新课预习讲义选修2-1第二章求曲线的方程(2)（教师版）

新课预习讲义

选修2－1：第二章圆锥曲线与方程（二）

§2.1.2求曲线与方程

●学习目标

1.了解求曲线方程的步骤．

2.会求简单曲线的方程. ●学习重点：

.利用坐标法根据曲线的性质求曲线的方程和已知曲线的方程讨论曲线的类型． ●学习难点：

1.利用不同的方法求曲线的方程及对坐标法的理解．

2.求曲线方程的题目经常与向量、直线方程、方程思想结合在一起命题.

一、自学导航

●知识回顾：

复习1：已知曲线C的方程为 y?2x2 ，及点A(1,2)，A的坐标是不是y?2x2 的解？点(0.5,t)在曲线C上,则t=___ ．

复习2：曲线（包括直线）与其所对应的方程f(x,y)?0之间有哪些关系?

●自主梳理：●预习教材：第34页——第35页的内容。

一、求曲线的方程的一般步骤 步骤 方法 建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标 写出适合条件P的点M的集合P＝{M|P(M)} 用坐标表示条件P(M)，列出方程f(x，y)＝0 化方程f(x，y)＝0为最简形式(运算要合理，准确) 检验所求的方程中有无特殊点情况 (1)建系设点 (2)找等量 (3)列方程 (4)化简 (5)检验 （简称：一建坐标二设点，三列方程四化简） 二、求轨迹方程的一般方法：

1. 直接法；2. 定义法；3.代入法；4. 参数法；5.交轨法（此外还有几何法等） ●预习检测：

1．已知A(1,0)，B(－1,0)，动点M满足|MA|－|MB|＝2，则点M的轨迹方程是( ) A．y＝0(－1≤x≤1) B．y＝0(x≥1) C．y＝0(x≤－1)

D．y＝0(|x|≥1)

解析： 设M(x，y)，则?x－1?2＋y2－?x＋1?2＋y2＝2 化简得y＝0(x≤－1) 答案： C

1

2．在第四象限内，到原点的距离等于2的点M的轨迹方程是( )

A．x＋y＝4 C．y＝－4－x2

2

2

B．x＋y＝4(x>0) D．y＝－4－x2(0

22

解析： 根据圆的定义，到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆，故点M的轨迹是以O为圆心、以2为半径的圆弧．故选D. 答案： D

3.如图，在平面直角坐标系中，已知动点P(x，y)，PM⊥y轴，垂足为M， 点N与点P关于x轴对称且OP?MN?4，则动点P的轨迹方程为________．

→→解析： 由已知M(0，y)，N(x，－y)，则OP·M N＝(x，y)·(x，－2y)＝x2－2y2＝4， xy

即－＝1. 42x2y2

答案： －＝1

42

2

2

4．已知△ABC，A(－2,0)，B(0，－2)，第三个顶点C在曲线y＝3x2－1上移动，求△ABC的重心的轨迹方程．

0＋x

?x＝－2＋

3

解析： 设△ABC的重心为G(x，y)，顶点C的坐标为(x，y)，由重心坐标公式得?0－2＋y

y＝?3

1

1

1

1

，

∴?

?x1＝3x＋2?

??y1＝3y＋2

2

，

2

代入y1＝3x1－1，得3y＋2＝3(3x＋2)－1. ∴y＝9x2＋12x＋3即为所求轨迹方程． ●问题与困惑：

二、互动探究

●典例导析：

题型一、直接法求曲线方程

例1、已知B(－1,0)，C(2,0)是△ABC的顶点，∠ACB＝2∠ABC.求顶点A的轨迹方程． [思路点拨]

[解题过程]

如图所示，设动点A(x，y)，显然x>1.

(1)当点A(x，y)在x轴上方，即y>0时， y

①当x≠2时，kAB＝＝tan∠ABC.

x＋1

2

y

kAC＝＝－tan∠ACB.

x－2∵∠ACB＝2∠ABC， ∴tan∠ACB＝tan 2∠ABC＝2k

∴－kAC＝AB2，

1－kAB2yx＋1y

即－＝ x－2y?2

1－??x＋1?y

化简得x－＝1(x>1且x≠2，y>0)

3

2

2

2tan∠ABC

，

1－tan2∠ABC

②当x＝2时，△ABC为等腰三角形， π

∠ABC＝，点A的坐标为A(2,3)

4y2

易验证点A(2,3)满足方程x－＝1.

3

2

(2)当点A在x轴下方，即y<0时， y

①当x≠2时，kAB＝－tan∠ABC＝；

x＋1y

kAC＝＝tan∠ACB.

x－2由∠ACB＝2∠ABC得∠ACB＝

2tan∠ABC

，

1－tan2∠ABC

y

－2kABx＋1y

∴kAC＝＝2，即

1－?－kAB?x－2y?2

－1－??x＋1?－2×

y

化简得x－＝1(x>1且x≠2，y<0)

3

2

2

y2

②当x＝2时，易求得A(2，－3)满足方程x－＝1.

3

2

y2

综上所述，所求动点A的轨迹方程是x－＝1(x>1)

3

2

[题后感悟] (1)本例用直接法求轨迹方程，即直接根据已知等量关系式列方程求解．

(2)注意：列方程时，如果出现分母，要考虑可能为零的情况，如在本例中，分x≠2和x＝2两种情况讨论，并且据等量关系式和图象，又可判断x>1.这些隐含的约束条件不仅要挖掘出来，还要在求出的方程中标示出来．

变式训练：

1．如图，已知F(1,0)，直线l：x＝－1，P为平面上的动点， 过P作直线l的垂线，垂足为Q，且QP?QF?FP?FQ， 求动点P的轨迹方程．

3

y l －1 O ? F x

解析： 设点P的坐标为(x，y)， 则Q的坐标为(－1，y)，

→→FQ＝(－2，y)，

→→∴QP＝(x＋1,0)， QF＝(2，－y)， FP＝(x－1，y)，

→→→→∵QP·QF＝FP·FQ，

∴(x＋1,0)·(2，－y)＝(x－1，y)·(－2，y)， ∴2x＋2＝－2x＋2＋y2， ∴y＝4x，

∴动点P的轨迹方程为y2＝4x.

题型二、定义法求曲线的方程

例2、已知Rt△ABC，|AB|＝2a(a＞0)，求直角顶点C的轨迹方程． [思路点拨]

2

[解题过程]

以AB所在直线为x轴，AB的中点为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，则有A(－a,0)，B(a,0)，设顶点C(x，y)．

由△ABC是直角三角形可知|OC|＝|OB|＝a，

C点的轨迹是以O为圆心，以a为半径的圆(除去A、B两点)，

∴C点的轨迹方程为x2＋y2＝a2(x≠±a)．

[题后感悟] (1)求曲线的方程时，若题设条件中无坐标系，则需要恰当建系，要遵循垂直性和对称性的原则，即借助图形中互相垂直的直线建系，借助图形的对称性建系．一方面让尽量多的点落在坐标轴上，另一方面能使求出的轨迹方程形式简洁．

(2)如果动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可依据定义结合条件写出动点的轨迹方程．利用定义法求轨迹要善于抓住曲线的定义特征． 变式训练：

2.过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l1、l2，若l1交x轴于A点， l2交y轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程．

解析： ∵l1⊥l2，OA⊥OB，

∴O、A、P、B四点共圆，且该圆的圆心为M. ∴|MP|＝|MO|.

∴点M的轨迹为线段OP的中垂线， 4－0

∵kOP＝＝2，OP的中点坐标为(1,2)，

2－01

∴点M的轨迹方程是y－2＝－(x－1)，

2即x＋2y－5＝0.

4

题型三、代入法求曲线的方程

例3、动点M在曲线x2?y2?1上移动，M和定点B(3,0)连线的中点为P，求P点的轨迹方程． [思路点拨]

[规范作答] 设P(x，y)，M(x0，y0)， ∵P为MB的中点． 3，?x＝x＋2

∴?y

y＝?2

00

，即?

??x0＝2x－3?y0＝2y?

，

又∵M在曲线x2＋y2＝1上， ∴(2x－3)2＋4y2＝1.10分

∴P点的轨迹方程为(2x－3)2＋4y2＝1.

[题后感悟] (1)代入法：像本例将所求点M的坐标代入已知曲线方程求得动点M的轨迹方程的方法叫代入法．

(2)代入法求轨迹(曲线)方程的基本步骤为

①设点：设所求轨迹上任意点M(x，y)，设动点(已知轨迹的动点)P(x0，y0)．

??x0＝f?x，y?，②求关系式：求出两个动点的关系式?

?y0＝g?x，y?.?

③代入：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程．

(3)何时用代入法求轨迹方程？已知一个点（相关点）在已知曲线上运动，并带动另一个点M运动，在求动点M的方程时，往往用代入法．

变式训练：

3.已知点A是抛物线y＝x2－4上的动点，过A作AB⊥x轴，垂足为B，试求线段AB的中点M的轨迹方程． 解析： 设M(x，y)，A(x0，y0)，则B点坐标为(x0,0)． ∵M为线段AB的中点，

x0＋x0x＝

?2?x0＝x

∴，∴?，

y0＋0?y0＝2y?y＝

2

???

又∵点A在抛物线y0＝x20－4上， 122

∴2y＝x－4，即y＝x－2.

2题型四、参数法求曲线的方程

例4、过点P(?4,0)的直线l与曲线C:x?2y?4交于A,B；求AB中点Q的轨迹方程 解：设A(x1,y1),B(x2,y2),Q(x,y) 则x1?x2?2x y1?y2?2y

5

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