高等代数课程教学大纲

《高等代数》课程教学大纲

课程编号：

总学时数：160（理论160） 总学分数：10

课程性质：学科基础课程

适用专业：数学与应用数学、信息与计算科学

一、课程的任务和基本要求：

本课程是本科院校数学与应用数学、信息与计算科学专业的一门必修的重要基础课。课程的主要任务是系统介绍多项式理论、行列式、线性方程组和矩阵、二次型和双线性函数、线性空间和线性变换，λ-矩阵和欧氏空间等内容，通过课程学习，要求学生系统地掌握这些内容的基本概念和基本理论以及代数学研究问题的基本方法，培养学生的抽象思维、逻辑推理和运算能力，为学生后继课程的学习打下坚实的基础。

二、基本内容和要求： （一）多项式

1、数域及一元多项式的概念和运算

2、多项式的整除性、带余除法、最大公因式

3、多项式的因式分解、重因式、多项式函数及多项式的根 4、复数域，实数域和有理数域上多项式的因式分解 5、多元多项式及对称多项式

要求：理解一元多项式的有关概念，掌握多项式的运算，最大公因式和有理根的求法，互素，有无重因式的判别方法，能够熟练运用一元多项式的基本概念、基本理论和基本方法证明多项式中的一些问题。了解多元多项式。

（二）行列式

1、n阶行列式的定义和性质

2、行列式按行（列）展开的公式 3、拉普拉斯定理 4、克兰姆法则 要求：理解行列式的概念，行列式的性质，掌握行列式的计算方法，克兰姆法则的运用。 （三）线性方程组

1、线性方程组的消元法

2、n维向量的概念、运算、性质 3、向量组的线性相关性

4、矩阵的秩，线性方程组有解的判别法 5、线性方程组的解结构

要求：能熟练运用消元法解线性方程组，掌握矩阵的秩、向量组的秩及极大线性无关组的求法，掌握向量组的线性相关性的基本概念和结论，矩阵秩的相关概念和方法。能够熟练利用向量组的有关知识分析讨论关于线性方程组的一些问题并能正确使用有解判别法。

（四）矩阵

1、矩阵的运算、性质

2、可逆矩阵的概念、性质，逆矩阵的求法 3、矩阵的分块运算、应用

4、初等矩阵与初等变换的关系，用初等变换求逆矩阵的方法

要求：能熟练地进行矩阵的运算，熟悉矩阵乘积的行列式及秩的定理，掌握可逆矩阵的概念、性质、初等变换和初等矩阵的关系。掌握矩阵分块的应用及用初等变换求逆矩阵的方法。

（五）二次型

1、二次型的定义及表示，二次型的标准型

2、标准型的唯一性

3、正定二次型的定义及判定 要求：熟悉二次型的几种表示方法，知道二次型经过非退化线性替换仍变为二次型以及前后两个二次型的关系，掌握二次型化为标准型的方法，理解复二次型和实二次型的规范形的唯一性，掌握实二次型正定的判别方法

（六）线性空间

1、线性空间的定义和性质

2、向量组的线性相关性、基、维数和坐标，基变换和坐标变换 3、子空间、子空间的交与和、直和 4、线性空间的同构

要求：深刻理解线性空间的概念和性质，初步了解公理化思想方法，理解基，维数，坐标和子空间的概念，掌握基，维数，坐标的求法，基变换公式和坐标变换公式，维数公式的应用，和是直和的判别方法，理解同构的概念及相关结论。

（七）线性变换

1、线性变换的定义、性质和运算 2、线性变换和矩阵的关系 3、特征值、特征向量 4、对角化问题

5、线性变换的值域、核、不变子空间 6、最小多项式

要求：理解线性变换、相似、特征值与特征向量，值域与核以及不变子空间等概念，掌握线性变换与矩阵的关系，线性变换可对角的条件，不变子空间和线性变换矩阵化简的关系，最小多项式的性质及求法，最小多项式和矩阵可对角化的关系。

（八）λ-矩阵

1、λ-矩阵的概念，标准形

2、不变因子，初等因子，矩阵相似的条件 3、若当标准形理论推导

要求：理解λ-矩阵的有关概念,能把λ-矩阵化为标准形，理解行列式因子，不变因子，初等因子的概念，弄清它们之间的关系，掌握矩阵相似的判别条件，会求行列式因子，不变因子，初等因子，若当标准形。

（九）欧氏空间

1、欧氏空间的定义及基本性质 2、标准正交基和正交化方法 3、欧氏空间的同构 4、正交变换与正交矩阵 5、对称变换与对称矩阵 6、最小二乘法，酉空间简介

要求：理解欧氏空间、正交变换、对称变换及酉空间的概念，掌握标准正交基的求法，实对称矩阵对角化方法，掌握正交变换，对称变换的判别方法，了解最小二乘法及酉空间的相关结论。

（十）双线性函数

1、线性函数、对偶空间的概念及性质

2、双线性函数，对称双线性函数的概念及性质。

要求：了解线性函数，双线性函数，对称双线性函数的概念及其性质。

三、实践环节和要求：无

四、教学时数分配： 教学内容 多项式

学时分配 22学时 教学内容 线性空间 学时分配 22学时

行列式 线性方程组 矩阵 二次型 合计 16学时 16学时 16学时 10学时 线性变换 λ-矩阵 欧氏空间 双线性函数 160学时 20学时 12学时 12学时 14学时 五、其它项目：无

六、有关说明：

1、教学和考核方式：

本课程属考试课，考核方式为闭卷。平时成绩30%，期末70%。

2、习题：每章内容后的一般习题要求完成80%，补充题完成10%，教师可适当补充一些习题供学生训练。

3、能力培养要求： 通过本课程学习，要求学生系统掌握高等代数中的基本理论和基本方法，使学生具备良好的抽象思维能力、逻辑推理能力和运用这些知识解决相关问题的能力。

4、与其它课程和教学环节的联系：

先修课程和教学环节：初高中代数几何所有课程 后续课程和教学环节：近世代数 平行开设课程和教学环节：数学分析 5、教材和主要参考书目：

（1）教材：《高等代数》 北京大学数学系编著 （2）主要参考书目：

①《高等代数》，张禾瑞编 高等教育出版社

②《高等代数》，复旦大学数学系编 上海科学技术出版社

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