小学奥数 几何计数 专题

几何计数

知识框架图 7 计数综合

7-8 几何计数

教学目标

1.掌握计数常用方法；

2.熟记一些计数公式及其推导方法； 3.根据不同题目灵活运用计数方法进行计数．

本讲主要介绍了计数的常用方法枚举法、标数法、树形图法、插板法、对应法等，并渗透分类计数和用容斥原理的计数思想．

知识要点

一、几何计数

在几何图形中，有许多有趣的计数问题，如计算线段的条数，满足某种条件的三角形的个数，若干个图分平面所成的区域数等等．这类问题看起来似乎没有什么规律可循，但是通过认真分析，还是可以找到一些处理方法的．常用的方法有枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．n条直线最多将平面分成

2?2?3?……?n?12(n?n?2)个部分；n个圆最多分平面的部分数为n(n-1)+2；n个三角形将平面最多分2成3n(n-1)+2部分；n个四边形将平面最多分成4n(n-1)+2部分……

在其它计数问题中，也经常用到枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．解题时需要仔细审题、综合所学知识点逐步求解．

排列问题不仅与参加排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关；组合问题与各事物所在的先后顺序无关，只与这两个组合中的元素有关．

二、几何计数分类

数线段：如果一条线段上有n+1个点(包括两个端点)（或含有n个“基本线段”），那么这n+1个点把这条线段一共分成的线段总数为n+(n-1)+…+2+1条

数角：数角与数线段相似，线段图形中的点类似于角图形中的边．

数三角形：可用数线段的方法数如右图所示的三角形（对应法），因为DE上有15条线段，每条线段的两端点与点A相连，可构成一个三角形，共有15个三角形，同样一边在BC上的三角形也有15个，所以图中共有30个三角形．

数长方形、平行四边形和正方形：一般的，对于任意长方形（平行四边形），若其横边上共有n条线段，纵边上共有m条线段，则图中共有长方形（平行四边形）mn个．

例题精讲

【例 1】 下图的两个图形(实线)是分别用10根和16根单位长的小棍围成的．如果按此规律(每一层比上面一

层多摆出两个小正方形)围成的图形共用了60多根小棍，那么围成的图形有几层，共用了多少根小棍？（4级）

【例 2】 用3根等长的火柴可以摆成一个等边三角形．如图用这样的等边三角形拼合成一个更大的等边三

角形.如果这个大等边三角形的每边由20根火柴组成，那么一共要用多少根火柴?（4级）

【巩固】用三根火柴可拼成一个小“△”，若用108根火柴拼成如图所示形状的大三角形，请你数一数共有多

少个三角形？（4级）

【例 3】 如图所示，用长短相同的火柴棍摆成3×1996的方格网，其中每个小方格的边都由一根火柴棍组成，

那么一共需用多少根火柴棍?（4级）

【例 4】 图中共有多少个长方形？（4级）

【例 5】 下面的5?5和6?4图中共有____个正方形．（4级）

【例 6】 在图中(单位：厘米)：

①一共有几个长方形?

②所有这些长方形面积的和是多少?（6级）

512812473

【巩固】如图，其中的每条线段都是水平的或竖直的，边界上各条线段的长度依次为5厘米、7厘米、9厘米、

2厘米和4 厘米、6厘米、5厘米、1厘米．求图中长方形的个数，以及所有长方形面积的和．（6级）

【例 7】 下图中共有____个正方形．（4级）

【巩固】 图中有______个正方形．（4级）

【例 8】 如图，其中同时包括两个☆的长方形有 个．（6级）

【巩固】 在下图中，不包含☆的长方形有________个．（6级）

【例 9】 图中含有“※”的长方形总共有________个．（6级）

※※

【巩固】由20个边长为1的小正方形拼成一个4?5长方形中有一格有“☆”图中含有“☆”的所有长方形(含正

方形)共有 个，它们的面积总和是 ． (第六届走美决赛试题)（6级）

☆

【例 10】 如图是由18个大小相同的小正三角形拼成的四边形．其中某些相邻的小正三角形可以拼成较大的

正三角形若干个．那么，图中包含“*”号的大、小正三角形一共有______个．（4级）

*

【例 11】 如图AB，CD，EF，MN互相平行，则图中梯形个数与三角形个数的差是多少?（6级）

【例 12】 图中共有多少个三角形？（6级）

【例 13】 下图中的正方形被分成9个相同的小正方形，它们一共有16个顶点（共同的顶点算一个），以其

中不在一条直线上的3个点为顶点，可以构成三角形．在这些三角形中，与阴影三角形有同样大小面积的有多少个？（6级）

【例 14】 (第十二届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛)如图，连接一个正六边形的各顶点．问图中共有

多少个等腰三角形(包括等边三角形)？（8级）

【例 15】 (第十一届“华罗庚金杯赛”)图中有 个正方形．（8级）

【巩固】这幅图中有 个三角形．（10级）

【例 16】 一张长方形纸片，长是宽的2倍，先对折成正方形，再对折成长方形，再对折成正方形，……，

共对折7次，将纸打开展平，数一数用折痕分割成的正方形共有多少个？（8级）

【巩固】将正方形纸片由下往上对折，再由左向右对折，称为完成一次操作．按上述规则完成五次操作后，

剪去所得的小正方形的左下角．问：当展开这张正方形纸后，一共有多少个小洞孔？（8级）

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