h(x)?(?e2,??)(0,e?6)22当x?1时,;因此满足条件c的取值范围是. ……(12分)
1e21.(Ⅰ)f?x??ex?x?x2;f(x)的极大值为f(0)?1,无极小值;(Ⅱ).
24【解析】(Ⅰ)由已知得f'?x??f'?1?ex?1?f?0??x, 令x?1,得f'?1??f'?1??f?0??1, 即f?0??1 又f?0??f'?1?e,∴f'?1??e,
1从而f?x??ex?x?x2
2∴f'?x??ex?x?1,
又f'?x??ex?x?1在R上递增,且f'?0??0, ∴当x?0时,f'?x??0;x?0时,f'?x??0,
故x?0为极大值点,且f(0)?1 …………………………………………(4分) (Ⅱ)f?x??12x?ax?b?h?x??ex??a?1?x?b?0得h'?x??ex??a?1?, 2① 当a?1?0时,h'?x??0?y?h?x?在x?R上单调递增,x???时,
h?x?→??与h?x??0相矛盾; ……………………………………………(5分)
(x)?0?x?ln(a?1),h'?x??0?x?ln?a?1?得:当②当a?1?0时, h?x?ln?a?1?时,h?x?min??a?1???a?1?ln?a?1??b?0,
即?a?1???a?1?ln?a?1??b,
∴?a?1?b??a?1???a?1?ln?a?1?,?a?1?0? 令F?x??x2?x2lnx?x?0?,则
22F'?xnx, ???x1?2l?∴F'?x??0?0?x?e,F'?x??0?x?e, 当x?e时,F?x?max?即当a?e?1,b?∴
e, 2ee时,?a?1?b的最大值为, …………………………(11分) 224?a?1?b的最大值为e. …………………………(12分)
222.
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