2013年中考数学专题复习第二十七讲:相似图形(学生版)
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2013年中考数学专题复习第二十七讲 相似图形
【基础知识回顾】 一、 成比例线段:
1、线段的比:如果选用同一长度的两条线段AB,CD的长度分别为m、n则这两条线
AB段的比就是它们 的比,即:= 。
CDa 2、比例线段:四条线段a、b、c、d如果
b称 。
= ,那么四条线段叫做同比例线段,简
ac 3、比例的基本性质:=
bd<=> 。
4、平行线分线段成比例定理:将平行线截两条直线 。
【名师提醒:1、表示两条线段的比时,必须示用相同的 ,在用了相同的前提下,两条线段的比值与用的无关 即比值没有
2、全分割:点C把线段AB分成两条,线段AC和BC(AC>BC)如果 那么称线段AB被点C全分割AC与AB的比叫全比,即L
AC= ≈ 】 AB二、相似三角形:
1、定义:如果两个三角形的各角对应 各边对应 那么这两个三角形相似 2、性质:⑴相似三角形的对应角 对应边
⑵相似三角形对应点的比、对应角平分线的比、对应 的比都等于 ⑶相似三角形周长的比等于 面积的比等于
1、 判定:⑴基本定理:平行于三角形一边的直线和其它两边或两线相交,三角形与原三
角形相似
⑵两边对应 且夹角 的两三角形相似 ⑶两角 的两三角形相似
⑷三组对应边的比 的两三角形相似 【名师提醒:1、全等是相似比为 的特殊相似
2、根据相似三角形的性质的特质和判定,要证四条线段的比相等,一般要
先证 判定方法中最常用的是 三组对应边成比例的两三角形相似多用在点三角形中】
三、相似多边形:
1、定义:各角对应 各边对应 的两个多边形叫做相似多边形 2、性质:⑴相似多边形对应角 对应边
⑵相似多边形周长的比等于 面积的比等于
【名师提醒:相似多边形没有专门的判定方法,判定两多边形相似多用在矩形中,一般用定义进行判定】 一、 位似:
1、定义:如果两个图形不仅是 而且每组对应点所在直线都经过 那么这样的两个图形叫做位似图形,这个点叫做 这时相似比又称为 。 2、性质:位似图形上任意一点到位似中心的距离之比都等于 。
【名师提醒:1、位似图形一定是 图形,但反之不成立,利用位似变换可以将一个图形放大或 。
2、在平面直角坐标系中,如果位似是以原点为位似中心,相似比位r,那么
位似图形对应点的坐标的比等于 或 】 【典型例题解析】 考点一:比例线段
例1 (2012?福州) 如图,已知△ABC,AB=AC=1,∠A=36°,∠ABC的平分线BD交AC于点D,则AD的长是 ,cosA的值是 .(结果保留根号) 对应训练 2.(2012?孝感)如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD平分∠ABC交AC于点D,若AC=2,则AD的长是( ) A.
5?15?1 B. C.5?1 D.5?1 22
考点二:相似三角形的性质及其应用
例2 (2012?重庆)已知△ABC∽△DEF,△ABC的周长为3,△DEF的周长为1,则ABC与△DEF的面积之比为 . 对应训练 2.(2012?沈阳)已知△ABC∽△A′B′C′,相似比为3:4,△ABC的周长为6,则△A′B′C′的周长为 .
考点三:相似三角形的判定方法及其应用
例3 (2012?徐州)如图,在正方形ABCD中,E是CD的中点,点F在BC上,且FC= 1BC.图中相似三角形共有( ) 4A.1对 B.2对 C.3对 D.4对
例4 16.(2012?资阳)(1)如图(1),正方形AEGH的顶点E、H在正方形ABCD的边上,直接写出HD:GC:EB的结果(不必写计算过程);
(2)将图(1)中的正方形AEGH绕点A旋转一定角度,如图(2),求HD:GC:EB; (3)把图(2)中的正方形都换成矩形,如图(3),且已知DA:AB=HA:AE=m:n,此时HD:GC:EB的值与(2)小题的结果相比有变化吗?如果有变化,直接写出变化后的结果(不必写计算过程).
对应训练
3. (2012?攀枝花)如图,△ABC≌△ADE且∠ABC=∠ADE,∠ACB=∠AED,BC、DE交于点O.则下列四个结论中,①∠1=∠2;②BC=DE;③△ABD∽△ACE;④A、O、C、E四点在同一个圆上,一定成立的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4. (2012?义乌市)在锐角△ABC中,AB=4,BC=5,∠ACB=45°,将△ABC绕点B按逆时针方向旋转,得到△A1BC1.
(1)如图1,当点C1在线段CA的延长线上时,求∠CC1A1的度数;
(2)如图2,连接AA1,CC1.若△ABA1的面积为4,求△CBC1的面积;
(3)如图3,点E为线段AB中点,点P是线段AC上的动点,在△ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中,点P的对应点是点P1,求线段EP1长度的最大值与最小值.
考点四:位似
例5 (2012?玉林)如图,正方形ABCD的两边BC,AB分别在平面直角坐标系的x轴、y轴的正半轴上,正方形A′B′C′D′与正方形ABCD是以AC的中点O′为中心的位似图形,已知AC=32,若点A′的坐标为(1,2),则正方形A′B′C′D′与正方形ABCD的相似比是( ) A.
1112 B. C. D. 6323
对应训练 5.(2012?咸宁)如图,正方形OABC与正方形ODEF是位似图形,O为位似中心,相似比为1:2,点A的坐标为(1,0),则E点的坐标为( ) A.(2,0) B.(
33,) C.(2,2) D. (2,2) 22
【备考真题过关】 一、选择题 b5a?b?,则 的值是( ) a13a?b2394A. B. C. D.
32491.(2012?凉山州)已知 2.(2012?天门)如图,△ABC为等边三角形,点E在BA的延长线上,点D在BC边上,且ED=EC.若△ABC的边长为4,AE=2,则BD的长为( ) A.2 B.3 C.3 D.3?1
3.(2012?宁德)如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=3,点E、F、G、H分别在矩形ABCD的各边上,EF∥AC∥HG,EH∥BD∥FG,则四边形EFGH的周长是( ) A.10 B.13 C.2
10 D.213
4.(2012?柳州)小张用手机拍摄得到甲图,经放大后得到乙图,甲图中的线段AB在乙图中的对应线段是( )
A.FG B.FH C.EH D.EF
5.(2012?铜仁地区)如图,六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL,相似比为2:1,则下列结论正确的是( ) A.∠E=2∠K B.BC=2HI
C.六边形ABCDEF的周长=六边形GHIJKL的周长 D.S六边形ABCDEF=2S六边形GHIJKL
6. (2012?荆州)下列4×4的正方形网格中,小正方形的边长均为1,三角形的顶点都在格点上,则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是( )
A. B. C. D.
7. (2012?海南)如图,点D在△ABC的边AC上,要判定△ADB与△ABC相似,添加一个条件,不正确的是( )
A.∠ABD=∠C B.∠ADB=∠ABC C.
ABCBADAB?? D. BDCDABAC 8.(2012?遵义)如图,在△ABC中,EF∥BC, A.9 B.10 AE1?,S四边形BCFE=8,则S△ABC=( ) EB2D.13 C.12 9. (2012?宜宾)如图,在四边形ABCD中,DC∥AB,CB⊥AB,AB=AD,CD= 1AB,2点E、F分别为AB、AD的中点,则△AEF与多边形BCDFE的面积之比为( ) A.
1111 B. C. D. 7654
10.(2012?钦州)图中两个四边形是位似图形,它们的位似中心是( ) A.点M B.点N C.点O D.点P
11.(2012?毕节地区)如图,在平面直角坐标系中,以原点O为位中心,将△ABO扩大到原来的2倍,得到△A′B′O.若点A的坐标是(1,2),则点A′的坐标是( )
A.(2,4) B.(-1,-2) C.(-2,-4) D.(-2,-1)
二、填空题 12.(2012?宿迁)如图,已知P是线段AB的黄金分割点,且PA>PB,若S1表示PA为一边的正方形的面积,S2表示长是AB,宽是PB的矩形的面积,则S1 S2.(填“>”“=”或“<”)
14.(2012?自贡)正方形ABCD的边长为1cm,M、N分别是BC、CD上两个动点,且始终
保持AM⊥MN,当BM= cm时,四边形ABCN的面积最大,最大面积为 cm2.
15. (2012?资阳)如图,O为矩形ABCD的中心,M为BC边上一点,N为DC边上一点,ON⊥OM,若AB=6,AD=4,设OM=x,ON=y,则y与x的函数关系式为 。
16.(2012?镇江)如图,E是?ABCD的边CD上一点,连接AE并延长交BC的延长线于点
F,且AD=4, CE1?,则CF的长为 . AD3 17.(2012?泰州)如图,在边长相同的小正方形组成的网格中,点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上,AB、CD相交于点P,则tan∠APD的值是 . 18.(2012?青海)如图,利用标杆BE测量建筑物的高度,标杆BE高1.5m,测得AB=2m,BC=14cm,则楼高CD为 m. 19. (2012?娄底)如图,在一场羽毛球比赛中,站在场内M处的运动员林丹把球从N点击到了对方内的B点,已知网高OA=1.52米,OB=4米,OM=5米,则林丹起跳后击球点N离地面的距离NM= 米. 20.(2012?北京)如图,小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB,他调整自己的位置,设法使斜边DF保持水平,并且边DE与点B在同一直线上.已知纸板的两条直角边DE=40cm,EF=20cm,测得边DF离地面的高度AC=1.5m,CD=8m,则树高AB= m. 21.(2012?阜新) 如图,△ABC与△A1B1C1为位似图形,点O是它们的位似中心,位似比是1:2,已知△ABC的面积为3,那么△A1B1C1的面积是 .
三、解答题 22.(2012?上海)己知:如图,在菱形ABCD中,点E、F分别在边BC、CD,∠BAF=∠DAE,AE与BD交于点G. (1)求证:BE=DF; (2)当 DFAD?时,求证:四边形BEFG是平行四边形. FCDF 23. (2012?云南)如图,在△ABC中,∠C=90°,点D是AB边上的一点,DM⊥AB,且DM=AC,过点M作ME∥BC交AB于点E. 求证:△ABC∽△MED. 24.(2012?株洲)如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,沿直线MN对折,使A、C重合,直线MN交AC于O. (1)求证:△COM∽△CBA; (2)求线段OM的长度. 25. (2012?株洲)如图,在△ABC中,∠C=90°,BC=5米,AC=12米.M点在线段CA上,从C向A运动,速度为1米/秒;同时N点在线段AB上,从A向B运动,速度为2米/秒.运
动时间为t秒. (1)当t为何值时,∠AMN=∠ANM? (2)当t为何值时,△AMN的面积最大?并求出这个最大值. 26. (2012?江西)如图1,小红家阳台上放置了一个晒衣架.如图2是晒衣架的侧面示意图,立杆AB、CD相交于点O,B、D两点立于地面,经测量: AB=CD=136cm,OA=OC=51cm,OE=OF=34cm,现将晒衣架完全稳固张开,扣链EF成一条直线,且EF=32cm. (1)求证:AC∥BD; (2)求扣链EF与立杆AB的夹角∠OEF的度数(精确到0.1°); (3)小红的连衣裙穿在衣架后的总长度达到122cm,垂挂在晒衣架上是否会拖落到地面?请通过计算说明理由. (参考数据:sin61.9°≈0.882,cos61.9°≈0.471,tan61.9°≈0.553;可使用科学记算器) 27.(2012?陕西)如图,正三角形ABC的边长为3+ 3. (1)如图①,正方形EFPN的顶点E、F在边AB上,顶点N在边AC上,在正三角形ABC及其内部,以点A为位似中心,作正方形EFPN的位似正方形E′F′P′N′,且使正方形E′F′P′N′的面积最大(不要求写作法); (2)求(1)中作出的正方形E′F′P′N′的边长; (3)如图②,在正三角形ABC中放入正方形DEMN和正方形EFPH,使得DE、EF在边AB上,点P、N分别在边CB、CA上,求这两个正方形面积和的最大值和最小值,并说明理由. 28.(2012?河北)如图,点E是线段BC的中点,分别BC以为直角顶点的△EAB和△EDC均是等腰三角形,且在BC同侧.
(1)AE和ED的数量关系为 ; AE和ED的位置关系为 ;
(2)在图1中,以点E为位似中心,作△EGF与△EAB位似,点H是BC所在直线上的一点,连接GH,HD.分别得到图2和图3. ①在图2中,点F在BE上,△EGF与△EAB的相似比1:2,H是EC的中点.求证:GH=HD,GH⊥HD.
②在图3中,点F在的BE延长线上,△EGF与△EAB的相似比是k:1,若BC=2,请直接写CH的长为多少时,恰好使GH=HD且GH⊥HD(用含k的代数式表示).
(1)AE和ED的数量关系为 ; AE和ED的位置关系为 ;
(2)在图1中,以点E为位似中心,作△EGF与△EAB位似,点H是BC所在直线上的一点,连接GH,HD.分别得到图2和图3. ①在图2中,点F在BE上,△EGF与△EAB的相似比1:2,H是EC的中点.求证:GH=HD,GH⊥HD.
②在图3中,点F在的BE延长线上,△EGF与△EAB的相似比是k:1,若BC=2,请直接写CH的长为多少时,恰好使GH=HD且GH⊥HD(用含k的代数式表示).
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