2.2平面向量的线性运算

2.2.1向量加法运算及 其几何意义

新课导入1. 物理学中，两次位移 同的。 的结果和位移 是相 OA, AB OB

2. 物理学中，作用于物体同一点的两个不共线的合 力如何求得？ 3. 两个向量的合成可用“平行四边形法则”和“三 角形法则”求出，本节将研究向量的加法。

向量的加法

已知向量a,b,在平面内任取一点A,作 BC b,则向量 AC 叫做a与b的和，记作a+b,即 a+b= AB BC AC

a AB ,

求两个向量和的运算，叫做向量的加法. 这种求作两个向量和的方法叫做三角形法则，简记 “首尾相连，首是首，尾是尾”。

向量的加法 以同一点O为起点的两个已知向量a,b为邻边作平 行四边形ABCD则以O为起点的对角线 OC 就是a与 b的和。

我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的 平行四边形法则。

向量的加法

对于零向量与任一向量a,规定a+0=0+a=a

例 题 已知向量a,b,用两种方法求作向量a+b。

解：

思 考 当在数轴上表示两个共线向量时，它们的加 法与数的加法有什么关系？

归

纳

两个向量的和仍是一个向量。 当a,b不共线时，a+b的方向与a、b都不同向，且 |a+b|<|a|+|b|. 当a与b共线时， 若a与b同向，则a+b的方向与a、b同向，且 |a+b|=|a|+|b|. 若a与b反向， 当|a|>|b|时，a+b的方向与a相同，且|a+b|=|a|-|b|; 当|a|<|b|时，a+b的方向与b相同，且|a+b|=|b|-|a|.

数的加法满足交换律与结合律， 即对任意a,b R,有a+b=b+a,(a+b)+c=a+(b+c), 任意向量a,b的加法是否也满足交换律和结合律？

如图作 ABCD,使 AB a, b,则BC b, a, AD DC 因为 AC AB BC a b, AD DC a b, AC 所以，a b b a

作图验证

如图自平面内任一点A,作 AB a, b, c, BC CD 因为 AD AC CD ( AB BC ) CD ( a b) c, AD AB BD AB ( BC CD ) a ( b c ), 所以( a b) c a (b c ).

例 题一艘船以 2 3 km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶， 同时河水的流速为2km/h,求船实际航行速度的大小与方 向(用与流速间的夹角表示)。 解：如图，设 AD表示船向垂直于对岸的方向行驶的速度， AB表示水流的速度，以AD、AB为邻边作平行四边形ABCD,

则AC就是船实际航行的速度， 在Rt ABC中，AB | 2km / h,BC | km / h, | | 2 2 所以，AC | | AB | | BC | 4, |2 3 因为 tan CAB 3,所以 CAB 60 , 2 答：船实际航行速度的大小为4km / h,方向与流速间的夹角为60 。

练一练 1.课本P93,1、2、3、4

2.摩托艇是抗洪抢险中的主要交通工具，设它在静 水中的航行速度是每小时25千米，如果当时的水 流速度是每小时15千米，那么该摩托艇向下游航 行时，每小时能行________千米，它向上游航行 40 10 时，每小时能行___________千米.

2.2.2 向量减法运算 及其几何意义

向量的减法

减去一个数等于加上这个数的相反数，向量的减法是否也有类似的法则？

相反向量 规定与a长度相等，方向相反的向量叫做a的 相反向量，记作-a,显然-(-a)=a, 规定，零向量的相反向量仍是零向量。

向量减法的定义 任一向量与其相反向量的和是零向量， 即 a+(-a)=(-a)+a=0,所以，如果a、b是互为相反的 向量，那么a=-b,b=-a,a+b=0,

定义：a-b=a+(-b),即减去一个向量相当于加 上这个向量的相反向量。

运算法则

已知a、b, a-b可以表示为从向量b的终点指 向向量a的终点的向量.例 题 已知向量a、b、c、d,求作向量a-b,c-d. 解：

例 题

在 ABCD中， a, b, AB AD 试用a、b表示向量 AC , DB. 解：由向量加法的平行四边形法则可知 AC a b, 由向量减法可知DB AB AD a b.

练一练 练习3:课本P96 练习1、2、3 练习4:判断下列等式是否成立： (1)a+b=b+a ( ) (2)a-b=b-a ( ) (3)0-a=a ( ) (4)-(-a)=a ( ) (5)a+(-a)=0 ( )

小 结 在学习向量加法概念时，要结合物理学理解向量 加法的意义； 要熟练地掌握向量加法的平行四边形法则和三角 形法则，并能做出已知两个向量的和向量； 要理解向量加法的交换律和结合律，能说出这两 个向量运算律的几何意义； 理解向量减法的意义；能作出两个向量的差向量。

习题2.2 A组 1、2、3、4、6、7、8

回家作业

习题2.2 A组 1、2、3、4、6、7、8

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