人教版高中数学必修一 全册导学案

1．1．1集合的含义

使用说明：

“自主学习”10分钟，发现问题，小组讨论，展示个人成果，教师对重点概念点评。

“合作探究”10分钟，小组讨论，互督互评，展示个人成果，教师对重点讲评。 “巩固练习”10分钟，组长负责，组内点评。

“个人总结”5分钟，根据组内讨论情况，指出对规律，方法理解不到位的问题。 能力展示5分钟，教师作出总结性点评。

通过本节学习应达到如下目标:

(1)初步理解集合的含义，知道常用数集及其记法.,初步了解“ ∈”关系的意义.。.

(2)通过实例,初步体会元素与集合的”属于”关系,从观察分析集合的元素入手,正确地理解集合. (3)观察关于集合的几组实例,并通过自己动手举出各种集合的例子,初步感受集合语言在描述客观现实和数学对象中的意义.

(4)学会借助实例分析、探究数学问题(如集合中元素的确定性、互异性).

(5)在学习运用集合语言的过程中,增强认识事物的能力,初步培养实事求是、扎实严谨的科学态度.

学习重点：

集合概念的形成。

学习难点：

理解集合的元素的确定性和互异性.

学习过程

（一）自主学习

阅读课本，完成下列问题 ：

1、 例（3）到例（8）和例（1）（2）是否具有相同的特点，它们能否构成集合，如果能，他们的元

素是什么？结合现实生活，请你举出一些有关集合的例子。

2、一般地，我们把研究对象称为，把一些元素组成的总体叫做 3、集合的元素必须是不能确定的对象不能构成集合。

4、集合的元素一定是的，相同的几个对象归于同一个集合时只能算作一个元素。

5、集合通常用大写的拉丁字母表示，如。 6、如果 a是集合A 的元素,就说 a属于A ,记作读作”。

如果 a不是集合 A的元素,就说 a不属于A ,记作 ，读作” ”。 7 有理数集 ，实数集 。

（二） 合作探讨

1、下列元素全体是否构成集合，并说明理由

（1）世界上最高的山 （2）世界上的高山。(3) 2的近似值 (4)爱好唱歌的人 （5）本届奥运会我国取得优秀成绩的运动员。（6）本届奥运会我国参加的所有运动项目。

2、结合具体例子，请你说明你对集合中元素具有的互异性和确定性的理解。

3、如果用A表示高一（3）班全体学生组成的集合，用a表示高一（3）班的一位同学，b是高一（4）班的一位同学，那么a, b与集合A有什么关系？由此可见元素与集合间有什么关系？

4、请你指出下列集合中的元素。

（1）小于10的所有自然数组成的集合； （2）方程x=x的所有实数根组成的集合； （3）由1～20以内的所有素数组成的集合； （4）方程x-2=0的所有实数根组成的集合； （5）由大于10小于20的所有整数组成的集合。

22

（三）巩固练习

1、用“ ”或“ ”符号填空: (1)3

27

(2 )3 ; (3 )

2

Q

(6 ) (5)2

2、集合A：比3的倍数小1的所有的数

(四)个人收获与问题

知识： 方法：

我的问题：

（五）预习内容

预习集合的表示法。

1．1．1集合表示法

使用说明：“自主学习”15分钟，发现问题，小组讨论，展示个人成果，教师对重点概念点评。

“合作探究”10分钟，小组讨论，互督互评，展示个人成果，教师对重点讲评。 “巩固练习”5分钟，组长负责，组内点评。

“个人总结”5分钟，根据组内讨论情况，指出对规律，方法理解不到位的问题。 能力展示5分钟，教师作出总结性点评。

通过本节学习应达到如下目标:

1．掌握集合的表示方法，能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的

具体问题

2．发展运用数学语言的能力，感受集合语言的意义和作用，学习从数学的角度认识世界． 3．通过合作学习培养合作精神．

学习重点：集合的表示方法，即运用集合的列举法与描述法，正确表示一些简单的集合 学习难点：难点是集合特征性质的概念，以及运用特征性质描述法表示集合

学习过程

（一）自主学习

阅读课本，完成下列问题 1.集合的表示方法

(1)列举法： 把 一一列举出来，写在 内,用逗号隔开。

（2）描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内，具体方法在大括号内先写上表示这个集合元素的 .及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的 。

{ x I | p(x)} 其中：素 的共同特征，4）竖线不可省略。

思考？1、{ x | x=3}与{ y | y=3}是否是同一集合？ 2、{y | y=x2}与{（x，y）| y=x2 }是否是同一集合？

（二） 合作探讨

1、用列举法表示下列集合：

（1）小于10的所有自然数组成的集合； （2）方程x=x的所有实数根组成的集合； （3）由1～20以内的所有素数组成的集合； （4）方程x-2=0的所有实数根组成的集合； （5）由大于10小于20的所有整数组成的集合。

2、试用描述法表示下列集合:

1) 方程x-2=0的所有实数根组成的集合； 2) 所有的奇数；所有偶数；比3的倍数多一的整数 3) 不等式x-10>0的解集 4)一次函数y=2x+1图象上的所有的点。

2

22

思考？请你结合具体例子，试比较用自然语言、列举法、描述法表示集合时，各自的特点和适用对象。

自己举几个集合的例子，并分别用自然语言，列举法和描述法表示出来。

（三）巩固练习

1、已知A={x∣x=3k-1,k Z},用“ ”或“ ”符号填空:

(1 ) A, (2 ) (3 ) A. 2、试选择适当的方法表示下列集合:

1) 由小于8的所有素数组成的集合 2) 一次函数y=x+3与y=-2x+6的图象的交点组成的集合； 3) 不等式4x-5<3的解集 4) 二次函数y= x-4的函数值组成的集合； 5) 反比例函数y=

2

2

的自变量的值组成的集合； x

3、已知-3 {m-1,3m, m+1},求m的值.

2

(四)个人收获与问题

知识： 方法：

我的问题：

（五）拓展能力：

设集合B={x N∣

6

N}

2 x

1) 试判断元素1，元素2与集合B的关系； 2) 用列举法表示集合B。

1.2.1集合间的关系

使用说明：“自主学习”15分钟，发现问题，小组讨论，展示个人成果，教师对重点概念点评。

“合作探究”10分钟，小组讨论，互督互评，展示个人成果，教师对重点讲评。 “巩固练习”5分钟，组长负责，组内点评。

“个人总结”5分钟，根据组内讨论情况，指出对规律，方法理解不到位的问题。 “能力展示”5分钟，教师作出总结性点评。

通过本节学习应达到如下目标:

（1）运用类比的方法，对照实数的相等与不等的关系，探究集合之间的包含与相等关系 （2）能识别给定集合的子集.

（3）能利用Venn图表达集合间的关系；探索直观图示（Venn图）对理解抽象概念的作用

（4）初步经历使用最基本的集合语言表示有关的数学对象的过程，体会集合语言，发展运用数学语言

进行交流的能力。：

（5）了解集合的包含，感受集合语言在描述客观现实和数学问题中的意义。

学习重点：子集的概念

学习难点：元素与子集、属于与包含之间的区别 学习过程

（一）自主学习

（1）一般的，对于两个集合A 、B，如果集合A中的每一个元素都是集合B中的元素那么集合A叫做

集合B的 ，记作 或 . 当集合A不包含于集合B时，记作A B,用Venn图表示两个集合间的“包含”关系 (2) 集合与集合之间的 “相等”关系, 若A B

A B中的元素是一样的

(3) 。 (4) 任何一集合都是它自身的(5) 。记作 空集是任何集合的 ，是任何非空集合的 。

思考？包含关系{a} A与属于关系a A有什么区别？试结合实例作出解释。

（二）合作探究

例1．观察实例，写出下列集合间的关系。 (1) A=｛1，3｝，B=｛1,3,5,7｝ (2) A=｛高一全体女生｝，B=｛高一全体学生｝ (3) A={x︱x是矩形}，B={x︱x是平行四边形} (4) A=N,B=Q

(5) A={x︱x>3}，B={x︱x>5},C={x︱x>7} (6) A={x︱（x+2）(x+1)=0}，B={-1,-2}

例2 写出集合｛a， b｝的所有子集，并指出哪些是它的真子集?

例3 已知集合A=｛x︱x > b ｝, B=｛x︱x > 3｝,若A B,，则求实数b的范围 ？

（三）巩固练习

1．用适当的符号填空：

（1）a {a,b,c} （2）0 {x︱x=0} （3） x R︱x+1=0}, （4）{0,1} N (5) {0} {x︱x=x} （6）{x︱x-3x+2=0} (7)已知集合A={x︱2x-3< 3x}，B={x︱x 2},则有：

-4 A A (8) 已知集合A={ x︱x-1=0},则有：

， ， A ， A

(9) {x︱x是菱形 {x︱x 是平行四边形 } ；{x︱x是等腰三角形 {x︱x是等边三角形 } 2．写出集合｛a ,b , c｝的所有子集，并指出哪些是它的真子集?

2

2

2

2

2

(四)个人收获与问题:

知识：

方法：

我的问题：

（五）拓展能力

1.已知集合A=｛-1，2x-1，3｝，B=｛3, x2｝若A B，则求实数x ？

2已知集合A=｛x︱2-x<0｝, B=｛x︱ax =1｝,若B A,，则求实数a的范围 ？

1.3.1集合的运算

使用说明：“自主学习”15分钟，发现问题，小组讨论，展示个人成果，教师对重点概念点评。

“合作探究”10分钟，小组讨论，互督互评，展示个人成果，教师对重点讲评。 “巩固练习”5分钟，组长负责，组内点评。

“个人总结”5分钟，根据组内讨论情况，指出对规律，方法理解不到位的问题。 能力展示5分钟，教师作出总结性点评。

通过本节学习应达到如下目标:

(1)理解两个集合的交集、并集、补集的含义.

(2)会求两个集合的交集、并集、补集. (3)能使用Venn图表达集合间的运算.

(4)通过复习集合与集合间的关系，对照数或式的算术运算和代数运算，探究集合之间的运算. (5)使用最基本的集合语言表示有关的数学对象的过程，体会集合语言，发展运用数学语言进行交流的能力

(6)通过直观图的运用培养学生的探索精神. 学习重点：集合的交、并、补运算 学习难点：补集的运算.

学习过程 自主学习：

1、试用Venn图表示集合A，B可能的关系。

2、并集：A,B的并集,记作A并B＂）. 即

A , 用Venn图表达如图（1）

交集A,B的交集． 记作 （读作＂A交B＂），即A∩B=

用Venn图表达如图（2）

3、全集: 那么称这个给定的集合

为全集

(1)

4、补集：，

叫做A在U中的补集，记作 用Venn图表达如图（3

(2)

（二） 合作探讨 1、求下列集合A与B的交集、并集

(1) A={4,5,6,8} B={3,5,7,8} （3） (2) A={ x|-1<x<2} B={ x|1<x<3}

2、新华中学开运动会，设A={ x|x是新华中学高一年级参加百米赛跑的同学}

B={ x| x是新华中学高一年级参加跳高比赛的同学}，求A∩B.

3、设平面内直线L1上点的集合为L1,直线L2上点的集合为L2,试用集合的运算表示

L1, L2的位置关系.

4、设U=｛x|x是小于9的正整数｝, A={1,2,3}, B={3,4,5,6},求CUA, CUB, A∩U, U∩(A B) 5、设全集U=｛x|x是三角形｝, A=｛x|x是锐角三角形｝, B=｛x|x是钝角三角形｝, 求A∩B, CU (A B)

（三）巩固练习

1、设A={3,5,6,8}, B={4,5,7,8},求A∩B, A B

2、 设A=｛x|x-4x-5=0｝, B=｛x|x=1｝, 求A∩B, A B

3、已知A=｛x|x是等腰三角形｝, B=｛x|x是直角三角形｝, 求A∩B, A B.

4. 已知全集U=｛1,2,3,4,5,6,7｝, A={2,4,5}, B={1,3,5,7},求A∩CUB,( CUA)∩(CUB)

5、设集合A=｛x|2 x<4｝, B=｛x|3x-7 8-2x｝, 求A∩B, A B

6、设S=｛x|x是平行四边形或梯形｝, A=｛x|x是平行四边形｝, B=｛x|x是菱形｝, C=｛x|x是矩形｝, 求C∩B, CAB ,CSA .

2

2

(四)个人收获与问题

知识：

方法：

我的问题：

（五）拓展能力

1. 设集合A=｛x|(x-3)(x-a)=0｝,B=｛x|(x-4)(x-1)=0｝, 求A∩B, A B

2. 已知全集U= A B={x∈N|0 x 10}, A∩(CUB)={1,3,5,7},试求集合B.

1.2.1函数的概念

使用说明：“自主学习”15分钟，发现问题，小组讨论，展示个人成果，教师对重点概念点评。

“合作探究”7分钟，小组讨论，互督互评，展示个人成果，教师对重点讲评。 “巩固练习”10分钟，组长负责，组内点评。

“个人总结”3分钟，根据组内讨论情况，指出对规律，方法理解不到位的问题。 能力展示5分钟，教师作出总结性点评。

通过本节学习应达到如下目标:

（1）通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习

用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用； （2）了解构成函数的要素；

（3）会求一些简单函数的定义域和值域；

（4）能够正确使用“区间”的符号表示某些函数的定义域

学习重点：理解函数的模型化思想，用合与对应的语言来刻画函数； 学习难点：符号“y=f(x)”的含义，函数定义域和值域的区间表示； 学习过程 (一)自主学习：

思考？分析、归纳课本上的三个实例，变量之间有什么样的共同点？三个实例又有什么不同之处？

1． 函数的概念：一般的，我们有：

设A，B是 ，如果按照某种确定的 f，使对于集合A中的 ，在集合B中都有 和它对应，那么就称 为从集合A到集合B的一个函数，记作

其中叫做自变量，x的取值范围A叫做 与x的值相对应的y 值叫做 函数值的集合 叫做函数的 。显然，值域是集合B的子集。

“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；

2.构成函数的三要素：, .

3. 函数相等:若两个函数的相同,且在本质上也是相同的,则称两个函数相等。 4.一次函数、二次函数、反比例函

数的定义域和值域:

注意：

5.区间

的概念

读课本完成下面两个表格。

将下列集合用区间表示并在数轴上表示 .

(二)合作探讨

1 x 2

2

(1)求函数的定义域；（2）求f(-3)，

f()；（3）当a>0时，求f(a), f(a-1)的值。

3

例1．已知函数f(x)=

x 3 +

例2. 下列函数中哪个与函数y=x相等?

x2

(1)y=(x) ; (2)y=x ; (3) y=x; (4) y=

x

2

3

2

（三）巩固练习

1. 求下列函数的定义域: (1) f(x)=

4 x16

; (2) f(x)= x+x 3-1 ; (3)

f(x)= 2 ; (4) f(x)=

x 14x 7x 3x 2

2. 已知函数f(x)=3x2-5x+2, 求f(-2), f(-a), f(a+3), f(a)+ f(3)

3. 若函数f(x)= x2+bx+c, 且f(1)=0, f(3)=0, 求f(-1) 的值

4. 已知函数f(x)=

x 2

, x 6

(1) 点(3 , 14)在f(x)的图象上吗? (2) 当x=4时, 求f(x) 的值; (3) 当f(x) =2时, 求x的值.

(四)个人收获与问题

知识： 方法：

我的问题：

（五）拓展能力

1. 已知函数f(x)的定义域[-2,4], 求函数f(2x-3)的定义域.

2. 已知函数f(x-4)的定义域[2,4], 求函数f(x)的定义域.

1.2.2函数的表示法

使用说明：“自主学习”5分钟，发现问题，小组讨论，展示个人成果，教师对重点概念点评。

“合作探究”15分钟，小组讨论，互督互评，展示个人成果，教师对重点讲评。

“巩固练习”10分钟，组长负责，组内点评。

“个人总结”5分钟，根据组内讨论情况，指出对规律，方法理解不到位的问题。 能力展示5分钟，教师作出总结性点评。

通过本节学习应达到如下目标:

（1）明确函数的三种表示方法；函数的三种不同表示的相互间转化。

（2）在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数； （3）通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用； （4）纠正认为“y=f(x)”就是函数的解析式的片面错误认识．

学习重点：函数的三种表示方法，分段函数的概念．

学习难点：根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，什么才算“恰当”？分段函数的表示及其图象． 学习过程

(一)自主学习：

（1） 阅读课本15页，三个函数问题在表示方法上有什么区别?

(2) 你能说出几种函数表示法的各自优缺点吗？

（二）合作探讨

例1．某种笔记本的单价是5元，买x (x∈{1，2，3，4，5})个笔记本需要y元．试用三种表示法表示

函数y=f(x) ．

例2．下表是某校高一（1）班三位同学在高一学年度几次数学测试的成绩及班级及班级平均分表：

第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次

98 87 91 92 88 95 王 伟

90 76 88 75 86 80 张 城

68 65 73 72 75 82 赵 磊

班平均分 88．2 78．3 85．4 80．3 75．7 82．6 请你对这三们同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析

例3．画出函数y = | x | ．

例4．某市郊空调公共汽车的票价按下列规则制定：

（1）乘坐汽车5公里以内，票价2元；

（2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里按5公里计算）． 已知两个相邻的公共汽车站间相距约为1公里，如果沿途（包括起点站和终点站）设20个汽车站，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象．

（三） 巩固练习 1.画出下列函数的图象

(1) y = | x-2 | ． (2) F(x)=｛

0(x 0)(x 0)

1

(3) G(n)= 3n+1 , n ｛1,2,3｝

2. 如图，矩形的面积为10，如果矩形的长为x，宽为y，对角线为d,周长为l,那么你能获得关于这些量的哪些函数？ y

3.一个圆柱形的底部直径是dcm，高是hcm，现在以vcm3/s的速度向容器内注入某种溶液求容器内溶液的高度与xcm关于注入溶液的时间ts的函数解析式，并写出函数的定义域和值域。

(四)学习收获：

知识：

方法：

我的问题：

（五）拓展能力

x2 2x,x 0

1. 已知f(x)= 1,x 0

x 1,x 0

(1) 求f(-1), f(f(-1)), f{ f [f(-1)]} (2) 画出函数的图象

1.2.3映射

使用说明：“自主学习”5分钟，发现问题，小组讨论，展示个人成果，教师对重点概念点评。

“合作探究”10分钟，小组讨论，互督互评，展示个人成果，教师对重点讲评。 “巩固练习”15分钟，组长负责，组内点评。

“个人总结”5分钟，根据组内讨论情况，指出对规律，方法理解不到位的问题。 最后5分钟，教师作出总结性点评。

通过本节学习应达到如下目标:

理解映射的概念；

用映射的观点建立函数的概念

重点、难点：映射的概念． 学习过程: (一)自主学习： 1.函数的概念:

2.观察下列几组对应:

⑴

(2)

(3)

⑷ ⑸

(1) 请观察上面五个对应各有什么特征

⑵ 这五个对应中，是否存在几组对应有共同特征？

2.映射的概念

3.映射观点下的函数概念

(二)合作探讨

例1.下列哪些对应是从集合A到集合B的映射？

（1）A={P | P是数轴上的点}，B=R，对应关系f：数轴上的点与它所代表的实数对应；

（2）A={ P | P是平面直角体系中的点}，B={（x，y）| x∈R，y∈R}，对应关系f：平面直角体系中的点与它的坐标对应；

（3）A={三角形}，B={x | x是圆}，对应关系f：每一个三角形都对应它的内切圆；

（4）A={x|x是新华中学的班级}，B={x|x是新华中学的学生}，对应关系f：每一个班级都对应班里的学生．

例2．下列对应中，哪些是A到B的映射？

A ⑴ B A ⑵ B

例3.设f是A到B的一个映射,其中A=B={(x,y)∣x,y R},f求: (1)A中元素(-1,2)在B中对应的元素.

(2)在A中什么元素与B中元素(-1,2)对应?

例4．设集合A=｛a,b,c｝,B={0,1}，试问从A到B的映射共有多少个？

(三)巩固练习：

1．已知下列集合A到B的对应，请判断哪些是A到B的映射，并说明理由． （1）A N，B Z，对应法则f为 “取相反数”；

（2）A { 1,0,2}，B＝｛-1，0，0.5｝对应法则“取倒数”； （3）A {1,2,3,4,5}，B R，对应法则：“求平方根”；

（4）A {0,1,2,4}， B {0,1,4,9,64} 对应法则f:a b (a 1) （5）A N ，B={0,1} 对应法则：B中的元素x 除以2得的余数

2. 已知集合A={1,2,3,k},B={4,7,a,a 3a},且a N,k N,x A,y B, 映射f使B中元素y=3x+1和A中元素x对应,求a及k的值.

4

2

2

(四)学习收获：

知识: 方法: 我的问题

1.3.1函数的基本性质

使用说明：“自主学习”7分钟，发现问题，小组讨论，展示个人成果，教师对重点概念点评。

“合作探究”10分钟，小组讨论，互督互评，展示个人成果，教师对重点讲评。

“巩固练习”8分钟，组长负责，组内点评。

“个人总结”5分钟，根据组内讨论情况，指出对规律，方法理解不到位的问题。 能力展示10分钟，教师作出总结性点评。

通过本节学习应达到如下目标:

1,初步理解增函数、减函数、函数的单调性、单调区间的概念， 2,掌握判断一些简单函数单调性的方法.

3,学生通过观察、归纳、抽象、概括，自主建构单调增函数、单调减函数等概念；能运用函数单调性概念解决简单的问题；领会数形结合的数学思想方法，培养发现问题、分析问题、解决问题的能力． 4,在函数单调性的学习过程中，学生体验数学的科学价值和应用价值，培养善于观察、勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度．

重点、难点

1,函数单调性的有关概念的理解和证明; 2,利用函数单调性的概念判断或证明函数单调性.

学习过程： (一)、自主学习

1.观察函数 y=x+2, y=-x+2, y=x, y=

2

1

的图象

. x

思考：

1）上述图象有什么变化规律？对于自变量的变化，相应的函数值有哪些变化规律？

2）对于y x，列出x,y的对应值表，并体会图象在y轴右侧的上升

2

3）在数学上规定：y x在区间(0,+ )是增函数，请给出增函数的定义。

2

4）增函数定义中“当x1 x2时，都有f(x1) f(x2)”反映了函数值有什么变化？函数的图象有什么特点？

5）增函数的几何意义是什么？

6）类比增函数的定义，请给出减函数的定义，并说明其几何意义。

（7）函数的单调性和单调区间的定义是什么？

y=f(x)的单调区间，

上是增函数或是减函数？

思考：能否说f x 在区间 5,5

结合上面y

1

的图象，完成下面两个问题：1）这个函数的定义域I是什么？2）这个函数在定义域I上x

的单调区间是什么？

例2 物理学中的波利尔定律p

kV

（k是正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当体积V减小，压

强p将增大．试用函数的单调性证明之．

注：归纳按定义证明函数单调性的步骤：

(三)巩固练习：

1.

2.证明:

(1)函数f(x)=x2+1在(- ,0)上是减函数:

(2)函数f(x)=1-

1

在(- ,0)上是增函数: x

(3)函数f(x)=-2x+1在R上是减函数:

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/3z61.html